文档库 最新最全的文档下载
当前位置:文档库 › 第三章 第一节 不等关系与不等式

第三章 第一节 不等关系与不等式

第三章 第一节 不等关系与不等式
第三章 第一节 不等关系与不等式

第三章 第一节 不等关系与不等式

一、知识点:

1. 不等式的基本性质有:

⑴对称性:a b b a

⑵传递性:若c b b a >>,,则c a

>; ⑶可加性:c b c a b a +>+?>;

⑷可乘性:b a >,当0>c 时,bc ac >;当0

2. 不等式运算性质:

⑴同向相加:若d c b a >>,,则d b c a +>+;

⑵正数同向相乘: 若0>>b a ,0>>d c ,则bd ac >;

⑶乘方法则:若0>>b a ,+∈N n ,则n n b a >;

⑷开方法则:若0>>b a ,+∈N n ,则n n b a >;

⑸倒数法则:若0>>b a ,则b a 110<<;若0<

b ; 例题1:⑴ 设0,0><+a b a ,则_______

A. 22b ab a <-<

B. 22a ab b <-<

C. ab b a -<<22

D. 22a b ab <<-

⑵ 已知:6012<

x 3的取值范围是__________

⑶ 若0>>b a ,则下列不等式中总成立的是( )

A .1

1++>a b a b

B .b b a a 11+>+

C .a b b a 11+>+

D .

b a b a b a >++22 ⑷ 设b a <<0,则下列不等式中正确的是 ( ) A .2b a ab b a +<<

< B .b b a ab a <+<<2

C .2b a b ab a +<<<

D .b b a a ab <+<<2 3. 比较两数(式)大小的方法:

(1) 作差法。作差后变形为①常数②常数与几个平方和的形式,常用配方的方法或实数特征02≥a 判

断差的符号③几个因式积的形式,常用因式分解法判断因式乘积的符号。

实数比较大小的依据:

① ;0-b a b a >?>②;0-b a b a =?=③;0-b a b a

(2) 作商法。如果两个实数(式)同号,也可以用作商法来比较大小。 ①;1;1;1.

0,0b a b

a b a b a b a b a b a ?>>> ②;1;1;1.0,0b a b a b a b a b a b a b a >?<=?=<< (3) 其他方法。如果不好直接比较,有时可以比较两数(式)的平方,或开平方。

例题2.已知b a ,为正实数,试比较b a a b

b a

++与的大小。

4. 利用不等式的性质,求取值范围。

(1)同向相加,异向相减。d b c a d c b a d b c a d c b a ->-?<>+>+?>>,;,。这种转化不是等价变形,在解题过程中多次使用,容易扩大真实的取值范围。因此,使用时应尽量减少使用次数。 例题3.已知12,32-≤≤-≤

a b a b a ,,-+的范围。

例题4.设,4)1(22)1(1,)(2≤≤≤-≤+=f f bx ax x f ,且求)2(-f 的最大值和最小值。

5.不等式性质的综合应用

(1)不等式的性质与函数的交汇问题。

①不等式的许多性质具有“函数”背景,如“)(0*∈>?>>N n b a b a n n ”,其实就是函数上的单调性在*=R x y n 。

例题5.若101<<>>a y x ,,则下列各式中正确的一项是( )

A. y x a a --<

B. y x a a )(sin )(sin >

C. y x a

a 11log log < D. y x y x a a a

+>++1 ②利用作商法比较多项式的大小常转化为利用指数函数的单调性解答。

例题6.比较b a b a 与a b b a 的大小(b a b a ≠>>且0,0)

(2)不等式的性质应用与数列等其他知识的交汇问题。

例题7.在等比数列{}n a 和等差数列{}n b 中,31331100a a b a b a ≠>=>=,,,试比较55b a 和的大小。

【课堂训练1】

1.设b a ,为非零实数,若b a <,则下列不等式成立的是( )

A .22b a <

B .b a ab 22<

C .b a ab 2211

< D .b

a a

b < 2. 若0,0≥≥b a ,且2=+b a ,则_____

A .21≤ab B.2

1≥ab C.222≥+b a D.322≤+b a

3.若R b a ∈,,且0>ab ,则下列不等式中恒成立的是( )

A .ab b a 222>+

B .ab b a 2≥+

C .ab b a 211

>+

D .2≥+b a

a b

4.已知实数a 、b 满足等式b a ??

? ??=??? ??3121,下列五个关系式:① a b <<0 ② 0

<

③b a <<0

④ 0<

A .1个

B .2个

C .3个

D .4个

5.证明x x x f -+=1)(2在定义域内是减函数。

6.已知数列{}n a 满足.0,21>=-n n n

a n a a 且 (1)求数列{}n a 通项公式;

(2)数列{}n a 是否存在最大项?若存在,求出该项和相应的项数;若不存在,说明理由。

不等关系与基本不等式同步练习题

不等关系与基本不等式同步练习题(一) (时间:120分钟 满分:150分) A.基础卷 一、选择题(5×8=40分) 1.函数)2(2 1 >-+ =x x x y 的最小值为( ) A. 2 B . 3 C . 4 D .23 2.不等式0)31(>-x x 的解集是( ) A .)31,(-∞ B . )31,0()0,( -∞ C . ),31(+∞ D .)3 1,0( 3.已知,R b a ∈、且0>ab ,则下列不等式不正确的是( ) A .b a b a ->+ B .b a b a +<+ C .b a ab +≤2 D . 2≥+b a a b 4.已知无穷数列{}n a 是各项均为正数的等差数列,则有( ) A. 8 6 64a a a a ≤ B. 8664a a a a < C.8664a a a a > D.8664a a a a ≥ 5.已知01,0<<-> B.a ab ab >>2 C.2 ab a ab >> D.a ab ab >>2 6.已知,1117,32-≤<-<≤-y x 则1 2 -y x 的取值范围是( ) A.??? ??-- 92,43 B.??? ??-0,43 C.??? ??-0,21 D.??? ??-0,43 7.若 ,11 <++b a a b 则b a 与中必( ) A.一个大于1,一个小于1 B.两个都大于1 C.两个都小于1 D.两个的积小于1 8.已知,,d c b a >>则( ) A. d b c a ->- B. c b d a > C.a d b c ->- D.bd ac >

高中数学必修五-不等关系与不等式-教案

第三章不等式 必修5 3.1 不等关系与不等式 一、教学目标 1.通过具体问题情境,让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系; 2.通过了解一些不等式(组)产生的实际背景的前提下,学习不等式的相关内容; 3.理解比较两个实数(代数式)大小的数学思维过程. 二、教学重点: 用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题.理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值. 三、教学难点: 使用不等式(组)正确表示出不等关系. 四、教学过程: (一)导入课题 现实世界和生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系我们知道,两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,等等.人们还经常用长与短,高与矮,轻与重,大与小,不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系. 在数学中,我们用不等式来表示这样的不等关系.

提问: 1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系?(大于、等于、小于). 2.现实生活中,人们是如何描述“不等关系”的呢?(用不等式描述) 引入知识点: 1.不等式的定义:用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式. 2.不等式a b ≥的含义. 不等式a b ≥应读作“a 大于或者等于b ”,其含义是指“或者a >b ,或者a =b ”,等价于“a 不小于b ,即若a >b 或a =b 之中有一个正确,则a b ≥正确. 3.实数比较大小的依据与方法. (1)如果a b -是正数,那么a b >;如果a b -等于零,那么a b =;如果a b -是负数,那么a b <.反之也成立,就是(a b ->0?a >b ;a b -=0?a =b ;a b -<0?a

必修五 3.1不等式与不等关系(第一课时)教案

§3.1不等式与不等关系 【教学目标】 1.知识与技能:通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组)的实际背景,掌握不等式的基本性质; 2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法; 3.情态与价值:通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题。理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式(组)正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中,我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1)用不等式表示不等关系 引例1:限速40km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v 不超过40km/h ,写成不等式就是: 40v ≤ 引例2:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于2.3%,写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%2.3% f p ≤??≥? 问题1:设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点,则||d AB ≤。 问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本。据市场调查,若单价每提高0.1元,销售

不等关系与不等式经典教案

不等关系与不等式 【学习目标】 1.了解不等式(组)的实际背景. 2.掌握比较两个实数大小的方法. 3.掌握不等式的八条性质. 【学法指导】 1.不等关系广泛存在于现实生活中,应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言” 转化成“数学语言”,是用不等式知识解决实际问题的第一步.只需根据题意建立相应模型,把模型中的量具体化即可. 2.作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一,可简单概括为“三步一结论”,其中关键步骤“变形”要彻底,当不能“定号”时注意分类讨论. 3.不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据,应用时每步都要做到等价变形. 一、知识温故 a-b>0?; a-b=0?; a-b<0?. 3.常用的不等式的基本性质 (1)a>b?b a(对称性); (2)a>b,b>c?a c(传递性); (3)a>b?a+c b+c(可加性); (4)a>b,c>0?ac bc;a>b,c<0?ac bc; (5)a>b,c>d?a+c b+d; (6)a>b>0,c>d>0?ac bd; (7)a>b>0,n∈N,n≥2?a n b n; (8)a>b>0,n∈N,n≥2?n b. 二、经典范例 问题探究一实数比较大小 问题1(实数比较大小的依据) 在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b,右边的点表示的数比左 边的点表示的数大,从实数减法在数轴上的表示可以看出a,b之间具有以下性质:

如果a-b是正数,那么; 如果a-b是负数,那么; 如果a-b等于零,那么. 以上结论反过来也成立,即a-b>0?a>b;a-b<0?a<b;a-b=0?a=b. 问题2(作差法比较实数的大小) 向一杯a克糖水中加入m克糖,糖水变得更甜了.你能把这一现象用一个不等式表示出来吗?并证明你的结论. 问题探究二不等式的基本性质 问题3在实数大小比较的基础上,可以给出不等式八条基本性质的严格证明.证明时,可以利用前面的性质推证后续的性质. 请同学们借助前面的性质证明性质6: 如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

不等关系与不等式(解析版)

§7.1不等关系与不等式 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a ,b 之间,有且只有a >b ,a =b ,a 1,则a >b .( × ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.( × ) (4)a >b >0,c >d >0?a d >b c .( √ ) (5)若ab >0,则a >b ?1a <1 b .( √ ) 题组二 教材改编 2.若01且2a <1, ∴a <2b ·a =2a (1-a )=-2a 2+2a =-2????a -122+12<12. 即a <2ab <1 2 , 又a 2+b 2=(a +b )2-2ab =1-2ab >1-12=1 2 ,

即a 2+b 2>1 2 , a 2+ b 2-b =(1-b )2+b 2-b =(2b -1)(b -1), 又2b -1>0,b -1<0,∴a 2+b 2-b <0, ∴a 2+b 2b >0,c 0 B.a c -b d <0 C.a d >b c D.a d ac , 又∵cd >0,∴bd cd >ac cd ,即b c >a d . 5.若-π2<α<β<π 2,则α-β的取值范围是__________. 答案 (-π,0) 解析 由-π2<α<π2,-π2<-β<π 2,α<β, 得-π<α-β<0.

高二数学必修5不等式与不等关系主要知识点

高一数学必修5不等式与不等关系主要知识点 1.不等关系 两实数之间有且只有以下三个大小关系之一:a>b;a-?>b a b a ;0<-?, a b b a >?< (2)传递性:,a b b c >>?,a c > (3)可加性:a b >?. a c b c +>+ 移项法则:a b c a c b +>?>- 推论:同向不等式可加. ,a b c d >>? a c b d +>+ (4)可乘性:bc ac c b a >?>>0,,,0a b c >>>>?ac bd > 推论2:可乘方(正):0a b >>? n n a b >` (,2)n N n *∈≥ (5) 可开方(正):0a b >>? >(,2)n N n *∈≥ 2. 一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程2 之间的关系:

3.一元二次不等式恒成立情况小结: 2 0ax bx c ++>(0a ≠)恒成立?00a >???+表示直线上方的平面区域;y kx b <+表示直线下方的平面区域. 说明:(1)y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域; y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域. (2)对于不含边界的区域,要将边界画成虚线. 5.基本不等式: (1).如果R b a ∈,,那么ab b a 22 2≥+. (2). ≤2 a b +(0,0)a b >>. (当且仅当b a =时取“=”)

知识讲解_不等关系与不等式

不等关系与不等式 编稿:张希勇 审稿:李霞 【学习目标】 1.了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系; 2.会用差值法比较两实数的大小; 3.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题. 【要点梳理】 要点一、符号法则与比较大小 实数的符号: 任意x R ∈,则0x >(x 为正数)、0x =或0x <(x 为负数)三种情况有且只有一种成立. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质: ①两个同号实数相加,和的符号不变 符号语言:0,00a b a b >>?+>; 0,00a b a b <>?>; 0,00a b ab < ③两个异号实数相乘,积是负数 符号语言:0,00a b ab >?>; ②0b a b a -,a b =,a b <三种关系有且只有一种成立. 要点诠释:这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础,也是证明不等式与解不等式的主要依据.要点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有: (1) 对称性:a>b b

(2)传递性:a>b, b>c a>c ? (3) 可加性:a b a c b c >?+>+ (c ∈R) (4) 可乘性:a>b ,?? ????>bc ac c bc ac c bc ac c 000运算性质有: (1)可加法则:,.a b c d a c b d >>?+>+ (2) 可乘法则:,a b>0c d>0a c b d>0>>??>? (3)可乘方性:*0,0n n a b n N a b >>∈?>> (4) 可开方性:a b 0,n N ,n 1+>>∈>?>要点诠释:不等式的性质是不等式同解变形的依据. 要点三、比较两代数式大小的方法 作差法: 任意两个代数式a 、b ,可以作差a b -后比较a b -与0的关系,进一步比较a 与b 的大小. ①0b a b a ->?>; ②0b a b a -?>; ②1b a a b b 且b>c ,则a>c (实质是不等式的传递性).一般选择0或1为中间量. 利用函数的单调性比较大小 若两个式子具有相同的函数结构,可以利用相应的基本函数的单调性比较大小. 作差比较法的步骤: 第一步:作差; 第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化为“积”; 第三步:定号,就是确定差是大于、等于还是小于0; 最后下结论. 要点诠释:概括为:“三步一结论”.这里“定号”是目的,“变形”是关键过程.

不等关系与不等式-教学设计

不等关系与不等式(第一课时) 一、教学任务分析 1、感受不等关系的普遍存在 通过一系列的具体情境,使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系。 2、利用不等式(组)表示实际问题中的不等关系 通过具体问题情境,让学生学习如何利用不等式(组)研究及表示不等关系,进一步理解不等式(组)刻画不等关系的意义和价值。 3、初步掌握运用作差比较法比较实数和代数式的大小。 二、教学重点和难点 重点:用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题,理解不等式(组)刻画不等关系的意义和价值。 难点:用不等式(组)正确表示出不等关系。 三、教学基本流程

四、教学情景设计

1、引入:章头图及古诗《题西林壁》引入,介绍不等量关系也是自然界中存在的基本数量关系,它们在现实世界和日常生活中大量存在,在数学研究和数学应用中也起着重要的作用,也正是实际问题的需要我们要研究不等量关系。介绍本章将要研究表示不等量关系的不等式的基本知识。 设计意图:使学生体会不等关系的普遍存在,了解学习不等式的意义。 2、创设情境,让学生感受生活中的不等关系。 师:多媒体出示情景:(1)交通标志(限速、限高、限宽);(2)商家打折海报(一折起、低至几折);(3)产品含量指标。问:表示什么含义?怎么表示其中的不等关系? 生:分析各种不等关系,口答并尝试用不等式(组)表示。 师:引导学生准确表述,给出不等式定义,板书学生口答的各问题中不等式(组)。 设计意图:进一步让学生感受生活中的不等关系,知道用不等式(组)表示这种不等关系。 3、知识探究一:具体情境中如何用不等式研究及表示不等关系。 师:多媒体出示问题1(销售收入问题)、2(实际安排生产问题)。 学生:独立思考后,与本组同学交流讨论结果。完成后交流展示,小组代表板书结果,并说明式子的含义。 师:点评学生结果,找有不同结果的小组讲解不同方法或补充,引导学生分析比较。 设计意图:问题方式给出,强化学生的问题意识,使学生在具体问题情境中经历如何利用不等式研究及表示不等关系。小组合作探究,使学生交流对于问题的认识。展示不同结果,使学生认识思考问题严谨性和不同角度。师最后介绍两问题中反映的生产要求如何解决,是本章后续章节会解决的问题。激发学生学习欲望,体会数学知识与生活的密切相关。 4、知识探究二:比较实数和代数式大小的方法——作差法。 生:结合学案上知识探究二中所填结果,与同组学生交流结论。 师:提问引导学生表述:要比较两数或代数式大小,可以让两数或两式相减,比较结果和0的大小。若结果大于0,则前者大于后者;若……。 设计意图:让学生分析作差法具体做法,明确这种比较大小的方法如何运用。 5、课堂练习:作差法比较代数式的大小。 生:可独立完成,也可与同组同学交流,在规定时间完成。 师:巡视,指导学生疑难处,找完成好的两生板演结果,并让板演学生讲解。点评学生思路,进一步总结作差法中变形结果的形式:

导学案不等式与不等关系

不等式与不等关系 考纲要求 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景. 考情分析 1.从高考内容上来看,不等关系、不等式的性质及应用 是命题的热点. 2.着重突出考查对不等式性质的灵活运用,有时与充要性的判断交汇命题,体现了化归转化思想,难度中、 低档. 3.考查题型多为选择、填空题. 教学过程 基础梳理 一、实数大小顺序与运算性质之间的关系 a - b >0? ;a -b =0? ; a -b <0? . 二、不等式的基本性质 1.对称性a >b ? 2.传递性a >b ,b >c ? 3.可加性a >b ? 4.可乘性 a >b c >0? , ? ?? a > b c <0? 5.同向可加性 ? ?? a > b c > d ? 6.同向同正可乘性 ? ?? a > b >0 c > d >0? 7.可乘方性a >b >0? (n ∈N ,n ≥2) 8.可开方性a >b >0? (n ∈N ,n ≥2) 两条常用性质

① a >b ,ab >0?1a <1 b ② 若a >b >0,m >0,则b a <b +m a +m ; 双基自测 1.若x +y >0,a <0,ay >0,x -y 的值为 ( ) A .大于0 B .等于0 C .小于0 D .不确定 2.(教材习题改编)已知a ,b ,c 满足c ac B .c (b -a )<0 C .cb 20 3.已知a ,b ,c ,d 均为实数,且c >d ,则“a >b ”是“a -c >b -d ”的 ( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 4.(教材习题改编)3+7与25的大小关系是________. 5.已知a ,b ,c ∈R ,有以下命题: ①若a >b ,则ac 2>bc 2;②若ac 2>bc 2,则a >b ; ③若a >b ,则a ·2c >b ·2c 以上命题中正确的是____________(请把正确命题的序号都填上).

高中数学必修五同步练习题库:不等关系与不等式(填空题:一般)

不等关系与不等式(填空题:一般) 1、不等式的解集为_______ 2、不等式的解集是_________. 3、已知实数,,则的取值范围是__________. 4、若不等式对于大于的一切自然数都成立,则自然数的最大值为________. 5、已知函数恒成立,则实数m的取值范围为_______ 6、已知角满足,,则的取值范围是__________. 7、设,为实数,若,则的最大值__________. 8、已知,设,则与1的大小关系是__________.(用不等号连接) 9、给出下列命题:①已知都是正数,且,则; ②已知是的导函数,若,则一定成立; ③命题“使得”的否定是真命题; ④且是“”的充要条件;

⑤若实数, ,则满足的概率为, 其中正确的命题的序号是______________(把你认为正确的序号都填上) 10、设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为__________. 11、若,则, , , 按由小到大的顺序排列为_______. 12、设集合中的最大元素与最小元素分别为M,m,则M-m的值为______. 13、设是两个向量,则“”是“”的__________条件. 14、设,是两个向量,则“”是“”的__________条件. 15、已知函数,,,则的取值范围是__________. 16、设,若时,恒有,则 . 17、已知,令,,,那么之间的大小关系为. 18、已知a,b∈R,有以下命题: ①若a>b,,则ac>b;②若,则a b;③若a>b,则a?2c>b?2c. 则正确命题的序号为. 19、设,,则的大小关系为.

20、若a=log20.7,b=0.72,c=20.3,那么a,b,c的大小用“<”表示为:__________ _ 21、(2014?陕西)设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为. 22、(2015秋?钦州校级期末)已知a,b是实数,那么(a4+b4)(a2+b2)与(a3+b3)2的大小关系为. 23、将,,比较大小,大小关系为_________. 24、不等式的解集为. 25、不等式的解集为 26、设,,且恒成立,则的最大值是. 27、设,则,,的大小关系是__________________.(用“<”连接) 28、不等式组的解集是,那么的值等于. 29、已知函数,则________,若,则实数的取值范围是 _________. 30、不等式的解集为.

不等关系与基本不等式同步练习题

a 6 B. C. D. 6.已知 - 2 ≤ x < 3,-17 < y ≤ -11, 则 的取值范围是( ) A. -? 3 2 ? ? 3 ? ? 1 ? ?3,- ? B. - ,0 C. - ,0 D. - ,0 ? ??A. a - c > b - d B. a 不等关系与基本不等式同步练习题(一) (时间:120 分钟 满分:150 分) A.基础卷 一、选择题(5×8=40 分) 1.函数 y = x + 1 ( x > 2) 的最小值为( x - 2 ) A. 2 B . 3 C . 4 D . 3 2 2.不等式 x (1 - 3x) > 0 的解集是( ) 1 1 1 1 A . (-∞, ) B . (-∞,0) (0, ) C . ( ,+∞) D . (0, ) 3 3 3 3 3.已知 a 、b ∈ R, 且 ab > 0 ,则下列不等式不正确的是( ) A . a + b > a - b B . a + b < a + b C . 2 ab ≤ a + b D . b a + ≥ 2 a b 4.已知无穷数列 { n }是各项均为正数的等差数列,则有( ) A. a 4 ≤ a 6 a a 5.已知 a < 0,-1 < b < 0 ,则 a, ab, ab 2 的大小关系是( ) A. a > ab > ab 2 B. ab 2 > ab > a C. ab > a > ab 2 D. ab > ab 2 > a x 2 y - 1 ? ? 4 9 ? ? 4 ? ? 2 ? ? 4 ? 7.若 ab + 1 a + b < 1, 则 a 与 b 中必( ) A.一个大于1,一个小于1 B.两个都大于1 C.两个都小于1 D.两个的积小于1 8.已知 a > b , c > d , 则( ) b > C. c - b > d - a D. ac > bd d c

5第五讲 不等关系与基本不等式(教师版) - 副本 - 副本

第一课时:不等式关系与不等式 知识点一 不等关系 思考 限速40km /h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v 不超过40 km /h ,用不等式如何表示? 答案 v ≤40. 梳理 试用不等式表示下列关系: (1)a 大于b a >b (2)a 小于ba b ?a -b >0;a =b ?a -b =0; a b ?b b ,b >c ?a >c (传递性); 第三节.不等关系与基本不等式 基本不等式

(3)a >b ?a +c >b +c (可加性); (4)a >b ,c >0?ac >bc ;a >b ,c <0?ac b ,c >d ?a +c >b +d ; (6)a >b >0,c >d >0?ac >bd ; (7)a >b >0?a n >b n (n ∈N +); (8)a >b >0n ∈N +). 类型一 用不等式(组)表示不等关系 例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢? 考点 用不等式(组)表示不等关系 题点 用不等式(组)表示不等关系 解 提价后销售的总收入为? ?? ?? 8-x -2.50.1×0.2x 万元, 那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式? ?? ?? 8-x -2.50.1×0.2x ≥20. 反思与感悟 数学中的能力之一就是抽象概括能力,即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时: (1)要先读懂题,设出未知量; (2)抓关键词,找到不等关系; (3)用不等式表示不等关系.思维要严密、规范. 跟踪训练1 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种.按照生产的要求,600mm

不等式与不等关系

第二章数列 第三章不等式 不等式与不等关系 第1课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组)的实际背景,掌握不等式的基本性质; 2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法; 3.情态与价值:通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题。理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式(组)正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系。如两点之

间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中,我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1)用不等式表示不等关系 引例1:限速40km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v 不超过40km/h ,写成不等式就是: 40v ≤ 引例2:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%,蛋白质的含量p 应不少于2.3%,写成不等式组就是——用不等式组来表示 2.5%2.3% f p ≤??≥? 问题1:设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点,则||d AB ≤。 问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本。据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢? 解:设杂志社的定价为x 元,则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1 x x --? 万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 2.5(80.2)200.1 x x --?≥ 问题3:某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。按照生产的要求,600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。怎样写出满足所

不等关系与不等式 优秀教学设计

不等关系与不等式 课题:不等关系与不等式(二) 课型:新授课 1.知识与技能 (1)使学生掌握常用不等式的基本性质; (2)会将一些基本性质结合起来应用. (3)学习如何利用不等式的有关基本性质研究不等关系; 教学目标 2.过程与方法 以问题方式代替例题,学习如何利用不等式研究及表示不等式,利用不等 式的有关基本性质研究不等关系; 3.情感、态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度,注重问题情 境、实际背景的的设置,通过学生对问题的探究思考,广泛参与,改变学 生学习方式,提高学习质量。 教学重点理解不等式的性质及其证明 教学难点利用不等式的基本性质证明不等式 批注教学过程: 一、复习提问 1.比较两实数大小的理论依据是什么? 2.“作差法”比较两实数的大小的一般步骤. 3.初中我们学过的不等式的基本性质是什么? 基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的 方向不变. 基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 其数学含义: (1)若a>b,则a+c>b+c,a-c>b-c;

(2)若a >b ,c >0,则ac >bc , c a >c b ;(3)若a >b , c <0,则ac <bc ,c a <c b ..二、新授 常用的不等式的基本性质 (1)a b b a , (对称性) (2)c a c b b a >?>>, (传递性) (3)c b c a b a +>+?>, (可加性) (4),0a b c ac bc >>?>;,0a b c ac bc >?>>>>0,0(同向不等式的可乘性) (6)n n n n b a b a n N n b a >>?>∈>>,1,,0 (可乘方性、可开方性)例1:已知0,0,a b c >><求证:c c a b >例2:如果30<x <42,16<y <24,求x +y ,x -2y 及 y x 的取值范围.∵30<x <42,16<y <24 ∴-48<-2y <-32, ∴30+16<x +y <42+24 即46<x +y <66; ∴30-48<x -2y <42-32 即-18<x -2y <10; .8 2145,16 422430<<<?举例说明. 3.若0 b a ,则下列不等式总成立的是( C )

不等关系与不等式教学设计

《不等关系与不等式》教案 【教学目标】 1.掌握比较两个实数大小的方法——差值比较法,理解不等关系的传递性,能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小 2.通过对具体问题的分析,培养学生的分析归纳能力,培养学生代数变形的能力,提高学生解决实际问题的能力 3.通过问题情境,激发学生的学习动机和好奇心理,使其主动参与交流活动。通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立的优良心理品质。通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度 【重点难点】 重点:比较实数大小的方法. 难点:1.比较实数大小方法中的代数变形; 2.比较实数大小方法的实际应用 【教学方法】体验法、合作讨论法 【教学过程】 (一)创设情境 泰山旺季门票原价为180元,现推出两套优惠方案(两人以上集体购票时可选择以下任一种方案) 优惠方案A:买全票一张,则其余票可享受八折优惠; 优惠方案B:按团体购票,一概优惠30元. 为了使门票花费最少,请各位同学发动你们的智慧想一想该选择哪种方案? 教师:5-7人,由学生先对多种情况进行讨论。 合作交流:同桌讨论合作完成下列表格(作业纸)

(学生思考演算并请学生回答结果) 由此我们知道在实际的生活中经常会碰到比较大小的问题,这就是我们这节课所要学习的1.2节比较大小(板书课题同时幻灯片出示课题)继续就上述情境提问:对于人数确定的情况,两个具体的实数我们很容易比较大小,如果人数不确定呢,又该如何比较大小? 若设人数为n,记采用方案A的费用为) f,采用方案B的费用 (n 为) n g150 (= n ) f,n g,则36 =n 144 (n ) (+ 接着我们要比较就是这两个代数式子的大小,我们该怎么办呢?(学生思考) 对于这两个式子来说,它们有以下的三种大小关系: g n n >n ? n - f g n f ) ( ) > 6 ( ? ) ) (< ( n g n =n ? g - f n n f ( ( ) = ) 6 ) (= ? ( ) g n ) ( ) ? 所以当6 这样我们的问题就解决了。 归纳小结: 任意两个实数a,b都能比较大小: 如果a-b>0,则a>b;

高考数学一轮复习专题:不等关系与不等式(教案与同步练习)

1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法???? ? a - b >0?a > b a -b =0?a = b a - b <0?a < b (a ,b ∈R ); (2)作商法????? a b >1?a > b a b =1?a = b a b <1?a < b (a ∈R ,b >0). 2.不等式的基本性质

3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ,ab >0?1a <1 b . ②a <0b >0,0b d . ④0b >0,m >0,则 ①b a b -m a -m (b -m >0). ②a b >a +m b +m ;a b 0). 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a ,b 之间,有且只有a >b ,a =b ,a 1,则a >b .( × ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.( × ) (4)一个非零实数越大,则其倒数就越小.( × ) (5)a >b >0,c >d >0?a d >b c .( √ ) (6)若ab >0,则a >b ?1a <1 b .( √ ) 1.设a 1b B.1a -b >1a C .|a |>-b D.-a >-b 答案 B 解析 由题设得a 1 a 不成立.

不等关系与不等式——教学设计

不等关系与不等式(第一课时) 、教学任务分析1感受不等关系的普遍存在 通过一系列的具体情境,使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系。 2、禾U用不等式(组)表示实际问题中的不等关系 通过具体问题情境,让学生学习如何利用不等式(组)研究及表示不等关系,进一步理解不等式(组)刻画不等关系的意义和价值。 3、初步掌握运用作差比较法比较实数和代数式的大小。 二、教学重点和难点 重点:用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题,理解不等式(组)刻画不等关系的意义和价值。 难点:用不等式(组)正确表示出不等关系。 三、教学基本流程 四、教学情景设计 1、引入:章头图及古诗《题西林壁》引入,介绍不等量关系也是自然界中存在的基本数量关系,它们在现实世界和日常生活中大量存在,在数学研究和数学应用中也起着重要的作用,也正是实际问题的需要我

们要研究不等量关系。介绍本章将要研究表示不等量关系的不等式的基本知识。 设计意图:使学生体会不等关系的普遍存在,了解学习不等式的意义。 2、创设情境,让学生感受生活中的不等关系。 低至几折);(3)产品含量指标。问:表示什么含义?怎么表示其中的不等关系? 生:分析各种不等关系,口答并尝试用不等式(组)表示。 师:引导学生准确表述,给出不等式定义,板书学生口答的各问题中不等式(组)。设计意图:进一步让学生感受生活中的不等关系,知道用不等式(组)表示这种不等关 系。 3、知识探究一:具体情境中如何用不等式研究及表示不等关系。 师:多媒体出示问题1(销售收入问题)、2(实际安排生产问题)。学生:独立思考后,与本组同学交流讨论结果。完成后交流展示,小组代表板书结果,并说明式子的含义。 师:点评学生结果,找有不同结果的小组讲解不同方法或补充,引导学生分析比较。设计意图:问题方式给出,强化学生的问题意识,使学生在具体问题情境中经历如何利用不等式研究及表示不等关系。小组合作探究,使学生交流对于问题的认识。展示不同结果,使学生认识思考问题严谨性和不同角度。师最后介绍两问题中反映的生产要求如何解决,是本章后续章节会解决的问题。激发学生学习欲望,体会数学知识与生活的密切相关。 4、知识探究二:比较实数和代数式大小的方法——作差法。 生:结合学案上知识探究二中所填结果,与同组学生交流结论。师:提问引导学生表述:要比较两数或代数式大小,可以让两数或两式相减,比较结果和0的大小。若结果大于0,则前者大于后者;若。 设计意图:让学生分析作差法具体做法,明确这种比较大小的方法如何运用。 5、课堂练习:作差法比较代数式的大小。 生:可独立完成,也可与同组同学交流,在规定时间完成。师:巡视,指导学生疑难处,找完成好的两生板演结果,并让板演学生讲解。点评学生 思路,进一步总结作差法中变形结果的形式:①化成非负或非正式子的和②因式相乘(除), 强调变形中配方法、因式分解的方法。并引导学生总结作差法步骤并板书。 设计意图:让学生动手练习具体题目,掌握作差法比较代数式大小的方法和步骤,特别 注意变形的结果及用到的方法。 6、课堂小结:学生反思学到了什么知识、方法?

不等关系与不等式》教学设计

教学设计 课题: 教师:长沟中学柴生艳 教学目标1.通过具体情境,了解不等式(组)的实际背景,借助数轴,能从“数”和“形”两方面来认识不等式,掌握比较两个代数式(实数)的大小的基本方法--作差比较法; 2.通过较典型的问题,教师引导,学生自主探究,学生与教师进行交流,分析,抽象出数学模型,激发学生学习兴趣和积极性; 3.通过具体情景,培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力,进一步体会数形结合的重要方法,学生体会到学好数学对日常生活的重要作用。 教学重点比较实数(代数式)大小的基本方法:作差比较法 教学难点判断差的符号 教学方法启发引导式 教学过程 教学步骤教师行为学生行为 设计意 图 新课引入现实世界中存在着等量关系,也存在着大量的不等关系, 例如:(1)天气预报说:今天最低温度为22℃, 最高温度为30℃,若用t表示今天气温, 那么怎么用数学表达式表示t? (2)上一章学习的等比数列中公比q什学生在纸上写出并 回答: (1)22℃≤t≤30℃ (2) q≠0 (3)a≥0 (4)根据实际情况回 通过具体 情境,了解 不等式的 概念。

么范围 (3)根号a中,a的取值范围是什么? (4)提问两同学的身高问题,让全体同 学比较其大小关系。如A>B 又如:课本P61 速度与手机话费问题,这些问题即是我们今天要研究的问题(板书 课题)——不等关系与不等式。 答 小组合作探究请学生思考并回答以下问题: 问题一:不等式的定义 (强调“≥、≤”的读法中的“或”引 出问题二) 问题二:2≥2,这样写正确吗?(“≥“的 含义是什么?) 这样写是对的,因为“>”和“=”只要 一个满足就可以了,即a≥b表示a>b或 a=b ,同样a≤b即为a<b或a=b。 问题三:实数与数轴上的点有怎样的对应 关系?右边的点表示的实数与左边的点表示 的实数谁大? 问题四:数轴上两点A、B有怎样的位置 关系?两实数有怎样的大小关系? 点的关系: 点A在点B右侧 学生思考并回 答:用不等号连接两 个解析式(以表示它 们之间的不等关系) 所得的式子,叫做不 等式. 不等号的种类: >、<、≥、≤、 ≠. 学生回答 学生回答 与数轴上的点是一 一对应的,右边的点 表示的实数比左边 的点表示的实数大 通过具体 情境,了解 不等式 (组)的实 际背景,借 助数轴,能 从“数”和 “形”两方 面来认识 不等式,掌 握比较两 个代数式 (实数)的 大小的基 本方法-- 作差比较 A a B b

《不等关系与不等式》第一课时参考教案

课题: §3.1不等式与不等关系 第1课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组)的实际背景,掌握不等式的基本性质; 2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法; 3.情态与价值:通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题。理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式(组)正确表示出不等关系。 【教学过程】 1.课题导入 在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系。如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中,我们用不等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。 2.讲授新课 1)用不等式表示不等关系 引例1:限速40km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v 不超过40km/h,写成不等式就是: v 40 引例2:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%,写成不等式组就是——用不等式组来表示

2.5%2.3% f p ≤??≥? 问题1:设点A 与平面α的距离为d,B 为平面α上的任意一点,则||d AB ≤。 问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本。据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢? 解:设杂志社的定价为x 元,则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1 x x --?万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 2.5(80.2)200.1 x x --?≥ 问题3:某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种。按照生产的要求,600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢? 解:假设截得500 mm 的钢管 x 根,截得600mm 的钢管y 根。根据题意,应有如下的不等关系: (1)截得两种钢管的总长度不超过4000mm ; (2)截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍; (3)截得两种钢管的数量都不能为负。 要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示: 5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤??≥??≥??≥? 3.随堂练习 1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。 2、课本练习1、2 4.课时小结 用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题。 5.评价设计

相关文档 最新文档