材料力学第6四章扭转
第6章 圆轴的扭转
6.1 扭转的概念
扭转是杆件变形的一种基本形式。在工程实际中以扭转为主要变形的杆件也是比较多的，例如图6-1所示汽车方向盘的操纵杆，两端分别受到驾驶员作用于方向盘上的外力偶和转向器的反力偶的作用；图6-2所示为水轮机与发电机的连接主轴，两端分别受到由水作用于叶片的主动力偶和发电机的反力偶的作用；图6-3所示为机器中的传动轴，它也同样受主动力偶和反力偶的作用，使轴发生扭转变形。
图6—1 图6—2 图6—3
这些实例的共同特点是：在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面与杆件轴线垂直的力偶，使杆件的任意两个截面都发生绕杆件轴线的相对转动。这种形式的变形称为扭转变形（见图6-4）。以扭转变形为主的直杆件称为轴。若杆件的截面为圆形的轴称为圆轴。
图6—4
6.2 扭矩和扭矩图
6.2.1 外力偶矩
作用在轴上的外力偶矩，可以通过将外力向轴线简化得到，但是，在多数情况下，则是通过轴所传递的功率和轴的转速求得。它们的关系式为
n
P
M 9550 （6-1） 其中：M ——外力偶矩（N ·m ）;
P ——轴所传递的功率（KW ）； n ——轴的转速（r ／min ）。 外力偶的方向可根据下列原则确定：输入的力偶矩若为主动力矩则与轴的转动方向相同；输
入的力偶矩若为被动力矩则与轴的转动方向相反。
6.2.2 扭矩
圆轴在外力偶的作用下，其横截面上将产生连续分布内力。根据截面法，这一分布内力应组成一作用在横截面内的合力偶，从而与作用在垂直于轴线平面内的外力偶相平衡。由分布内力组成的合力偶的力偶矩，称为扭矩，用n M 表示。扭矩的量纲和外力偶矩的量纲相同，均为N·m 或kN·m 。
当作用在轴上的外力偶矩确定之后，应用截面法可以很方便地求得轴上的各横截面内的扭矩。如图6-5（a ）所示的杆，在其两端有一对大小相等、转向相反，其矩为M 的外力偶作用。为求杆任一截面m-m 的扭矩，可假想地将杆沿截面m-m 切开分成两段，考察其中任一部分的平衡，例如图6-5（b ）中所示的左端。由平衡条件
0)(=∑F M X
可得 M M n =
图6—5
注意，在上面的计算中，我们是以杆的左段位脱离体。如果改以杆的右端为脱离体，则在同一横截面上所求得的扭矩与上面求得的扭矩在数值上完全相同，但转向却恰恰相反。为了使从左段杆和右段杆求得的扭矩不仅有相同的数值而且有相同的正负号，我们对扭矩的
正负号根据杆的变形情况作如下规定：把扭矩当矢量，即用右手的四指表示扭矩的旋转方向，则右手的大拇指所表示的方向即为扭矩的矢量方向。如果扭矩的矢量方向和截面外向法线的方向相同，则扭矩为正扭矩，否则为负扭矩。这种用右手确定扭矩正负号的方法叫做右手螺旋法则。如图6-6所示。
按照这一规定，园轴上同一截面的扭矩（左与右）便具有相同的正负号。应用截面法求扭矩时，一般都采用设正法，即先假设截面上的扭矩为正，若计算所得的符号为负号则说明扭矩转向与假设方向相反。
当一根轴同时受到三个或三个以上外力偶矩作用时，其各
图6-6 扭矩正负号规定 段横断面上的扭矩须分段应用截面法计算。
6.2.3 扭矩图
为了形象地表达扭矩沿杆长的变化情况和找出杆上最大扭矩所在的横截面，我们通常把扭矩随截面位置的变化绘成图形。此图称为扭矩图。绘制扭矩图时，先按照选定的比例尺，以受扭杆横截面沿杆轴线的位置x 为横坐标，以横截面上的扭矩n M 为纵坐标，建立n M —x 直角坐标系。然后将各段截面上的扭矩画在n M —x 坐标系中。绘图时一般规定将正号的
扭矩画在横坐标轴的上侧，将负号的扭矩画在横坐标轴的下侧。
例6-1 传递功率的等截面圆轴转速n =120rpm ，轴上各有一个功率输入轮和输出轮。已知该轴承受的扭矩n M 450=N·m ， 求：轴所传递的功率数。
解： 因为等截面圆轴上只有两个外力偶作用，且大小相等、方向相反（输入和输出功率相等），故轴所承受的扭矩大小等于外力偶矩，即
M=n M =1450 1450==n M M N·m 根据（6-1）式， n
P
M 9550= 由此求得轴所传递的功率为 2.189550
120
14509550=?=?=
n M P kN 例6-2 传动轴如图6-7所示，已知主动轮的输入功率201=P KW ，三个从动轮的输出功
率52=P KW 、53=P KW 、104=P KW ，轴的转速200=n rpm 。绘制轴的扭矩图。
图6—7
解： 1）计算作用在主动轮上的外力偶矩1M 和从动轮上的外力偶矩2M 、3M 、4M 。 955200
20
95509550
11=?==n P M N·m 239200
595509550
22=?==n P M N·m 239200595509550
33=?==n P M N·m 478200
1095509550
44=?==n P M N·m 2) 求各段截面上的扭矩。
截面1-1上的扭矩，由平衡方程 0=∑M 012=+n M M 解得 23921-=-=M M n N·m
截面2-2上的扭矩，由平衡方程
0=∑M 0232=++n M M M
得 478239239322-=--=--=M M M n N·m 截面3-3上的扭矩，由平衡方程
0=∑M 034=-n M M M 4－M n3=0
得 47843==M M n N·m 3) 画扭矩图
根据所得数据，把各截面上的扭矩沿轴线的变化情况，画在n M —x 坐标系中，如图6-7所示。从图中看出，最大扭矩发生于BC 段和CD 内，且478max =M N·m 。
对同一根轴来说，若把主动轮C 安置于轴的一端，例如放在右端，则轴的扭矩图将发生变化。这时，轴的最大扭矩变为： 955max =M N·m 。可见，传动轴上主动轮和从动轮安置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也就不同。因此主动轮和从动轮的布局要尽量合理。
6.3 扭转时的应力与强度计算
6.3.1 圆轴扭转时横截面上的应力
为了说明圆轴扭转时横截面上的应力及其分布规律，我们可进行一次扭转试验。取一实心圆杆，在其表面上画一系列与轴线平行的纵线和一系列表示圆轴横截面的圆环线，将圆轴的表面划分为许多的小矩形，如图6-8所示。若在圆轴的两端加上一对大小相等、转向相反、其矩为M 的外力偶，使园轴发生扭转变形。当扭转变形很小时，我们就可以观察到如图6-8(b)所示的变形情况：（1）虽然圆轴变形后，所有与轴线平行的纵向线都被扭成螺旋线，但对于整个圆轴而言，它的尺寸和形状基本上没有变动；（2）原来画好的圆环线仍然保持为垂直于轴线的圆环线，各圆环线的间距也没有改变，各圆环线所代表的横截面都好像是“刚性圆盘”一样，只是在自己原有的平面内绕轴线旋转了一个角度；（3）各纵向线都倾斜了相同的角度φ，原来轴上的小方格变成平行四边形。
图6—8
根据从试验观察到的这些现象，可以假设：在变形微小的情况下，轴在扭转变形时，轴长没有改变；每个截面都发生对其它横截面的相对转动，但是仍保持为平面，，其大小、形状都不改变。这个假设就是圆轴扭转时的平面假设（或称刚性平面假设）。
根据平面假设，可得如下结论：（1）因为各截面的间距均保持不变，故横截面上没有正应力；（2）由于各截面绕轴线相对转过一个角度，即横截面间发生了旋转式的相对错动，出现了剪切变形，故横截面上有切应力存在；（3）因半径长度不变，切应力方向必与半径垂直；（4）圆心处变形为零，圆轴表面的变形最大。 综上所述，圆轴在扭转时其横截面上各点的切应变与该点至截面形心的距离成正比，由剪切胡克定律，横截面上必有与半径垂直并呈线性分布的切应力存在（见图6-9）， 故有ρτρk =。
图6—9
扭转切应力的计算如图6—9所示，在圆轴横截面各微面积上的微剪力对圆心的力矩的总和必须与扭矩n M 相等。因微面积dA 上的微剪力dA ρτ对圆心的力矩为dA ρρτ，故整个横截面上所有微力矩之和为
dA A
?ρρτ，故有
dA K dA M A
A
n ??==2
ρρτρ （6-2） 将dA I A
?=
2
ρρ定义为极惯性矩，则 由此得 ρρρτI /M n = （6-3） 显然，当0=ρ时，0=τ；当R =ρ时，切应力最大。 令R
I W n ρ
=
，则式（6-3）为
n
n
W M =
max τ （6-4） 其中，n W —抗扭截面系数。
注意： 式（6-3）及式（6-4）均以平面假设为基础推导而得，故只能限定圆轴的max τ不超过材料的比例极限时方可应用。
6.3.2 极惯性矩ρI 和抗扭截面系数n W
1、 实心圆轴截面
设圆轴的直径为d ,在截面任一半径r 处，取宽度为dr 的圆环作为微元面积。此微元面积dr r dA ??=π2,如图6-10所示。
图6—10 根据极惯性矩的定义dA I A
?=
2ρρ ，得到 44
2
3
2
1.032
2d d dr r dA I d A
≈?=
==
??ππρ
ρ
抗扭截面系数 332.0162
d d d I W n ≈?==πρ （6-5）
2.空心圆轴截面
设空心圆轴截面的内、外经分别为d 和D 。微元面积仍为dr r dA ??=π2 ，只是积分的下限由0变为
2
d
，于是得到 32
(2)
4422
3
2
d D dr r dA I D d A
-=
==
??ππρ
ρ
或写成
)1(32
44
απρ-=
D I
其中α为内、外径之比，即D
d =
α 抗扭截面系数 )1(162
43
απρ-?==D D I W n （6-6） 6.3.3 圆轴扭转强度计算
为了保证受扭圆轴安全可靠地工作，必须使轴横截面上的最大切应力不超过材料的许用切应力，即
[]ττ≤max （6-7）
此即圆轴扭转时的“强度计算准则”，又称为“扭转强度条件”。对于等截面圆轴，切应力的最大值由下式确定：
n
W M max
max =
τ 这时最大扭矩max M 作用的截面称为危险面。对于阶梯轴，由于各段轴的抗扭截面系数不同，最大扭矩作用面不一定是危险面。这时，需要综合考虑扭矩与抗扭截面系数的大小，判断可能产生最大切应力的危险面。所以在进行扭转强度计算时，必须画出扭矩图。
根据扭转强度条件，可解决以下三类强度问题： （1）扭转强度校核。已知轴的横截面尺寸，轴上所受的外力偶矩（或传递的功率和转速），及材料的扭转许用切应力。校核构件能否安全工作。
（2）圆轴截面尺寸设计。已知轴所承受的外力偶矩（或传递的功率），以及材料的扭转许用切应力。圆轴的截面尺寸应满足
n W ≥
［τ］
n
M （6-8）
(3) 确定圆轴的许可载荷。已知圆轴的截面尺寸和材料的扭转许用切应力，得到轴所承受的扭矩
n M ≤［τ］n
W （6-9）
再根据轴上外力偶的作用情况，确定轴上所承受的许可载荷（或传递功率）。
例6-3 已知实心圆轴，承受的最大扭矩为5.1max =M KN·m ，轴的直径531=d mm 。求： 1）在最大切应力相同的条件下，用空心圆轴代替实心圆轴，当空心轴外经2D =90mm 时的内径值;2）两轴的重量之比。
解: （1）求实心轴横截面上的最大切应力
实心轴横截面上的最大切应力为
max
τ=n W M max =?=3
1
max d 16πM =3653101.516???π=51.3MPa （2）求空心轴的内径
因为两轴的最大切应力相等，故 3.51)max()max(==实空ττMPa 而 3.51)
1(1643
2max
max(=-=απτD M 空）MPa 由此解得
43
2max
3
.51161?-
=D M πα =945.051.3
9010
1.5161436
=????-π
因此，空心轴的内径 1.8590945.022=?=?=D d α mm
（3）求两轴的重量比
因为两轴的长度和材料都相同，故两者的重量之比等于面积之比，即
305.053
1.85902
2
2212222)()(=-=-=d d D A A 实空 可见，在保证最大切应力相同的条件下，空心轴的重量比实心轴轻得多。显然，采用空
心轴能减轻构件的重量、节省材料，因而更为合理。
空心轴的这种优点在于圆轴受扭时，横截面上的切应力沿半径方向线性分布的特点所决定的。由于圆轴截面中心区域切应力很小，当截面边缘上各点的应力达到扭转许用切应力时，中心区域各点的切应力却远远小于扭转许用切应力值。因此，这部分材料没有得到充分利用。若把轴心附近的材料向边缘移动，使其成为空心轴，则截面的极惯性矩和抗扭截面系数将会有较大增加，使截面上的切应力分布趋于均匀。并由此而减小最大切应力的数值，提高圆轴的承载能力。但其加工工艺较复杂，成本较高。
6.3 扭转变形
工程设计中，对于承受扭转变形的圆轴，除了要求足够的强度外，还要求有足够的刚度。即要求轴在弹性范围内的扭转变形不能超过一定的限度。例如，车床结构中的传动丝杠，其相对扭转角不能太大，否则将会影响车刀进给动作的准确性，降低加工的精度。又如，发动机中控制气门动作的凸轮轴，如果相对扭转角过大，会影响气门启闭时间等等。
对某些重要的轴或者传动精度要求较高的轴，均要进行扭转变形计算。圆轴扭转时两
个横截面相对转动的角度?即为圆轴的扭转变形，?称为扭转角。由数学推导可得扭转角?的计算公式为
?＝
ρ
GI l
M n （6-10） 其中 ?―――扭转角（rad ）； n M ―――某段轴的扭矩（N·m ）； L ―――相应两横界面间的距离（m ）； G ―――轴材料的切变量模量（GPa ）； ρI ―――横截面间的极惯性矩（m 4）；
式中的ρGI 反映了材料及轴的截面形状和尺寸对弹性扭转变形的影响，称为圆轴的“抗扭刚度”。抗扭刚度ρGI 越大，相对扭转角?就越小。
为了消除轴的长度对变形的影响，引入单位长度的扭转角θ，并用度/米（0/m ）单位表示，则上式为
π
?θρ180
?
==GI M l n °/m （6-11）
不同用途的传动轴对于θ值的大小有不同的限制，即θ≤[θ]。[θ]称为许用单位长度扭转角（可查有关手册），对其进行的计算称为扭转刚度计算。 例6-4 图示阶梯圆轴，已知AB 段直径=1D 75mm ,BC 段直径502=D mm ；A 轮输入功率351=P KW ，C 轮的输出功率153=P KW ，轴的转速为200=n rpm ，轴材料的
80=G GPa ，［τ］60=MP a ，轴的 [θ]=20／m 。1）试求该轴的强度和刚度。2）如果强度和刚度都有富裕，试分析，在不改变 C 轮输出功率的前提下，A 论的输入功率可以增加
到多大？
图6－11 解 1）校核轴的强度和刚度 （1）计算外力偶矩 1M =9550
n
p 1=9550×20035=1671N·m =1.67kN·m
3M =9550n
P 3=9550×20015
=716.2 N·m =0.72 kN·m
有力偶平衡条件
312M M M -==1.67－0.716=0.95 kN·m （2）应用截面法计算各段的扭矩并画扭矩图 AB 段 ==11M M n 1.67kN·m BC 段 ==33M M n 0.72 kN·m
由此画出扭矩图，如6-11图 所示。
（3）计算应力，校核强度。
从扭矩图看，AB 段扭矩最大；从截面尺寸看，BC 段直径最小。因而不能直接确定最大切应力发生在哪一段截面上。比较两端内的最大切应力：
AB 段 1
11n n W M =τ 2.207516
1067.136
=??=
π MPa
BC 段 2
22n n W M =
τ2.295016
10718.036
=??=π MPa 全轴内横截面上的最大切应力为： =max τ29.2MPa ＜［τ］=60MPa 。 所以，轴的强度满足要求。
（4）计算扭转角，校核刚度。 根据轴的单位长度扭转角ρ
?
θGI M l
n
=
=
，由于AB 和BC 段的扭矩和截面都不相同，故需分段计算θ，找出max θ。
AB 段 πθρ3011110180??
=GI M n m /39.075321080101801067.10433
06=???????=ππ BC 段 πθρ3022210180??
=GI M n m /84.05032
10801018010716.00433
06=???????=ππ 因==2max θθ0.840／m ＜［θ］=20／m 。所以轴的刚度满足要求。
2)计算A 轮的最大输入功率
因为C 轮的输入功率不变，即BC 段的扭矩不变。所以，这段轴的强度和刚度都是安全的， 故只需根据AB 段的强度和刚度条件确定这段轴所能承受的最大扭矩。而这段轴的扭矩等于作用在A 轮上的外力偶矩，由此即可求得A 轮上所能输入的最大功率。 根据强度条件
[]
97.47516
6031max 1=??=≤π
τn n W M kN·m
根据刚度条件
[]7.87532
1080101802433
1max 1=??
????
=≤π
π
θρGI M n kN·m
考虑到既要满足强度要求又要满足刚度要求，故取两者中的较小者，即 =max 1n M 4.97 kN·m 。于是， A 轮的输入功率
=?==
95509550max 11n M M P n n 104KW 9550
2001097.43=??
小结
本章主要介绍了圆轴扭转的内力扭矩的计算和圆轴在力偶作用面垂直于轴线的平衡力偶作用下产生的扭转变形。
（1）作用在轴上的外力偶矩，通过轴所传递的功率和轴的转速求得。它们的关系式为 n
P M 9550
= （2）用截面法求圆轴的内力偶矩，利用力系的平衡条件列出方程求解。各截面的内
力偶矩的方向有右手螺旋法则来确定。然后绘出圆轴扭矩图。 （3）圆轴扭转时横截面上的应力，在圆轴横截面上任一点的切应力与该点到圆心的距离成正比，在圆心处为零。最大切应力发生在圆轴边缘各点处。 距圆心ρ处的切应力 ρρρ
τI M n =
最大切应力 n
n
W M =
max τ （4）圆轴扭转时的强度条件为 []ττ≤max
对于等截面圆轴则有 []ττ≤=
n
n W M max
max 利用强度条件可以完成强度校核、确定截面尺寸和许用载荷等三类强度计算问题。 （5） 等截面圆轴扭转时的变形计算公式为
?＝
ρ
GI l
M n 等截面圆轴扭转时的刚度条件是
π
?θρ180
?
==GI M l n °/m
复习思考题
6-1、解释外力偶矩和扭矩的区别和联系。 6-2、简述用截面法求扭矩的一般过程。
6-3、何谓刚性平面假设?它在剪应力公式推导过程中起何作用?
6-4、圆杆扭转剪应力在截面上如何分布?其最大应力发生在何处?方向如何确定? 6-5、若圆轴上装有一个主动轮和若干个被动轮，问主动轮在轴上如何布局才合理? 6-6、为什么在截面面积相同条件下的空心圆轴的强度优于实心圆轴? 6-7、有两根直径相同的实心轴，其材料不相同，试问其极惯性矩ρI 、抗扭截面系数ρW 和剪切弹性
模量G 是否相同?为什么?
6-8 图示一传动轴，在轮子1、2、3、上所传递的功率分别为：1P =100KW ，2P =40KW ，3P =60KW ，
轴的转速n =100r/min 。试绘制该传动轴的扭矩图。（答案： AC 段n M =3.82KN·m ;CB 段n M =－5.73KN.m 。）
题6-8
6-9求图示杆各段的内力，并作杆的扭矩图。（答案：AB 段n M =－2 KN·m ；BD 段n M =－10 KN·m ；
DE 段n M =20 KN·m 。）
题6-9
6-10 圆轴的直径d =50mm ，转速n =120r/min ，该轴横截面上的最大切应力为60MPa 。问：传递的功率是多少千瓦？（答案：P =18.9KW ）
6-11某实心轴的许用扭转切应力[τ]=35MPa ，截面上的扭矩n M =1kN·m 。求此轴应由的直径。（答案：d =52.3mm .）
6-12 以外径D =120mm 的空心轴来代替直径d =100mm 的实心轴，在强度相同的条件下，问：可节省材料百分之几？（答案：50%）
6-13 图示一实心圆轴，直径=d
100mm ，两端受到外力偶矩=M 14kN·m 的作用，试计算：
（1）C 截面上半径ρ＝30mm 处的切应力；
（2）横截面上的最大切应力。（答案：ρτ＝42.78MPa ,max τ＝71.3 MPa ）
题6-13
6-14船用推进器的轴，一段是d =280mm 的实心轴，另一段是D
D 1
=0.5的空心轴。若两段产生的最
大切应力相等，试求空心轴的外直径D 。（答案：D =286mm 。）
6-15图示一直径为80mm 的等截面圆轴，上面作用的外力偶矩1M =1000Nm ,2M =600Nm ， 3M =200Nm ，4M =200Nm 。要求：
（1）作出此轴的扭矩图；（2）求出此轴各段内的最大切应力；（3）如果将外力偶矩1M 和2M 的作用位置互换一下，圆轴的直径是否可以减小？（答案：AB τ=9.95 MPa ，BC τ=3.98 MPa ；CD τ=1.99MPa.。
）
题6-15
M=3.7 KN·m作用的圆轴，已知[τ]=60 MPa.，G=79G Pa， 6-16 有一承受扭矩
n
[θ]=0.30.／m。试确定圆轴应有的最小直径。（答案：d=97.7mm。）
M方向相对应的切应力的分布图。
6-17 试画出图示各截面上与扭矩
n
(a) (b) (c)
题6-17
材料力学第四章作业答案
4-1 试作下列各轴的扭矩图。 （a ） (b) 4-4 图示圆截面空心轴，外径D=40mm ，内径d=20mm ，扭矩m kN T ?=1，试计算mm 15=ρ的A 点处的扭矩切应力A τ以及横截面上的最大和最小的扭转切应力。
解：P A I T ρ?= )1(32 44απ-=D I p 又mm 20d = D=40mm 5.0==∴D d α 41244310235500)5.01(32)1040(14.3m I p --?=-???= MPa Pa I T P A 7.63107.6310 23550010151016123 3=?=????==∴--ρτ P W T =max τ 9433431011775)5.01(16 )1040(14.3)1(16--?=-???=-=απD W P a Pa W T P MP 9.84109.8410 11775101693 max =?=??==∴-τ 当2'd =ρ时 MPa Pa I T P 4.42104.4210 23550010101016123 3'min =?=????==--ρτ 4-6 将直径d=2mm ，长l=4m 的钢丝一端嵌紧，另一端扭转一整圈，已知切变模量G=80GPa ，试求此时钢丝内的最大切应力m ax τ。 解：r G ?=τ dx d R r R ?? =∴ R=mm d 12= 3331057.1414.321012101---?=???=??=?=∴l dx d R r R π? MPa Pa r G 6.125106.1251057.11080639=?=???=?=∴-τ （方法二：π?2=， l=4 ，P GI Tl =? ，324d I P π=，r Ip W p = ,l Gd W T P πτ==max ）
第四章扭转(讲稿)材料力学教案(顾志荣)
第四章扭转 同济大学航空航天与力学学院顾志荣 一、教学目标与教学内容 1、教学目标 (1)掌握扭转的概念； (2)熟练掌握扭转杆件的内力（扭矩）计算和画扭矩图； (3)了解切应力互等定理及其应用，剪切胡克定律与剪切弹性模量； (4) 熟练掌握扭转杆件横截面上的切应力计算方法和扭转强度计算方法； (5) 熟练掌握扭转杆件变形（扭转角）计算方法和扭转刚度计算方法； (6)了解低碳钢和铸铁的扭转破坏现象并进行分析。 (7)了解矩形截面杆和薄壁杆扭转计算方法。 2、教学内容 (1) 扭转的概念和工程实例； (2) 扭转杆件的内力（扭矩）计算,扭矩图； (3) 切应力互等定理, 剪切胡克定律;
(4) 扭转杆件横截面上的切应力, 扭转强度条件； (5) 扭转杆件变形（扭转角）计算，刚度条件； (6) 圆轴受扭破坏分析； (7) 矩形截面杆的只有扭转； (8) 薄壁杆件的自由扭转。 二、重点和难点 1、重点：教学内容中（1）～（6）。 2、难点：切应力互等定理，横截面上切应力公式的推导，扭转变形与剪切变形的区别，扭转切应力连接件中切应力的区别。通过讲解，多媒体的动画演示扭转与剪切的变形和破坏情况，以及讲解例题来解决。 三、教学方式 通过工程实例建立扭转概念，利用动画演示和实物演示表示扭转时的变形，采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 6学时 五、实施学时 六、讲课提纲
工程实例： 图4-1 **扭转和扭转变形 1、何谓扭转？ 如果杆件受力偶作用，而力偶是作用在垂直于杆件轴线的平面内，则这杆件就承受了扭转。换言之，受扭杆件的受力特点是：所受到的外力是一些力偶矩，作用在垂直于杆轴的平面内。 2、何谓扭转变形？ 在外力偶的作用下，杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。杆件的这种变化形式称为扭转变形。换言之，受扭转杆件的变形
材料力学习题册答案-第3章 扭转
第三章扭转 一、是非判断题 1.圆杆受扭时，杆内各点处于纯剪切状态。（×） 2.杆件受扭时，横截面上的最大切应力发生在距截面形心最远处。（×） 3.薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式完全一样。（×） 4.圆杆扭转变形实质上是剪切变形。（×） 5.非圆截面杆不能应用圆截面杆扭转切应力公式，是因为非圆截面杆扭转时“平截面假设”不能成立。（√） 6.材料相同的圆杆，他们的剪切强度条件和扭转强度条件中，许用应力的意义相同，数值相等。（×） 7.切应力互等定理仅适用于纯剪切情况。（×） 8.受扭杆件的扭矩，仅与杆件受到的转矩（外力偶矩）有关，而与杆件的材料及其横截面的大小、形状无关。（√） 9.受扭圆轴在横截面上和包含轴的纵向截面上均无正应力。（√） 10.受扭圆轴的最大切应力只出现在横截面上。（×） 11.受扭圆轴内最大拉应力的值和最大切应力的值相等。（√） 12.因木材沿纤维方向的抗剪能力差，故若受扭木质圆杆的轴线与木材纤维方向平行，当扭距达到某一极限值时，圆杆将沿轴线方向出现裂纹。（×）
二、选择题 1.内、外径之比为α的空心圆轴，扭转时轴内的最大切应力为τ，这时横截面上内边缘的切应力为 （ B ） A τ； B ατ； C 零； D （1- 4α）τ 2.实心圆轴扭转时，不发生屈服的极限扭矩为T ，若将其横截面面积增加一倍，则极限扭矩为（ C ） 0 B 20T 0 D 40T 3.两根受扭圆轴的直径和长度均相同，但材料C 不同，在扭矩相同的情况下，它们的最大切应力τ、τ和扭转角ψ、ψ之间的关系为（ B ） A 1τ=τ2, φ1=φ2 B 1τ=τ2, φ1≠φ2 C 1τ≠τ2, φ1=φ2 D 1τ≠τ2, φ1≠φ2 4.阶梯圆轴的最大切应力发生在（ D ） A 扭矩最大的截面； B 直径最小的截面； C 单位长度扭转角最大的截面； D 不能确定。 5.空心圆轴的外径为D ，内径为d, α=d ／D,其抗扭截面系数为 （ D ） A ()3 1 16 p D W πα= - B ()3 2 1 16 p D W πα= - C ()3 3 1 16 p D W πα= - D ()3 4 1 16 p D W πα= - 6.对于受扭的圆轴，关于如下结论： ①最大剪应力只出现在横截面上； ②在横截面上和包含杆件的纵向截面上均无正应力；
《材料力学》第3章 扭转 习题解
第三章 扭转 习题解 [习题3-1] 一传动轴作匀速转动，转速min /200r n =，轴上装有五个轮子，主动轮II 输入的功率为60kW ，从动轮，I ，III ，IV ，V 依次输出18kW ，12kW ，22kW 和8kW 。试作轴的扭图。 解：（1）计算各轮的力偶矩（外力偶矩） N T k e 55 .9= (2) 作扭矩图 [习题3-2] 一钻探机的功率为10kW ，转速min /180r n =。钻杆钻入土层的深度m l 40=。如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度m ，并作钻杆的扭矩图。 解：（1）求分布力偶的集度m )(5305.0180 10 549.9549 .9m kN n N M k e ?=?== 设钻杆轴为x 轴，则： 0=∑x M e M ml = )/(0133.040 5305 .0m kN l M m e ===
（2）作钻杆的扭矩图 x x l M mx x T e 0133.0)(-=- =-=。]40,0[∈x 0)0(=T ； )(5305 .0)40(m kN M T e ?-== 扭矩图如图所示。 [习题3-3] 圆轴的直径mm d 50=，转速为120r/min 。若该轴横截面上的最大切应力等于 60MPa ，试问所传递的功率为多大？ 解：（1）计算圆形截面的抗扭截面模量： )(245445014159.316 1 161333mm d W p =??== π （2）计算扭矩 2max /60mm N W T p == τ )(473.1147264024544/6032m kN mm N mm mm N T ?=?=?= （3）计算所传递的功率 )(473.1549 .9m kN n N M T k e ?=== )(5.18549.9/120473.1kW N k =?= [习题3-4] 空心钢轴的外径mm D 100=，内径mm d 50=。已知间距为m l 7.2=的两横截面的相对扭转角o 8.1=?，材料的切变模量GPa G 80=。试求： （1）轴内的最大切应力； （2）当轴以min /80r n =的速度旋转时，轴所传递的功率。 解；（1）计算轴内的最大切应力 )(9203877)5.01(10014159.3321 )1(32144444mm D I p =-???=-= απ。 )(184078)5.01(10014159.3161 )1(16134343mm D W p =-???=-=απ 式中，D d /=α。 p GI l T ?= ?， mm mm mm N l GI T p 27009203877/80000180/14159.38.142???= = ? mm N ?=45.8563014
材料力学作业 扭转
第四章 扭转 一、是非题 1 在单元体两个相互垂直的截面上，切应力的大小可以相等，也可以不等。 （ ） 2 扭转切应力公式P I T ρ τρ= 可以适用于任意截面形状的轴。 （ ） 3 受扭转的圆轴，最大切应力只出现在横截面上。 （ ） 4 圆轴扭转时，横截面上既有正应力，又有切应力。 （ ） 5 矩形截面杆扭转时，最大切应力发生于矩形长边的中点。 （ ） 二、选择或填空 1、．图示的圆轴，用截面法求扭矩，无论取哪一段作为研究对象，其同一截面的扭矩大小与符号（ ）。 a.完全相同 b.正好相反 c ．不能确定 2、两根圆轴，材料相同，受力相同，而直径不同，当d 1=2d 2时，则两轴的最大切应力之比 τ1/τ2和单位扭转角21/φφ 分别为 。 A 1/4，1/16 B 1/8，1/16 C 1/8，1/64 D 8，16 3．下列结论中正确的是（ ）。 A ．圆轴扭转时，横截面上有正应力，其大小与截面直径无关 B ．圆轴扭转时，截面上有正应力，也有切应力，其大小均与截面直径无关 C ．圆轴扭转时，横截面上只有切应力，其大小与到圆心的距离成正比 4．如图所示，圆轴扭转时，下列切应力分布图正确的是（ ）。 A B C D 5．实心圆轴扭转时，横截面上的最小切应力（ ）。 A ．一定为零 B.一定不为零 C ．可能为零，也可能不为零 6．空心圆轴扭转时，横截面上的最小切应力（ ）。 A.一定为零 B ．一定不为零 C ．可能为零，也可能不为零
三、计算题 1一传动轴匀速转动，转速n=200r/min，轴上装有五个 轮子。主动轮Ⅱ输入功率为60kW，从动轮Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ Ⅴ依次输出18 kW，12kW，22 kW和8 kW。试做轴的 扭矩图。 2、图示圆截面空心轴，外径D＝40mm，内径d＝20mm，扭矩T＝1kN·m。试计算ρ＝15mm 的A点处的扭转切应力τA及横截面上的最大和最小扭转切 应力。
材料力学第四章
一、 传动轴如图19-5（a ）所示。主动轮A 输入功率kW N A 75.36=，从动轮D C B 、、输出功率分别为kW N kW N N D C B 7.14,11===，轴的转速为n =300r/min 。试画出轴的扭矩图。 解 （1）计算外力偶矩：由于给出功率以kW 为单位，根据（19-1）式： 1170300 75 .3695509550=?==n N M A A (N ·m ) 351300 11 95509550=?===n N M M B C B (N ·m ) 468300 7 .1495509550=?==n N M D D (N ·m ) （2）计算扭矩：由图知，外力偶矩的作用位置将轴分为三段：AD CA BC 、、。现分别在各段中任取一横截面，也就是用截面法，根据平衡条件计算其扭矩。 BC 段：以1n M 表示截面Ⅰ－Ⅰ上的扭矩，并任意地把1n M 的方向假设为图19-5（b ）所示。根据平衡条件0=∑x m 得： 01=+B n M M 3511-=-=B n M M (N ·m ) 结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。BC 段内各截面上的扭矩不变，均为351N ·m 。所以这一段内扭矩图为一水平线。同理，在CA 段内： M n Ⅱ＋0=+B C M M Ⅱn M = －B C M M -= －702(N ·m ) AD 段：0=D n M M －Ⅲ 468==D n M M Ⅲ(N ·m ) 根据所得数据，即可画出扭矩图[图19－5（e ）]。由扭矩图可知，最大扭矩发生在CA 段内，且702max =n M N ·m 二、 如图19-15所示汽车传动轴AB ，由45号钢无缝钢管制成，该轴的外径D =90mm ，壁厚t =2.5mm ，工作时的最大扭矩M n ＝1.5kN·m ，材料的许用剪应力][τ＝60MPa 。求（1）试校核AB 轴的强度；（2）将AB 轴改为实心轴，试在强度相同的条件下，确定轴的直径，并比较实心轴和空心轴的重量。 解 （1）校核AB 轴的强度： 944 .090 5.22902=?-=-= =D t D D d α (a ) (c ) m (d ) (e ) 图19-5 (b )
材料力学第三章扭转复习题
第三章 扭转 1．等截面圆轴上装有四个皮带轮，如何安排合理，现有四种答案： （A ） 将C 轮与D 轮对调； （B ） 将B 轮与D 轮对调； （C ） 将B 轮与C 轮对调； （D ） 将B 轮与D 轮对调；然后将B 轮与C 轮对调； 正确答案是 a 。 2．薄壁圆管受扭转时的剪应力公式为 ( ) t R T 2 2/πτ= ，（R 为圆管的平均半径，t 为壁厚）。关于下列叙述， （1） 该剪应力公式可根据平衡关系导出； （2） 该剪应力公式可根据平衡、几何、物理三方面条件导出； （3） 该剪应力公式符合“平面假设”； （4） 该剪应力公式仅适用于R t <<的圆管。 现有四种答案： （A ） （1）、（3）对； （B ） （1）、（4）对； （C ） （2）、（3）对； （D ） 全对； 正确答案是 b 。 3．建立圆轴的扭转应力公式 p p I T /ρτ=时，“平面假设”起到的作用于有 下列四种答案： （A ） “平面假设”给出了横截面上内力与应力的关系?= A dA T τρ； （B ） “平面假设”给出了圆轴扭转时的变形规律； （C ） “平面假设”使物理方程得到简化； （D ） “平面假设”是建立剪应力互等定理的基础。 正确答案是 。 4．满足平衡条件，但剪应力超过比例极限时，有下述四种结论： （A ） （B ） （C ） （D ） 剪应力互等定理： 成立 不成立 不成立 成立 剪切虎克定律 ： 成立 不成立 成立 不成立 正确答案是 。 D
5．一内、外直径分别为d 、D 的空心圆轴，其抗扭截面系数有四种答案： （A ）()()16/16/3 3 d D W t ππ-=； （B ）()()32/32/33 d D W t ππ-=； （C ）()[]()4 4 16/d D D W t -=π； （D ）()()32/32/4 4 d D W t ππ-=； 正确答案是 c 。 6．一内外径之比为D d /=α的空心圆轴， 当两端受扭转力偶矩时，横截面 的最大剪应为τ，则内圆周处的剪应力有四种答案： （A ） τ ； （B ） ατ； （C ） ( )τα3 1-； （D ）( ) τα4 1- 正确答案是 b 。 7．材料不同的两根受扭圆轴，其直径和长度均相同，在扭矩相同的情况下， 它们的最大剪应力之间和扭转角之间的关系有四种答案： （A ） 21ττ=，21φφ=； （B ） 21ττ=，21φφ≠； （C ） 21ττ≠，21φφ=； （D ） 21ττ≠，21φφ≠； 正确答案是 b 。 8．剪切虎克定律可表示为 ， 该定律的应用条件是 。 9．分别画出图示三种截面上剪应力沿半径各点处的分布规律。 10．扭转应力、变形公式 P I T /ρτ= 、)/(P A GI Tdx ? = φ 的应用条件 是 。 11．圆截面等到直杆受力偶作用如图（a ），试在图（b ）上画出ABCD 截面（直 径面）上沿BC 线的剪应力分布。 A B C D (a) (b) T T 实心圆轴 空心圆轴 薄壁圆筒
材料力学教案第3章 扭 转
第三章 扭 转 §3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切 §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形 §3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3.7 非圆截面杆扭转的概念 §3.1 扭转的概念和实例 1．实例如： 车床的光杆 反应釜的搅拌轴 汽车转向轴 2．扭转：在杆件的两端作用等值，反向且作用面垂直于杆件轴线的一对力偶时，杆的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，这种变形称为扭转变形。 §3.2 外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图 1．M e 、m 、 P 之间的关系 M e ——外力偶矩（N ?m ） n ——转速（r/min ） P ——功率（kW ）（1kW=1000N ?m/s ）（马力）（1马力=735.5W ） 每秒钟内完成的功力 P n M e 100060 2 · =π或
P n M e 5.73560 2 ·=π {}{}{}{}{}{}min /7024 min /kW 9549..r n P M r n P M m N e m N e 马力 == 2．扭矩和扭矩图 （1）截面法、平衡方程 ΣM x =0 T-M e =0 T =M e （2）扭矩符号规定：为无论用部分I 或部分II 求出的同一截面上的扭矩不但数值相同且符号相同、扭矩用右手螺旋定则确定正负号。 （3）扭矩图 例1 主动轮A 输入功率P A =50kW ，从动轮输出功率P B =P C =15kW ，P D =20kW ，n =300r/min ，试求扭矩图. 解：（1） 1591300 50 95499549 =?==n P M eA m N ? m N 637m N 477300 15 9549?=?=?==eD eC eB M M M （2）求T ΣM x =0 T 1+M eB =0 T 1=-M eB =-477 T 2-M eA +M eB =0 T 2=1115N T 3-M eD =0 T 3=M ed =63T