第二章 现在控制理论 线性系统的数学描述1

第二章线性系统的数学描述数学模型可以有许多不同的形式，较常见的有三种：

第一种是：把系统的输入量和输出量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入输出描述，或外部描述；

例如：微分方程式、传递函数和差分方程。

第二种是：不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态空间描述或内部描述；

它特别适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。

第三种是：用比较直观的方块图（结构图）和信号流图模型进行描述。

同一系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同的情况对这些模型进行取舍，以利于对控制系统进行有效的分析。

许多表面上完全不同的系统（如机械系统、电气系统、液压系统和经济学系统）有时却可能具有完全相同的数学模型；

从这个意义上讲，数学模型表达了这些系统的共性，所以只要研究透了一种数学模型，也就能完全了解具有这种数学模型形式的各式各样系统的本质特征。

2.1 线性系统的时域数学模型

()(1)(2)121()()()()()n n n n n c t a c t a c t a c t a c t ---+++

++

()(1)(2)0121()()()()()m m m m m b r t b r t b r t b r t b r t ---=+++

++ (2.1)

式中，()r t 和()c t 分别是系统的输入信号和输出信号，()()n c t 为()c t 对时间

t 的n 阶导数；i a (1,2,)i n =和j b (0,1,)j m =是由系统的结构参数决定的系

数。

一般情况下，列写控制系统运动方程的步骤是(建模过程):

首先，分析系统的工作原理及其各变量之间的关系，找出系统的输入量和输出量；

其次，根据系统运动特性的基本定律，一般从系统的输入端开始依次写出各元件的运动方程，在列写元件运动方程时，需要考虑相接元件间的相互作用；

最后，由组成系统各元件的运动方程中，消去中间变量，求取只含有系统输入和输出变量及其各阶导数的方程，并将其化为标准形式。

2.2 传递函数

控制系统的微分方程是在时间域描述系统动态性能的数学模型，在给定外部作用和初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应。

这种方法比较直观，特别是借助于电子计算机可以迅速而准确地求得结

果。

但是，如果系统的结构改变或某个参数变化时，就要重新列写并求解微分方程，不便于对系统进行分析和设计。

2.2.1 拉氏变换

拉氏变换是传递函数的数学基础，因此在讨论传递函数之前先简要介绍一下拉氏变换的有关概念、性质和结论。

1. 拉氏变换的定义

若将实变量t 的函数()f t 乘上指数函数st e -（其中s j σω=+是一个复数），并且在[]0,+∞上对t 积分，就可以得到一个新的函数()F s ，称()F s 为()f t 的拉氏变换，并用符号[()]L f t 表示。

()[()]()st F s L f t f t e dt +∞-==?

(2.2)

上式就是拉氏变换的定义式。从这个定义可以看出，拉氏变换将原来的实变量函数()f t 转化为复变量函数()F s 。通常将()F s 称作()f t 的象函数，将()f t 称作()F s 的原函数。常用函数的拉氏变换见附录A 。

2.2.2 传递函数的定义和特点

一、 传递函数的定义

线性定常系统的传递函数为：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

设线性定常系统由下面的n 阶线性常微分方程描述：

()(1)(2)0121()()()()()n n n n n a c t a c t a c t a c t a c t ---+++

++

()(1)(2)0121()()()()()m m m m m b r t b r t b r t b r t b r t ---=+++

++ (2.3)

式中，()r t 和()c t 分别是系统的输入信号和输出信号，

()()n c t 为()c t 对时间t 的n 阶导数；i a (0,1,

)i n =和j b (0,1,

)j m =是由系统的结构参数决定的常系数。

如果()r t 和()c t 及其各阶导数在0t =时的值均为零，即满足如下的零初始条件

(1)(0)(0)(0)(0)0n c c c c -===== (1)(0)(0)(0)(0)0m r r r r -===

==

则根据拉氏变换的定义和性质，对错误！未找到引用源。进行拉氏变换，并令()[()]C s L c t =，()[()]R s L r t =可得 由

()[()]()n n L f t s F s = (2.4)

得到

)()]([)(s C s t c L n n =，)()]([)(s R s t r L n n =

L [()(1)(2)0121()()()()()n n n n n a c t a c t a c t a c t a c t ---+++++]

()(1)(2)0121()()()()()m m m m m b r t b r t b r t b r t b r t ---=+++

++ (2.5)

1011[]()n n n n a s a s a s a C s --++

++

1011[]()m m m m b s b s b s b R s --=++

++

由传递函数的定义可得系统错误！未找到引用源。的传递函数为

11m n b s a s --+

+++

++

式中

1011()m m m m M s b s b s b s b --=++

++

1011()n n n n N s a s a s a s a --=++

++

()M s 和()N s 分别称为传递函数()G s 的分子多项式和分母多项式。

2.5 线性系统的状态空间描述

状态空间描述是现代控制理论的基础，它不仅可以描述输入输出关系，而且可以描述系统的内部特性，特别适合于多输入多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。从这个意义上讲，状态空间描述是对系统的一种完全描述。

2.5.1 状态空间描述的基本概念

状态：指系统的运动状态。设想有一个质点作直线运动，这个系统的状态就是质点每一个时刻的位置和速度。

状态变量:道这些变量在任何初始时刻0t 的值和0t t ≥时系统所加的输入函数，便可完全确定在任何0t t >时刻的状态。

一个用n 阶微分方程描述的系统，有n 个独立变量，当这n 个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动状态也就完全披揭示了。因此可以说，系统的状态变量就是n 阶系统的n 个独立变量。需要指出，对同一个系统，选取哪些变量作为状态变量并不是唯一的，但这些变量必须是互相独立的，

且个数等于微分方程的阶数。对于一般物理系统，微分方程的阶数唯一地取决于系统中独立储能元件的个数。因此，系统状态变量的个数又可以说等于系统中独立储能元件的个数。

状态向量：如果n 个状态变量用1()x t 、2()x t 、

、()n x t 表示，并把这些

状态变量看作是向量()t x 的分量，则向量()t x 称为状态向量。记为

12()()()()n x t x t t x t ??????=????????

x

或

[]12()(),

(),

,

()T

n t x t x t x t =x

状态空间：以状态变量1()x t 、2()x t 、、()n x t 为坐标轴构成的n 维空间。系统在任意时刻的状态()t x 都可用状态空间中的一个点来表示。已知初始时刻0t 的状态0()t x ，可得到状态空间中的一个初始点。随着时间的推移，()t x 将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹线。

状态方程:描述系统的状态变量与系统输入量之间关系的一阶微分方程组，称为系统的状态方程。

输出方程:描述系统输出量与状态变量间的函数关系式，称为系统的输出方程。

状态空间表达式:状态方程与输出方程组合起来，就构成对一个系统动态的完整描述，称之为状态空间表达式。

通常，对于单变量系统(单输入单输出)，状态方程习惯写成如下形式

1111122112211222221122n n n n n n n nn n n x a x a x a x b u x a x a x a x b u x a x a x a x b u

=++++??=++++????=++

++

? (2.7)

输出方程为

1122n n y c x c x c x du =+++

(2.8)

写成矩阵向量形式为

A Bu

y C du =+??

=+?

x x x (2.9)

式中[]12,,

,

T

n x x x =x 表示n 维状态向量；

11

12121

22212

n n n n nn n n a a a a a a A a a a ???

????=??

??

???

?，121n n b b B b ?????

??=???????

?，[]12

1n n C c

c c ?=，d

A 、

B 、

C 、d 分别表示系统内部状态的系数矩阵（系统矩阵）、输入对状态作用的输入矩阵、输出与状态关系的输出矩阵、直接联系输入量与输出量的直接传递函数（或称前馈系数）。

推广到

11221122 (1,2,

)i i i in n i i ip p x a x a x a x b u b u b u i n =++

++++

+= (2.10)

11221122 (1,2,)j j j jn n j j jp p y c x c x c x d u d u d u j q =+++++++= (2.11)

写成矩阵向量形式为

??

?+=+=Du

Cx y Bu Ax x

(2.12)

式中x 和A 同单变量系统。

12

T

p u u u ??=??u

表示p 维输入向量；

1112

12122212p p n n np n p b b b b b b B b b b ???

????=???????? 表示输入矩阵；

1

2

T

q y y y ??=??y

表示q 维输出向量；

1112

12122212n n q q qn q n

c c c c c c C c c c ???????=???

????

? 表示输出矩阵；

1112

121

2221

2

p p q q qp q p

d d d d d d D d d d ??????

?

=???????? 表示直接传递函数矩阵。

上述系统可简称为系统(,,,)A B C D 。

用状态空间表达式描述的系统也可以用框图2-25表示系统的结构和信号传递的关系。图中的双线箭头表示向量信号传递。

图2-25 状态空间表达式的框图

x

2.5.2 状态空间表达式与传递函数的关系

同一系统的两种不同模型（传递函数和状态空间表达式）之间存在内在的联系，并且可以互相转化。以下是对单输入、单输出系统的讨论。

设要研究的系统的传递函数为

()

()()

Y s G s U s =

(2.13)

该系统在状态空间可表示为

A Bu +x =x

(2.14)

y C Du =+x

(2.15)

式中x 为状态向量，,u y 分别为输入量和输出量。在零初始条件假设下，方程错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。的拉氏变换为 ()[()]()n n L f t s F s =

(2.16)

()()()sX s AX s BU s =+

()()()Y s CX s DU s =+

所以有

()()()sI A X s BU s -=

其中I 为单位矩阵。用1

()sI A --乘上式两边，有

1()()()X s sI A BU s -=-

(2.17)

将式(2.63)代入下式

()()()Y s CX s DU s =+

因此有

1()[()]()Y s C sI A B D U s -=-+

(2.18)

根据传递函数的定义可知，系统的传递函数与状态空间描述之间的关系为

1()()G s C sI A B D -=-+

(2.19)

对于单输入单输出系统：采用式错误！未找到引用源。可以求出系统的传递函数；

对于多输入多输出系统：用式错误！未找到引用源。求出的是用于描述多变量系统输入输出关系的传递函数矩阵。

2.5.3 状态空间表达式的建立

线性定常系统的状态空间表达式也可以由系统的微分方程或传递函数来建立。

情形一： 线性微分方程中不含输入的导数项，传递函数没有零点 考虑下列n 阶系统

()(1)11n n n n y a y a y a y u --++

++=

(2.20)

[][])()(),()()(s U t u L s Y s t y L i i ==, (2.21)

[]

[]u L y a y

a y

a y L n n n n =++++-- 1)1(1

)

( []u L y L a y

L a y L a y L n n n n =++++--][][][][1)1(1)( )()()()()(111s U s Y a s sY a s Y s a s Y s n n n n =++++--

[]

)()(111s U s Y a s a s a s

n n n n

=++++--

因此，其对应的传递函数为

111()1

()n n n n

Y s U s s a s a s a --=++++ (2.22)

如果已知(1)(0),(0),

,(0)n y y y -和0t ≥时的输入量()u t ，就可以完全确定系

统未来的行为。因此，可以将(1)(),(),

,()n y t y t y t -作为系统的状态变量，即

1x y =，2x y =，，)2(1--=n n y x ，(1)n n x y -=

02211=+++n n x x x ααα

0)1(21=+++-n n y y

y ααα n i i ,,2,1,0 ==α

则方程错误！未找到引用源。可表示为下列微分方程组

u

x a x a x a u y a y a y a y x

x y x

x y x x y x n n n n n n n n n n n +---+----========-----1211)1(11)()1(13221

()(1)11n n n n y a y a y a y u --++

++=

(2.23)

即

A Bu +x =x

(2.24)

式中

121n n x x x x -??

??

????=????????x ，12

1010000100

001n n n A a a a a --??

???

?

??=?

?

????----??

，0001B ????

????=????

????

输出量可由下式确定

[]10

0y =x

即

y C =x

(2.25)

式中

[]10

0C =

所以，当线性微分方程中不含输入的导数项，传递函数没有零点时，系统的一种状态空间表达式可由方程错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。给出。

情形二 线性微分方程含有输入的导数，传递函数有零点 在这种情况下，系统的微分方程和相应的传递函数为 ()(1)()(1)

1101

1n n n n n n n n y a y a y a y b u bu b u b u ----++++=++++ (2.26)

10111

11()()n n n n n n n n

b s b s b s b Y s U s s a s a s a ----++++=++++ (2.27)

此时，如果再取(1)(),(),

,()n y t y t y t -作为系统的状态变量，则构成的n 个一

阶微分方程不能唯一确定系统的状态，其主要原因是

()(1)

112101

n n n n n n n x a x a x a x b u bu b u --=---

-++++

中含有输入的导数项。

因此，状态变量的设置，必须能消除状态方程中u 的导数项。其中一种选取方法是构造如下n 个状态变量（还有其他的选取方法）

10x y u β=-

20111x y u u x u βββ=--=-

301222x y u u u x u ββββ=---=-

(1)(1)(2)012111n n n n n n n n x y u u u u x u βββββ-------=---

--=-

()(1)()(1)

1101

1n n n n n n n n y a y a y a y b u bu b u b u ----++

++=++++ (2.28)

u b u

b u b u b u x a u u x a u u u

x a u u u x a u

u u x n n n n n n n n n n n n n n n ++++=+++++++++++++++++++--------- 1)1(1)(0011021210321)2(1)1(011)1(1)(0)()()()()()(ββββββββββββ u b u

b u

b u

b u u u u a u x n n n n n n n n ++++=+++++++---- 1)

1(1)

(0)2()1(011)(0)()()()()(βββ

用待定系数方法，消除上式中 00b β=

1110b a ββ=-

221120b a a βββ=--

33122130b a a a ββββ=---

1122110n n n n n n

b a a a a βββββ---=---

--

从而，可以得到如下由这组状态变量描述的系统的状态方程

121x x u β=+ 232x x u β=+

11n n n x x u β--=+

1121n n n n n x a x a x a x u β-=----+

写成向量－矩阵形式，则系统的状态方程和输出方程为

A Bu =x x +

(2.29) y C Du =+x

(2.30)

式中

121n n x x x x -??

??

??

?

?=??

??

????

x ，1

2

1010000100001n n n A a a a a --??

????

??=??????----??，121n n B ββββ-??

????

??=????

????

[]100C =，00D b β==

在这种状态空间表达式中，矩阵A 和C 与方程错误！未找到引用源。表示的系统的相应矩阵完全相同。方程错误！未找到引用源。右端的导数项仅影响B 矩阵的元素。

应当指出，对于情形二还有其他选取状态变量的方法，可以推出其他标准形式的状态空间表达式，有关内容将在第九章线性系统的可控性和可观性部分介绍。

例2-15 已知某控制系统的运动方程为

()5()6()()y t y t y t u t ++=

其中，()u t 和()y t 分别为系统的输入和输出。选取状态变量1x y =，2x y =，写出系统的状态空间表达式。 解 由已知条件容易得到

12x y x ==

21265x y x x u ==--+

将其写成向量矩阵形式，并考虑到1x y =，可得系统状态空间表达式为

1122010651x x u x x ????????=+????????--?

???????

[]1210x y x ??

=????

例2-16 已知控制系统的微分方程为

9534y y y y u u u +++=++

试写出其状态空间表达式。

解 这是一个含输入导数的运动方程，由已知条件可知

12301239,5,3,0,1,4,1a a a b b b b =======

状态变量按照情形二选取，则

01230,1,5,41ββββ===-=

于是得到系统的状态空间表达式为

0101001535941u ????

????+-????

????---????

x =x []100y =x

小 结

本讲讨论了线性控制系统的三种数学模型，即运动方程（时域模型）、传递函数（复域模型）和状态空间描述。主要研究内容包括：

(1)动态系统微分方程的建立；

(2)传递函数的定义和性质；

(3)线性系统状态空间描述的含义，状态空间表达式与传递函数之间的关系，以及如何从微分方程或传递函数建立系统的状态空间描述；

作业

2-2 (a),(b)

2-11 (1),(5)

2-12 (1),(4)

2-13 (1),(3)

自动控制原理例题详解线性离散控制系统的分析与设计考习题及答案

精心整理 ----------2007-------------------- 一、(22分)求解下列问题： 1. (3分)简述采样定理。 解：当采样频率s ω大于信号最高有效频率h ω的2倍时，能够从采样信号)(*t e 中 完满地恢复原信号)(t e 。（要点：h s ωω2>）。 2．(3分)简述什么是最少拍系统。 解：在典型输入作用下，能以有限拍结束瞬态响应过程，拍数最少，且在采样时刻上无稳态误差的随动系统。 3．(3 4．（x()∞5．(5解：(G 6．(5试用Z 解：二、（ (i X s ) z 图1 1．（5分）试求系统的闭环脉冲传递函数 () () o i X z X z ； 2．（5分）试判断系统稳定的K 值范围。

解：1.101 1 1 1 11 1()(1)(1)11(1)1(1)()1e 11e 1e G G z z Z s s z Z s s z z z z z z z e z -------??=-??+????=--??+?? =-----=---= -1 1 010******* 1e ()()e 1e ()1()1e (1e )(e )(1e )(1e )e e o i K X z KG G z z X z KG G z K z K z K K z K K ------------== -++--=-+--=-+- 2．（5 三、(8 已知(z)1Φ=1．(3分)简述离散系统与连续系统的主要区别。 解：连续系统中，所有信号均为时间的连续函数；离散系统含有时间离散信号。 2．(3分)简述线性定常离散系统的脉冲传递函数的定义。 解：在系统输入端具有采样开关，初始条件为零时，系统输出信号的Z 变换与输入信号的Z 变换之比。 3．(3分)简述判断线性定常离散系统稳定性的充要条件。 解：稳定的充要条件是：所有特征值均分布在Z 平面的单位圆内。 4．(5分)设开环离散系统如图所示，试求开环脉冲传递函数)(z G 。

线性系统理论大作业小组报告-汽车机器人建模

审定成绩： 重庆邮电大学 硕士研究生课程设计报告 （《线性系统理论》） 设计题目：汽车机器人建模 学院名称：自动化学院 学生姓名： 专业：控制科学与工程 仪器科学与技术 班级：自动化1班、2班 指导教师：蔡林沁 填表时间：2017年12月

重庆邮电大学

摘要 汽车被广泛的应用于城市交通中,它的方便、快速、高效给人们带来了很大便利,这大大改变了人们的生活. 研制出一种结构简单、控制有效、行驶安全的城市用无人智能驾驶车辆,将驾驶员解放出来,是大大降低交通事故的有效方法之一,应用现代控制理论设计出很多控制算法,对汽车进行控制是非常必要的，本文以汽车机器人为研究对象，对其进行建模和仿真，研究了其模型的能控能观性、稳定性，并通过极点配置和状态观测器对其进行控制，达到了一定的性能要求。这些研究为以后研究汽车的自动驾驶和路径导航，打下了一定的基础。 关键字:建模、能控性、能观性、稳定性、极点配置、状态观测器

目录 第一章绪论 (1) 第一节概述 (1) 第二节任务分工 (2) 第二章系统建模 (2) 2 系统建模 (2) 2.1运动学模型 (2) 2.2自然坐标系下模型 (4) 2.3具体数学模型 (6) 第三章系统分析 (7) 3.1 能控性 (7) 3.1.1 能控性判据 (7) 3.1.2 能控性的判定 (8) 3.2 能观性 (10) 3.2.1 能观性判据 (10) 3.2.2 能观测性的判定 (12) 3.3 稳定性 (13) 3.3.1 稳定性判据 (13) 3.3.2 稳定性的判定 (14) 第四章极点配置 (15) 4.1 极点配置概念 (15) 4.2 极点配置算法 (15) 4.3 极点的配置 (16) 4.4 极点配置后的阶跃响应 (17) 第五章状态观测器 (18) 5.1概念 (19) 5.2带有观测器的状态反馈 (20) 5.3代码实现 (21) 5.4 极点配置和状态观测器比较 (23)

自动控制原理例题详解-线性离散控制系统的分析与设计考试题及答案

----------2007-------------------- 一、(22分)求解下列问题： 1. (3分)简述采样定理。 解：当采样频率s ω大于信号最高有效频率h ω的2倍时，能够从采样信号)(* t e 中 完满地恢复原信号)(t e 。（要点：h s ωω2>）。 2．(3分)简述什么是最少拍系统。 解：在典型输入作用下，能以有限拍结束瞬态响应过程，拍数最少，且在采样时刻上无稳态误差的随动系统。 3．(3分)简述线性定常离散系统稳定性的定义及充要条件。 解：若系统在初始扰动的影响下，其输出动态分量随时间推移逐渐衰减并趋于零，则称系统稳定。稳定的充要条件是：所有特征值均分布在Z 平面的单位圆内。 4．（3分）已知X(z)如下，试用终值定理计算x (∞)。 ) 5.0)(1()(2+--= z z z z z X 解： 经过验证(1)X()z z -满足终值定理使用的条件，因此， 211x()lim(1)X()lim 20.5 z z z z z z z →→∞=-==-+。 5．(5分)已知采样周期T =1秒，计算G (z ) = Z [G h (s )G 0(s ) ]。 ) 2)(1(1 e 1)()()(0++-==-s s s s G s G s G Ts h 解：11 1 1211 11(1)(1e )()(1)Z[](1)()s s 11e (1e )e z z z G z z z z z z z --------=--=--=+---++ 6．(5分) 已知系统差分方程、初始状态如下： )k (1)(8)1(6)2(=++-+k c k c k c ，c(0)=c(1)=0。 试用Z 变换法计算输出序列c (k )，k ≥ 0。 解： 22 ()6()8()() ()(1)(68)3(1)2(2)6(4)1 (){2324},0 6 k k z C z C z C z R z z z z z C z z z z z z z c k k -+===-+--+---=-?+≥ 二、（10分）已知计算机控制系统如图1所示，采用数字比例控制() D z K =， 其中K >0。设采样周期T =1s ，368.0e 1=-。

信号与线性系统题解 阎鸿森 第二章

信号与线性系统题解 阎鸿森 第二章 习题答案 2.1 (1) 已知连续时间信号()x t 如图P2.1(a)所示。试画出下列各信号的波形图，并加以标 注。 (a) (2)x t - (b) (1)x t - (c) (22)x t + (2) 根据图P2.1(b)所示的信号()h t ，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) (3)h t + (b) (2)2 t h - (c) (12)h t - (3) 根据图P2.1(a)和(b)所示的()x t 和()h t ，画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) ()()x t h t - (b) (1)(1)x t h t -- (c) (2)(4)2 t x h t -+ 图P2.1 解：(1) 各信号波形如下图所示：

(a) (b)(c) 1 2 (2)x t -(1)x t -(22)x t +t t t 22 22111 11210 01 -1-1 -2 -2 -3 5 (2) 各信号波形如下图所示： (a) (b)(c) 12 12 -32 (3)h t +(2)2t h -(12) h t -t t t 00 1 1 1 12468 1-2-3-4-5- (3) 各信号波形如下图所示： ()()x t h t -(1)(1)x t h t --(2)2 t x -(a) (b) (c) t t t ∴(2/2)(4)0 x t h t -+=00 111112 2222 2 1-1-4 6 2 - 2.2 已知信号(52)x t -的波形图如图P2.2所示，试画出()x t 的波形图，并加以标注。 (52) x t -t 3252 1123 图P2.2 解：波形如下图所示：

自动控制系统的数学模型

第二章自动控制系统的数学模型 教学目的： （1）建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。 （2）掌握传递函数的概念及求法。 （3）通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。 （4）通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。 （5）掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。 （6）通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力 教学要求： （1）正确理解数学模型的特点； （2）了解动态微分方程建立的一般步骤和方法； （3）牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数； （4）掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入 下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的掌握； （5）掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法； （6）掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函 数的方法。 教学重点： 有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。 教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构图；对复杂系统的动态结构图进行变换；求第K条前向通道特记式 的余子式 。 k 教学方法：讲授 本章学时：10学时 主要内容： 2.0 引言 2.1 动态微分方程的建立 2.2 线性系统的传递函数 2.3 典型环节及其传递函数 2.4系统的结构图 2.5 信号流图及梅逊公式

线性离散系统基础

第七章 线性离散系统基础 一．基本内容 1．了解离散控制系统基本概念、采样过程及采样定理；零阶保持器的传递函数、频率特性及应用特点。 2．掌握z 变换及z 反变换的求取方法；熟练掌握脉冲传递函的定义，开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数求解方法； 3．熟练掌握离散控制系统的稳定性分析； 4．熟练掌握离散控制系统的稳态误差计算 二．重点和难点 离散控制系统与连续控制系统的根本区别，在于连续控制系统中的信号都是时间的连续函数，而离散控制系统中有一处或多处的信号是脉冲序列或数码形式的。 把连续信号变为离散信号的过程叫做采样，实现采样的装置称为采样器（采样开关）。反之，把采样后的离散信号恢复为连续信号的过程称为信号的复现。 离散控制系统的采样定理给出了从采样的离散信号恢复到原来连续信号所必须的最低采样频率（max 2ωω≥s ）。 离散信号的恢复，是在系统中加入代替理想滤波器的实际保持器来实现的。按恒值外推规律实现的零阶保持器，由于其实现简单，且具有最小的相移，被广泛的应用于离散控制系统中，其传递函数为 s e s G Ts h --=1)( 1．脉冲传递函数 脉冲传递函数的定义：零初始条件下，线性定常离散系统输出离散信号的z 变换与输入离散信号的z 变换之比，称为脉冲传递函数。 比较常见的一种离散控制系统的结构形式如图7-1所示，其闭环脉冲传递函数为

) (1)()() (2121z H G G z G G z R z C += 式中 ， )]()()([)(2121s H s G s G Z z H G G = )]()([)(2121s G s G Z z G G = 图7-1典型离散控制系统的结构图 其中：)(21z H G G 为系统的开环脉冲传递函数。 2．离散系统分析 （1）离散系统的稳定性 离散系统稳定的充分必要条件是：系统的闭环极点均在z 平面上以原点为中心的单位圆内。即 ),2,1(1n i z i =<。 因此，可以通过求解闭环特征方程式的根来判断离散系统的稳定性。但当系统的阶次较高或有待定常数时，采用此法不太合适，可以通过双线性变换 1 1 -+= w w z 将z 平面上的单位圆内部分映射到w 平面的左半平面，即可使用劳斯稳定判据判断离散系统的稳定性。 （2）稳态误差 单位反馈的离散系统（即图7-1中1)(=s H ）的的稳态误差为： ) (1) () 1(lim )(1 z G z R z e z +-=∞→ 其中)()(21z G G z G =为开环脉冲传递函数。 通常选用三种典型输入信号，即单位阶跃信号、单位斜坡信号和单位抛物线信号，对应z 变换分别为 3 22)1(2) 1(,)1(,1 -+--z z z T z Tz z z 三．典型例题分析 )(1s G ) (s H )(s R T ) (s E ) (s C ) (2s G

南航金城信号与线性系统课后答案 第二章 连续系统的时域分析习题解答

X 第二章 连续系统的时域分析习题解答 2-1 图题2-1所示各电路中，激励为f (t )，响应为i 0(t )和u 0(t )。试列写各响应关于激励微分算子方程。 解： . 1)p ( ; )1(1)p ( , 111 , 1 111)( )b (; 105.7)625(3 102 ; )(375)()6253(4) ()()61002.041( )a (0202200 204006000f i p f p u p f p p p u i f p p p p p f t u pf i p pu i t f t u p t f t u p =+++=++?++=+=+++= ++= ?=+??==+?=++-- 2-2 求图题2-1各电路中响应i 0(t )和u 0(t )对激励f (t )的传输算子H (p )。 解：. 1 )()()( ; 11)()()( )b (; 625 3105.7)()()( ; 6253375)()()( )a (22 0 20 40 0 +++==+++== +?==+== -p p p p t f t i p H p p p t f t u p H p p t f t i p H p t f t u p H f i f u f i f u 2-3 给定如下传输算子H (p )，试写出它们对应的微分方程。 . ) 2)(1() 3()( )4( ; 323)( )3(; 3 3)( )2( ; 3)( )1( +++=++=++=+= p p p p p H p p p H p p p H p p p H 解：; 3d d 3d d )2( ; d d 3d d )1( f t f y t y t f y t y +=+=+ . d d 3d d 2d d 3d d )4( ; 3d d 3d d 2 )3( 2222t f t f y t y t y f t f y t y +=+++=+ 2-4 已知连续系统的输入输出算子方程及0– 初始条件为： . 4)(0y ,0)(0y )y(0 ),()2(1 3)( )3(; 0)(0y ,1)(0y ,0)y(0 ),()84() 12()( )2(; 1)(0y ,2)y(0 ),()3)(1(4 2)( )1(---2 ---2 --=''='=++==''='=+++-=='=+++= t f p p p t y t f p p p p t y t f p p p t y f (u 0(t ) (b) u 0(t ) (a) 图题2-1

第2章 控制系统的数学模型习题答案

第2章 自动控制系统的数学模型 2.1 学习要点 1 控制系统数学模型的概念、描述形式与相互转换； 2 物理系统数学模型的编写方法和步骤； 3 非线性系统线性化的意义、适用性和具体方法； 4 系统方框图等效变换原则与应用； 5 信号流图等效变换与梅逊增益公式应。 2.2 思考与习题祥解 题2.1思考与总结下述问题。 （1）我们学习的动态物理系统的数学模型有哪些形式？ （2）非线性系统线性化的意义、适用性和具体方法。 （3）传递函数的意义、作用和性质；与微分方程模型相比，这种模型有何优点？ 答：（1）自动控制系统的数学模型指的是描述系统运动特性的数学描述。 我们学习的动态物理系统的数学模型有微分方程、传递函数和频率特性等表达式描述形式，还有方框图和信号流图等图形化描述形式。 （2）实际系统中变量之间的关系都或多或少地具有某种非线性特性。由于求解非线性微分方程比较困难，因此提出了线性化问题。如果控制系统的工作状态是在工作点的一个小偏差范围内变化，就可以用一条过工作点的切线代替工作曲线在这个小偏差范围内的变化关系，这样，就把非线性特性线性化了。应用线性化的数学模型就可以简化系统分析和设计的过程，虽然这是一种近似的处理方法，但却很有实际意义。 只要这样做所造成的误差在允许范围内，不会对控制系统的分析和设计造成本质影响，就可以进行非线性系统线性化。 具体方法是：对任意函数，在某一点（工作点）处对函数进行泰勒级数展开，忽略二阶以上高次项，就可以得到线性化的函数关系。 （3）系统输入和输出在零初始条件下拉氏变换的比)(s G 称为系统的传递函数。传递函数表示了系统输入输出之间的关系，是控制系统的一种数学模型，可以直接从微分方程导出。 传递函数只与系统结构与参数有关，与外部输入无关，传递函数反映了系统的结构特征和参数特性。由于传递函数是以复数s 为变量，避免了许多求解微分方程的麻烦。因此，经典控制论中更常用传递函数这种数学模型形式对控制系统进行分析和设计。 题2.2 试建立题2.2图所示各系统的微分方程。其中外力)(t F ，位移)(t x 和电压)(t u r 为输入量；位移)(t y 和电压)(t u c 为输出量；k （弹性系数），f （阻尼系数），R （电阻），C （电容）和m （质量）均为常数。

现代控制理论第2章l

第2章 线性系统理论 线性系统是实际系统的一类理想化模型，通常用线性的微分方程或差分方程描述。其基本特征是满足叠加原理，可分为线性定常系统和线性时变系统。 现代控制理论中，采用状态变量法描述系统，它既能反映系统内部变化情况，又能考虑初始条件，也为多变量系统的分析、综合提供了强有力的工具。 2.1 基本概念 输入：外部施加到系统上的全部激励。 输出：能从外部测量到的来自系统的信息。 状态变量：确定动力学系统状态的最小的一组变量。 状态向量：若n 个状态变量)(1t x ，)(2t x ，…，)(t x n 是向量)(t x 的各个分量，即 )(t x 为状态向量。 状态空间：以各状态变量作为基底组成的n 维向量空间。在特定的时间，状态向量)(t x 在状态空间中只是一个点。 状态轨迹：状态向量)(t x 在状态空间中随时间t 变化的轨迹。 连续时间系统：)(t x 的定义域为某时间域],[f 0t t 内一切实数。 离散时间系统：)(t x 的自变量时间t 只能取到某实数域内的离散值。 状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间动态关系的一阶微分方程

组或一阶差分方程组。一般形式为 或 式中 u ——输入向量； k ——采样时刻。 状态方程表征了系统由输入引起的内部状态的变化。 输出方程：描述输出变量与系统输入变量和状态变量间函数关系的代数方程，具有形式 它是一个代数变换过程。 状态空间表达式：状态方程与输出方程联立，构成对动态系统的完整描述，总称为系统的状态空间表达式，又称动态方程。 线性系统的状态空间表达式具有下列一般形式： 1）连续时间系统 ? ??+=+=)()()()()()()()()()(t t t t t t t t t t u D x C y u B x A x & （2–1） 式中 A (t )——系统矩阵或状态矩阵，n ?n 矩阵； B (t )——控制矩阵或输入矩阵，n ?p 矩阵； C (t )——观测矩阵或输出矩阵，q ?n 矩阵； D (t )——输入输出矩阵，q ?p 矩阵； x ——状态向量，n 维； u ——控制作用，p 维； y ——系统输出，q 维。 2）离散时间系统

第九章线性离散控制系统

第九章 线性离散控制系统 A9－1 试求下列函数的Z 变换： （1）f(t)=1-e －at （2）f(t)=cos ωt （3）f(t)=αt/T （4）f(t)=te －at （5）f(t)=t 2 A9－2 求下列拉氏变换式的Z 变换（式中T 为采样周期）： （1）21)(s s F = （2）) 2)(1()3()(+++=s s s s F （3）2 )2(1)(+=s s F （4）) ()(a s s K s F += （5）)(1)(2a s s s F += （6）22)(ωω ?=s s F （7）) ()(a s e s F nTs +=? A9－3 求下列函数的Z 反变换（式中T 为采样周期）： （1）) )(1()1()(T T e z z e z z F ?????= （2）) 2()1()(2??=z z z z F （3）22)1()1()(?+= z z z z F （4）222) 1()1(2)(+?=z z z z F

（5）55 432546.035.0)(z z z z z z z F +++++= A9－4 用留数法求下列函数的Z 反变换： （1）) 2)(1(10)(??=z z z z F （2）3 )1()(2 ?=ze z z F A9－5 确定下列函数的初值与终值： （1）) 2.0)(18.0()1()(2222+++?++=z z z z z z z z F （2）) 1.0)(8.0()(2 ??=z z z z F （3）3212 14.26.52.411.03.01)(??????+?++=z z z z z z F A9－6 用Z 变换方法求解下列差分方程，结果以f(k)表示： （1）f(k+2)+2f(k+1)+f(k)=u(k) f(0)=0, f(1)=0, u(k)=k (k=0,1,2,…) （2）f(k+2)-4f(k)=coskn (k=0,1,2,…) f(0)=1, f(1)=0 （3）f(k+2)+5f(k+1)+6g(k)=cos 2 k n (k=0,1,2,…) f(0)=0, f(1)=1 A9－7 求图题A8－7所示各系统的脉冲传递函数和输出信号的Z 变换。

自动控制原理例题详解-线性离散控制系统的分析与设计考试题及答案

一、(22分)求解下列问题： 1. (3分)简述采样定理。 解：当采样频率s ω大于信号最高有效频率h ω的2倍时，能够从采样信号)(* t e 中 完满地恢复原信号)(t e 。（要点：h s ωω2>）。 2．(3分)简述什么是最少拍系统。 解：在典型输入作用下，能以有限拍结束瞬态响应过程，拍数最少，且在采样时刻上无稳态误差的随动系统。 3．(3分)简述线性定常离散系统稳定性的定义及充要条件。 解：若系统在初始扰动的影响下，其输出动态分量随时间推移逐渐衰减并趋于零，则称系统稳定。稳定的充要条件是：所有特征值均分布在Z 平面的单位圆内。 4．（3分）已知X(z)如下，试用终值定理计算x (∞)。 ) 5.0)(1()(2 +--= z z z z z X 解： 经过验证(1)X()z z -满足终值定理使用的条件，因此， 2 1 1 x()lim(1)X()lim 20.5 z z z z z z z →→∞=-==-+。 5．(5分)已知采样周期T =1秒，计算G (z ) = Z [G h (s )G 0(s ) ]。 ) 2)(1(1 e 1)()()(0++-==-s s s s G s G s G Ts h 解：11 1 1211 11(1)(1e )()(1)Z[](1)()s s 11e (1e )e z z z G z z z z z z z --------=--=--=+---++ 6．(5分) 已知系统差分方程、初始状态如下： )k (1)(8)1(6)2(=++-+k c k c k c ，c(0)=c(1)=0。 试用Z 变换法计算输出序列c (k )，k ≥ 0。 解： 22()6()8()() ()(1)(68)3(1)2(2)6(4)1 (){2324},0 6 k k z C z C z C z R z z z z z C z z z z z z z c k k -+===-+ --+---=-?+≥ 二、（10分）已知计算机控制系统如图1所示，采用数字比例控制()D z K =， 其中K >0。设采样周期T =1s ，368.0e 1=-。

控制系统的数学模型[]

第二章控制系统的数学模型 2-1 什么是系统的数学模型？大致可以分为哪些类型？ 答定量地表达系统各变量之间关系的表达式，称工矿企业数学模型。从不同的角度，可以对数学模型进行大致的分类，例如：用来描述各变量间动态关系的数学模型为动态模型，用来描述各变量间稳态关系有数学模型为静态模型；数学模型中各变量与几何位置无关的称为集中参数模型，反之与几何位置有关的称为分布参数模型；变量间关系表现为线性的称为线性模型，反之非线性模型；模型参数与时间有关的称为时变模型，与时间无关的称为时不变或定常模型；以系统的输入、输出变量这种外部特征来描述系统特性的数学模型称为输入输出模型，而以系统内部状态变量描述的数学模型称为状态空间模型；等等。 2-2 系统数学模型的获取有哪几种方法？ 答获取系统数学模型的方法主要有机理分析法和实验测试法。 机理分析法是通过对系统内部机理的分析，根据一些基本的物理或化学变化的规律而导出支配系统运动规律的数学模型，这样得到的模型称为机理模型。 实验测试法是通过对实际系统的实验测试，然后根据测试数据，经过一定的数据处理而获得系统的数学模型，这样得到的模型可称为实测模型或经验模型。 如果将上述两种方法结合起来，即通过机理分析的方法预先得到数学模型的结构或函数形式，然后对其中的某些参数用实验辨识的方法来确定，这样得到的数学模型可称为混合模型。这是介于上述两种方法之间的一种比较切合实际的应用较为普遍的方法。 2-3 通过机理分析法建立对象微分方程数学模型的主要步骤有哪些？ 答主要步骤有： ⑴根据系统的控制方案和对象的特性，确定对象的输入变量和输出变量。一般来说，对象的输出变量为系统的被控变量，输入变量为作用于对象的操纵变量或干扰变量。 ⑵根据对象的工艺机理，进行合理的假设和简化，突出主要因素，忽略次要因素。 ⑶根据对象的工艺机理，从基本的物理、化学等定律出了，列写描述对象运动规律的原始微分方程式（或方程式组）。 ⑷消去中间变量，推导出描述对象输入变量与输出变量之间关系的方程式。 ⑸根据要求，对上述方程式进行增量化、线性化和无因次化的处理，最后得出无因次的、能够描述对象输入变量与输出变量的增量之间关系的线性微分方程式（对于严重非线性的对象，可进行分段线性化处理或直接导出非线性微分方程式）。 2-4 试述传递函数的定义。如何由描述对象动态特性的微分方程式得到相应的传递函数？并写出传递函数的一般形式。 答对于线性定常系统、对象或环节的传递函数的定义可以表述为：当初始条件为零时，系统、对象或环节输出变量的拉氏变换式与输入变量的拉氏变换式之比。 如果已知系统、对象或环节的动态数学模型用下述线性常系数微分方程式来描述： 式中y 为输出变量， x为输入变量，表示y(t) 的n 阶导数，表示x(t) 的 m阶导数。对于一般实际的物理系统，。 假定初始条件为零，对上式的等号两边进行拉氏变换，得

线性系统理论基础

《线性系统理论基础》实验指导书 嵇启春 西安建筑科技大学信息与控制工程学院

第一章课程简介，实验内容及学时安排 一、课程简介 线性系统理论基础是自动化类专业的主要专业理论课，是现代控制理论的基础。它将使学生们系统地学习并掌握现代控制理论的基本分析和设计方法，为后续专业课程的学习打下良好的基础。教学目标：熟练掌握现代控制基本理论，能运用所学知识进行系统建模、性能分析和综合设计。 《线性系统理论基础实验》是《线性系统理论基础》课程的重要教学环节，是自动化类专业学生必须掌握的教学内容。其目的主要是使学生学习和掌握控制系统基本的分析、设计方法，加深理解线性系统理论的基本知识和原理，增强学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新意识、创新精神和创新能力，为学生今后从事该领域的科学研究和技术开发工作打下扎实的基础。 二、实验内容及学时安排 本课程的实践环节由必作和选作两类实验构成，对能力较强的学生指导他们课外进行选作实验。目前实验主要基于MATLAB仿真软件进行仿真实验。必作实验为三个，每个实验2学时。要求学生一人一机，独立完成必作的实验，由此使学生得到较全面的基础训练。通过该课程的实验训练，应达到下列要求： 1. 使学生了解MATLAB仿真软件的使用方法，重点掌握MATLAB控制工具箱的使用方法； 2. 通过实验加强对所学理论知识的理解和应用； 3. 实验前预习，实验后按要求撰写实验报告。

第二章 《线性系统理论基础》课程实验 实验一 MATLAB 控制工具箱的应用及线性系统的运动分析 一、实验目的 1、学习掌握MATLAB 控制工具箱中的基本命令的操作方法； 2、掌握线性系统的运动分析方法。 二、实验原理、内容及步骤 1、学习掌握MATLAB 控制工具箱中基本命令的操作 设系统的模型如式(1-1)所示： p m n R y R u R x Du Cx y Bu Ax x ∈∈∈?? ?+=+= (1-1) 其中A 为n ×n 维系数矩阵；B 为n ×m 维输入矩阵；C 为p ×n 维输出矩阵；D 为p ×m 维传递矩阵，一般情况下为0。系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式(1-2)所示： D B A sI C s den s num s G +-== -1)() () (()( (1-2) 式(1-2)中，)(s num 表示传递函数阵的分子阵，其维数是p ×m ；)(s den 表示传递函数阵的分母多项式，按s 降幂排列的后，各项系数用向量表示。 [例1.1] 已知SISO 系统的状态空间表达式为(1-3)式，求系统的传递函数。 (1-3) 程序: %首先给A 、B 、C 阵赋值； A=[0 1 0;0 0 1;-4 -3 -2];B=[1;3;-6];C=[1 0 0];D=0; %状态空间表达式转换成传递函数阵的格式为[num,den]=ss2tf(a,b,c,d,u) ,631234100010321321u x x x x x x ???? ??????-+????????????????????---=?????????? []?? ??? ?????=321001x x x y

第7章 线性离散控制系统的分析 参考答案

第七章 习题与答案 7-1 离散控制系统由哪些基本环节组成？ 答：离散控制系统由连续的控制对象，离散的控制器，采样器和保持器等几个环节组成。 7-2 香农采样定理的意义是什么？ 答：香农采样定理给出了采样周期的一个上限。 7-3 什么是采样或采样过程？ 答：采样或采样过程，就是抽取连续信号在离散时间瞬时值序列的过程，有时也称为离散化过程。 7-4 写出零阶保持器的传递函数，引入零阶保持器对系统开环传递函数的极点有何影响？ 答：零阶保持器的传递函数为s e s H Ts --=1)(0。零阶保持器的引入并不影响开环系统 脉冲传递函数的极点。 7-5 线性离散控制系统稳定的充要条件是什么？ 答：线性离散控制系统稳定的充要条件是： 闭环系统特征方程的所有根的模1

信号与线性系统分析习题答案_(吴大正_第四版__高等教育出版社)

第一章 信号与系统（二） 1-1画出下列各信号的波形【式中)() (t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)(

（3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε=

（5）) t f= r ) (sin (t （7）) f kε = t ) ( 2 (k

（10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5） )2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε

（11）)]7()()[6 sin( )(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1） )2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f

（5） )2()2()(t t r t f -=ε （8） )]5()([)(--=k k k k f εε

自动控制原理例题详解线性离散控制系统的分析与设计考试题及答案样本

------------------------------ 一、(22分)求解下列问题： 1. (3分)简述采样定理。 解：当采样频率s ω不不大于信号最高有效频率h ω2倍时，可以从采样信号)(* t e 中 完满地恢复原信号)(t e 。（要点：h s ωω2>）。 2．(3分)简述什么是至少拍系统。 解：在典型输入作用下，能以有限拍结束瞬态响应过程，拍数至少，且在采样时刻上无稳态误差随动系统。 3．(3分)简述线性定常离散系统稳定性定义及充要条件。 解：若系统在初始扰动影响下，其输出动态分量随时间推移逐渐衰减并趋于零，则称系统稳定。稳定充要条件是：所有特性值均分布在Z 平面单位圆内。 4．（3分）已知X(z)如下，试用终值定理计算x (∞)。 ) 5.0)(1()(2 +--= z z z z z X 解： 通过验证(1)X()z z -满足终值定理使用条件，因而， 2 1 1 x()lim(1)X()lim 20.5 z z z z z z z →→∞=-==-+。 5．(5分)已知采样周期T =1秒，计算G (z ) = Z [G h (s )G 0(s ) ]。 ) 2)(1(1 e 1)()()(0++-==-s s s s G s G s G Ts h 解：11 1 1211 11(1)(1e )()(1)Z[](1)()s s 11e (1e )e z z z G z z z z z z z --------=--=--=+---++ 6．(5分) 已知系统差分方程、初始状态如下： )k (1)(8)1(6)2(=++-+k c k c k c ，c(0)=c(1)=0。 试用Z 变换法计算输出序列c (k )，k ≥ 0。 解：

信号与线性系统题解第二章

第二章习题答案 收集自网络 2.1 (1) 已知连续时间信号()x t 如图P2.1(a)所示。试画出下列各信号的波形图，并加以标 注。 (a) (2)x t - (b) (1)x t - (c) (22)x t + (2) 根据图P2.1(b)所示的信号()h t ，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) (3)h t + (b) (2)2 t h - (c) (12)h t - (3) 根据图P2.1(a)和(b)所示的()x t 和()h t ，画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) ()()x t h t - (b) (1)(1)x t h t -- (c) (2)(4)2 t x h t -+ 图P2.1 解：(1) 各信号波形如下图所示：

(a) (b)(c) 1 2 (2)x t -(1)x t -(22)x t +t t t 22 22111 11210 01 -1-1 -2 -2 -3 5 (2) 各信号波形如下图所示： (a) (b)(c) 12 12 -32 (3)h t +(2)2t h -(12) h t -t t t 00 1 1 1 12468 1-2-3-4-5- (3) 各信号波形如下图所示： ()()x t h t -(1)(1)x t h t --(2)2 t x -(a) (b) (c) t t t ∴(2/2)(4)0 x t h t -+=00 111112 2222 2 1-1-4 6 2 - 2.2 已知信号(52)x t -的波形图如图P2.2所示，试画出()x t 的波形图，并加以标注。 (52) x t -t 3252 1123 图P2.2 解：波形如下图所示：

MATLAB在线性系统理论中的应用

MATLAB在线性系统理论中的应用 第一章传递函数与状态空间表达式 1.1 传递函数与状态空间表达式之间的转换 用ss命令来建立状态空间模型。对于连续系统，其格式为sys=ss(A,B,C,D),其中a,b,c,d 为描述线性连续系统的矩阵。 当sys1是一个用传递函数表示的线性定常系统时，可以用命令sys=ss(sys1)将其转换成为状态空间形式，也可以用命令sys=ss(sys1,’min’)计算出系统sys的最小实现。 example1：系数传递函数到状态空间表达式 >>num=[1 7 24 24];den=[1 10 35 50 24]; g=tf(num,den); sys=ss(g) the answer is： a = x1 x2 x3 x4 x1 -10 -4.375 -3.125 -1.5 x2 8 0 0 0 x3 0 2 0 0 x4 0 0 1 0 b = u1 x1 2 x2 0 x3 0 x4 0 c = x1 x2 x3 x4 y1 0.5 0.4375 0.75 0.75 d = u1 y1 0 Continuous-time model.

example2：由传递函数系数，将离散系统脉冲传递函数模型转换成状态空间表达式 >>num=[0.31 0.57 0.38 0.89];den=[1 3.23 3.98 2.22 0.47]; gyu=tf(num,den,'ts',0.1) the answer is: Transfer function: 0.31 z^3 + 0.57 z^2 + 0.38 z + 0.89 ----------------------------------------- z^4 + 3.23 z^3 + 2.98 z^2 + 2.22 z + 0.47 Sampling time: 0.1 Pzmap(gyu)%绘制零极点分布图 sys=ss(gyu)%将离散系统脉冲传递函数模型转换成状态空间表达式。 The answer is: a = x1 x2 x3 x4 x1 -3.23 -1.49 -1.11 -0.235 x2 2 0 0 0 x3 0 1 0 0 x4 0 0 1 0 b = u1 x1 1 x2 0 x3 0 x4 0 c =

信号与线性系统题解第二章

信号与线性系统题解第二章

第二章习题答案 收集自网络 2.1 (1) 已知连续时间信号()x t 如图P2.1(a)所示。 试画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) (2)x t - (b) (1) x t - (c) (22) x t + (2) 根据图P2.1(b)所示的信号()h t ，试画出下 列各信号的波形图，并加以标注。 (a) (3)h t + (b) (2)2t h - (c) (12) h t - (3) 根据图P2.1(a)和(b)所示的()x t 和()h t ，画 出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) ()() x t h t - (b) (1)(1)x t h t -- (c) (2)(4)2t x h t -+

图P2.1 解：(1) 各信号波形如下图所示： (a)(b)(c) 1 2 (2)x t -(1)x t -(22)x t +t t t 22 22111 11210 01 -1-1 -2 -2 -3 5 (2) 各信号波形如下图所示： (a)(b)(c) 12 12 -32 (3)h t +(2)2t h -(12) h t -t t t 00 1 1 1 12468 1-2-3-4-5- (3) 各信号波形如下图所示：

()()x t h t -(1)(1)x t h t --(2) 2 t x -(a)(b) (c) t t t ∴(2/2)(4)0 x t h t -+=00 111112 2222 2 1-1-4 62 - 2.2 已知信号(52)x t -的波形图如图P2.2所示，试画出()x t 的波形图，并加以标注。 (52) x t -t 3252 1123 图P2.2 解：波形如下图所示： 32 52 (52)x t -(5)x t -(5) x t +()x t t t t t 0001111111 2 2233 456 1-2-3-4-5-6- 2.3 (1) 已知离散时间信号()x n 如图P2.3(a)所 示，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) (4) x n - (b) (21) x n +

线性系统理论_1

第一篇线性系统理论 尽管任何实际系统都含有非线性因素，但在一定条件下，许多实际系统可用线性模型充分地加以描述，加之在数学上处理线性系统又较为方便，因此线性控制系统理论在控制工程学科领域中占有重要地位，是应用最优控制、最优估计与滤波、系统辨识、自适应控制等现代控制理论及构造各类现代控制系统的基础． 众所周知，经典线性控制系统理论以传递函数为主要数学工具，侧重研究系统外部特性，这种方法在分析设计单变量系统时卓有成效，但随着航空航天、工业过程控制等高技术的发展，系统越来越复杂，需要分析与设计多变量系统。5O年代末、60年代初，学者卡尔曼等人将古典力学中的状态、状态空间概念加以发展与推广，用来描述多变量控制系统，并深刻揭示了用状态空间描述的系统的内部结构特性，如可控性与可观测性，从而奠定了现代线性控制系统的理论基础。在此基础上形成了适于多变量系统的状态反馈、输出反馈等新的反馈设计方法，以实现系统闭环极点的任意配置、消除或抑制扰动、稳定并精确地跟踪、解除或削弱交叉耦合影响，达到满足系统的各项动、静态性能指标要求。 本篇将系统介绍现代线性系统理论的基本内容。第一章介绍状态空间分析法一般理论，主要介绍定常连续、时变连续、离散系统状态空间数学模型的建立及其解的特性．第二章介绍系统以状态空间描述后内部结构特性（含稳定性、可控性、可观测性）的分析方法，详细论证了定常系统各种结构特性的判别准则，对时变系统情况只作简介；其中应用李雅普诺夫理论所作的稳定性分析只限于线性系统。第三章着重介绍用状态反馈实现闭环极点任意配置的系统综合方法。 第一章状态空间分析法 经典控制理论中基于传递函数建立起来的如频率特性、根轨迹等一整套图解分析设计方法，对单输入-单输出系统极为有效，至今仍在广泛成功地应用。 - 1 -