2010届高考数学专题精练3
决战2010：高考数学专题精练（三）数列
1．已知数列{}n a 的前n 项和5(n n S t t =+是实数），下列结论正确的是 （ ） A ．t 为任意实数，{}n a 均是等比数列 B ．当且仅当1t =-时，{}n a 是等比数列 C ．当且仅当0t =时，{}n a 是等比数列 D ．当且仅当5t =-时，{}n a 是等比数列 2．在实数数列{}n a 中，已知01=a ，|1|||12-=a a ，|1|||23-=a a ，…，|1|||1-=-n n a a ，则4321a a a a +++ 的最大值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
3．已知数列{}n a 的通项为1
122133n n n a --??
????=?-?? ?
???
??????
，下列表述正确的是（ ） A ．最大项为0，最小项为20
81-
B ．最大项为0，最小项不存在
C ．最大项不存在，最小项为20
81- D ．最大项为0，最小项为4a
4．若数列}{,10
!
}{n n n n a n a a 则的通项公式为=为
（ ）
A ．递增数列
B ．递减数列
C ．从某项后为递减
D ．从某项后为递增
二、填空题
1．已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足n n a S -=1，则该数列所有项的和为_________． 2．设1a ，2a ，…，n a 是各项不为零的n （4≥n ）项等差数列，且公差0≠d ．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对??
?
??d a n 1,
所组成的集合为______________________．
3．2008已知{}n a 为等差数列，2312a a +=，则5a =___________.
4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S . 若272k S =，且118k k a a +=-，则正整数k = . 5．已知数列}{n a 的通项公式是12-=n n a ，数列}{n b 的通项公式是n b n 3=，令集合
},,,,{21 n a a a A =，},,,,{21 n b b b B =，*N n ∈．将集合B A 中的元素按从小
到大的顺序排列构成的数列记为}{n c ．则数列}{n c 的前28项的和___________28=S ．
6．已知等差数列*{}()n a n N ∈的首项10a >，设n S 为{}n a 的前n 项和，且611S S =，则当
n S 取得最大值时，n =____________.
7．已知数列{}n a 的通项公式为*1
3()2
n a n n N =
-∈，设n S 为{}n a 的前n 项和，则30S =______. 8．在等比数列{}n a 中，28a =，164a =，则公比q 为 .
9．已知数列{}n a 是以2-为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，若7S 是数列{}n S 中的唯一
最大项，则数列
{}n a 的首项1a 的取值范围是 .
10．用数学归纳法证明等式：a
a a
a a n n --=++++++11121
2
（1≠a ，*N n ∈），验证1=n
时，等式左边= ．
11．等差数列}{n a 中，公差1=d ，143=+a a ，则2042a a a +++ = ． 12．把数列1
{
}21
n -的所有数按照从大到小，左大右小的原则写成如上图所示的数表，第k 行有1
2k -个数，第k 行的第s 个数（从左数起）记为(,)A k s ，则
1
2009
这个数可记为A （________）. 13．等比数列{}n a 的公比为12-，前n 项和为n S 满足1
1
lim n n S a →∞=，那么1a 的值为
____________．
14．正整数集合k A 的最小元素为1，最大元素为2007，并且各元素可以从小到大排成一个
公差为k 的等差数列，则并集1759A A 中元素有___________个.
15．{}n a 是等差数列，281,5a a =-=，则数列{}n a 的前9项和9S =____________. 16．对于各数互不相等的正数数组()n i i i ,,,21 （n 是不小于2的正整数），如果在q p <时有
q p i i >，则称p i 与q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组
的“逆序数”。例如，数组()1,3,4,2中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，2”，其“逆序数”等于4。若各数互不相等的正数数组()654321,,,,,a a a a a a 的“逆序数”是2，则
()123456,,,,,a a a a a a 的“逆序数”是 .
三、解答题
1．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．
设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*N n ∈，n S 是2
n a 和n a 的等差中项．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）在集合k m m M 2{==，Z k ∈，且}15001000<≤k 中，是否存在正整数m ，使
得不等式2
10052
n
n a S >-对一切满足m n >的正整数n 都成立？若存在，则这样的正整数
m 共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m 的值；若不存在，请说明理由；
（3）请构造一个与数列{}n S 有关的数列{}n u ，使得()n n u u u +++∞
→ 21lim 存在，并求出这
个极限值．
2．（本题满分16分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 观察数列：
①1,1,1,1,-- ；②正整数依次被4除所得余数构成的数列1,2,3,0,1,2,3,0, ； ③tan
,1,2,3,.3
n n a n π
== （1）对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列{}n a ，如果________________________，对于一切正整数n 都满足___________________________成立，则称数列{}n a 是以T 为周期的周期数列； （2）若数列{}n a 满足*
21,,n n n n a a a n N S ++=-∈为{}n a 的前n 项和，且
232008,2010S S ==，证明{}n a 为周期数列，并求2008S ；
（3）若数列{}n a 的首项11
,[0,)2
a p p =∈，且*
12(1),n n n a a a n N +=-∈，判断数列{}
n a 是否为周期数列，并证明你的结论.
3．（本题满分22分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题12分）
定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列.
已知无穷等比数列{}n a 的首项、公比均为
1
2
. （1）试求无穷等比子数列{}31k a -（*
N k ∈）各项的和；
（2）是否存在数列{}n a 的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为1
7
？若存在，求出满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3）试设计一个数学问题，研究：是否存在数列{}n a 的两个不同的无穷等比子数列，使得其各项和之间满足某种关系.请写出你的问题以及问题的研究过程和研究结论.
【第3小题说明：本小题将根据你所设计的问题的质量分层评分；问题的表达形式可以参考第2小题的表述方法.】
4．（本小题满分20分）已知数列{}n a 和{}n b 满足：
1a λ=,12
4,(1)(321),3
n n n n n a a n b a n +=
+-=--+ 其中λ为实数，n 为正整数． （Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列； （Ⅱ）对于给定的实数λ，试求数列{}n b 的前n 项和n S ；
（Ⅲ）设0a b <<，是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有n a S b <<成立? 若存
在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
5．已知各项为正数的等比数列*{}()n a n N ∈的公比为(1)q q ≠，有如下真命题：若
12
2
n n p +=，则1212
()n n p a a a = （其中12n n p 、、为正整数）.
（1）若121
22
n n p +=+，试探究121
2()n n a a 与p a q 、之间有何等量关系，并给予证明； （2）对（1）中探究得出的结论进行推广，写出一个真命题，并给予证明.
6．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知，数列{}n
a 有
p a a a ==21,（常数0>p ），对任意的正整数
n n a a a S n +++= 21,，并有n S 满足2
)
(1a a n S n n -=
。 （1）求a 的值；
（2）试确定数列{}
n a 是不是等差数列，若是，求出其通项公式。若不是，说明理由；
（3）对于数列{}n
b ，假如存在一个常数b 使得对任意的正整数n 都有b b
n
<且b b n n =∞
→lim ，
则称b 为数列{}
n b 的“上渐进值”，令2
1
12+++++
=n n n n n S S S S p ，求数列{}n p p p n 221-+++ 的“上渐进值”。
第3部分：数列
参考答案 一、选择题
1．B 2．C 3．A 4．D
二、填空题 1．1
2．)}1,4(,)4,4{(- 3．6 4．4 5．820； 6．89n n ==或 7．285
2
- 8．
18
9．()12,14 10．2
1a a ++ 11．80 12．(10,494)
13．±
14．151 15．18 16．13 三、解答题
1．解：（1）由题意得，n n n a a S +=2
2 ①， 当1=n 时，12112a a a +=，解得11=a ，……（1分）
当2≥n 时，有12112---+=n n n a a S ②， ①式减去②式得，12122---+-=n n n n n a a a a a
于是，1212--+=-n n n n a a a a ，111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a ，……（2分）
因为01>+-n n a a ，所以11=--n n a a ，
所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，……（3分） 所以{}n a 的通项公式为n a n =（*N n ∈）．……（4分）
（2）设存在满足条件的正整数m ，则210052)1(2n n n >-+，10052>n
，
2010>n ，……（6分）
又
2000{=M ，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}，
所以2010=m ，2012，…，2998均满足条件，
它们组成首项为2010，公差为2的等差数列．……（8分）
设共有k 个满足条件的正整数，则2998)1(22010=-+k ，解得495=k ．……（10分） 所以，M 中满足条件的正整数m 存在，共有495个，m 的最小值为2010．……（12分）
（3）设n
n S u 1
=
，即)1(2+=n n u n ，……（15分），
则)
1(232221221+++?+?=+++n n u u u n ??? ??
+-=????????? ??+-++??? ??-+??? ?
?-=111211*********n n n ，其极限存在，且
()21112lim lim 21=??
?
?????? ??+-=+++∞
→∞→n u u u n n n ．……（18分）
注：n n S c u =
（c 为非零常数），1
21+???
? ??=n S c n n
u （c 为非零常数），
1
+?=n S c n n
q
u （c 为非零常数，1||0< → 21lim 存在． 按学生给出的答案酌情给分，写出数列{}n u 正确通项公式的得3分，求出极限再得3分． 2．解：（1） 存在正整数,n T n T a a +=使； （2）证明：由2132111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++++=-?=-=--=- 63n n n a a a ++?=-= 所以数列{}n a 是以6T =为周期的周期数列 由231212332008,2010,2008,20102S S a a a a a a ==+=++=?=知 于是12121220081003 21005a a a a a a ??+==???? ?-==???? 又*150,k k k a a a k N +++++=∈ ， 所以，20081234231007S a a a a a a =+++=+= （3）当p =0时，{}n a 是周期数列，因为此时*0()n a n N =∈为常数列，所以对任意给定的正整数T 及任意正整数n ，都有n T n a a +=，符合周期数列的定义. 当1 (0,)2 p ∈时，{}n a 是递增数列，不是周期数列. 下面用数学归纳法进行证明： ①当1n =时，因为11,(0,),2 a p p =∈ 所以221111 2(1)2(1)2()22 p p a a a p p +-=-=-<= ， 且21111112(1)(12)(12)0a a a a a a a p p -=--=-=-> 所以1221 ,(0,)2 a a a <∈且 ②假设当n=k 时，结论成立，即121,(0,)2 k k a a a a <<<∈ 且， 则12(1)(12)0,k k k k k k k a a a a a a a +-=--=->即1k k a a +< 所以当n=k+1时，结论也成立. 根据①、②可知，{}n a 是递增数列，不是周期数列. 3．解：（1）依条件得：*3131 1(N )2 k k a k --= ∈ 则无穷等比数列31{}k a -各项的和为： 223 1 22177128 a ==-； （2）解法一：设此子数列的首项为1a ，公比为q ，由条件得：1 02 q <≤， 则 1112q ≤-<，即 1121q <≤- 1111(1)[,)7147a q ∴=-∈ 而 * 11(N )2m a m = ∈ 则 111,88 a q ==. 所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项、公比均为 1 8 ， 其通项公式为18n n a ??= ??? ，* N n ∈. 解法二：由条件，可设此子数列的首项为1a ，公比为1 2 m q = *(N )m ∈. 由* N m ∈?1 0112m <- 1712 m a a <=-………… ① 又若1116 a ≤，则对每一* N m ∈都有111 11161611187111222 m m a ≤≤=<---………… ② 从①、②得111167a < 1 81171122 m m a ==--?1711288m q ==-=； 因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项、公比均为1 8 无穷等比子数列， 通项公式为18n n a ??= ??? ，* N n ∈. 4．解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛n a ｝是等比数列，………………………..1分 则有312 2a a a ?=,即,0949 4 9494)494()33 2 (222 =?-=+-? -=-λλλλλλλ矛盾. 4分 所以｛n a ｝不是等比数列. ……………………………………………………………………..…1分 （Ⅱ）解：因为n n n n b n a b 3 2 ]21)1(3[)1(11 1= ++--=+++…………………………………….…3分 又)18(1+-=λb ，所以 当18-=λ，)(0*∈=N n b n ，此时0=n S ……………………………………………………1分 当18-≠λ时，0)18(1≠+-=λb ， 3 2 1-=+n n b b )(*∈N n ， 此时，数列｛n b ｝是以)18(+-λ为首项，3 2 -为公比的等比数列. …………………………1分 ∴=n S ])3 2 (1[)18(53n --?+- λ…………………………………………………………………2分 （Ⅲ）要使b S a n <<对任意正整数n 成立， 即)(])3 2(1[)18(53* ∈<--?+- ，则 令分 得 n n n n f b a )3 2 (1)(2..............................................................).........1()3 2(1)18(5 3 )3 2(1--=--<+-<--λ 当n 为正奇数时，,1)(95 ;35)(1<≤≤ )2(=f ,……………………………………3分 于是，由（1）式得 3 --<<--?a b b λ 当a b a 3≤<时，由18318--≥--a b ，不存在实数满足题目要求；…………………1分 当a b 3>存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有b S a n <<,且λ的取值范围是 )183,18(----a b …………………………………………………………………..…1分 5．（1）因为 121 22 n n p +=+，所以1221n n p +=+，又11n n a a q -= 121 211 1 11222(22)11 2 22 22 1 1 1()()()()n n p p n n p a a a q a q a q q a q +--+-==== 即1 21 12 2 ()n n p a a a q = （2）以下列出推广命题的评分建议：命题证明部分的得分，不得超过推广部分的得分. 对于命题仅作形式上的变化（或者不是对（1）的推广），不得分. 如：若1221,n n p +=+则1 21 12 2 ()n n p a a a q = ； 第一层次：（仅对题目所列进行简单总结或结构简单变化） ┅┅1分 如：①若 *12(,,02)22n n r p p N r N r +=+∈∈≤<，则12122()r n n p a a a q = ； ②若 * 12121()23 n n p n n p N +=+∈、、，则121132()n n p a a a q = ； ③若 *12121()2n n p n n p s N s +=+∈、、、，则12112()s n n p a a a q = . 以下两个层次，可以根据学生的实际答题情况再作划分. 第二层次：（对于确定项数（至少三项）给出一般性结论或部分推广常数1 2 ）┅┅3分 如：①若*1231231()33 n n n p n n n p N ++=+∈、、、，则12311 33()n n n p a a a a q = ； ②若 *123123(,,03)33 n n n r p n n n p N r N r ++=+∈∈≤<、、、，则 12313 3 ()r n n n p a a a a q = ； ③若*1212(,2n n t p n n p N s t s +=+∈、、、互素），则1 21 2()t s n n p a a a q = 第三层次：（进行一般化推广） ┅┅5分 若12,,,m n n n a a a 是公比为q 的等比数列{}n a 的任意m 项，则存在以下真命题： ①若 *12(,,0)m n n n r p m p N r N r m m m +++=+∈∈≤< 、，则有 1231 ()r m m n n n p a a a a q = 成立. ②若 *12(,m n n n t p m p N s t m s +++=+∈ 、、互素），则有 123 1()t m s n n n p a a a a q = 成立. 6．解：（1）由已知，得a a a a s ==-?=112 ) (1， ∴0=a …………………………4分 （2）由01=a 得,2n n na S = 则2 )1(1 1+++=n n a n S ，∴n n n n na a n S S -+=-++11)1()(2，即n n n na a n a -+=++11)1(2，于是有n n na a n =-+1)1(，并且有12)1(+++=n n a n na ， ∴,)1()1(112n n n n na a n a n na -+=--+++即)()(112n n n n a a n a a n -=-+++， 而n 是正整数，则对任意N n ∈都有n n n n a a a a -=-+++112， ∴数列{}n a 是等差数列，其通项公式是p n a n )1(-=。………………10分 （3）∵(2)(1)(1)(1)22222(1)(2)(1)2222n n n n p n np n n p S p n np n n p n n +++-=∴=+=+- ++++ ∴n p p p p n 2321-++++ 222222 (2)(2)(2)213242 n n n =+-++-+++- -+ 2 2 1212+- +-+=n n ；由n 是正整数可得3221<-+++n p p p n ， 并且有3)2(lim 21=-+++∞ →n p p p n n ， ∴ 数列{}n p p p n 221-+++ 的“上渐进值”等于3。……………………18分 高中数学《集合》测试题 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对）） 2．设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=A (A)［0,2］ (B)［1,2］ (C)［0,4］ (D)［1,4］(2006年高考浙江理) 3．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ?=的集合B 的个数是（ ） (A)1 (B)3 (C)4 (D)8(2006辽宁理) 4．已知集合M ={x |x 2＜4}，N ={x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N 等于( ) A.{x |x ＜－2} B.{x |x ＞3} C.{x |－1＜x ＜2} D.{x |2＜x ＜3}（2004全国Ⅱ1） 5．若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z ︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2（2012江西理） C 6．设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|2x -2x-3≤0}, 则A ∩（C R B ）= A .(1,4) B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪（3,4） 7．若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为实数集R ，则a 、b 、c 应满足的条件为-----------------------------------------------------------------------（ ） （A ） a ＞0，b 2―4ac ＞0 （B ） a ＞0，b 2 ―4ac ＜0 （C ） a ＜0，b 2―4ac ＞0 （D ） a ＜0，b 2―4ac ＜0 二、填空题 8．已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合{}321,,a a a A =，则满足新高中数学《集合》专项测试 (1145)
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