抽象代数 考核练习题 答案
抽象代数考核练习>> 在线答题结果
单选
一、单选
1、设映射f：A→B和g：B→C，如果gf是双射，那么g是（）。（分数：
2 分）
A. A、单射
B. B、满射
C. C、双射
D. D映射
标准答案是：C。您的答案是：C
2、设M是数域F上的全体100阶方阵的集合，规定～如下：A～B 等价于A的秩=B的秩（A，B 属于M），那么M的所有不同的等价类为（）。
（分数：2 分）
A. A、100个
B. B、101个
C. C、102个
D. D 103个
标准答案是：B。您的答案是：B
3、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（）。（分数：2 分）
A. A、｛1，－1，i , －i｝
B. B、｛1，－1｝
C. C、｛1，－1，i｝
D. D｛1｝
标准答案是：C。您的答案是：C
4、设G是一个100阶的交换群，H是 G的子群， H 的阶=10，则 G/H中10阶元的个数为（）。（分数：2 分）
A. A、9
B. B、4
C. C、1
D. D 5
标准答案是：B。您的答案是：B
5、6阶非交换群的所有子群的个数是（）。（分数：2 分）
A. A、2
B. B、3
C. C、6
D. D 4
标准答案是：C。您的答案是：C
6、在模100的剩余环中，零因子的个数是（）（分数：2 分）
A. A、58
B. B、59
C. C、60
D. D 57
标准答案是：D。您的答案是：D
7、在6次对称群S6中， =（16）（23）（456）的阶为（）。（分数：2 分）
A. A、6
B. B、12
C. C、4
D. D 8
标准答案是：B。您的答案是：B
8、设N是G的不变子群，f:G--G/N,g--gN, 那么 kerf=（）。（分数：2 分）
A. A、G/N
B. B、G
C. C、N
D. D 空集
标准答案是：C。您的答案是：C
9、在模60的剩余类加群（Z60，+）中，<[12]>∩<[18]>=（）。（分数：2 分）
A. A、<[6]>
B. B、<[36]>
C. C、<[-24]>
D. D、<[6]>
标准答案是：B。您的答案是：B
10、在模60的剩余类加群（Z60，+）中，<[12]> + <[18]>=（）。（分数：
2 分）
A. A、<[36]>
B. B、<[15]>
C. C、<[6]>
D. D都不对
标准答案是：C。您的答案是：C
11、在整数加群Z中，<4> + <6> + <10> ＝。（分数：2 分）
A. A、<60>
B. B、<240>
C. C、<2>
D. D、<3>
标准答案是：C。您的答案是：C
12、在同构的意义下,4阶群只有( )。（分数：2 分）
A. A、1种
B. B、2种
C. C 、3种
D. D、无法确定
标准答案是：B。您的答案是：B
13、在模16的剩余类加群Z16--中,4阶元的个数是。（分数：2 分）
A. A、4
B. B、8
C. C、2
D. D、3
标准答案是：C。您的答案是：C
14、在整数环Z中，包含（15）的极大理想是。（分数：2 分）
A. A、（3）
B. B、（5）
C. C、（3）或（5）
D. D、（2）
标准答案是：C。您的答案是：C
15、在模6的剩余类环Z6中，Z6的极大理想是。（分数：2 分）
A. A、（[2]）
B. B、（[2]），（[3]）
C. C、（[3]）
D. D、都不对
标准答案是：B。您的答案是：B
16、在模30的剩余类环Z30中，模30的单位乘群（与30互素的元的剩余类组成的集合，运算为乘法）的阶=
（分数：2 分）
A. A、10
B. B、6
C. C、8
D. D、16
标准答案是：C。您的答案是：C
17、在模12的剩余类环Z12中，零因子的个数是。（分数：2 分）
A. A、6
B. B、7
C. C、8
D. D、8
标准答案是：B。您的答案是：B
18、设群G中的元a的阶为6,,则a-2的阶为( ) （分数：2 分）
A. (A) 6
B. (B) 3
C. (C) 2
D. D、4
标准答案是：B。您的答案是：B
19、若a,b属于G,H是群G的子群，则aH=bH的充要条件是( ) （分数：2 分）
A. (A) ab属于H
B. (B) ab-1属于H
C. (C) a-1b属于H
D. D、都不对
标准答案是：C。您的答案是：C
20、模6的剩余类环Z6的所有可逆元组成的集合是( ) （分数：2 分）
A. (A) {[1],[2],[5]}
B. (B) {[1],[2],[3]}
C. (C) {[1],[5]}
D. D、 {[1],[2],[4]}
标准答案是：C。您的答案是：C
21、若I是一个整环,a,b属于I, 则(a)=(b)的充要条件是（）
（分数：2 分）
A. A) b|a
B. (B) a|b
C. (C) a与b相伴
D. D都不对
标准答案是：C。您的答案是：C
22、下列各集合A对所规定的法则是A的二元运算的是( ) （分数：2 分）
A. (A) A=Z法则 aob=a的b次方
B. (B) A=Z 法则aob=a+2b
C. C) A=R 法则:普通除法
D. ( D
标准答案是：B。您的答案是：B
23、设(Z8,+)是模8的加法剩余类群,其生成元是( ) （分数：2 分）
A. (A) [2]，[3]，[1]
B. (B) [3]，[1]，[5]，[7]
C. (C) [6]，[1]
D. D、都不对
标准答案是：B。您的答案是：B
24、若Q是有理数域,则(Q( 根2):Q)是( ) （分数：2 分）
A. (A) 6
B. (B) 3
D. D
标准答案是：C。您的答案是：C
25、下列不成立的命题是( ) （分数：2 分）
A. (A) 欧氏环是主理想环
B. (B) 整环是唯一分解环
C. (C) 主理想环是唯一分解环
D. D、整数环是唯一分解环
标准答案是：B。您的答案是：B
26、设j是10阶群G到G‘的一个同构映射,a的阶为5,a属于G,则j(a-1)的阶为( ) （分数：2 分）
A. (A) 10
B. (B) 2
C. (C) 5
D. D、4
标准答案是：C。您的答案是：C
27、设A，B是两个不同的集合，下列不正确的一项是（）（分数：2 分）
A. A）A x B＝B xA；
B. B）A 交B ＝B交A
C. C）A 并B＝B并 A
D. D 、都不对
标准答案是：A。您的答案是：A
28、设e是群G的单位元，a属于 G且a的n次方=e,用|a|表示a的阶,则下列一定成立的一项是( ) （分数：2 分）
A. (A)|a|整除n
B. (B)|a| =n
C. (C)n整除 |a|
D. D、都不对
标准答案是：A。您的答案是：A
29、在整数加群(Z,+) 中，(4) 交(6)=( ) （分数：2 分）
A. (A) (2)
B. (B) (12)
C. (C) (24)
D. D、（8）
标准答案是：B。您的答案是：B
30、设H是群G的一个子群，a,b 属于G,则Ha=Hb的充分必要条件是( ) （分数：2 分）
A. (A)a=b
B. (B)a逆 b属于 H
C. (C)ab 逆属于H
标准答案是：C。您的答案是：C
31、设(G, 。)是一个群，N是G的一个子群，则下列不一定成立的一条是( ) （分数：2 分）
A. A)N是G的一个不变子群的充要条件是对任意g属于 G，都有g逆 Ng属于 N
B. B)N是G的不变子群的充要条件是对任意g属于G,对任意n属于N都有g逆ng属于N
C. B)N是G的不变子群的充要条件是对任意g属于G,对任意n属于N都有n逆gn属于N
D. D、都不对
标准答案是：C。您的答案是：C
32、设非空集合G关于乘法运算是封闭的,且 a,b,c G都有a(bc)=(ab)c,则G关于乘法运算构成群的充分必要条件是(
（分数：2 分）
A. A) a,b 属于G方程ax=b或方程ya=b在G中有解
B. B) a,b 属于G方程ax=by 和方程ya=b在G中都有解
C. C)乘法运算的左右消去律都成立.
D. D、都不对
标准答案是：A。您的答案是：A
33、设a是群G中的一个n阶元,k, l属于Z,则a的k次方=a的l次方充要条件是( ) （分数：2 分）
A. A)k= l
B. B)(k－l )整除n
C. C) n整除(k－l )
D. D都不对
标准答案是：C。您的答案是：C
34、在整数加群(Z,+)中,6和15生成的子群(6,15)=( ) （分数：2 分）
A. A)(3)
B. B)(30)
C. C)(6)
D. D、（2）
标准答案是：A。您的答案是：A
35、若R=2Z是偶数环,则R是( ) （分数：2 分）
A. (A)有单位元的无零因子环
B. (B)无零因子环
C. (C)整环
D. D 都不对
标准答案是：B。您的答案是：B
36、下列三个关系中为等价关系的是( ) （分数：2 分）
A. (A) 集合之间的“包含”关系；
B. (B) 群之间的同态关系；
C. (C) 环之间的同构关系
D. D、直线的平行关系
标准答案是：C。您的答案是：C
37、模10的剩余类加群的所有子群是( ) （分数：2 分）
A. (A) ([0]); ([1]); ([2]); ([5])
B. (B) ([0]); ([1]); ([2]); ([7])
C. (C) ([0]); ([1]); ([5]); ([9])
D. D、都不对
标准答案是：A。您的答案是：A
38、设H是群G的一个非空子集,则下列不成立的一条是( ) （分数：2 分）
A. (A) H是G的子群的充分必要条件是ａ,ｂ属于H都有ab属于H;
B. (B) H是G的子群的充分必要条件是ａ,ｂ属于H都有aｂ逆属于H;
C. (C) H是G的子群的充分必要条件是ａ,ｂ属于H，都有a 逆属于H且ab 属于H;
D. （ D）都不对
标准答案是：A。您的答案是：A
39、模8的剩余类加群的生成元是（）（分数：2 分）
A. (a) [2]
B. (b) [4]
C. (c) [6]
D. D、[5]
标准答案是：D。您的答案是：D
40、环（Z12 ,+，。）关于乘法的所有可逆元的个数为（）（分数：2 分）
A. (a) 3
B. (b) 4
C. (c) 5
D. D、6
标准答案是：B。您的答案是：B
41、高斯整数环Z[i]的单位有（）个（分数：2 分）
A. (a) 2
B. (b) 3
C. (c) 4
D. D、6
标准答案是：C。您的答案是：C
42、下面不成立的命题是（）（分数：2 分）
A. (a) 整数环是主理想环
B. (b) 整数环是欧氏环
C. (c) 主理想环是欧氏环
D. （d）都不对
标准答案是：C。您的答案是：C
43、设G＝Z，对G规定运算o，下列规定中只有（）构成群。（分数：2 分）
A. (a) aob=a+b-2
B. (b) aob=a b
C. (c) aob=2 a+3 b （“ ”为数的乘法）
D. D、都不对
标准答案是：A。您的答案是：A
44、设(p)与(q)是整数环的主理想，其中p,q是互不相同的质数，则(p) 交(q)是（）（分数：2 分）
A. (a) (p)
B. (b) (q)
C. (c) (pq)
D. (d)都不对
标准答案是：C。您的答案是：C
45、模16的剩余类加群Z16的生成元的个数是（）（分数：2 分）
A. （A）16
B. （B）1
C. （C）8
D. （D）5
标准答案是：C。您的答案是：C
46、高斯整数环Z[i ] = {a＋bi|a，b∈Z }的单位是（）（分数：2 分）
A. （A）±1
B. （B）±i
C. （C）±1，±i
D. （D）1，i
标准答案是：C。您的答案是：C
47、下面不成立的命题是（）（分数：2 分）
A. （A）域是整环
B. （B）除环是域
C. （C）除环是整环
D. （D）除环不是整环
标准答案是：B。您的答案是：B
48、下列正确的命题是（）（分数：2 分）
A. A欧氏环一定是唯一分解环；
B. B主理想环必是欧氏环；
C. C唯一分解环必是主理想环；
D. D唯一分解环必是欧氏环。
标准答案是：A。您的答案是：A
49、设 f是环R1到R2的同态满射，f(a)=b ，那么下列错误的结论为（）（分
A. a)若a 是零元，则 b是零元；
B. b)若a 是单位元，则 b是单位元；
C. c)若 a不是零因子，则 b不是零因子；
D. d)若R1是交换的，则 R2交换。
标准答案是：C。您的答案是：C
50、若 I是域F 的有限扩域， E是 I的有限扩域，那么（）（分数：2 分）
A. A (E:I)=(E:I)(I:F)；
B. B (F:E)=(I:F)(E:I)；
C. C (I:F)=(E:F)(F:I)；
D. D (E:F)=(E:I)(I:F)。
标准答案是：D。您的答案是：D
51、设S3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是( ) （分数：2 分）
A. A.1
B. B.2
C. C.3
D. D.4
标准答案是：C。您的答案是：C
52、整数环Z中，可逆元的个数是( )。（分数：2 分）
A. A.1个
B. B.2个
C. C.4个
D. D.无限个
标准答案是：B。您的答案是：C
53、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B 中含有（）个元素。（分数：2 分）
A. A.2
B. B.5
C. C.7
D. D.10
标准答案是：D。您的答案是：D
54、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射f：x→x＋2，x∈R，则 f是从A到B的（）（分数：2 分）
A. A.满射而非单射
B. B.单射而非满射
C. C.一一映射
D. D.既非单射也非满射
标准答案是：C。您的答案是：C 55、设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（）个。（分
A. A.2
B. B.4
C. C.6
D. D.8
标准答案是：B。您的答案是：B
56、G是12阶的有限群，H是G的子群，则H的阶可能是( ) （分数：2 分）
A. A 5；
B. B 6；
C. C 7；
D. D 9.
标准答案是：B。您的答案是：B
57、下面的集合与运算构成群的是 ( ) （分数：2 分）
A. A {0，1}，运算为普通的乘法；
B. B {0，1}，运算为普通的加法;
C. C {-1，1}，运算为普通的乘法；
D. D {-1，1}，运算为普通的加法;
标准答案是：C。您的答案是：C
58、关于整环的叙述，下列正确的是 ( ) （分数：2 分）
A. A 左、右消去律都成立；
B. B 左、右消去律都不成立;
C. C 每个非零元都有逆元；
D. D 每个非零元都没有逆元;
标准答案是：A。您的答案是：A
59、关于理想的叙述，下列不正确的是 ( ) （分数：2 分）
A. A 在环的同态满射下，理想的象是理想;
B. B 在环的同态满射下，理想的逆象是理想;
C. C 除环只有两个理想，即零理想和单位理想
D. D 环的最大理想就是该环本身.
标准答案是：D。您的答案是：D
60、在3次对称群S3中，阶为3的元有( ). （分数：2 分）
A. A. 0个
B. B. 1个
C. C. 2个
D. D. 3个
标准答案是：C。您的答案是：C
61、剩余类环Z6的子环有( ). （分数：2 分）
A. A. 3个
B. B. 4个
C. C. 5个
D. D. 6个
标准答案是：B。您的答案是：B
62、下述集合中，哪一个是模4剩余类的完全集（）（分数：2 分）
A. A {【1】，【2】、【3】、【4】}
B. B {【2】、【3】、【4】}
C. C {【1】，【3】、【4】}
D. D {【1】，【2】、【3】}
标准答案是：A。您的答案是：A
63、设 (G,。)是代数系统，则当代数运算满足（），构成群。（分数：2 分）
A. A 结合律、消去律成立
B. B 结合律、交换律成立
C. C结合律成立、单位元、逆元存在
D. D单位元、逆元存在
标准答案是：C。您的答案是：C
64、群 G的单位元（）（分数：2 分）
A. A 只有一个
B. B 不存在
C. C 可能有多个
D. D 也可能不存在
标准答案是：A。您的答案是：A
65、设（G,。）是代数系统， G是有限集合，则当满足（）时，构成群。（分数：2 分）
A. A 结合律、交换律成立
B. B 结合律、消去律成立
C. C交换律、消去律成立
D. D 结合律、分配律成立
标准答案是：B。您的答案是：B
66、n次对称群的阶为（）
（分数：2 分）
A. Ａ n
B. Ｂ 2n
C. Ｃ 3n
D. Ｄ n！
标准答案是：D。您的答案是：D
67、一个群若是非交换群，它的阶至少为（）
（分数：2 分）
A. Ａ 4
B. Ｂ 2
C. Ｃ 3
D. Ｄ 6
标准答案是：D。您的答案是：D
68、在一个阶为偶数的群里，阶为偶数的元的个数为（）
（分数：2 分）
A. Ａ偶数
B. Ｂ奇数
C. Ｃ不确定
D. Ｄ 4
标准答案是：B。您的答案是：B
69、中的一个置换（1423）的逆元（）
（分数：2 分）
A. Ａ（1234）
B. Ｂ（1324）
C. Ｃ（1342）
D. Ｄ（1243）
标准答案是：B。您的答案是：B
70、S4中有24个元，Ｋ={ （1），（12）（34），（13）（24），（14）（23）}在其中的右陪集个数为（）
（分数：2 分）
A. Ａ 6
B. Ｂ 12
C. Ｃ 8
D. Ｄ 4
标准答案是：A。您的答案是：A
71、实数域的商域是（）（分数：2 分）
A. 有理数域
B. 实数域
C. 复数域
D. 都不对
标准答案是：B。您的答案是：B
72、在无零因子环中，乘法满足（）（分数：2 分）
A. 幂等律
B. 交换律
C. 分配律
D. 消去律
标准答案是：D。您的答案是：D
73、下述论断成立的是（）
（分数：2 分）
A. 整环一定是除环
B. 除环一定是整环
C. 整环一定是域
D. 域一定是整环
标准答案是：D。您的答案是：D
74、设 R是一个整环，则多项式环R[X] 是一个（）（分数：2 分）
A. 整环
B. 除环
C. 域
D. 商环
标准答案是：A。您的答案是：A
75、在一般的环中，单位元有（）（分数：2 分）
A. 0个
B. 1个
C. 可能有多个
D. 可能有，也可能没有
标准答案是：D。您的答案是：D
[精华版]近世代数期末考试试卷及答案
[精华版]近世代数期末考试试卷及答案 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集( )是子群。 33,,,,aa,e,,e,a,,e,a,aA、 B、 C、 D、 2、下面的代数系统(G，*)中，( )不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的,( ) A、a*b=a-b,,,B、 a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| ,,,,,,3322114、设、、是三个置换，其中=(12)(23)(13)，=(24)(14)，= ,3(1324)，则=( ) 22,,,,,,122121A、 B、 C、 D、 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它( )。 A、不可能是群,,,B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 4Gaa3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。 4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A?B=-----。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。,,
近世代数_杨子胥_第二版课后习题答案
近世代数题解 第一章基本概念 §1. 1 1. 4. 5. 近世代数题解§1. 2 2. 3. 近世代数题解§1. 3 1. 解 1)与3)是代数运算，2)不是代数运算． 2. 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数n n． 3. 解例如AοB＝E与AοB＝AB—A—B． 4. 5. 近世代数题解§1. 4 1. 2. 3.解 1）略 2）例如规定 4．
近世代数题解§1. 5 1. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射． 2.略 3. 4. 5. §1. 6 1. 2. 解 1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性； 3)是等价关系；4)是等价关系． 3. 解 3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类． 4. 则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)．5. 6.证 1）略2） 7. 8.
9. 10. 11. 12. 第二章群 §2. 1 群的定义和初步性质 一、主要内容 1．群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子． 2．群的初步性质 1)群中左单位元也是右单位元且惟一； 2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一： 3)半群G是群?方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)． 4)有限半群作成群?两个消去律成立． 二、释疑解难 有资料指出，群有50多种不同的定义方法．但最常用的有以下四种： 1)教材中的定义方法．简称为“左左定义法”； 2)把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元(其余不动〕．简称为“右右定义法”； 3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”； 4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)．此简称为“方程定义法”． “左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说．“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续
《抽象代数基础》习题解答
《抽象代数基础》习 题 答 解 于延栋编 盐城师范学院数学科学学院二零零九年五月
第一章 群 论 §1 代数运算 1.设},,,{c b a e A =,A 上的乘法”“?的乘法表如下: 证明: ”“?适合结合律. 证明 设z y x ,,为A 中任意三个元素.为了证明”“?适合结合律,只需证明 )()(z y x z y x ??=??. 下面分两种情形来阐明上式成立. I.z y x ,,中至少有一个等于e . 当e x =时,)()(z y x z y z y x ??=?=??; 当e y =时,)()(z y x z x z y x ??=?=??; 当e z =时,)()(z y x y x z y x ??=?=??. II .z y x ,,都不等于e . (I)z y x ==.这时,)()(z y x e x x z z e z y x ??=?===?=??. (II)z y x ,,两两不等.这时,)()(z y x x x e z z z y x ??=?==?=??. (III)z y x ,,中有且仅有两个相等. 当y x =时,x 和z 是},,{c b a 中的两个不同元素,令u 表示},,{c b a 中其余的那个元素.于是,z z e z y x =?=??)(,z u x z y x =?=??)(,从而,)()(z y x z y x ??=??.同理可知,当z y =或x z =时,都有)()(z y x z y x ??=??. 2.设”“?是集合A 上一个适合结合律的代数运算.对于A 中元素,归纳定义∏=n i i a 1为: 111a a i i =∏=,111 1+=+=????? ??=∏∏r r i i r i i a a a . 证明: ∏∏∏+==+==???? ??????? ??m n k k m j j n n i i a a a 1 11.
抽象代数复习题及答案.docx
《抽象代数》试题及答案 本科 一、单项选择题 ( 在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题 3 分) 1. 设 Q 是有理数集，规定 f(x)= x +2； g(x)= x 2 +1, 则（ fg ） (x) 等于（ B ） A. x 2 2 x 1 B. x 2 3 C. x 2 4x 5 D. x 2 x 3 2. 设 f 是 A 到 B 的单射， g 是 B 到 C 的单射，则 gf 是 A 到 C 的 （ A ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S = {（ 1），（1 2），（ 1 3），（ 2 3），（ 1 2 3），（ 1 3 2）} ，则 S 中与元素 （ 1 32）不能交换的元的个数是 ( C )。 3 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环 Z 中，可逆元的个数是 ( B ) 。 A. 1 个 B. 2 个 C. 4 个 D. 无限个 5. 剩余类环 Z 的子环有 ( B ) 。 10 A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 6. 设 G 是有限群， a G, 且 a 的阶 |a|=12, 则 G 中元素 a 8 的阶为 ( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 7．设 G 是有限群，对任意 a,b G ，以下结论正确的是 ( A ) A. (ab) 1 b 1a 1 B. b 的阶不一定整除 G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设 G 是循环群，则以下结论不正确 的是 ( A ) ．．． A. G C. G 的商群不是循环群 是交换群 D. G B. G 的任何子群都是正规子群 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下 A A 的子集为等价关系的是 ( C ) A. R 1 = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. R 2 = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. R 3 = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. R 4 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设 f 是 A 到 B 的满射， g 是 B 到 C 的满射，则 gf 是 A 到 C 的 （ B ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {（1），（ 1 2），（ 1 3），（ 2 3），（ 1 2 3），（ 1 3 2）} ，则 S 3 中与元素（ 1 2）能交换的元的个数是 ( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 在剩余类环 Z 8 中，其可逆元的个数是 ( D ) 。 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 13. 设（ ， +，·）是环 ，则下面结论不正确的有 ( C ) 。 R A. R 的零元惟一 B. 若 x a 0 ，则 x a C. 对 a R ， a 的负元不惟一 D. 若 a b a c ，则 b c 14. 设 G 是群， a G, 且 a 的阶 |a|=12, 则 G 中元素 a 32 的阶为 ( B )
近世代数初步_习题解答(抽象代数)
《近世代数初步》 习题答案与解答
引 论 章 一、知识摘要 1.A 是非空集合,集合积A A b a b a A A 到},:),{(∈=?的一个映射就称为A 的一个代数运算(二元运算或运算). 2. 设G 非空集合,在G 上有一个代数运算,称作乘法,即对G 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的积,记为c=ab.若这个运算还满足：,,,G c b a ∈? (1),ba ab = (2)),()(bc a c ab = (3)存在单位元e 满足,a ae ea == (4)存在,'G a ∈使得.''e a a aa =='a 称为a 的一个逆元素. 则称G 为一个交换群. (i)若G 只满足上述第2、3和4条,则称G 为一个群. (ii) 若G 只满足上述第2和3条,则称G 为一个幺半群. (iii) 若G 只满足上述第2条,则称G 为一个半群. 3.设F 是至少包含两个元素的集合,在F 上有一个代数运算,称作加法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的和,记为c=a+b.在F 上有另一个代数运算,称作乘法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素d 与之对应,d 称为a 与b 的积,记为d=ab.若这两个运算还满足： I. F 对加法构成交换群. II. F*=F\{0}对乘法构成交换群. III..)(,,,ac ab c b a F c b a +=+∈? 就称F 为一个域. 4.设R 是至少包含两个元素的集合,在R 上有加法和乘法运算且满足： I. R 对加法构成交换群(加法单位元称为零元,记为0;加法单位逆元称为负元). II. R *=R\{0}对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为1). III. .)(,)(,,,ca ba a c b ac ab c b a R c b a +=++=+∈? 就称R 为一个环. 5.群G 中满足消去律：.,,,c b ca ba c b ac ab G c b a =?==?=∈?且 6.R 是环,),0(00,,0,==≠∈≠∈ba ab b R b a R a 或且若有则称a 是R 中的一个左(右)零因子. 7.广义结合律:半群S 中任意n 个元a 1,a 2,…,a n 的乘积a 1a 2…a n 在次序不变的情况下可以将它们任意结合. 8.群G 中的任意元素a 及任意正整数n,定义： 321个 n n a aa a ...=,43421个 n n a a a a e a 1 110...,----==. 则由广义结合律知,,,Z n m G a ∈?∈?有 .)(,)(,1m m mn n m n m n m a a a a a a a --+=== (在加法群中可写出相应的形式.)
近世代数期末考试试卷
近世代数模拟试题二 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
抽象代数期末考试试卷及答案
抽象代数试题 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、6阶有限群的任何子群一定不是( )。 A、2阶 B、3阶 C、4阶D6阶 2、设G是群，6有()个兀素，则不能肯定G是交换群。 A 4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。 A、偶数B奇数C、4的倍数D、2的正整数次幕 4、下列哪个偏序集构成有界格( ) A、(N, ) B 、(乙) C、({2,3,4,6,12},| (整除关系)) D (P(A),) 5、设S3= {(1) , (12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3 中可以与(123) 交换的所有元素有() A (1)，(123)，(132) B 、12)，(13)，(23) C、⑴，(123) D 、S3中的所有元素 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、群的单位元是---- 的，每个元素的逆元素是-------- 的。 2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，贝卩f1fa ----------------------- , 3、区间［1，2］上的运算a b {min a,b}的单位元是 ------- 。 4、可换群G 中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= ------------------------------ 。 5、环Z8的零因子有 -------------- 。 &一个子群H的右、左陪集的个数 -------- 。 7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-------- 。 8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的 -------- 。
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ c ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{} 3 ,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2 σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----双射-------------。
近世代数期末试题
近 世 代 数 试 卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 （ ） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。 （ ） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。 （ ） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。 （ ） 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 （ ） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。 （ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。 （ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 （ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整 数环，()p 是由素数p 生成的主理想。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。
《近世代数》习题及答案
《近世代数》作业 一．概念解释 1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想 7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元 二．判断题 1．Φ是集合n A A A ??? 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。 3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算 能作成一个群。 4．假如一个集合A 的代数运算 适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。 5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。 6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是： 1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。 7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。 8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。 9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。 10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算 适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。 11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。 12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么* F 的任何有限子群 G 必为循环群。 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 （ ） 14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ?也为G 的子群。 （ ） 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 （ ） 三．证明题 1． 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。 2．设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。
近世代数期末试卷
近世代数期末试卷 一、填空题（共20分） 1. 设G＝（a）是6阶循环群，则G的子群有。 2. 设A、B是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义个从A到B的映射，其中 有个单射，有个满射，有个双射。 3. 在4次对称群S4中，（24）（231）＝，（4321）－1＝，（132）的阶为。 4. 环Z6的全部零因子是。 5. 整环Z中的单位有。 6. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=
近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-1(新)
近世代数课后习题参考答案 第一章 基本概念 1 集合 1.A B ?,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ?只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明 如下 当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ?,显然矛盾; 若A B ?,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故B A = 2.假定B A ?,?=B A ,A ∩B=? 解? 此时, A ∩B=A, 这是因为A ∩B=A 及由B A ?得A ?A ∩B=A,故A B A = ,B B A ? , 及由B A ?得B B A ? ,故B B A = , 2 映射 1.A =}{ 100,3,2,1，??,找一个A A ?到A 的映射. 解? 此时1),(211=a a φ A a a ∈21, 1212),(a a a =φ 易证21,φφ都是A A ?到A 的映射. 2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ?到A 的一个元的的象? 解?容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ?的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ?的象. 3 代数运算 1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法 是A A ?到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ? 解?取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ?到D 的代数运算;同时说明这样的D 不 只一个. 2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算. 解? a b c a a b c a b c
b b c a a a a a c c a b b d a a c a a a 4 结合律 1.A ={所有不等于零的实数}. 是普通除法:b a b a = .这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律: 2 1 2)11(= , 2)21(1= ,从而 )21(12)11( ≠. 2.A ={所有实数}. : b a b a b a =+→2),(这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律 c b a c b a 22)(++= ,c b a c b a 42)(++= )()(c b a c b a ≠ 除非0=c . 3.A ={c b a ,,},由表 所给的代数运算适合不适合结合律? 解? 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律. 5 交换律 1.A ={所有实数}. 是普通减法:b a b a -= .这个代数运算适合不适合交换律? 解? 一般地a b b a -≠- 除非b a =. 2.},,,{d c b a A =,由表 a b c d a a b c d b b d a c c c a b d d d c a b 所给出代数运算适合不适合交换律? a b c a a b c b b c a c c a b
近世代数期末考试题库
近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) - 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 ~ 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：? ? ????=6417352812345678σ，??? ???=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。 ， 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
《近世代数》模拟试题2及答案
近世代数模拟试题 一、单项选择题(每题5分,共25分) 1、在整数加群(Z,＋)中,下列那个就是单位元( )。 A 0 B 1 C －1 D 1/n,n就是整数 2、下列说法不正确的就是( )。 A G只包含一个元g,乘法就是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群 B G就是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群 C G就是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群 D G就是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群 3、下列叙述正确的就是( )。 A 群G就是指一个集合 B 环R就是指一个集合 C 群G就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 D 环R就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 4、如果集合M的一个关系就是等价关系,则不一定具备的就是( )。 A 反身性 B 对称性 C 传递性 D 封闭性 S的共轭类( )。 5、下列哪个不就是 3 A (1) B (123),(132),(23) C (123),(132) D (12),(13),(23) 二、计算题(每题10分,共30分) S的正规化子与中心化子。 1、求S＝{(12),(13)}在三次对称群 3
2、设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶。 3、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,求出其右零因子。
三、证明题(每小题15分,共45分) 1、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,证明??? ? ??0,00,0就是其零因子。 2、设Z 就是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3。证明:Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元。
近世代数练习题题库
近世代数练习题题库 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020
§1 第一章 基础知识 1 判断题： 1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。（ ） 1.2 A ×B = B ×A （ ） 1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。（ ） 1.4 如果?是A 到A 的一一映射,则?[?(a)]=a 。( ) 1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。（ ） 1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（ ） 1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。（ ） 1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。( ) 2 填空题： 2.1 若A={0,1} , 则A ?A= __________________________________。 2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。 2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ?B=_______。 2.4 设A={1,2}, 则A ?A=_____________________。 2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{ }2,1=B ，则有=?A B 。 2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则 ()[]=-a f f 1 。 2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。
《近世代数》模拟试题1及答案
近世代数模拟试题 一. 单项选择题(每题5分，共25分) 1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）. A. 0 B. 1 C. －1 D. 1/n，n是整数 2、下列说法不正确的是（）. A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群; B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群; C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群; D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群. 3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ). A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）. A. Z没有生成元. B. 1是其生成元. C. －1是其生成元. D. Z是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（）。 A. 群G是指一个集合. B. 环R是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元， 逆元存在. D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，
逆元存在. 二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ???? == ? ?-????， 的阶. 2. 试求出三次对称群 {}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.
3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明. 三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分). 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程
2010近世代数B卷试卷模板
合 肥 工 业 大 学 试 卷（A 、B ） 2010 ～2011学年第一 学期 课程代码 10000400 课程名称 近世代数 学分 3 课程性质:必修 选修 限修 考试形式:开卷 卷 专业班级（教学班） 2008数学、信息计 考试日期 2010.11. 命题教师 李平 系（所或教研室）主任审批签名 命题教师注意事项:1、主考教师必须于考试一周前将“试卷A ”、“试卷B ”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。 2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用A4纸横式打印贴在试卷版芯中。 注：本试卷中整环均指有单位元1且1≠0的无零因子的交换环。 一 、判断题（每小题2分，共20分，对的写√，错的写×）。 1. 三元集{,,}A a b c =上恰好可以规定9个不同的代数运算。 ( ) 2. 单位元为e 的群G 中，若元,a b 满足ab e =，则ba e =。 ( ) 3. 不是每一个有限群都与一个置换群同构。 ( ) 4. 27元域27F 的特征是27。 ( ) 5. 除环仅有两个理想。 ( ) 6. 整数环2Z 是整环。 ( ) 7. 11阶群一定是交换群。 ( ) 8. 设G 是一个循环群，N 是G 的子群，则G/N 是循环群。 ( ) 9．5阶交换环一定是域。 ( ) 10．6阶群仅有2个生成元。 ( ) 二、 填空题（每小题4分，共24分） 1．Z 是整数集，对Z 定义乘法“ ”：,,3 a b Z ab a b ?∈=++ 。则},{ Z 是一个群，它的单位元是 ，6在},{ Z 中的逆元是 2．模9的剩余类环10Z ={[0],[1],,[8] }的全部零因子是 。 3．模18的剩余类加群恰好有 个子群。 4．3次对称群3S 恰好有 个3阶子群。 5．若R 是有单位元的环，a R ∈，则理想()a = 。 6．8次对称群8S 中元素(35)(24678)的阶是 。 三、 综合题（共56分） 1、R 是有单位元1R 的环，{1|}R S n n Z =∈。求证：S 是R 的子环。（6分） 2. 设,H K 是群G 子群，且HK KH =，求证：HK 是G 的子群。（6分） 3. 群G 是4阶非循环群，写出它的代数运算表。 （8分） 4. 求模18的剩余类环18Z 的所有理想，并指出哪些是极大理想。（8分） 5. 设:R R ?→是环同态，0是R 的零元，求证：(0)?是R 的零元。（6分） 6．设:R R ?→是环满同态，R 有单位元1R ，求证：R 也有单位元。（6分） 7. 设:f R R →是环同态，求证： Kerf 是R 的理想。（6分） 8．求证：商环[]/(,)Z x x n 与模n 的剩余类环同构。（10分）
抽象代数复习题及答案
《抽象代数》试题及答案 本科 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分) 1. 设Q 是有理数集，规定f(x)= x +2；g(x)=2 x +1,则（fg ）(x)等于（ B ） A. 2 21x x ++ B. 2 3x + C. 2 45x x ++ D. 2 3x x ++ 2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 （ A ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。 \ A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无限个 5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8 a 的阶为( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 9 7．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A ) A. 111 ) (---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 [ C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ?A 的子集为等价关系的是( C ) A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 （ B ） A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 … 12. 在剩余类环8Z 中，其可逆元的个数是( D )。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13. 设（R ，+，·）是环 ，则下面结论不正确的有( C )。 A. R 的零元惟一 B. 若0x a +=，则x a =-
近世代数期末试题
近 世 代 数 试 卷 一、判断题(下列命题您认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都就是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都就是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 就是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶就是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 就是循环群,那么G 也就是循环群。 ( ) 6、群G 的子群H 就是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征就是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 就是整数环,()p 就是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21Λ与D 都就是非空集合,而f 就是n A A A ???Λ21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同;②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换; ③n A A A ???Λ21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算就是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a +=ο; ②在有理数集Q 上,ab b a =ο; ③在正实数集+R 上,b a b a ln =ο;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -=ο。 3、设ο就是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax =ο(即取a 与b 中的最大者),那么ο在Z 中( ) ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。 4、设()ο,G 为群,其中G 就是实数集,而乘法k b a b a ++=οο:,这里k 为G 中固定