13一模解析几何
13年各区一模试题
1.已知椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的两个焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过1F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且△2MNF 的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过原点O 的两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于A ，B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值．
解：（I ）由题意知，48a =，所以2a =．因为12e =所以2222
22
314
b a
c e a a -==-=， 所以2
3b =． 所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=．
（II ）由题意,当直线AB 的斜率不存在，此时可设00(,)A x x ，00(,)B x x -.
又A ，B 两点在椭圆C 上，所以2200143x x +=，20127x =
．d ==
． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+．
由22,
14
3y kx m x y =+???+=??消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=．
由已知0?>．设11(,)A x y ，22(,)B x y ．所以122834km x x k +=-+，2122
412
34m x x k -=+．
因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=．所以1212()()0x x kx m kx m +++=．
即2
2
1212(1)()0k x x km x x m ++++=．所以222
2
222
4128(1)03434m k m k m k k
-+-+=++． 整理得)1(1272
2+=k m ，满足0?>．
所以点O 到直线AB
的距离7
d =
=
为定值． 2.已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C
过点(1,
2,
离心率为2
，点A 为其右顶点.过点(10)B ，作直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于点M ，N .
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）求EM FN ?
的取值范围.
解：（Ⅰ）设椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>
，依题意得2
22
22,1314a b c c
a
a b ?=+??
?=???+=??
解得24a =，21b =.
所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=. ………………………………………………4分
（Ⅱ）显然点(2,0)A .
（1）当直线l 的斜率不存在时，不妨设点E 在x
轴上方，易得(1,E F
，(3,M N ，所以1EM FN ?=
. …………………………………………6分
（2）当直线l 的斜率存在时，由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-，显然0k =时，不符合题意.
由22
(1),440
y k x x y =-??
+-=?得2222
(41)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)E x y F x y ,则2212122
2844
,4141
k k x x x x k k -+==++. 直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22
y y
y x y x x x =
-=---， 令3x =，则1212(3,
),(3,)22y y M N x x --. 所以1111(3)(3,)2y x EM x x -=-- ，2222(3)
(3,)2y x FN x x -=-- . 所以11221212(3)(3)
(3)(3)22
y x y x EM FN x x x x --?=--+?--
121212(3)(3)(1)(2)(2)y y x x x x =--+
--2121212(1)(1)
(3)(3)(1)(2)(2)
x x x x k x x --=--+?--
2121212121212()1
[3()9][1]
2()4
x x x x x x x x k x x x x -++=-++?+?
-++
22
2222222222
244814484141(39)(1)4484141
244141
k k k k k k k k k k k k k --+-++=-?+?+?-++-?+++222
2
1653()(1)414k k k k +-=?++ 2221651
1164164
k k k +==+++. ……………………………………………12分
因为2
0k >，所以2
1644k +>，所以22
1655
11644
k k +<<+，即5(1,)4EM FN ?∈ . 综上所述，EM FN ? 的取值范围是5
[1,)4
. ……………………………………14分
3.已知动点P 到点A （-2,0）与点B （2,0）的斜率之积为1
4
-，点P 的轨迹为曲线C 。
(Ⅰ)求曲线C 的方程；
(Ⅱ)若点Q 为曲线C 上的一点，直线AQ ，BQ 与直线x =4分别交于M 、N 两点，直线BM 与椭圆的交点为D 。求证，A 、D 、N 三点共线。
解：（I ）设P 点坐标(,)x y ，则2AP y k x =
+（2x ≠-），2
BP y
k x =-（2x ≠）， 由已知1224
y y x x ?=-+-，化简得：22
14x y +=.所求曲线C 的方程为2214x y +=（2x ≠±）
。 （II ）由已知直线AQ 的斜率存在， 且不等于0，设方程为(2)y k x =+，
由2244
(2)x y y k x ?+=?=+?
，消去y 得：
2222(14)161640k x k x k +++-=???（1）.
因为2-，Q x 是方程（1）的两个根， 所以22164214Q k x k --?=+，得2
2
2814Q k x k -=+，
又222
284(2)(2)1414Q Q k k
y k x k k k -=+=+=
++，所以222284(,)1414k k Q k k -++。 当4x =，得6M y k =，即(4,6)M k 。 又直线BQ 的斜率为14k -
，方程为1(2)4y x k =--，当4x =时，得12N y k =-，即1
(4,)2N k
-。 直线BM 的斜率为3k ，方程为3(2)y k x =-。由2244
3(2)x y y k x ?+=?=-?
，消去y 得：
2222(136)14414440k x k x k +-+-=???（2）.
因为2，D x 是方程（2）的两个根，所以2214442136D k x k -?=+， 得22722136D
k x k -=+，又2123(2)136D D k
y k x k =-=-+， 即22272212(,)136136k k D k k --++。由上述计算：(2,0)A -，222
72212(,)136136k k D k k
--++，1
(4,)2N k -。 因为112AD k k =-
，1
12AN k k
=-，所以AD AN k k =。所以A 、D 、N 三点共线。
4.已知抛物线2:2C y px =的焦点坐标为(1,0)F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A B ,两点，直线AO BO ,分别与直线m ：2x =-相交于M N ,两点.
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）证明△ABO 与△MNO 的面积之比为定值. （Ⅰ）由焦点坐标为(1,0) 可知
12
p =所以2=p 所以抛物线C 的方程为x y 42
=…………………4分 （Ⅱ）当直线l 垂直于x 轴时，ABO ?与MNO ?相似，所以
21()24
ABO
MNO OF S S ??== 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为(1)y k x =-………………………7分
设)y 2,(M -M ，)y 2,(N -N ，),(11y x A ，),(22y x B ，
解 2(x 1)
4y k y x
=-??=? 整理得 2222(42)0k x k x k -++=，所以121=?x x
121
sin 121224sin 2ABO MNO
AO BO AOB S x x AO BO S MO NO MO NO MON ?????∠∴
==?=?=???∠
综上 14ABO MNO S S ??= 5． 已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C 过P(2
，直线l ：y=kx+m(k ≠0)交椭圆C 于不同的两点A ，B 。（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）是否存在实数k ，使线段AB 的垂直平分线经过点Q （0,3）？若存在求出 k 的取值范围；若不存在，请说明理由。
解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22
221x y a b
+=()0a b >>，由题意
22224
42
1
a b a b
?-=??+=??，解得2
8a =，24b =，所以椭圆C 的方程为22184x y +=. ……………………5分 （Ⅱ）假设存在斜率为k 的直线，其垂直平分线经过点Q （0,3）， 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，AB 的中点为N(x 0,y 0),
由22
184x y y kx m ?+=???=+?
得222
(12)4280k x mkx m +++-=, ……………………………………………6分 222222164(12)(28)648320m k k m k m ?=-+-=-+>，所以22840k m -+>,……………7分
122412mk x x k +=-
+, ∴12022212x x mk x k +==-+，00
2
12m y kx m k =+=+, 线段AB 的垂直平分线过点Q （0,3）， ∴1NQ k k ?=-，即
00
3
1y k x -?=-，∴236m k -=+， 0?> ， 整理得4
2
362850k k ++<，显然矛盾∴不存在满足题意的k 的值。……………………………13分
A
B
G
H
6.已知圆M
：222
(x y r
+=（0
r>）.若椭圆C：
22
22
1
x y
a b
+=（0
a b
>>）的右顶点为圆M
的圆心，离心率为（I）求椭圆C的方程；
（II）若存在直线l：y kx
=，使得直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点，点G在线段AB上，且AG BH
=，求圆M半径r的取值范围.
解：（I）设椭圆的焦距为2c
，因为a=
，
c
a
=1
c=，所以1
b=. 所以椭圆C：
2
21
2
x
y
+=……4分
（II）设A（1x，1y），B(2x，2y)由直线l与椭圆C交于两点A，B，则22
220
y kx
x y
=
?
?
+-=
?
所以22
(12)20
k x
+-=，则
12
x x
+=，
122
2
12
x x
k
=-
+
………………6分
所以AB==M
0）到直线l
的距离d=
则GH=H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y kx
=就是y轴，矛盾，
所以要使AG BH
=，只要AB GH
=
所以
22
2
22
8(1)2
4()
121
k k
r
k k
+
=-
++
22424
2
224242
22(1)2(331)
2(1)
112231231
k k k k k
r
k k k k k k
+++
=+==+
++++++
………………11分
当0
k=
时，r=12分
当0
k≠时，
2
42
11
2(1)2(1)3
132
2
r
k k
=+<+=
++
又显然
2
42
1
2(1)2
2
r
k k
=+>
++,
<
r<14分
7.在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线:2
l x=的距离是到点(1,0)
F
倍．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线FP与（Ⅰ）中曲线交于点Q，与l交于点A，分别过点P和Q作l的垂线，垂足为,
M N，问：是否存在点P使得APM
?的面积是AQN
?面积的9倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（Ⅰ）解：设点P的坐标为(,)
x y
x
-……………3分
化简得 2222x y +=所以动点P 的轨迹方程为 2222x y += ……………………………5分 （Ⅱ）设直线FP 的方程为1x ty =+，点1122(,),(,)P x y Q x y 因为AQN ?∽APM ?，所以有3PM QN =，由已知得3PF QF =，
所以有123y y =-（1） ……………………………7分
由22
122
x ty x y =+??+=?，得22(2)210t y ty ++-=，0?> 12222t y y t +=-
+（2），12
21
2
y y t ?=-+（3） ……………………………10分 由（1）（2）（3）得1211,1,3t y y =-==-或121
1,1,3t y y ==-=
所以 存在点P 为(0,1)±
8.设椭圆的左、右焦点分别为12F F 、，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足
112BF F F =
，且
． （Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若过三点的圆与直线相切，求椭圆的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于M N 、两点，线段MN 的中垂线与轴
相交于点，求实数
的取值范围．
解：（Ⅰ）连接1AF ，因为，，所以112AF
F F =
即2a c =，故椭圆的离心率 （Ⅱ）由（Ⅰ）知
得于是21(,0)2F a ,3(,0)2a B -，Rt ABC ?的外接圆圆心为11(,0)2F a -），半径21
||2
r F B a ==．．．．．．．．．．．．4分
由已知圆心到直线的距离为，所以，解得2,1,a c b =∴==
所求椭圆方程为. （Ⅲ）由（Ⅱ）知, 设直线l 的方程为：(1)y k x =-
)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C A x B 2AF AB ⊥C 2F B A 、、033:=--y x l C 2F k l C x )0,(m P m 2AF AB ⊥211F F BF =2
1
=e ,21=a c a c 2
1
=a a a =--2
|
321
|13
42
2=+y x )0,1(2F
消去y 得 ． ．．．．7分 因为l 过点2F ，所以0?>恒成立 设，
则， 121226(2)34k y y k x x k -+=+-=+ MN 中点222
43(,)3434k k
k k
-++ 当0k =时，MN 为长轴，中点为原点，则0m =
当0k ≠时MN 中垂线方程222314()3434k k y x k k k +=--++． 令0y =，
230k >
，2144k +>， 可得 综上可知实数的取值范围是1[0,)4． 9.如图，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．当直线AB 经过椭圆
的一个顶点时，其倾斜角恰为60?
． （Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）设线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于
D OED （O 为原点）的面积为2S ，求1
2
S S 的取值范围．
（Ⅰ）解：依题意，当直线AB 经过椭圆的顶点(0,)b 时，其倾斜角为60?
设 (,0)F c -，则
tan 60b
c
?==． 将 b = 代入 222
a b c =+，解得 2a c =． 所以椭圆的离心率为 1
2
c e a =
=． （Ⅱ）解：由（Ⅰ），椭圆的方程可设为22
22143x y c c
+=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ．
依题意，直线AB 不能与,x y 轴垂直，故设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其代入
2223412x y c +=，整理得 222222(43)84120k x ck x k c c +++-=． ………………7分
则 2122
843
ck x x k -+=+，121226(2)43ck y y k x x c k +=++=+，22243(,)4343ck ck
G k k -++． ………………8分 因为 GD AB ⊥，
?????=+
-=134)1(2
2
y x x k y 01248)43(2222=-+-+k x k x k ),(11y x M ),(22y x N 2
2
21438k k x x +=+4
31432
2
2+=+=∴k
k k m 4
10<
<∴m m
所以 222
3431443
D
ck k k ck x k +?=---+，22
43
D ck x k -=+． ………………9分 因为 △GFD ∽△OED ，
所以 22222
222122
22243()()||434343||()43
ck ck ck S GD k k k ck S OD k ---++++==
-+ ………………11分 222242222242
(3)(3)99999()ck ck c k c k ck c k k ++===+>． ………………13分
所以
1
2
S S 的取值范围是(9,)+∞． ………………14分 10.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点21,F F 在x 轴上，离心率为
2
1
.过1F 的直线交椭圆C 于B A ,两点，且2ABF ?的周长为8.过定点)3,0(M 的直线1l 与椭圆C 交于H G ,两点（点G 在点H M ,之间）. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线1l 的斜率0>k ，在x 轴上是否存在点)0,(m P ，使得以PG 、PH 为邻边的平行四边形为菱形.如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由.
解：(Ⅰ)设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，离心率2
1==a c e ，
2ABF ?的周长为||||21AF AF +84||||21==++a AF AF ， …………1分
解得1,2==c a ，则32
2
2
=-=c a b ， 所以椭圆的方程为13
42
2=+y x .
（Ⅱ）直线1l 的方程为)0(3>+=k kx y ，
由??
???+==+31342
2kx y y x ，消去y 并整理得02424)43(2
2=+++kx x k （*）……5分 0)43(244)24(22>+??-=?k k ，解得2
6
>
k ， …………6分 设椭圆的弦GH 的中点为),(00y x N ，则“在x 轴上是否存在点)0,(m P ，使得以PG 、PH 为邻边的平行四边
形为
菱形
.”
等价
于“在
x
轴上是否存在点
)
0,(m P ，使得
1l PN ⊥”. …………8分
设),(11y x G ，),(22y x H ，由韦达定理得，=+21x x 2
4324k
k
+-，……9分 所以=
0x 221x x +24312k k +-=， ∴=+=30
0kx y 2
439
k += …………10分 ∴)439
,4312(2
2k k k N ++-
，)
43(1292k m k k PN ++-=， 所以，1)
43(1292-=?++-
k k m k ，解得)26
(4332
>+-=k k k m .………12分 >++-=
'22)43()32)(32(3)(k k k k m 0)43()
32)(36(32
2>++-k k ，所以，
函数)26(4332
>+-
=k k k m 在定义域),26(+∞单调递增，66
)26(-=m ， 所以满足条件的点)0,(m P 存在，m 的取值范围为),6
6
(+∞-. …………14分
平面解析几何直线练习题含答案
直线测试题 一．选择题（每小题5分共40分） 1. 下列四个命题中的真命题是（ ） A.经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k （x －x 0）表示； B.经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程 （y －y 1）·（x 2－x 1）=（x －x 1）（y 2－y 1）表示； C.不经过原点的直线都可以用方程 1=+b y a x 表示； D.经过定点A （0， b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示。 【答案】B 【解析】A 中过点P 0（x 0，y 0）与x 轴垂直的直线x =x 0不能用y －y 0=k （x －x 0）表示，因为其斜率k 不存在；C 中不过原点但在x 轴或y 轴无截距的直线y =b （b ≠0）或x =a （a ≠0）不能用方程b y a x +=1表示；D 中过A （0， b ）的直线x =0不能用方程y =kx +b 表示. 评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围. 2. 图1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ） A.k 1＜k 2＜k 3 B.k 3＜k 1＜k 2 C.k 3＜k 2＜k 1 D.k 1＜k 3＜k 2 【答案】D 【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2、α3均为锐角，且α2 ＞α3，所以k 2＞k 3＞0，因此k 2＞k 3＞k 1，故应选D. 3. 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是（ ） A. A 1A 2＋B 1B 2＝0 B.A 1A 2－B 1B 2＝0 C.12121-=B B A A D.2 121A A B B =1 【答案】A 【解析】法一：当两直线的斜率都存在时，－ 11B A ·（2 2B A -）＝－1，A 1A 2＋B 1B 2＝0.图1
2012届高三数学一轮复习平面解析几何练习题1
第8章 第1节 一、选择题 1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A. 2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A [解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A. (理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1 [答案] A [解析] y′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ， 因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2) D ．(2，－2) [答案] D [解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则
????? x －12－y ＋12－1＝0 y －1x ＋1＝－1，解之得????? x ＝2y ＝－2， 特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称 点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C B . 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( ) A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[－1,0] D ．[－2,0] [答案] D [解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题， ∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1kOD ≥－2，且k<0， 又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0. 5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞) C.??? ?－∞，43∪(10，＋∞) D.??? ?43，10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43 第一章 矢量与坐标 §1.1 矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆 （3）直线； （4）相距为2的两点 2. 设点O 是正六边形ABCDEF 的中心， 在矢量、OB 、 、OD 、OE 、 OF 、AB 、BC 、CD 、 DE 、 和中，哪些矢量是相等的？ [解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF 中， 相等的矢量对是： 图1-1 .和和和和和 3. 设在平面上给了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、 ＤＡ的中点，求证：KL ＝NM . 当ABCD 是空间四边形时，这等式是否也成立？ [证明]：如图1-2，连结AC , 则在?BAC 中， 2 1 AC. KL 与方向相同；在?DAC 中， 2 1 AC . NM 与AC 方向相同，从而KL ＝NM 且KL 与NM 方向相同，所以KL ＝ NM . 4. 如图1-3，设ABCD -EFGH 是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量： (1) AB 、; (2) AE 、; (3) 、; (4) AD 、GF ; (5) BE 、CH . [解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）； 互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。 §1.2 矢量的加法 1.要使下列各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？ C 解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于 过点P （0， 3 3 ）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． 2、已知双曲线2 2 1x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆2 2 1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值； （Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗？证明你的结论. 3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于 A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （1）求抛物线 C 的方程。 （2）证明：点F 在直线BD 上； （3）设8 9 FA FB ?=，求BDK ?的面积。． 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为 1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值． 解析几何答案-廖华奎-王宝富-第一章 第一章 向量代数 习题1.1 1. 试证向量加法的结合律，即对任意向量 ,,a b c 成立 ()(). a b c a b c ++=++ 证明：作向量,,AB a BC b CD c ===（如下图）， 则 ()(), a b c AB BC CD AC CD AD ++=++=+= ()(), a b c AB BC CD AB BD AD ++=++=+= 故()().a b c a b c ++=++ 2. 设,,a b c 两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是0.a b c ++= 证明：必要性，设,,a b c 的终点与始点相连而成 一个三角形ABC ?， A B C a b c A B C D a b c a b + b c + 则0.a b c AB BC CA AC CA AA ++=++=+== 充分性，作向量,,AB a BC b CD c ===，由于 0, a b c AB BC CD AC CD AD =++=++=+=所以点A 与D 重合， 即三向量,,a b c 的终点与始点相连构成一个三角形。 3. 试证三角形的三中线可以构成一个三角形。 证明：设三角形ABC ?三边,,AB BC CA 的中点分别是 ,,D E F （如下图），并且记 ,,a AB b BC c CA ===，则根据书中例1.1.1，三条中线 表示的向量分别是111(),(),(),222CD c b AE a c BF b a =-=-=- 所以，111()()()0,222 CD AE BF c b a c b a ++=-+-+-=故由上题结论得三角形的三中线,,CD AE BF 可以构成一个三角形。 4. 用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。 证明：如下图，梯形ABCD 两腰,BC AD 中点分别为 ,E F ，记向量,AB a FA b ==， A B a b c E F D C 高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( ) 第一章矢量与坐标 § 1.1矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. 解： 2.设点 O 是正六边形 ABCDEF的中心， 在矢量 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE 、 OF 、 AB 、 BC 、 CD、DE 、 EF O 和 FA 中，哪些矢量是相等的？ [解 ]： 图 1-1 3.设在平面上给了一个四边形ABCD，点 K、L、 M、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、 ＤＡ的中点，求证：KL ＝ NM .当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？ [证明 ]： . 4.如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体， 在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反 矢量的矢量： (1) AB、; (2) AE、; (3) AC 、 CD CG EG ; (4)AD 、 GF ;(5)BE 、 CH . 解： 图1—3 § 1.2矢量的加法 1.要使下列各式成立，矢量a,b 应满足什么条件？ （1）a b a b;（2）a b a b ; （3）a b a b ;（4）a b a b ; （5）a b a b . 解： § 1.3数量乘矢量 1试解下列各题． ⑴化简 (x y) (a b) (x y) (a b) ． ⑵已知 a e1 2 e2e3， b 3e12e2 2 e3，求a b ， a b 和 3 a 2 b ． ⑶ 从矢量方程组解：3 x 4 y a ，解出矢量 x ，y．2 x 3 y b 2 已知四边形ABCD 中， AB a 2 c ，CD 5 a 6 b 8 c ，对角线AC 、 BD 的中 点分别为 E 、 F ，求EF． 解： 3 设AB a 5 b ， BC 2 a 8 b ，CD3( a b) ，证明： A 、 B 、 D 三点共线．解： 解析几何一题多解 教给学生通性通法 问题：已知椭圆18 162 2=+y x ，若A,B 分别是椭圆的右顶点、上顶点，M 是第一象限内的椭圆上任意一点，O 是坐标原点，求四边形OAMB 面积的最大值． 解法1：如图1，连接OM ，设(,)M x y 且0,0x y >>， 则OAMB OAM MOB S S S S ??== +11 422 y x =??+?? =2y +．又 22 221,216.168 x y x y +=∴+= Q x y ∴= ∈2S y ∴=+ ①，2S '∴=0S '=， 得2y =（负值舍去）．当02y <<时，0S '>，当2y >时， 0S '<，所以2y =时，S 有最大值，)max (28S S ==． 解法2：遇根式考虑平方，可以将繁化简，减少计算量 对①式两边平方得：232S =+②， 再令24()8f y y y =-，由()0f y '=，得2y =，……． 解法3：对②式没必要用导数，可以用配方法． 对②式配方得232S =+20,8y ∈（）， 所以，24y =时，2 max 64S =．于是，max 8S =． 解法4：用椭圆的参数方程，目标函数就是一元函数，比较简单． 由点M 在椭圆18 162 2=+y x 上， 可设(4cos ,),M θθ其中(0,)2π θ∈． 则8sin()4 S π θθθ=+=+． 4 π θ∴= 时，max 8S =． 解法5：如图2，设M 到直线AB 的距离为d ， 则OAMB OAB MAB S S S S d ??==+=，因此要使S 最大，只需d 最大．直线 x x AB 的方程为：144 x + =．设与AB 平行的直线l 的方程为： x λ+=． 将其带入18 1622=+y x 得22()216y λ+=，所以 224160y y λ-+-=． 由0?= 解得λ=±l 应在AB 的上方，所以l 的方程为： 0x +-=．从而d 的最大值为两平行直线间的距离． 所以，max d ．于是，8=max S =． 解法6：借助线性规划的思想方法来求解． 由解法1 得2S y =+，将S 看成目标函数，则变量,x y 满足约束条件 18 162 2=+y x 且0x >且0y >．如图3 ，将直线0:20l y =向上平移至与曲线 AMB 相切时S 最大．类似于解法5 ，求出切点,2)M ，所以 max 228S =?=． 解法7：可以用导数来求切线 l 的方程或切点坐标． 设00,)M x y （，曲线AMB 的方程是 ：4)y x = <<，则切线l 的斜率0|x x k y ='=，由0l l P 得方程：22=- 解得0x = 解法8：更简单的解法.将18 162 2=+y x 变形为22216x y +=，问题实质即为已知条件等式22216x y +=（0,0x y >>）, 求代数式2y +的最大值． 由不等式2a b +≤ 242y +≤=， 当且仅当24y ==时等号成立．因此，max 248S =?=． 图3 解析几何 一、选择题 1．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是( ) B ．－3 D ．－3 3 解析：斜率k ＝－1－33－－3 ＝－3 3，故选D. 答案：D 2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1 " 解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意． ②a ≠0， x ＝0时，y ＝2＋a . y ＝0时，x ＝a ＋2 a ， 则a ＋2 a ＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D. 答案：D 3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( ) A ．4 B ．21313 D ．71020 解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0， 《 由两直线平行知m ＝2， 则d ＝|1－－6|62＋22＝71020. 故选D. 答案：D 4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －5＝0 D ．x ＋2y －5＝0 解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C. 答案：C 5．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) % B ．????π6，π2 D ．??? ?π3，π2 解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－3)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含端 点)，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值范围为??? ?π6，π2.故选B. 答案：B 6．(2014泰安一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝0 解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2， ∴所求直线的斜率为k ′＝1 2， $ ∴方程为y －3＝1 2(x －2)，即x －2y ＋4＝0. 答案：A 二、填空题 7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________． 解析：由题意知截距均不为零． 设直线方程为x a ＋y b ＝1， 解析几何单元易错题练习 (附参考答案) 一．考试内容： 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 二．考试要求： 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 了解圆锥曲线的初步应用. 【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题. 三．基础知识: 椭圆及其标准方程 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F . 2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）. 3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2 x 项的分母大于2 y 项的分母， 则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上. 4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 椭圆的简单几何性质 椭圆的几何性质：设椭圆方程为122 2 2=+b y a x （a ＞b ＞0）. ⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）. 线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. ⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 a c e = 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接 近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义 习题一 空间解析几何 一、填空题 1、过两点(3,-2)和点(-1,0)的直线的参数方程为 。 2、直线2100x y --=方向向量为 。 3、直角坐标系XY 下点在极坐标系中表示为 。 4、平行与()6,3,6a =-的单位向量为 。 5、过点(3,-2,1)和点(-1,0,2)的直线方程为 。 6、过点(2,3)与直线2100x y +-=垂直的直线方程为 。 7、向量(3,-2)和向量(1,-5)的夹角为 。 8、直角坐标系XY 下区域01y x ≤≤≤≤在极坐标系中表示为 。 9、设 (1,2,3),(5,2,1)=-=-a b , 则(3)?a b = 。 10、点(1,2,1)到平面2100x y z -+-=的距离为 。 二、解答题 1、求过点(3,1,1)且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程。 2、求过点(4,2,3) 且平行与直线 31215 x y z --==的直线方程。 3、求过点(2,0,-3) 且与直线247035210x y z x y z -+-=??+-+=? 垂直的平面方程。 4、一动点与两定点(2,3,2)和(4,5,6)等距离, 求这动点的方程。 5、求222,01z x y z =+≤≤在XOZ 平面上的投影域。 6、求222 19416 x y z ++=在XOY 平面上的投影域。 7、求2z z =≤≤在XOZ 平面上的投影域。 8、求曲线222251x y z x z ?++=?+=? 在XOY 平面上的投影曲线。 9、求曲线 22249361x y z x z ?++=?-=? 在XOY 平面上的投影曲线。 10、求由曲面22z x y =+与曲面2222x y z ++=所围成的区域在柱面坐标系下的表示。 第一章矢量与坐标 §1.1 矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面；（2）单位圆 （3）直线；（4）相距为2的两点 2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心， 在矢量、OB、、OD、OE、 OF、AB、BC、CD、DE、 和中，哪些矢量是相等的？ [解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中， 相等的矢量对是：图1-1 . 和 和 和 和 和 3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？ [证明]：如图1-2，连结AC, 则在?BAC中， 2 1 AC. KL与方向相同；在?DAC 中， 2 1 AC. NM与AC方向相同，从而 KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝NM. 4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面 体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互 为相反矢量的矢量： (1) 、; (2) 、; (3) 、 ; (4) AD 、; (5) BE、. [解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）； 互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。 §1.2 矢量的加法 1.要使下列各式成立，矢量b a,应满足什么条件？ （1= +（2+ = + （3- = +（4+ = C （5 = [解]：（1）, -=+； （2）, +=+ （3 ≥且, -=+ （4）, += （5）, ≥ -=- §1.3 数量乘矢量 1 试解下列各题． ⑴ 化简)()()()(→ →→→-?+--?-b a y x b a y x ． ⑵ 已知→ → → → -+=3212e e e a ，→ → → → +-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→ →+b a 23． ⑶ 从矢量方程组?????=-=+→→→→ →→b y x a y x 3243，解出矢量→x ，→y ． 解 ⑴ → →→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-?+--?-a y b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ → →→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ， → →→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ， → →→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ． 2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→ BD 的中点分别为E 、F ，求→ EF ． 解 →→→→ →→→→→→→ -+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(2 1)865(212121． 3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→ →→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→ → → → → → → → → → =+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→AB 与→ BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线． 4 在四边形ABCD 中，→ → → +=b a AB 2，→ → → --=b a BC 4，→ → → --=b a CD 35，证明ABCD 为梯形． 目录 解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线） (1) 一、设点或直线 (1) 二、转化条件 (2) （1）求弦长 (2) （2）求面积 (2) （3）分式取值判断 (3) （4）点差法的使用 (4) 四、能力要求 (6) 五、补充知识 (6) 关于直线 (6) 关于椭圆： (7) 例题 (7) 解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线）——————————————————一条分割线——————————————— 一、设点或直线 做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。直线与曲线的两个交点一般可以设为等。对于椭圆上的唯一的动点，还可以设为。在抛物 线上的点，也可以设为。◎还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求的。对于 一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式,如果不与x轴平行，可以设（m是倾斜角的余切，即斜率的倒数，下同）。如果只是过定点而且需要求与长度或面积有关的式子，可以设参数方程，其中α是直线的倾斜角。 一般题目中涉及到唯一动直线时才可以设直线的参数方程。如果直线不过定点，干脆在设直线时直接设为y=kx+m或x=my+n。（注意：y=kx+m不表示平行于y轴的直线，x=my+n不表示平行于x轴的直线）由于抛物线的表达式中不含x的二次项，所以直线设为 或x=my+n联立起来更方便。 二、转化条件 有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。下面列出了一些转化工具所能转化的条件。向量：平行、锐角或点在圆外（向量积大于0）、直角或点在圆上、钝角或点在圆内（向量积小于0），平行四边形斜率：平行（斜率差为0）、垂直（斜率积为-1）、对称（两直线关于坐标轴对称则斜率和为0，关于y=±x对称则斜率积为1（使用斜率转化一定不要忘了单独讨论斜率不存在的情况！）几何：相似三角形（依据相似列比例式）、等腰直角三角形（构造全等）有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单，三思而后行。三、代数运算转化完条件只需要算数了。很多题目都要将直线与圆锥曲线联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都需要联立。 （1）求弦长解析几何中有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式 ，设参数方程时，弦长公式可以简化为 （2）求面积 解析几何中有时要求面积，如果O是坐标原点，椭圆上两点A、B坐标分别为AB与x轴交于D，则(d是点O到AB的距离；第三个公式教材没 有，解要用的话需要把下面的推导过程抄一下，理解一下。)。 解析几何 直线的倾斜角、斜率及方程 A组 1．已知θ∈R,则直线x sinθ－３y＋１=0的倾斜角的取值范围是_＿＿__＿_＿．2．已知直线l1的方程是ａx－ｙ＋b＝0，l2的方程是bｘ-ｙ－a=0（ab≠０,a≠b)，则下列各示 意图形中，正确的是_＿_＿＿__＿. ３.直线mｘ-ｙ＋2m+１＝0经过一定点,则该点的坐标是________＿_____．４．已知ａ>0,若平面内三点A（1,－a)，Ｂ(2,a２)，C(3，a3)共线,则a＝___＿_＿__. 5.若点A(ab,a＋b)在第一象限内,则直线bｘ＋ay-ａb=０不经过第____＿_象限． Ｂ组 1．直线l的倾角α满足4siｎα=３coｓα,而且它在ｘ轴上的截距为３,则直线l的方 程是______． 2．已知直线y＝kx-2k－1与直线x+２y－4=0的交点位于第一象限，则k的取值范围是___＿. 3．直线l与两直线ｙ＝1,x-y－7＝0分别交于P、Ｑ两点,线段PQ的中点恰为(1,-1),则直线l的斜率为____＿_＿_. 4．若直线(ｋ2-1）x-y-1+２k＝0不过第二象限，则实数k的取值范围是＿_＿__＿__. 5.若ａb<0，则过点P(0,-错误!)与Q（错误!，０)的直线PQ的倾斜角的取值范围是_＿____＿． 6．函数y=ａsin x－b cｏs x的一个对称轴方程为x=π 4，则直线ax-by+c＝０的倾斜角为__＿___． 7．已知两直线a1x＋ｂ1y+1=0与ａ2ｘ＋b２y+１＝0的交点是Ｐ(2，3),则过两点Q1(a1，b1), Q2(a2，b2)的直线方程是__＿____＿_＿＿＿__＿_＿_____. 本文节选自《试题调研》数学第2辑的“热点关注”，敬请品读（版权所有，转载请注明出处）。 陕西胡波 从近几年全国各省市新课标高考试题来看，解析几何主要考查直线与圆、直线与圆锥曲线的基本知识等，在选择题、填空题、解答题中都有出现，一般试卷出现3小题1大题.综合类试题多涉及函数、导数、方程、不等式、平面向量、平面几何等知识，所考查的知识点较多，试题难度中等偏上.试题往往会出现计算量较大的情况，怎样在解题中巧妙地降低计算量、减少运算错误是我们广大考生在学习中要体会和感悟的.下面通过一些典型例题的解析，说明解析几何中的解题技巧,以供读者参考学习. 1.活用定义返璞归真 圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性.许多性质和结论都是在其定义的基础上展开的，在分析求解时若考虑回归定义，可以使许多问题化繁为简 2.活用平几峰回路转 解决解析几何问题时，往往需要求解涉及含多个参数的两个以上方程组成的方程组，运算较为复杂，这对于运算能力稍差的同学，很难准确迅速求解.若能联想题目所涉及图形的几何性质，并利用相关性质来解决问题，常常可以峰回路转，达到巧妙解题的效果 【点评】本题重点考查运算能力，这对考生提出了较高的要求.通过对比上述通法与巧法，读者很容易看出：运用平面图形的有关几何性质来解决一些解析几何问题，可以有效地避免复杂的代数运算，达到简捷解题的目的. 3.巧设坐标水到渠成 【点评】本题如果按常规设点Q(x,y),必将得到一个二元二次方程组,这将加大计算量,使问题复杂化. 4.数形结合一目了然】 … 5.引进参数柳暗花明 … 6.设而不求欲擒故纵 … 7.整体代换绝处逢生 … 8.引入向量轻车熟路 解析几何 一、选择题 1．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是( ) A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33 解析：斜率k ＝－1－33－ －3 ＝－ 3 3 ，故选D. 答案：D 2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1 解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意． ②a ≠0， x ＝0时，y ＝2＋a . y ＝0时，x ＝a ＋2 a ， 则 a ＋2 a ＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D. 答案：D 3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( ) A ．4 B ．21313 C.51326 D ． 710 20 解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0， 由两直线平行知m ＝2， 则d ＝|1－－6|62＋22＝71020. 故选D. 答案：D 4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －5＝0 D ．x ＋2y －5＝0 解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C. 答案：C 5．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值围是( ) A.??????π6，π3 B ．? ????π6，π2 C.? ?? ??π3，π2 D ．???? ??π3，π2 解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－3)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不 含端点)，从图中可以看出，直线l 的倾斜角的取值围为? ?? ?? π6，π2.故选B. 答案：B 6．(2014一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝0 解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2， ∴所求直线的斜率为k ′＝1 2 ， ∴方程为y －3＝1 2(x －2)，即x －2y ＋4＝0. 答案：A 二、填空题 7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________． 解析：由题意知截距均不为零． 第一章 向量代数 习题1.1 1. 试证向量加法的结合律，即对任意向量,,a b c 成立 ()().a b c a b c ++=++ 证明：作向量,,u u u r u u u r u u u r AB a BC b CD c ===（如下图）， 则 ()(),u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b c AB BC CD AC CD AD ++=++=+= ()(),u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b c AB BC CD AB BD AD ++=++=+= 故()().a b c a b c ++=++ 2. 设,,a b c 两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是0.a b c ++= 证明：必要性，设,,a b c 的终点与始点相连而成一个三角形ABC ?， 则0.u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b c AB BC CA AC CA AA ++=++=+== 充分性，作向量,,u u u r u u u r u u u r AB a BC b CD c ===，由于 0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b c AB BC CD AC CD AD =++=++=+=所以点A 与D 重合，即三向量 ,,a b c 的终点与始点相连构成一个三角形。 A B C a b c A B C D a b c a b + b c + 解析几何综合题解题方法总结 富源县第一中学 解析几何综合题是高考命题的热点内容之一. 这类试题往往以解析几何知识为载体，综合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高，考生在解答时，常常表现为无从下手，或者半途而废。据此笔者认为：解决这一类问题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维. 即在掌握通性通法的同时，不应只形成一个一个的解题套路，解题时不加分析，跟着感觉走，做到那儿算那儿. 而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运算难关. 一、判别式 案例1 已知双曲线12 2:2 2=-x y C ，直线l 过点() 0,2A ，斜率为k ，当10< 简解：设点)2,(2x x M +为双曲线C 上支上任一点，则点M 到直线l 的距离为： 21 222 2=+-+-k k x kx ()10<解析几何第四版吕林根课后习题集规范标准答案第一章
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