文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 13一模解析几何

13一模解析几何

13年各区一模试题

1.已知椭圆22

22:1x y C a b

+=(0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ,离心率为12,过1F 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,且△2MNF 的周长为8.

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)过原点O 的两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于A ,B 两点,证明:点O 到直线AB 的距离为定值,并求出这个定值.

解:(I )由题意知,48a =,所以2a =.因为12e =所以2222

22

314

b a

c e a a -==-=, 所以2

3b =. 所以椭圆C 的方程为22

143

x y +=.

(II )由题意,当直线AB 的斜率不存在,此时可设00(,)A x x ,00(,)B x x -.

又A ,B 两点在椭圆C 上,所以2200143x x +=,20127x =

.d ==

13一模解析几何

13一模解析几何

. 当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y kx m =+.

由22,

14

3y kx m x y =+???+=??消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=.

由已知0?>.设11(,)A x y ,22(,)B x y .所以122834km x x k +=-+,2122

412

34m x x k -=+.

因为OA OB ⊥,所以12120x x y y +=.所以1212()()0x x kx m kx m +++=.

即2

2

1212(1)()0k x x km x x m ++++=.所以222

2

222

4128(1)03434m k m k m k k

-+-+=++. 整理得)1(1272

2+=k m ,满足0?>.

所以点O 到直线AB

的距离7

d =

=

13一模解析几何

13一模解析几何

13一模解析几何

为定值. 2.已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C

过点(1,

2,

离心率为2

13一模解析几何

13一模解析几何

,点A 为其右顶点.过点(10)B ,作直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点,直线AE ,AF 与直线3x =分别交于点M ,N .

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)求EM FN ?

的取值范围.

解:(Ⅰ)设椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>

13一模解析几何

,依题意得2

22

22,1314a b c c

a

a b ?=+??

?=???+=??

解得24a =,21b =.

所以椭圆C 的方程为2

214

x y +=. ………………………………………………4分

(Ⅱ)显然点(2,0)A .

(1)当直线l 的斜率不存在时,不妨设点E 在x

13一模解析几何

13一模解析几何

轴上方,易得(1,E F

13一模解析几何

13一模解析几何

,(3,M N ,所以1EM FN ?=

. …………………………………………6分

(2)当直线l 的斜率存在时,由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-,显然0k =时,不符合题意.

由22

(1),440

y k x x y =-??

+-=?得2222

(41)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)E x y F x y ,则2212122

2844

,4141

k k x x x x k k -+==++. 直线AE ,AF 的方程分别为:1212(2),(2)22

y y

y x y x x x =

-=---, 令3x =,则1212(3,

),(3,)22y y M N x x --. 所以1111(3)(3,)2y x EM x x -=-- ,2222(3)

(3,)2y x FN x x -=-- . 所以11221212(3)(3)

(3)(3)22

y x y x EM FN x x x x --?=--+?--

121212(3)(3)(1)(2)(2)y y x x x x =--+

--2121212(1)(1)

(3)(3)(1)(2)(2)

x x x x k x x --=--+?--

2121212121212()1

[3()9][1]

2()4

x x x x x x x x k x x x x -++=-++?+?

-++

22

2222222222

244814484141(39)(1)4484141

244141

k k k k k k k k k k k k k --+-++=-?+?+?-++-?+++222

2

1653()(1)414k k k k +-=?++ 2221651

1164164

k k k +==+++. ……………………………………………12分

因为2

0k >,所以2

1644k +>,所以22

1655

11644

k k +<<+,即5(1,)4EM FN ?∈ . 综上所述,EM FN ? 的取值范围是5

[1,)4

. ……………………………………14分

3.已知动点P 到点A (-2,0)与点B (2,0)的斜率之积为1

4

-,点P 的轨迹为曲线C 。

(Ⅰ)求曲线C 的方程;

(Ⅱ)若点Q 为曲线C 上的一点,直线AQ ,BQ 与直线x =4分别交于M 、N 两点,直线BM 与椭圆的交点为D 。求证,A 、D 、N 三点共线。

解:(I )设P 点坐标(,)x y ,则2AP y k x =

+(2x ≠-),2

BP y

k x =-(2x ≠), 由已知1224

y y x x ?=-+-,化简得:22

14x y +=.所求曲线C 的方程为2214x y +=(2x ≠±)

。 (II )由已知直线AQ 的斜率存在, 且不等于0,设方程为(2)y k x =+,

13一模解析几何

由2244

(2)x y y k x ?+=?=+?

,消去y 得:

2222(14)161640k x k x k +++-=???(1).

因为2-,Q x 是方程(1)的两个根, 所以22164214Q k x k --?=+,得2

2

2814Q k x k -=+,

又222

284(2)(2)1414Q Q k k

y k x k k k -=+=+=

++,所以222284(,)1414k k Q k k -++。 当4x =,得6M y k =,即(4,6)M k 。 又直线BQ 的斜率为14k -

,方程为1(2)4y x k =--,当4x =时,得12N y k =-,即1

(4,)2N k

-。 直线BM 的斜率为3k ,方程为3(2)y k x =-。由2244

3(2)x y y k x ?+=?=-?

,消去y 得:

2222(136)14414440k x k x k +-+-=???(2).

因为2,D x 是方程(2)的两个根,所以2214442136D k x k -?=+, 得22722136D

k x k -=+,又2123(2)136D D k

y k x k =-=-+, 即22272212(,)136136k k D k k --++。由上述计算:(2,0)A -,222

72212(,)136136k k D k k

--++,1

(4,)2N k -。 因为112AD k k =-

,1

12AN k k

=-,所以AD AN k k =。所以A 、D 、N 三点共线。

4.已知抛物线2:2C y px =的焦点坐标为(1,0)F ,过F 的直线l 交抛物线C 于A B ,两点,直线AO BO ,分别与直线m :2x =-相交于M N ,两点.

(Ⅰ)求抛物线C 的方程;(Ⅱ)证明△ABO 与△MNO 的面积之比为定值. (Ⅰ)由焦点坐标为(1,0) 可知

12

p =所以2=p 所以抛物线C 的方程为x y 42

=…………………4分 (Ⅱ)当直线l 垂直于x 轴时,ABO ?与MNO ?相似,所以

21()24

ABO

MNO OF S S ??== 当直线l 与x 轴不垂直时,设直线AB 方程为(1)y k x =-………………………7分

设)y 2,(M -M ,)y 2,(N -N ,),(11y x A ,),(22y x B ,

解 2(x 1)

4y k y x

=-??=? 整理得 2222(42)0k x k x k -++=,所以121=?x x

121

sin 121224sin 2ABO MNO

AO BO AOB S x x AO BO S MO NO MO NO MON ?????∠∴

==?=?=???∠

综上 14ABO MNO S S ??= 5. 已知以原点为对称中心、F(2,0)为右焦点的椭圆C 过P(2

13一模解析几何

,直线l :y=kx+m(k ≠0)交椭圆C 于不同的两点A ,B 。(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)是否存在实数k ,使线段AB 的垂直平分线经过点Q (0,3)?若存在求出 k 的取值范围;若不存在,请说明理由。

解:(Ⅰ)设椭圆C 的方程为22

221x y a b

+=()0a b >>,由题意

22224

42

1

a b a b

?-=??+=??,解得2

8a =,24b =,所以椭圆C 的方程为22184x y +=. ……………………5分 (Ⅱ)假设存在斜率为k 的直线,其垂直平分线经过点Q (0,3), 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),AB 的中点为N(x 0,y 0),

由22

184x y y kx m ?+=???=+?

得222

(12)4280k x mkx m +++-=, ……………………………………………6分 222222164(12)(28)648320m k k m k m ?=-+-=-+>,所以22840k m -+>,……………7分

122412mk x x k +=-

+, ∴12022212x x mk x k +==-+,00

2

12m y kx m k =+=+, 线段AB 的垂直平分线过点Q (0,3), ∴1NQ k k ?=-,即

00

3

1y k x -?=-,∴236m k -=+, 0?> , 整理得4

2

362850k k ++<,显然矛盾∴不存在满足题意的k 的值。……………………………13分

A

B

G

H

6.已知圆M

13一模解析几何

:222

(x y r

+=(0

r>).若椭圆C:

22

22

1

x y

a b

+=(0

a b

>>)的右顶点为圆M

13一模解析几何

的圆心,离心率为(I)求椭圆C的方程;

(II)若存在直线l:y kx

=,使得直线l与椭圆C分别交于A,B两点,与圆M分别交于G,H两点,点G在线段AB上,且AG BH

=,求圆M半径r的取值范围.

解:(I)设椭圆的焦距为2c

13一模解析几何

,因为a=

13一模解析几何

c

a

=1

c=,所以1

b=. 所以椭圆C:

2

21

2

x

y

+=……4分

(II)设A(1x,1y),B(2x,2y)由直线l与椭圆C交于两点A,B,则22

220

y kx

x y

=

?

?

+-=

?

所以22

(12)20

k x

+-=,则

12

x x

+=,

122

2

12

x x

k

=-

+

………………6分

13一模解析几何

13一模解析几何

所以AB==M

13一模解析几何

0)到直线l

13一模解析几何

的距离d=

13一模解析几何

则GH=H也在线段AB上,则由对称性可知,直线y kx

=就是y轴,矛盾,

所以要使AG BH

=,只要AB GH

=

所以

22

2

22

8(1)2

4()

121

k k

r

k k

+

=-

++

22424

2

224242

22(1)2(331)

2(1)

112231231

k k k k k

r

k k k k k k

+++

=+==+

++++++

………………11分

当0

k=

13一模解析几何

时,r=12分

当0

k≠时,

2

42

11

2(1)2(1)3

132

2

r

k k

=+<+=

++

又显然

2

42

1

2(1)2

2

r

k k

=+>

++,

13一模解析几何

13一模解析几何

<

13一模解析几何

13一模解析几何

r<14分

7.在平面直角坐标系xOy中,动点P到直线:2

l x=的距离是到点(1,0)

F

13一模解析几何

倍.

(Ⅰ)求动点P的轨迹方程;

(Ⅱ)设直线FP与(Ⅰ)中曲线交于点Q,与l交于点A,分别过点P和Q作l的垂线,垂足为,

M N,问:是否存在点P使得APM

?的面积是AQN

?面积的9倍?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.

(Ⅰ)解:设点P的坐标为(,)

x y

13一模解析几何

x

-……………3分

化简得 2222x y +=所以动点P 的轨迹方程为 2222x y += ……………………………5分 (Ⅱ)设直线FP 的方程为1x ty =+,点1122(,),(,)P x y Q x y 因为AQN ?∽APM ?,所以有3PM QN =,由已知得3PF QF =,

所以有123y y =-(1) ……………………………7分

由22

122

x ty x y =+??+=?,得22(2)210t y ty ++-=,0?> 12222t y y t +=-

+(2),12

21

2

y y t ?=-+(3) ……………………………10分 由(1)(2)(3)得1211,1,3t y y =-==-或121

1,1,3t y y ==-=

所以 存在点P 为(0,1)±

8.设椭圆的左、右焦点分别为12F F 、,上顶点为,在轴负半轴上有一点,满足

112BF F F =

,且

. (Ⅰ)求椭圆的离心率;

(Ⅱ)若过三点的圆与直线相切,求椭圆的方程;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于M N 、两点,线段MN 的中垂线与轴

相交于点,求实数

的取值范围.

解:(Ⅰ)连接1AF ,因为,,所以112AF

F F =

13一模解析几何

即2a c =,故椭圆的离心率 (Ⅱ)由(Ⅰ)知

得于是21(,0)2F a ,3(,0)2a B -,Rt ABC ?的外接圆圆心为11(,0)2F a -),半径21

||2

r F B a ==............4分

由已知圆心到直线的距离为,所以,解得2,1,a c b =∴==

13一模解析几何

所求椭圆方程为. (Ⅲ)由(Ⅱ)知, 设直线l 的方程为:(1)y k x =-

)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C A x B 2AF AB ⊥C 2F B A 、、033:=--y x l C 2F k l C x )0,(m P m 2AF AB ⊥211F F BF =2

1

=e ,21=a c a c 2

1

=a a a =--2

|

321

|13

42

2=+y x )0,1(2F

消去y 得 . ....7分 因为l 过点2F ,所以0?>恒成立 设,

则, 121226(2)34k y y k x x k -+=+-=+ MN 中点222

43(,)3434k k

k k

-++ 当0k =时,MN 为长轴,中点为原点,则0m =

当0k ≠时MN 中垂线方程222314()3434k k y x k k k +=--++. 令0y =,

230k >

,2144k +>, 可得 综上可知实数的取值范围是1[0,)4. 9.如图,椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ,过点F 的直线交椭圆于A ,B 两点.当直线AB 经过椭圆

的一个顶点时,其倾斜角恰为60?

. (Ⅰ)求该椭圆的离心率;

(Ⅱ)设线段AB 的中点为G ,AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于

13一模解析几何

13一模解析几何

13一模解析几何

D OED (O 为原点)的面积为2S ,求1

2

S S 的取值范围.

(Ⅰ)解:依题意,当直线AB 经过椭圆的顶点(0,)b 时,其倾斜角为60?

设 (,0)F c -,则

tan 60b

c

?==. 将 b = 代入 222

a b c =+,解得 2a c =. 所以椭圆的离心率为 1

2

c e a =

=. (Ⅱ)解:由(Ⅰ),椭圆的方程可设为22

22143x y c c

+=. 设11(,)A x y ,22(,)B x y .

依题意,直线AB 不能与,x y 轴垂直,故设直线AB 的方程为()y k x c =+,将其代入

2223412x y c +=,整理得 222222(43)84120k x ck x k c c +++-=. ………………7分

则 2122

843

ck x x k -+=+,121226(2)43ck y y k x x c k +=++=+,22243(,)4343ck ck

G k k -++. ………………8分 因为 GD AB ⊥,

?????=+

-=134)1(2

2

y x x k y 01248)43(2222=-+-+k x k x k ),(11y x M ),(22y x N 2

2

21438k k x x +=+4

31432

2

2+=+=∴k

k k m 4

10<

<∴m m

所以 222

3431443

D

ck k k ck x k +?=---+,22

43

D ck x k -=+. ………………9分 因为 △GFD ∽△OED ,

所以 22222

222122

22243()()||434343||()43

ck ck ck S GD k k k ck S OD k ---++++==

-+ ………………11分 222242222242

(3)(3)99999()ck ck c k c k ck c k k ++===+>. ………………13分

所以

1

2

S S 的取值范围是(9,)+∞. ………………14分 10.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点21,F F 在x 轴上,离心率为

2

1

.过1F 的直线交椭圆C 于B A ,两点,且2ABF ?的周长为8.过定点)3,0(M 的直线1l 与椭圆C 交于H G ,两点(点G 在点H M ,之间). (Ⅰ) 求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)设直线1l 的斜率0>k ,在x 轴上是否存在点)0,(m P ,使得以PG 、PH 为邻边的平行四边形为菱形.如果存在,求出m 的取值范围;如果不存在,请说明理由.

解:(Ⅰ)设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a b y a x ,离心率2

1==a c e ,

2ABF ?的周长为||||21AF AF +84||||21==++a AF AF , …………1分

解得1,2==c a ,则32

2

2

=-=c a b , 所以椭圆的方程为13

42

2=+y x .

(Ⅱ)直线1l 的方程为)0(3>+=k kx y ,

由??

???+==+31342

2kx y y x ,消去y 并整理得02424)43(2

2=+++kx x k (*)……5分 0)43(244)24(22>+??-=?k k ,解得2

6

>

k , …………6分 设椭圆的弦GH 的中点为),(00y x N ,则“在x 轴上是否存在点)0,(m P ,使得以PG 、PH 为邻边的平行四边

形为

菱形

.”

等价

于“在

x

轴上是否存在点

)

0,(m P ,使得

1l PN ⊥”. …………8分

设),(11y x G ,),(22y x H ,由韦达定理得,=+21x x 2

4324k

k

+-,……9分 所以=

0x 221x x +24312k k +-=, ∴=+=30

0kx y 2

439

k += …………10分 ∴)439

,4312(2

2k k k N ++-

,)

43(1292k m k k PN ++-=, 所以,1)

43(1292-=?++-

k k m k ,解得)26

(4332

>+-=k k k m .………12分 >++-=

'22)43()32)(32(3)(k k k k m 0)43()

32)(36(32

2>++-k k ,所以,

函数)26(4332

>+-

=k k k m 在定义域),26(+∞单调递增,66

)26(-=m , 所以满足条件的点)0,(m P 存在,m 的取值范围为),6

6

(+∞-. …………14分