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13一模解析几何

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13年各区一模试题

1.已知椭圆22

22:1x y C a b

+=(0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ,离心率为12,过1F 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,且△2MNF 的周长为8.

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)过原点O 的两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于A ,B 两点,证明:点O 到直线AB 的距离为定值,并求出这个定值.

解:(I )由题意知,48a =,所以2a =.因为12e =所以222222314

b a

c e a a -==-=, 所以2

3b =. 所以椭圆C 的方程为22

143x y +=. (II )由题意,当直线AB 的斜率不存在,此时可设00(,)A x x ,00(,)B x x -.

又A ,B 两点在椭圆C 上,所以2200143x x +=,20127x =

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.d ==. 当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y kx m =+. 由22,14

3y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=. 由已知0∆>.设11(,)A x y ,22(,)B x y .所以122834km x x k +=-+,2122

41234m x x k -=+. 因为OA OB ⊥,所以12120x x y y +=.所以1212()()0x x kx m kx m +++=.

即221212(1)()0k x x km x x m ++++=.所以222

2

2224128(1)03434m k m k m k k -+-+=++. 整理得)1(12722+=k m ,满足0∆>.

所以点O 到直线AB

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的距离7

d ==为定值. 2.已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C

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过点(1,

2,

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离心率为2,点A 为其右顶点.过点(10)B ,作直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点,直线AE ,AF 与直线3x =分别交于点M ,N .

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)求EM FN ⋅ 的取值范围.

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