全排列算法解析(完整版)
排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法
排列组合n选m，组合算法——0-1转换算法（巧妙算法）C++实现 知识储备 排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示计算公式： 注意：m中取n个数，按照一定顺序排列出来，排列是有顺序的，就算已经出现过一次的几个数。只要顺序不同，就能得出一个排列的组合，例如1,2,3和1,3,2是两个组合。 组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。 计算公式： 注意：m中取n个数，将他们组合在一起，并且顺序不用管，1,2,3和1,3,2其实是一个组合。只要组合里面数不同即可 组合算法 本算法的思路是开两个数组，一个index[n]数组，其下标0~n-1表示1到n个数，1代表的数被选中，为0则没选中。value[n]数组表示组合
的数值，作为输出之用。 ? 首先初始化，将index数组前m个元素置1，表示第一个组合为前m 个数,后面的置为0。? 然后从左到右扫描数组元素值的“10”组合，找到第一个“10”组合后将其变为?“01”组合，同时将其左边的所有“1”全部移动到数组的最左端。一起得到下一个组合（是一起得出，是一起得出，是一起得出）重复1、2步骤，当第一个“1”移动到数组的n-m的位置，即m个“1”全部移动到最右端时；即直到无法找到”10”组合,就得到了最后一个组合。 组合的个数为： 例如求5中选3的组合： 1 1 1 0 0 --1,2,3? 1 1 0 1 0 --1,2,4? 1 0 1 1 0 --1,3,4? 0 1 1 1 0 --2,3,4? 1 1 0 0 1 --1,2,5? 1 0 1 0 1 --1,3,5? 0 1 1 0 1 --2,3,5? 1 0 0 1 1 --1,4,5? 0 1 0 1 1 --2,4,5? 0 0 1 1 1 --3,4,5 代码如下：
算法分析与设计总结
第一章算法概述 1.算法：解决问题的一种方法或过程；由若干条指令组成的有穷指令。 2.算法的性质： 1)输入：有零个或多个输入 2)输出：有至少一个输出 3)确定性：每条指令是清晰的、无歧义的 4)有限性：每条指令的执行次数和时间都是有限的 3.算法与程序的区别 程序是算法用某种程序设计语言的具体实现 程序可以不满足算法的有限性 4.算法复杂性分析 1)算法的复杂性是算法运行所需要的计算机资源的量，需要时间资源的量称为时间复 杂性，需要空间资源的量称为空间复杂性 2)三种时间复杂性：最坏情况、最好情况、平均情况 3)可操作性最好且最有实际价值的是最坏情况下的时间复杂性 第二章递归与分支策略 1.递归概念：直接或间接调用自身的算法 2.递归函数：用函数自身给出定义的函数 3.递归要素：边界条件、递归方程 4.递归的应用 ?汉诺塔问题 void Hanuo(int n,int a,int b,int c) { if(n==1) return; Hanuo(n-1,a,c,b); move(a,b) Hanuo(n-1,c,b,a); } ?全排列问题 void Perm(Type list[],int k,int m) { //产生list[k,m]的所有排列 if(k == m) { for(int i = 0;I <= m;i++) cout< 字符串的排列组合算法合集 全排列在笔试面试中很热门，因为它难度适中，既可以考察递归实现，又能进一步考察非递归的实现，便于区分出考生的水平。所以在百度和迅雷的校园招聘以及程序员和软件设计师的考试中都考到了，因此本文对全排列作下总结帮助大家更好的学习和理解。对本文有任何补充之处，欢迎大家指出。 首先来看看题目是如何要求的（百度迅雷校招笔试题）。一、字符串的排列 用C++写一个函数, 如 Foo(const char *str), 打印出 str 的全排列,如 abc 的全排列: abc, acb, bca, dac, cab, cba 一、全排列的递归实现 为方便起见，用123来示例下。123的全排列有123、132、213、231、312、321这六种。首先考虑213和321这二个数是如何得出的。显然这二个都是123中的1与后面两数交换得到的。然后可以将123的第二个数和每三个数交换得到132。同理可以根据213和321来得231和312。因此可以知道——全排列就是从第一个数字起每个数分别与它后面的数字交换。找到这个规律后，递归的代码就很容易写出来了： view plaincopy #includeiostream?using?namespace?std;?#includeassert.h?v oid?Permutation(char*?pStr,?char*?pBegin)?{?assert(pStr?pBe gin);?if(*pBegin?==?'0')?printf("%s",pStr);?else?{?for(char *?pCh?=?pBegin;?*pCh?!=?'0';?pCh++)?{?swap(*pBegin,*pCh);?P ermutation(pStr,?pBegin+1);?swap(*pBegin,*pCh);?}?}?}?int?m ain(void)?{?char?str[]?=?"abc";?Permutation(str,str);?retur n?0;?}? 另外一种写法： view plaincopy --k表示当前选取到第几个数，m表示共有多少个数?void?Permutation(char*?pStr,int?k,int?m)?{?assert(pStr); ?if(k?==?m)?{?static?int?num?=?1;?--局部静态变量，用来统计全排列的个数?printf("第%d个排列t%s",num++,pStr);?}?else?{?for(int?i?=?k;?i?=?m;?i++)?{?swa p(*(pStr+k),*(pStr+i));?Permutation(pStr,?k?+?1?,?m);?swap( *(pStr+k),*(pStr+i));?}?}?}?int?main(void)?{?char?str[]?=?" abc";?Permutation(str?,?0?,?strlen(str)-1);?return?0;?}? 如果字符串中有重复字符的话，上面的那个方法肯定不会符合要求的，因此现在要想办法来去掉重复的数列。二、去掉重复的全排列的递归实现 由于全排列就是从第一个数字起每个数分别与它后面的数字交换。我们先尝试加个这样的判断——如果一个数与后面的数字相同那么这二个数就不交换了。如122，第一个数与后面交换得212、221。然后122中第二数就不用与第三个数交换了，但对212，它第二个数 小学生查字典口诀 学查字典并不难，偏旁部首看端详。 没有部首查起笔，形声字儿查形旁； 头底两层是部首，要让字头当偏旁； 左右两边是部首，取左去右有保障； 内心外壳是部首，舍去里边查外框； 整个字儿是部首，此字本身是偏旁； 一字头上生“二角”，取其下底把“角”砍； 下底如果不成部，左上角当此字旁； 有些生字较特殊，顶天立地当偏旁； 多查多想抓规律，相同部首不能忘。 查字典常用的三种方法是： 音序查字法、部首查字法和数笔画查字法。 ?如果很容易确定部首，但不确定读音就可以用部首查字法；?如果知道读音，但不会写这个字，就用音序查字法； ?如果是独体字就用数笔画查字法。 字、词典是无声的老师，这位老师随时会帮你解决疑难，扫除 学习中的“拦路虎”。你会只花少量的时间，非常方便地得到 较多、较全面、较准确的知识。熟练查字、词典，首先要学会 检字。下边以《新华字典》为例介绍这几种查字法。 一、音序查字法 音序检字法是按字音查字词的一种方法。很多字典或词典是按汉语拼音字母的顺序编排的。根据一个字的汉语拼音第一个字母，就可以在“汉语拼音音节表”中找到这个字的拼音音节在正文中的页码，再按照这个字的声调到那一页中去找。凡是要查只知道读音而不知道写法或意义的字，都可以用这种方法，但必须熟悉汉语拼音字母顺序和汉语拼音音节。 运用条件： ①字音要读得正确； ②准确无误地了解这个字的声母、韵母； ③掌握字母的写法。 知道了这个字的读音，不知道它的写法，或不知道它的意思， 就必须运用音序查字法查字。 查字步骤： ①确定音部。按要查字的读音确定音节的第一个字母——音部。 ②查音节索引。在《汉语拼音音节索引》中所确定的音部栏里，找出要查字的音节，并看准该音节后面所标的正文页码。 ③翻阅正文。按页码翻阅正文，找出要查的字。 在学习中遇到不理解的字或不会写的字，只要能读准字音，就可以运用音序检字法去查检。 下面的歌诀，可以帮助同们掌握这种检字法： 音序检字须认真，读准字音很要紧。 打头字母定音部，再找音节看《索引》； 按照例字找同音，对照页码翻正文； 根据声调找汉字，字形字义记在心。 部首检字法：部首检字法属于按形查字中的一种方法。它是根据汉字的部首去查检的。凡字典正文中的单字是按部首归类进行排列的，都可以运用部首检字。 部首检字的基本步骤? ⑴确定出部首。先对所要查的字确定出查什么部。 ⑵查《部首目录》。在《部首目录》中查出该部首在《检字表》中的页码。 ⑶查《检字表》。按照页码在《检字表》中这个字的余画（即除去部首还余几画）里查出这个字在字典正文中的页码。 全排列的生成算法对于给左的字符集，用有效的方法将所有可能的全排列无重复无遗漏地枚举出来。字典序法按照字典序求下一个排列的算法广例字符集{1,2,3},较小的数字较先,这样按字典序生成的全排列是：123,132,213,231,312,321o注意一个全排列可看做一个字符串，字符串可有前缀、后缀/生成给泄全排列的下一个排列所谓一个全排列的下一个排列就是这一个排列与下一个排列之间没有其他的排列。这就要求这一个排列与下一个排列有尽可能长的共同前缀，也即变化限制在尽可能短的后缀上。广例839647521是1—9的排列。1—9的排列最前而的是123456789,最后而的是987654321,从右向左扫描若都是增的，就到了987654321,也就没有下一个了。否则找出第一次出现下降的位置。算法：由P1P2...Pn生成的下一个排列的算法如下：1求j=max{j| Pj-I 第2次课枚举法中的字典排列 小热身 体会一下，“分给两个人”和“分成两堆”有什么区别呢？ (1)把5个苹果全部分给两个人，共有多少种不同的分法？ (2)把5个苹果分成两堆，共有多少种不同的分法？ 例题1:卡莉娅、墨莫、小高三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了4件宝物，三人找到的宝物数量共有多少种不同的可能？(可能有人没有发现宝物) 练习1:老师准备了6个笔记本奖励萱萱、小高、墨莫三人，每人至少得到1本笔记本，请问:老师有多少种不同的奖励方法？ 例题2:老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8。如果两个同学写出的3个自然数相同，只是顺序不一样，则算是同一种写法。试问:同学们最多能得出多少种不同的写法？ 练习2:三个大于0的整数之和(数与数可以相同)等于10，共有多少组这样的三个数？ 例题3:如下图所示，有7个按键，上面分别写着1、2、3、4、5、6、7这七个数字。请问: (1)从中选出2个按键，使它们上面的数字的差等于2，一共有多少种选法？ (2)从中选出2个按键，使它们上面的数字的和大于9，一共有多少种选法？ 练习3:有一次，著名的探险家大米得到一个宝箱，但是宝箱有密码锁，密码锁下面有一行小字，密码是和大于11的两个数，而且这两个数不能相同，不用考虑数的先后顺序，你知道密码共有多少种可能吗？ 例题4:如图，数一数图中包含星星的长方形(包括正方形)有多少个？ 练习4:如图，数一数图中包含星星的正方形有多少个？ 作业: 1、有4支完全相同的铅笔要分给3位同学，每位同学至少分1支，共有多少种不同的分法？ 2、有面值分别为1元、10元和50元的纸币若干，每种面值的纸币张数都大于 3、如果从中任意取3张，那么能组成的钱数共有多少种？ 3、从1、2、3、 4、 5、6这六个数字中选出2个数字，使它们的数字的差等于2，一共有多少种选法？ 4、数一数，下图包含星星的长方形(包括正方形)有多少个？ 5、在下图中，一共能找出多少个含“☆”的三角形。 字符串全排列算法C语言实现 问题描述： 输入一个字符串，打印出该字符串中字符的所有排列。 输入: 123 输出: 123 132 213 231 312 321 问题分析： 现象分析： 这种问题，从直观感觉就是用递归方法来实现即：把复杂问题逐渐简单化，进而得出具体代码实现。（如何发现一个问题可以使用递归方式来解决？经分析可以发现：M 个数的排列方法与N(N>M)个数的排列方法没有区别，处理方法与数据的个数没有关系。 处理方法的一致性，就可以采用递归）。 3个数（123）排列，第一位1不动，剩下两个数（23）的排列，只要相互颠倒一下，就可以出现关于1开头的所有排列 123 132 把2换到第一位，保持不动，剩下的两个数（13）的排列，只要相互颠倒一下，就可以出现关于2开头的所有排列 213 231 同理，把3换到第一位，可得到 312 321 扩展： 把3个数的所有排列，前面加一个4，就可以得到关于4开头的所有的排列4123 4132 4213 4231 4312 4321 若把4与后续数据中的任意一个数据交换，通过完成对后续三个数的全排列，就可以得到相应的数开头的四数的排列。 总结： 对4个数的排列，可以转换成首位不动，完成对3个数的排列 对3个数的排列，可以转换成首位不动，完成对2个数的排列 对2个数的排列，可以转换成首位不动，完成对1个数的排列 对于1个数，无排列，直接输出结果 算法实现说明： 对n个数的排列，分成两步： （1）首位不动，完成对n-1个数的排列， （2）循环将后续其他数换到首位，再次进行n-1个数的排列 注：排列完成后，最终的串要与原串相同 C语言代码实现： #include 算法设计与分析期末综合实验试题清单 分治与递归 1-1 合并排序 问题描述：给定n 个整数，利用合并排序思想将其调整成单调序列。 输入：整数的个数n ，以及n 个整数 输出：从大到小排序的n 个整数（或从小到大排序） 1-2 split 快速排序（枢点法） 问题描述：给定n 个整数，利用枢点法快速排序的思想将其调整成单调序列。 输入：整数的个数n ，以及n 个整数 输出：从大到小排序的n 个整数（或从小到大排序） 1-3 平面最近点对 问题描述：平面内有若干点，设计一算法在O （nlogn ）时间内求出直线距离最近的一对点，并输它们的距离。 输入：点对的数目n 以及n 对点的坐标 输出：最近的点对坐标（x,y ）以及距离d 1-4 棋盘覆盖问题 问题描述：在一个2k ×2k 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该 方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中，要用图示的4种不同形态的L 型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L 型骨牌不得重叠覆盖。 输入：棋盘的行列数n ，棋盘中特殊方格的行列号（x,y ） 输出：棋盘的覆盖方案 1-5 求k 大（小）元素（基于split 枢点法划分） 问题描述：有一数列，设计一分治递归算法，以Ω(nlogn)时间找出其第k 大（小）元素。 输入：整数的个数n 、n 个整数以及k 值 输出：第k 大（小）元素值以及其对应的下标i 1-6 二分检索 问题描述：有一单调序列，设计一分治算法检索出元素x 。 输入：整数的个数n、n个单调增（减）个整数以及需检索的元素值x 输出：最近的点对坐标（x,y）以及距离d 1-7 大整数乘法（10进制） 问题描述：有两个10制的大整数（不少于30位），设计一分治算法，以O（nlogn）时间算出其乘积。 输入：第一个大整数的位数m、第二个大整数的位数n，以及两个大整数x,y 输出：两个大整数的乘积s 1-8 循环赛比赛安排 问题描述：设计一个满足以下要求的比赛日程表： (1)每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次； (2)每个选手一天只能赛一次； (3)循环赛一共进行n-1天。 输入：选手的个数n、n个选手的编号 输出：每天的赛事安排(共n-1天） 1-9 整数的划分问题 问题描述：将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+n k，其中n1≥n2≥…≥n k≥1，k≥1。正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不同划分个数以及划分情况。 输入：正整数n 输出：n的划分个数以及划分情况 1-10 主元素问题 问题描述：有一个整数数列，数列中元素出现次数超过一半的元素定义为主元素，设计一分治算法，求出主元素。 输入：整数的个数n以及n个整数 输出：如果有主元素，输出主元素以及它们所在的位置；如果没有主元素，输出-1 1-11 全排列的生成 问题描述：给出一个序列，生成这个序列的全排列 输入：整数的个数n以及n个整数 输出：生成这n个数的全排列 贪婪算法 2-1 加油站问题 问题描述：一辆汽车加满油后,可行使n千米。旅途中有若干个加油站。若要使沿途加油次数最少,设计一个有效算法，对于给定的n和k个加油站位置，指出应在哪些加油站停靠加油才能使加油次数最少。 输入：汽车加满油后可行驶千米数n，加油站个数k。以及两两加油站之间的距离。 输出：最少的加油次数m，如果无法到达目的地，则输出“No Solution”。 1.5全排列的生成算法 全排列的生成算法就是对于给定的字符集，用有效的方法将所有可能的全排列无重复无遗漏地枚举出来。 这里介绍全排列算法四种： (A)字典序法 (B)递增进位制数法 (C)递减进位制数法 (D)邻位对换法 1.5.1字典序法 对给定的字符集中的字符规定了一个先后关系，在此基础上规定两个全排列的先后是从左到右逐个比较对应的字符的先后。 [例]字符集{1,2,3},较小的数字较先,这样按字典序生成的全排列 是:123,132,213,231,312,321。 [注意] 一个全排列可看做一个字符串，字符串可有前缀、后缀。 1）生成给定全排列的下一个排列所谓一个的下一个就是这一个与下一个之间没有其他的。这就要求这一个与下一个有尽可能长的共同前缀，也即变化限制在尽可能短的后缀上。[例]839647521是1--9的排列。1—9的排列最前面的是123456789，最后面的是987654321，从右向左扫描若都是增的，就到了987654321，也就没有下一个了。否则找出第一次出现下降的位置。 / 1.5.2递增进位制数法 1)由排列求中介数 在字典序法中，中介数的各位是由排列数的位决定的.中介数位的下标与排列的位的下标一致。 在递增进位制数法中，中介数的各位是由排列中的数字决定的。即中介数中各位的下标与排列中的数字(2—n)一致。可看出n-1位的进位链。右端位逢2进1，右起第2位逢3进1，…，右起第i位逢i+1进1，i=1,2,…,n-1. 这样的中介数我们称为递增进位制数。上面是由中介数求排列。 由序号（十进制数）求中介数（递增进位制数）如下： m=m1,0≤m≤n!-1 m1=2m2+kn-1,0≤kn-1≤1 m2=3m3+kn-2,0≤kn-2≤2 …………… mn-2=(n-1)mn-1+k2,0≤k2≤n-2 mn-1=k1,0≤k1≤n-1 p1p2…pn←→(k1k2…kn-1)↑←→m 在字典序法中由中介数求排列比较麻烦，我们可以通过另外定义递增进位制数加以改进。为方便起见，令ai+1=kn-1，i=1,2,…,n-1 (k1k2…kn-1)↑=(anan-1…a2)↑ ai：i的右边比i小的数字的个数 在这样的定义下， 有839647521←→(67342221)↑ 枚举法中的字典排列 我明天先吃什么呢？先吃汉堡，不不，还 是 先吃玉米，哎，还是先吃饼干 吧！到底 先吃什么呢？共有多少种不同的吃 法？ 基础例题: 在上一讲中我们学习了简单的枚举法一一直接把所有情况一一列举出来. 接枚举很有可能产生重复或者遗漏， 这时就需要有一些特别的方法来帮助我们枚举出所有情况. 本讲就 但如果问题较为复杂，直 如果我把这三个东西都带回去, 天吃1个，还可以再吃3天呢？ 主要介绍两种枚举的方法：字典排列法和树形图法. 首字母相同的单词都在一起 同学们可以翻一下英汉字典，不难发现字典中单词排列的规律：整本字典按首字母从 a 到z 排列, 在首字母相同的单词中, 再按照第2个字母从a 到z 的顺序排列, 然后是 个字母，第4个字母所谓“字典排列法”，就是指在枚举时，像字典里的单词顺序那样排列出 3各一次可以组成多少个不同的三位数？用字典排列法枚举时，每个位置都勒* 按从小到大排列，枚举的顺序是：123, 132, 213, 231 , 312, 321 .下面我们用字典排列法来解决几个 问题. 例题1 .卡莉娅、墨莫、小高三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物，三人找到 的宝物数量共有多少种不同的可能？（可能有人没有发现宝物） 分析：每个人最少找到几件宝物？最多呢？ 练习： 1.老师准备了6个笔记本奖励萱萱、小高和墨莫三人，每人至少得到1本笔记本，请问：老师有 多少种不同的奖励方法？ 例题2 ?老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8 ?如果两个同学写出的3 个自然数相同，只是顺序不一样，则算是同一种写法?试问：同学们最多能得出多少种不同的写法？ 分析：注意顺序不同算一种写法，也就是三个数分别为（1、2、5）、（2、5、1 ）和（5、1、2）都 算同一种写法. 练习： 2.三个大于0的整数之和（数与数可以相同）等于10，共有多少组这样的三个数? 用字典排序法枚举的时候，判断题目要求到底是“交换顺序后算作两种”还是“交换顺序后仍然是同一种”非常关键?往往题目中要求“交换顺序后仍然是同一种”，那么枚举的每个结果里就没有明确 的顺序关系；反之，那么枚举时要注意每个结果中应该都符合一定的顺序关系. 在求解计数问题时，审题非常关键?往往一字之差就会有天壤之别. 枚举法是解决计数问题的基础，但是对于比较复杂的问题，如果直接枚举很容易出现重复或者遗 漏.这时就需要预先把所有情形分成若干小类，针对每一小类进行枚举. 例题3 如下图所示，有7个按键，上面分别写着：1、2、3、4、5、6、7这七个数字?请 问： （1）从中选出2个按键，使它们上面的数字的差等于2, 一共有多少种选法？ ftp f 1ft 0 排列组合——排列公式的推理和组合 加法原理和乘法原理，是排列组合中的二条基本原理，在解决计数问题中经常运用。掌握这两条原理，并能正确区分他们，至关重要。 加法原理 若完成一件事情有3类方式，其中第一类方式有1种方法，第二类方式有3种方法，第三类有2种方法，这些方法都不相同，但任选一种方法都可以完成此事，则完成这件事情共有1+3+2=6种方法，这一原理称为加法原理。例如:从甲地到乙地有三类方式，一是汽车，二是火车，三是飞机。若一天中汽车有2班，火车有4班，飞机有一班，那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法。共有2+4+1=7种。 乘法原理 若完成一件事情分r个步骤，其中第一个步骤有m1种方法，第二个步骤有m2种方法……第步骤共有mr种方法，各步骤连续或同时完成，这件事才算完成，则完成这件事共有m1*m2*……*mr种方法。例如:从甲地到丙地必须经过乙地。从甲地到乙地有4条路线，从乙地到丙地有3条路线，问从甲地到丙地共有多少种不同的走法？解：要从甲地到达丙地，必须经过两个步骤：先从甲地到乙地，有4条路线；再从乙地到丙地，有3条路线。只有这两个步骤都完成了，才能完成这种事情，缺少哪一个步骤都不行。因此从甲地到丙地共有4*3=12种走法。 加法原理和乘法原理的区别 以上两个基本原理在排列组合问题中将会反复使用。这两个原理回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数问题，但是又有根本区别。加法原理针对的是“分类”问题，若完成一件事情有多类方式，每一类方式的各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事情，则用加法原理；而乘法原理针对的是“分步”问题，若完成一件事情必须依次经过多个步骤，每一个步骤的各种方法相互依存，只有各种步骤都完成才算做完成这种事情，则这时用乘法原理。 排列数公式推理过程 例：用1、2、3这3个数字可以组成多少个数字十位和个位不重复的两位数？解：要组成数字不重复的两位数，需要经过两个步骤：第一步确定十位上的数，数字1、2、3都可以放在十位上，共有3种方法；第二步确定个位上的数，因为要求个位数与十位数不能重复，所以个位上的数，只能从三个数字中去掉十位数后所剩的两个数字中任选一个，共有2种方法。只有十位和个位上的数都确定了，才能组成数字不重复的两位数，这两个步骤缺少哪一个都不行。因此，根据乘法原理，3*2=6. 上例中，我们把数字1、2、3称为元素。组成数字不重复的两位数这个问题，从3个不同的元素中任取2个，然后按顺序排成一列数，由于这样的排列与数字不重复的两位数是一一对应的，因此求数字不重复的两位数的个数等同于求这样的排列个数。 推理过程：从n个不同元素中取出m个不同元素排成一列，必须经过m 个步骤。第一步，确定第1个位置上的元素,可以从这n个元素中任取1个放在这个位置上，共有n种方法，即n-(1-1)括号内为位置数减1；第 全排列的生成算法对于给定的字符集，用有效的方法将所有可能的全排列无重复无遗漏地枚举出来。字典序法按照字典序求下一个排列的算法 /*例字符集{1,2,3},较小的数字较先,这样按字典序生成的全排列是:123,132,213,231,312,321。注意一个全排列可看做一个字符串，字符串可有前缀、后缀。*/生成给定全排列的下一个排列所谓一个全排列的下一个排列就是这一个排列与下一个排列之间没有其他的排列。这就要求这一个排列与下一个排列有尽可能长的共同前缀，也即变化限制在尽可能短的后缀上。/*例 839647521是1—9的排列。1—9的排列最前面的是123456789，最后面的是987654321，从右向左扫描若都是增的，就到了987654321，也就没有下一个了。否则找出第一次出现下降的位置。算法: 由P1P2…Pn 生成的下一个排列的算法如下:1. 求i=max{j| Pj-1 算法分析与设计实验报告 第 2 次实验 这次的实验和上一次的字典序问题有一些相似，主要不同的地方在于要写出下 附录：完整代码 #include for(int i=end;i>=begin;i--) p[i]=temp[end-i]; } int cal_a(int a,int b)//计算阶乘 { int answer=1; if(a==0&&b==0) return 1; for(int i=0;i 1、数列全排列递归算法； 2、在不打印所有全排列时，数列长度分别为10、11、12、13时全排列花费时间测试，修改N的值重新编译即可运行测试； 3、如果需要打印全排列，打开perm函数中的注释掉的两行printf语句即可。 #include { int i = 0; if (begin == end){ for ( i = 0; i < N ; i++){ //printf("%d", list[i]); } //printf("\n"); } else{ for (i = begin; i <= end; i++) { swap(begin,i); perm(list,begin+1,end); swap(begin,i); } } } int main(int argc, char *argv[]) { int *list=a; int i; perm(list, 0, N-1); for (i = 0; i < N; i++){ printf("%d", list[i]); } return 0; } 。 算法导论复习——常见算法思想 PPT2-1： 1.堆排序（选择类排序，不稳定） （1）初始化操作：将R[1..n]构造为初始堆； （2）每一趟排序的基本操作：将当前无序区的堆顶记录R[1]和该区间的最后一个记录交换，然后将新的无序区调整为堆（亦称重建堆）。 时间复杂度是：O（nlgn） 2.归并排序 ) 归并排序采用分治法思想的稳定的排序。算法思想是先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。 第一步：申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列第二步：设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置 第三步：比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置 重复步骤3直到某一指针超出序列尾，将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾。 时间复杂度是：O（nlgn） 3.快速排序（交换类排序，不稳定） | （1）通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据 都比另外一部分的所有数据都要小； （2）然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。 时间复杂度是：O（nlgn）。 4.分治法实现大数相乘 将a，b写成前一半数字和后一半数字相加的形式，例如若 a = 5423678，那么a1 = 542，a0 = 3678（注意若不是偶数截取较小一半） 这样a和b相乘就可以写为：a * b = { a1 * 10^(n1/2) + a0 } * { b1 * 10^(n 2/2) + b0 } （ 展开后整理得： a * b = a1*b1 * 10^[ (n1+n2)/2 ] + a1*b0 * 10^(n1/2 ) + a0*b1 * 10^(n2/2) + a0*b0 四项 这样就很容易递归的来求a * b，如果你嫌分解后的数还太大，就可以继续分解。（你可以自己规定在何时结束递归） 时间复杂度是：O（nlgn） 对于使用递归解决排列和组合的问题，俺看了很多篇参考资料，可惜的是有点难以理解别人的写法，跟MSDN一样，字都是中文，可是合起来就不知道是啥意思了，同样都是代码，每一句都能看明白，可就是不知道，他在这里为啥要写这一句，这一句在整个程序中的地位，还是脑子不好使，中学的时候数学没学好，这么些年又没好好的锻炼脑子，生锈了。 对于全排列来说，咱们还是从最简单的开始吧。 序列中只有一个元素：那么全排列就只有一种，{1}就是这个序列本身。 序列中有两个元素：那么全排列有两种方式，{1，2}，{2，1}。 序列中有三个元素：那么全排列有六种方式，{1，2，3}，{1，3，2}，{2，1，3}，{2，3，1}，{3，1，2}，{3，2，1}。 如果将排列的结果做成一个整数的话，那么对于三个元素的全排列结果应该是：{123}，{132}，{213}，{231}，{312}，{321}，这六个数有没有什么特点？ 当然有。 1.它们都是由1，2，3这几个字符组成的。 2.3>2>1。 3.123<132<213<231<312<321。 这个垃圾结论能替我们解决问题吗？ 当然能。 还记得我们怎么理解二进制的吗？ 还记得我们怎么理解八进制的吗？ 还记得我们怎么理解十六进制的吗？ 二进制中包含两个字符：0，1。 八进制中包含八个字符：0，1，2，3，4，5，6，7。 十六进制中包含十六个字符：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F。 俺的乖乖，数字么呢？字母都来咧，那些个A呀，B呀，C呀，只是一些符号而已，它们在十六进制中代表的是10，11，12，13，14，15而已。 为嘛非得用ABCDEF呢？能不能用其他的字符呢？ 当然可以。甚至于我们把ABCDEF可以改成“啊吧才的饿飞”，只有它依然代表的是10，11，12，13，14，15就行了。 为嘛会用的上ABCDEF呢？ 呵呵，简单了，因为咱们平常用的数字中没有一个单独的符号用来表达10，11，12，13，14，15而已，咱们为这些值找了个代表而已。 好了，扯的够远了，往回扯。 回到八进制中，为嘛八进制中没有ABCDEF呢？ 简单的回答是：咱们平常用的数字可以完全拿来表达八进制中的每个单独的数字，就是说，够用了，用不着折腾了 复杂的回答是：可以有ABCDEF这些字母，反正这些字母仅仅是个代表而已。 改成{1，2，3，4，5，6，7，8}行不？当然行。不就是个符号么。 二进制的改成{1，2}行不，也行；改成{2，3}行不，也行。 无论是{1，2}还是{2，3}仅仅是个符号，咱们要做的工作是保证符号中的大小关系，比如1<2，2<3就行了。 那么再次变态一点：{1，4}行不？当然行，对于二进制来说，只要1<4就行了。那么{3，8}也行喽？当然。 好了，我们已经够变态的了，不妨再变态一点。 既然都已经有了二进制，八进制，十六进制，为嘛不能整个三进制呢？ 精品文档 全排列的生成算法全排列的生成算法就是对于给定的字符集，用有效的方法将所有可能的全排列无重复无遗漏地枚举出来。任何n个字符集的排列都可以与1?n的n个数字的排列一一对应，因此 在此就以n 个数字的排列为例说明排列的生成法。 n 个字符的全体排列之间存在一个确定的线性顺序关系。所有的排列中除最后一个排列外，都有一个后继；除第一个排列外，都有一个前驱。每个排列的后继都可以从它的 前驱经过最少的变化而得到，全排列的生成算法就是从第一个排列开始逐个生成所有的排列的方法。 全排列的生成法通常有以下几种：字典序法递增进位数制法递减进位数制法邻位交换法 递归类算法 1. 字典序法 字典序法中，对于数字1、2、3 ......n 的排列，不同排列的先后关系是从左到右逐 个比较对应的数字的先后来决定的。例如对于5个数字的排列 1 2354和12345，排列12345 在前，排列12354 在后。按照这样的规定， 5 个数字的所有的排列中最前面的是 1 2345 ，最后面的是54321 。 字典序算法如下： 设P是1?n的一个全排列： p=p1p2 .... pn=p1p2 ...... pj-1pjpj+1 ..... p k-1pkpk+1 .... pn 1 ）从排列的右端开始，找出第一个比右边数字小的数字的序号j（j 从左端开始计算），即j=max{i|pi排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法 ( 2 0 2 0 )
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