(完整版)高考数学试题分类汇编(大纲版)：考点8数列的综合应用Word版含答案[高考]

考点8、数列的综合应用

1. （2010·湖北高考理科·Ｔ7）如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形， 再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去 .设n S 为前n 个圆的面积之和，则lim n n S →∞

=（ ）

A ．22r π B. 28

3

r π C.24r π D.26r π

【命题立意】本题主要考查正六边形的性质、正六边形的内切圆半径与其边长的关系、等比数列的通项公式和前ｎ项和公式的应用，考查无穷递缩等比数列前n 项和极限的计算，考查考生的运算求解能力．

【思路点拨】先由正六边形的内切圆半径与其边长的关系求出相邻两圆的半径的关系，从而将所有内切圆的面积按从小到大的顺序排列构造一个等比数列{}n a ，由公比(0,1)q ∈知lim n n S →∞

=

1

1a q

- 【规范解答】选C ，设正六边形第n 个内切圆的半径为n r ，面积为n a ，则

013

cos302

n n r r +==

，从而1n a +=34n a ，由2

1a r π=，34q =，(0,1)q ∈知{}n a 是首项为2r π，公比为34

的等比数列。所以lim n n S →∞=11a q -=2314

r π-=42

r π.

【方法技巧】对于等比数列{}n a ，若公比1q <，则其前n 项和n S 当n 趋向于正无穷大时极限存在且

lim n n S →∞

=

1

1a q

-。 2.（2010·上海高考理科·Ｔ１0）在n 行n 列矩阵12321

234113*********n n n n n n n n n n ???--?? ????- ?

???? ?????????????????????? ? ????---??

中，记位于第i 行

第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =???．当9n =时，11223399a a a a +++???+= ． 【命题立意】本题考查学生的分析推理和归纳能力．

【思路点拨】观察矩阵的特点，找到n=9时(,1,2,)ij a i j n =???对应的数，再求解． 【规范解答】45．当9n =时，11223399a a a a +++???+= 1+3+5+7++9+2+4+6+8=45. 【方法技巧】本题观察一定要仔细认真，因为n=9个数不多，可以将矩阵列出来再求解．

3.（2010·湖北高考理科·Ｔ20）已知数列{}n a 满足: 112a =, ()()11

312111n n n n a a a a ++++=--, ()101n n a a n +<≥g ；数列{}n b 满足：n b =21n a +-2n a （n ≥1）. (Ⅰ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式;

(Ⅱ)证明:数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列.

【命题立意】本题主要考查等差、等比数列的定义，考查利用数列递推关系式求数列通项的思想，考查反证法及考生的推理论证能力．

【思路点拨】(Ⅰ)由题意构造新数列{}n c 满足：2

1n n c a =-，先求{}n c 的通项公式，再求{}n a 的通项公式，最

后求{}n b 的通项公式。

(Ⅱ)用反证法证明。 【规范解答】

(Ⅰ)由题意可知： 2

2121(1)3n n a a +-=

-，令21n n c a =-，则123n n c c +=，又2113

14

c a =-=，所以数列{}n c 是以34为首项，23为公比的等比数列，即132()43n n c -=g ，故21321()43n n a -=-g 。又112

a =>0，10n n a a +

(1)1()43

n n n a --=--g ，

n b =21n a +-2n a =32[1()]43n --g 132[1()]43

n --g =1

12()43n -g 。

(Ⅱ)证明：（反证法）假设数列{}n b 存在三项r b ，s b ，t b ()r s t <<按某种顺序构成等差数列，由于数列{}n b 是以

14为首项，2

3为公比的等比数列，于是一定有r s t b b b >>， 则只能有2s r t b b b =+成立，即：111121212

2()()()434343s r t ---=+g g g g ，两边同乘以1132t r --可得： 22332s r t s t r t r ----=+g ，由于r s t <<，所以上式左边为偶数，右边为奇数，从而上式不可能成立，导致矛盾。

故数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列。 【方法技巧】

已知数列的递推关系式求通项公式较困难时，通常都要先构造新的数列，利用等差、等比数列的通项公式或累加、累乘的方法求出新数列的通项公式，再求题设中数列的通项公式。 4.（2010·重庆高考理科·Ｔ21）在数列{}n a 中，1a =1，()()1

121*n n n a ca c n n N ++=++∈，其中实数0c ≠。

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）若对一切*k N ∈有221k k a a ->，求c 的取值范围。

【命题立意】本小题考查归纳、猜想解题，考查数学归纳法及其应用，考查数列的基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查分类讨论的思想.

【思路点拨】（1）先求出数列{}n a 的前几项，归纳猜想得出结论，再用数学归纳法证明；（2）对恒成立问题进行等价转化，

【规范解答】（1）【方法1】：由11a =，2222

2133(21)a ca c c c c c =+?=+=-+，

2322323258(31)a ca c c c c c =+?=+=-+，

44324343715(41)a ca c c c c c =+?=+=-+，猜测21(1)n n n a n c c -=-+（*n N ∈），

下面用数学归纳法证明 当n=1时，等式成立；

假设当n=k 时，等式成立，即2k k 1

(1)k a k c c -=-+，则当n=k+1时，

12k k 111(21)[(1)](21)k k k k a ca c k c k c c c k +-++=++=-+++

2121(2)[(1)1]k k k k k k c c k c c ++=++=+-+

综上可知，21(1)n n n a n c c -=-+对任何*

n N ∈都成立.

【方法2】：由原式11(21)n n

n n

a a n c c ++=++， 令n n n a

b

c =

，则c

b 1

1=，1(21)n n b b n +=++，因此对2n ≥有 112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-+?+-+

211

21(23)31n n n c c

=-+-+?++

=-+（） 因此，21

(1)n n n a n c c -=-+，2n ≥。又当n=1时上式成立。 因此，21(1)n n n a n c c -=-+，*

n N ∈。

（2）【方法1】：由221k k a a ->，得

222122122[(2)1][(21)1]k k k k k c c k c c ----+>--+

因22

0k c

->，所以222(41)(441)10k c k k c ----->

解此不等式得：对一切*

k N ∈，有k c c >或k c c '

<，其中

k c =

k c '=

易知lim 1k k c →∞

=（因为k c 的分子、分母的最高次项都是2，且系数都是8，所以极限值是

8

18

=）；用放缩法得：

<2

41k =+，所以22222(441)418412(41)82

k k k k k k

c k k --++-<

=<--， 因此由k c c >对一切*

k N ∈成立得1≥c ； 又

0k c '=

<，易知k c '单调递增，故1k c c ''≥对一切*k N ∈成立，

因此由k c c '<对一切*

k N ∈成立得：

1c c '<=，从而c 的取值范围为(,[1,)-∞+∞U . 【方法2】：由221k k a a ->，得2221

22122[(2)1][(21)1]k k k k k c c

k c c ----+>--+， 因22

0k c

->，所以2224()410c c x cx c c -+-+->对*k N ∈恒成立.

记2

2

2

()4()41f x c c x cx c c =-+-+-，下分三种情况讨论。

（i ）当2

0c c -=即0c =或1=c 时，代入验证可知只有1=c 满足要求 （ii ）当02

<-c c 时，抛物线()y f x =开口向下，因此当正整数k 充分大时，()0f k <，不符合题意，此时

无解。

（iii ）当20c c ->，即0c <或1c >时，抛物线()y f x =开口向上，其对称轴1

2(1)

x c =

-必在直线1x =的左

侧，因此，()y f x =在),

1[+∞上是增函数。 所以要使()0f k >对*

k N ∈恒成立，只需(1)0f >即可。

由2

(1)31f c c =+-解得c <

c >

结合0c 得c <或1>c 综合以上三种情况，c 的取值范围为1(,)[1,)6

-∞-

+∞U . 【方法技巧】（1）第（1）问有两种方法解答：①归纳猜想并用数学归纳法证明；②数列的迭代法（或累加消项法）；（2）第（2）问中对条件“恒成立”进行等价转化，转化为一元二次不等式求解或转化为二次函数进行讨论；（3）放缩法的运用..

5.（2010·重庆高考文科·Ｔ16）已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.（1）求通项公式n a 及n S ；

（2）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T

【命题立意】本小题考查等差数列、等比数列的基础知识，考查等差数列、等比数列的前n 项和公式及其应用，考查运算求解的能力，考查化归与转化的思想.

【思路点拨】（1）直接套用等差数列的通项公式和前n 项和公式计算；（2）直接套用等比数列的通项公式求出

{}n n b a -的通项，再求数列{}n b 的通项公式.

【规范解答】（1）因为{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列， 所以192(1)221n a n n =--=-+，即221n a n =-+；

2(1)

19(2)202

n n n S n n n -=+

-=-+，即220n S n n =-+. （2）因为{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，所以13n n n b a --=，即1

3n n n b a -=+，

所以12n n T b b b =+++L 01

12(3)(3)(3)n n a a a -=++++++L

1

12(333)()n n a a a -=+++++++L L 2

21(13)312020132

n n n n n n --=-+=-+-.

【方法技巧】在求n T 时，巧妙的利用（1）中的和2

20n S n n =-+可以快捷解题.

6.（2010·江西高考理科·Ｔ２２）（本小题满分14分）

证明以下命题：

（1）对任一正整数a ，都存在正整数,()b c b c <，使得222

,,a b c 成等差数列；

（2）存在无穷多个互不相似的三角形n ?，其边长,,n n n a b c 为正整数且2

2

2

,,n n n a b c 成等差数列．

【命题立意】本题是一类新型探索题，主要考查等差数列的定义及通项公式，等差数列的证明等基础知识，

考查由特殊到一般的思想，考查等价命题的转化，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力，考查反证法思想，函数与方程思想方法，考查思维的严密性，本题属难题.

【思路点拨】（1）先找到222

1,5,7成等差数列，是解决本小题的关键；（2）先选取与自然数n 有关的多项式进行分解因式，再解方程组确定边长,,n n n a b c ，最后证明三角形的存在性和无穷性，难点在于构造多项式。 【规范解答】（1）易知2221,5,7成等差数列，则222

,(5),(7)a a a 也成等差数列，所以对 任一正整数a ，都存在正整数5,7,()b a c a b c ==<，使得222

,,a b c 成等差数列．

（2）若222,,n n n a b c 成等差数列，则有2222

n n n n b a c b -=-，

即()()()()n n n n n n n n b a b a c b c b -+=-+ ……①

选取关于n 的一个多项式，例如2

4(1)n n -，使得它可按两种方式分解因式，由于

2224(1)(22)(22)(22)(22)n n n n n n n n -=-+=+-

因此令22

2222,2222n n n n n n n n a b n n c b n n b a n c b n ??+=-+=+????-=+-=-????，可得22

2

21

1

(4)21n n n a n n b n n c n n ?=--?=+≥??=+-?

易验证,,n n n a b c 满足①，因此,,n n n a b c 成等差数列，

当4n ≥时，有n n n a b c <<且2

410n n n a b c n n +-=-+>

因此以,,n n n a b c 为边长可以构成三角形，将此三角形记为(4)n n ?≥．

其次，任取正整数,(,4,)m n m n m n ≥≠且，假若三角形m ?与n ?相似，则有：

2222

2221121

21121

m m m m m n n n n n --++-==--++- 据此例性质有：

22222222

2

2

2

2

222212121(1)1

12121(1)112121(1)1

12121(1)1

m m m m m m m n n n n n n n m m m m m m m n n n n n n n ++-+--+-===++-+--+-+-----++===+-----++

所以

11

11

m m n n +-=+-，由此可得m n =，与假设m n ≠矛盾，即任两个三角形m ?与n ?(,4,)m n m n ≥≠互不相似，所以存在无穷多个互不相似的三角形n ?，其边长,,n n n a b c 为正整数且2

2

2

,,n n n a b c 成等差数列．

【方法技巧】1、这类题目难度大，技巧性高，一般很难直接找到问题的突破口，只有平时打好基础，注意

知识的总结和一些规律性的小结论的积累，才能把这类难度大的题通过已学的基础知识层层分解来解答，并且这些基础知识都能从课本中找到它们的影子。

2、本例第（1）问的突破口如下：设1，p ,q ,符合条件要求，则有2

2

12q p +=，由于p ,q 均为自然数，

所以q 为奇数，又,1>>p q 设12+=k q ,*

∈N k ,则2

2

)12(12++=k p ，化简得1222

2

++=k k p ，可见，

p 也为奇数，再设p =*∈+N m m ,12,又得122)12(22++=+k k m ，化简得)1()1(2+=+k k m m ，故12+=k m ，且k m =+1，解得2,3==m k .从而p =5,q =7,这样问题就得到了解决.

7.（2010·四川高考理科·Ｔ21）已知数列{}n a 满足1202a ,a ==，且对任意m,n N *∈都有

22121122m n m n a a a (m n )--+-+=+-

（Ⅰ）求3a ，5a ；

（Ⅱ）设2121n n n b a a (n N*)+-=- ∈证明：数列{}n b 是等差数列；

（Ⅲ）设110n n n n c (a a q (q ,n N*)-

+=- ) ≠∈，求数列{}n c 的前n 项和n S .

【命题立意】本小题主要考查数列的递推公式、等差数列的概念及求和公式，等比数列的求和公式，错位相减法数列求和等知识的应用，考查化归，分类整合等数学思想，灵活运用已知公式，以及推理的能力.

【思路点拨】（I ）由题意，所给公式对m,n N *∈都成立，故可给m ，n 赋值，结合1202a ,a ==的值求解. （Ⅱ）要证数列{}n b 为等差数列，由等差数列的定义，需证1n n b b +-为常数，

即211211

2121232121()2n n n n n n n a a a a a a a +++-+-++----=-+（）（）（）为常数，与所给公式

22121122m n m n a a a (m n )--+-+=+-比较可知，令2123m n -=+，即2m n =+，便可解决问题.

（Ⅲ）需先确定数列{}n c 的同项公式，即求1n n a a +-的表达式，由（Ⅱ）知

212182n n n b a a n +-=-=-，观察公式22121122m n m n a a a (m n )--+-+=+-，保留21n a -，故需出现n a ，可令

21m n a a -=或1m n n a a +-=，当21m n -=时，1312

m n n a a +--=不便于计算，当1m n n +-=时，即1m = 时，

211m a a -=，又10a =，此时由22121122m n m n a a a (m n )--+-+=+-得2121221n n a a a (n )-+=+-，可求出

2211

(1)2

n n a a a n -+=

--，从而解决问题.需注意等比数列求和时注意公比是否为1，故需分类讨论. 【规范解答】解：(I)由题意，令2,1m n ==，可得32122426a a a =-+=+=， 令5313,12812820m n a a a ===-+=+=.

（Ⅱ）当n N *

∈,由已知，令2n m +=，

由已知可得23212128n n n a a a +-++=+， 即23212121()8n n n n a a a a +++----=， 也即2112112121()8n n n n a a a a +++-+----=（）（）， ∴18n n b b +-=. ∴数列{}n b 是公差为8的等差数列.

（III ）由(I)、（Ⅱ）可知数列{}n b 是首项为1316b a a =-=，公差为8的等差数列. 则6(1)882n b n n =+-?=-， 即212182n n a a n +--=-.

另令1m =可得2

12122(1)n n a a a n -+=+-，即2211

(1)2

n n a a a n -+=

--.则 2(1)11

222111(11)(1)2

2n n n n a a a a a a n n +--+++??-=

-+----????

2121822121222n n a a

n n n n +---=-+=-+= ，

∴1

2n n c nq -=.

当1q =时，246...2(1)n s n n n =++++=+，

当1q ≠，0121

246...2n n s q q q n q -=?++?++?， ①

①式两边同乘q 可得

1231246...2(1)2n n n qs q q q n q n q -=?+?+?++-?+?，②

①-②得21(1)2(1...)2n n n q s q q q nq --=++++- 1

21(1)12211n n n

n q nq q n q q q

+??-++-??=?-?=

--，

∴1

2

21(1)(1)n n n q nq s q +??-++??

=

-

综上，1

2(1),

121(1)1(1)n n n n q s n q nq q q ++=??=??-++???≠?

-?

.

8.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ18）（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和2

()3n n S n n =+g

． （Ⅰ）求lim

n

n n

a S →∞；

（Ⅱ）证明：

12222312n

n a a a n

+++…＞． 【命题立意】本题考查了数列的递推公式，极限的运算以及数列与不等式的证明综合运用知识。

【思路点拨】（Ⅰ）可以用n S 1--n S 表示n a ，代入2

()3n n S n n =+g 再求极限。（Ⅱ）结合不等式的放缩法证

明。

【规范解答】（Ⅰ）,lim 1)1lim(lim lim

111n

n n n n n n n n S S

S S S S S S a ----=-=-= ,313111lim lim

1=?+-=-n n S S n n 所以，.3

2

lim =n n S a （Ⅱ）当n=1时，,361a 121

>==S 当n>1时，2

1

n 2122122221...21...21n S S S S S n a a a n n --+

+-+=+++ =221222221221)1)1(1(...)3121)2111(

n

S S n S n n S S n

n n >?+?--++?-+?--（ =n n

n n 32

2?+>n

3 所以，当.3...21a

122221

n n

n

a a n >+++

≥时， 9.（2010·上海高考理科·Ｔ20）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈ （1）证明：{}1n a -是等比数列；

（2）求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由． 【命题立意】本题主要考查数列的有关性质、通项公式的求法及前n 项和与第n 项的关系．

【思路点拨】由前n 项和与第n 项的关系，求出n a 与1-n a 的关系，再完成第（1）问的证明；由（1）求出n a ,

再求n S ，由???>>+-n n n

n S S S S 1

1估算n 的值．

【规范解答】（1）当n=1时，855111--=a a ，所以141-=a ；

当2≥n 时，)8551(85511------=-=--n n n n n a n a n S S a ，化简得，1561+=-n n a a ，即

)1(5)1(61-=--n n a a ，

6

5111=---n n a a ，所以{}1n a -是以1511-=-a 为首项，公比为65

的等比数列．

（2）由（1）得1

65151-?

??

??-=-n n a ，所以165151

+?

?

?

??-=-n n a ，

且585n n S n a =--=851651551-???

? ??+?

?? ??---n n 9065751

-???

??+=-n n ， 由???>>+-n

n n n S S S S 1

1

，得?

?

?

????-??? ??+>-??? ??++-???

??+>-??? ??+----906575906575190

657590657511

1

2n n n n n n n n ，又由*

n N ∈解得n=15． 【方法技巧】由数列的前n 项和与第n 项的关系，求通项n a 时，要先求1a ，然后2≥n 时，由1--=n n n S S a 求

n a .

10.（2010·上海高考文科·Ｔ21）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*

n N ∈

(1)证明：{}1n a -是等比数列；

(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n .

【命题立意】本题主要考查数列的有关性质、通项公式的求法及前n 项和与第n 项的关系．

【思路点拨】由前n 项和与第n 项的关系，求出n a 与1-n a 的关系，再完成第（1）问的证明；由（1）求出n a ,再求n S ，由n n S S >+1解不等式，估算n 的值．

【规范解答】（1）当n=1时，855111--=a a ，所以141-=a ；

当2≥n 时，)8551(85511------=-=--n n n n n a n a n S S a ，化简得，1561+=-n n a a ，即

)1(5)1(61-=--n n a a ，

6

5111=---n n a a ，所以{}1n a -是以1511-=-a 为首项，公比为65

的等比数列．

（2）由（1）得1

65151-?

??

??-=-n n a ，所以165151

+?

?

?

??-=-n n a ，

且585n n S n a =--=851651551-???

? ??+?

?? ??---n n 9065751

-???

??+=-n n ， 由n n S S >+1

，得90657590657511

-?

?

?

??+>-??? ??++-n n n n ，化简，得15165

?

??n

， 所以8.145

1

log 6

5

≈>n ，故最小的整数n 取15. 【方法技巧】由数列的前n 项和与第n 项的关系，求通项n a 时，要先求1a ，然后2≥n 时，由1--=n n n S S a 求

n a 。

11.（2010·湖北高考文科·Ｔ19）已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a （单位：m 2），其中有部分旧住房需要拆除。当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b （单位：m 2）的旧住房。

（Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：

（Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b 是多少？（计算时取1.15=1.6）

【命题立意】本题主要考查由实际问题提取信息、建立数学模型的能力，同时考查考生运用所学知识分析和解决实际问题的能力．

【思路点拨】（Ⅰ）由题意，设第n 年末实际住房面积为n a ，则11.1n n a a b -=-且1 1.1a a b =-（单位：m 2）。 （Ⅱ）由11.1n n a a b -=-求出5a ，结合题意建立方程即可解得。

【规范解答】设第n 年末实际住房面积为()n a n N *

∈。

（Ⅰ）由题意，则1 1.1a a b =-（单位：m 2），

211.1 1.1(1.1) 1.21 2.1a a b a b b a b =-=--=-（单位：m 2）

（Ⅱ）232

321.1 1.1(1.1 1.1) 1.1 1.1 1.1a a b a b b b a b b b =-=---=---

32431.1 1.1(1.1 1.1 1.1)a a b a b b b b =-=----

4321.1 1.1 1.1 1.1a b b b b =----

432541.1 1.1(1.1 1.1 1.1 1.1)a a b a b b b b b =-=-----

54321.1 1.1 1.1 1.1 1.1a b b b b b =----- 5(1 1.1)

1.6 1.661 1.1

b a a b -=-=--

由题意1.66 1.3a b a -=，解得20a b =

，所以每年拆除的旧住房面积为20

a （单位：m 2）。 【方法技巧】本题第（Ⅱ）问也可通过构造新数列先求()n a n N *

∈，再求5a ，进而解方程求b 。过程如下：

由11.1n n a a b -=-且1 1.1a a b =-可得：110 1.1(10)n n a b a b --=-，若1100a b -=，则100n a b -=，从而

51 1.1 1.3a a a b a ==-<与题目条件矛盾；1100a b -≠时，数列{}10n a b -是以110a b -为首项，1.1为公比的

等比数列，因此1110(10)1.1n n a b a b --=-，从而11(10)1.110(10)1.110n n

n a a b b a b b -=-+=-+，

55(10)1.110 1.66a a b b a b =-+=-由题意1.66 1.3a b a -=，解得20

a b =

。 12.（2010·湖北高考理科·Ｔ20）已知数列{}n a 满足: 112a =, ()()11

312111n n n n a a a a ++++=--, ()101n n a a n +<≥g ；数列{}n b 满足：n b =21n a +-2n a （n ≥1）. (Ⅰ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式;

(Ⅱ)证明:数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列.

【命题立意】本题主要考查等差、等比数列的定义，考查利用数列递推关系式求数列通项的思想，考查反证法及考生的推理论证能力．

【思路点拨】(Ⅰ)由题意构造新数列{}n c 满足：2

1n n c a =-，先求{}n c 的通项公式，再求{}n a 的通项公式，最

后求{}n b 的通项公式。

(Ⅱ)用反证法证明。

【规范解答】(Ⅰ)由题意可知： 2

2121(1)3n n a a +-=

-，令21n n c a =-，则123n n c c +=，又2113

14

c a =-=，所以数列{}n c 是以34为首项，23为公比的等比数列，即132()43n n c -=g ，故21321()43n n a -=-g 。又11

2

a =>0，

10n n a a +

(1)1()43

n n n a --=--g ， n b =21n a +-2n a =

32[1()]43n --g 132[1()]43

n --g =112()43n -g 。

(Ⅱ)证明：（反证法）假设数列{}n b 存在三项r b ，s b ，t b ()r s t <<按某种顺序构成等差数列，由于数列{}n b 是以

14为首项，2

3为公比的等比数列，于是一定有r s t b b b >>， 则只能有2s r t b b b =+成立，即：111121212

2()()()434343s r t ---=+g g g g ，两边同乘以1132t r --可得： 22332s r t s t r t r ----=+g ，由于r s t <<，所以上式左边为偶数，右边为奇数，从而上式不可能成立，导致矛盾。

故数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列。

【方法技巧】已知数列的递推关系式求通项公式较困难时，通常都要先构造新的数列，利用等差、等比数列的通项公式或累加、累乘的方法求出新数列的通项公式，再求题设中数列的通项公式。

13.（2010·江西高考文科·Ｔ２２）（本小题满分14分）

正实数数列{}n a 中,121,5a a ==,且2

{}n a 成等差数列. (1) 证明数列{}n a 中有无穷多项为无理数；

(2)当n 为何值时，n a 为整数，并求出使200n a <的所有整数项的和.

【命题立意】本题是一类创新题型，主要考查等差数列的定义及通项公式等基础知识，考查由特殊到一般的思想，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力，考查反证法思想，考查思维的严密性，本题属难题.

【思路点拨】（1）从通项公式的结构特点着手，找到非完全平方式的一类表达形式，是解决本小题的关键，此题也可利用整数的平方其末位数的规律求解；（2）利用整数的奇偶性，研究整数分解因式的规律，是解决本类问题的关键.

【规范解答】（1）由已知有：2

124(1)n a n =+-，从而n a =

方法一：取21

124

k n --=，则n a =（*

k N ∈）

用反证法证明这些n a 都是无理数.

假设n a =为有理数，则n a 必为正整数，且24k

n a >，故241k n a -≥.

241k n a -≥,与(24)(24)1k k n n a a -+=矛盾，

所以n a =（*

k N ∈）都是无理数，即数列{}n a 中有无穷多项为无理数;

方法二：因为2

1124,()n a n n N +=+∈，当n 的末位数字是3,4,8,9时，124n +的末位数字是3 和7，它不是整

数的平方，也不是既约分数的平方，故此时1n a +=n 有无穷多，故这种无理项1n a +也有无穷多．

(2) 要使n a 为整数，由(1)(1)24(1)n n a a n -+=-可知：

1,1n n a a -+同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有16n a m -=或16n a m +=

当61n a m =+时，有22

36121112(31)n a m m m m =++=++（m N ∈） 又(31)m m +必为偶数，所以61n a m =+（m N ∈）满足2

124(1)n a n =+-

即(31)

12

m m n +=

+（m N ∈）时，n a 为整数； 同理*61()n a m m N =-∈有2236121112(31)n a m m m m =-+=+-（*

m N ∈）

也满足2

124(1)n a n =+-，即(31)

12

m m n -=

+（*m N ∈）时，n a 为整数； 显然*

61()n a m m N =-∈和61n a m =+（m N ∈）是数列中的不同项；

所以当(31)12m m n +=

+（m N ∈）和(31)

12

m m n -=+（*m N ∈）时，n a 为整数； 由61200n a m =+<（m N ∈）有033m ≤≤，

由61200n a m =-<（*

m N ∈）有133m ≤≤.

设n a 中满足200n a <的所有整数项的和为S ，则

(511197)(17199)S =+++++++L L 51971199

3334673322

++=

?+?= 【方法技巧】1、这类题目难度大，技巧性高，一般很难直接找到问题的突破口，只有平时打好基础，注意知识的总结和一些规律性的小结论的积累，才能把这类难度大的题通过已学的基础知识层层分解来解答，并且这些基础知识都能从课本中找到它们的影子。

2、本题巧妙利用整数的平方其末位数的规律求解，同时利用整数的奇偶性，研究整数分解因式的规律，是解决本类问题的关键.本题考查的不仅仅是这些知识，更重要的是分析问题和解决问题的能力. 14.（2010·四川高考文科·Ｔ20）已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8和为4-， （I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）设1*

(4)(0,)n n n b a q q n N -=-≠∈，求数列{}n b 的前n 项和n S .

【命题立意】本小题考查等差数列的求和公式，错位相减法求数列的和，考查化归，分类整合等数学思想，以及

推理论证，分析与解决问题的能力.

【思路点拨】（I ）要求等差数列的通项公式，需知首项和公差，列方程组求解.

（II ）先求出1n n b n q -=?，则023123...n

n s q q q n q =?+?+?++?，可用错位相减法求解，注意1q =，1

q ≠的分类讨论.

【规范解答】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则11336,

828 4.

a d a d +=??

+=-?

解之得13a =，1d =-.∴3(1)4n a n n =--=-.

（II ）由（I ）的解答可得，1n n b n q -=?，则023123...n

n s q q q n q =?+?+?++?，① 若1q ≠，将上式两边同乘以q 得1231123...(1)n n

n qs q q q n q n q -=?+?+++-?+?，②

②-①得，21

(1)1...n n n q s nq q q q --=-----

11(1)1

11

n n n n

q nq n q nq q q +--++=-=--，

∴12

(1)1

(1)

n n n nq n q s q +-++=-. 若1q =，则(1)

123 (2)

n n n s n +=++++=

，

综上12

(1)

,12

(1)1.1(1)n n n

n n n q s nq n q s q q ++?=??=?-++?=≠?-?

15.（（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ22）已知数列{}n a 中，111

1,n n

a a c a +==-

. （Ⅰ）设51,22

n n c b a =

=-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 .

【命题立意】“要识庐山真面目”.本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.

【思路点拨】对于问题（Ⅰ）进行合理变形和配凑变形为

22

4

2

11+-=

-+n n a a ，得到241+=+n n b b

符合B Aa a n n +=+1的递推式, 一般采用待定系数法；问题（2）利用数学归纳法进行求解和证明. 【规范解答】(I)n n n n a a a a 22212521-=--=-+,22

4

22211+-=-=-=n n n n a a a a , 即241+=+n n b b .

)3

2

(4321+=+

+n n b b ,又11=a ,故12111-=-=

a b , 所以????

??

+

32n b 是首项为3

1

-,公比为4的等比数列, 1

43

132-?-=+n n b ,32341--=-n n b . (II)1,121-==c a a ,由12a a >得2>c .

用数学归纳法证明:当2>c 时,1+

当1=n 时,11

21

a a c a >-

=,命题成立; (ii)

设当k n =时,1+

11

21

1+=+=-

>-

=k k

k k a a c a c a . 故由(i),(ii)知当2>c 时,1+

当2>c 时,令242-+=c c α,由c a a a a n

n n n =+<+

+1

11得α

10

2≤

10

>

c 时,3>α,且α<≤n a 1,于是 )(3

1

)(11n n n n a a a a -≤

-=

-+ααα

α, )1(31

1-≤

-+ααn n a . 当31

log 3-->ααn 时,31-<-+ααn a ,31>+n a .

因此3

10

>c 不符合要求.

所以c 的取值范围是??

?

??310,2.

【方法技巧】解决数列问题的递推思想

对于具有递推关系的数列问题，常常需要通过进行转化为常见的等差、等比数列，再利用等差、等比数列的相关公式或性质进行解答.其主要方法有累加法、累乘法、取倒数法，待定系数法等 （1）形如)(n f a a n n +=+1的递推式，一般采用累加法； （2）形如

)(n f a a n

n =+1

的递推式，一般采用累乘法； （3）形如C

Ba Aa a n n

n +=

+1的递推式, 一般采用取倒数法

（4）形如B Aa a n n +=+1的递推式, 一般采用待定系数法；

高考数学试题分类汇编集合理

2013年全国高考理科数学试题分类汇编1：集合 一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集 {}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则 ()=U A B ( ) A.{}134， ， B.{}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则 A.()01， B.(]02， C.()1,2 D.(]12， 【答案】D 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.* ,A N B N == B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C.{|01},A x x B R =<<= D.,A Z B Q == 【答案】D 5 ．（2013 年高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合 {|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合 A ={0,1,2},则集合 B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9 【答案】C

历年中考真题分类汇编(数学)

第一篇基础知识梳理 第一章数与式 §1.1实数 A组2015年全国中考题组 一、选择题 1．(2015·浙江湖州，1，3分)－5的绝对值是() A．－5 B．5 C．－1 5 D. 1 5 解析∵|－5|＝5，∴－5的绝对值是5，故选B. 答案 B 2．(2015·浙江嘉兴，1，4分)计算2－3的结果为() A．－1 B．－2 C．1 D．2 解析2－3＝－1，故选A. 答案 A 3．(2015·浙江绍兴，1，4分)计算(－1)×3的结果是() A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析(－1)×3＝－3，故选A. 答案 A 4．(2015·浙江湖州，3，3分)4的算术平方根是() A．±2 B．2 C．－2 D. 2 解析∵4的算术平方根是2，故选B. 答案 B 5．(2015·浙江宁波，3，4分)2015年中国高端装备制造业收入将超过6万亿元，其中6万亿元用科学记数法可表示为()

A．0.6×1013元B．60×1011元 C．6×1012元D．6×1013元 解析6万亿＝60 000×100 000 000＝6×104×108＝6×1012，故选C.答案 C 6．(2015·江苏南京，5，2分)估计5－1 2介于() A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间解析∵5≈2.236，∴5－1≈1.236， ∴5－1 2≈0.618，∴ 5－1 2介于0.6与0.7之间． 答案 C 7．(2015·浙江杭州，2，3分)下列计算正确的是() A．23＋26＝29B．23－26＝2－3 C．26×23＝29D．26÷23＝22 解析只有“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，“同底数幂相除，底数不变，指数相减”，故选C. 答案 C 8．★(2015·浙江杭州，6，3分)若k＜90＜k＋1(k是整数)，则k＝() A．6 B．7 C．8 D．9 解析∵81＜90＜100，∴9＜90＜100.∴k＝9. 答案 D 9．(2015·浙江金华，6，3分)如图，数轴上的A，B，C，D四点中，与表示数－3的点最接近的是 () A．点A B．点B C．点C D．点D

数列历年高考真题分类汇编

专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用 答案部分 2019年 1.解析：对于B ，令2 104x λ-+=，得12 λ=， 取112a = ，所以211 ,,1022n a a == ?? ?…， 10n n a a +->，{}n a 递增， 当4n … 时，11132122 n n n n a a a a +=+>+=，

所以54 65109 323232a a a a a a ?>???> ???? ?>??M ，所以6 10432a a ??> ???，所以107291064a > >故A 正确．故选A ． 2.解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得 11124,333a d a d a d +=+=+， 解得10,2a d ==． 从而* 22,n a n n =-∈N ． 由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得 () ()()2 12n n n n n n S b S b S b +++=++． 解得()2 121n n n n b S S S d ++= -． 所以2* ,n b n n n =+∈N ． （2 ）*n c n = ==∈N ． 我们用数学归纳法证明． ①当n =1时，c 1=0<2，不等式成立； ②假设() *n k k =∈N 时不等式成立，即12h c c c +++

2015高考数学分类汇编数列

专题六 数列 1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B 【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=?-=，选B . 【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式及等差数列的性质. 【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解，也可应用等差数列的性质求解，主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题. 2.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()2 0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零 点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】D 【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ?=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ?==，．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，，解得1a =，4b =；当 4 a 是等差中项时，，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ． 【考点定位】等差中项和等比中项． 【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项及项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题． 3.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C

2020年高考数学试题分类汇编 应用题 精品

应用题 1.（四川理9）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和 7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z= A ．4650元 B ．4700元 C ．4900元 D ．5000元 【答案】C 【解析】由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件 08071210672219 x y x y x y x y ≤≤??≤≤?? +≤??+≥?+≤??画 出可行域在12219x y x y +≤??+≤?的点7 5x y =??=?代入目标函数4900z = 2.（湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少， 这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克） 与时间t （单位：年）满足函数关系：30 0()2 t M t M - =，其中M 0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M （60）= A ．5太贝克 B ．75In2太贝克 C ．150In2太贝克 D ．150太贝克 【答案】D 3.（北京理）。根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为 ??? ??? ? ≥<=A x A c A x x c x f ,,,)(（A ，C 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是 A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 【答案】D 4．（陕西理）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【答案】2000 5．（湖北理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等 差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。 【答案】67 66 6.（湖北理）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大 桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20 辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．

历年高考数学试题分类汇编

2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)

高考文科数学试题分类汇编1：集合

高考文科数学试题分类汇编1：集合 一、选择题 1 ．（2013年高考安徽（文））已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ?= （ ） A ．{}2,1-- B ．{}2- C ．{}1,0,1- D ．{}0,1 【答案】A 2 ．（2013年高考北京卷（文））已知集合{}1,0,1A =-,{}|11B x x =-≤<,则A B = （ ） A ．{}0 B ．{}1,0- C ．{}0,1 D ．{}1,0,1- 【答案】B 3 ．（2013年上海高考数学试题（文科））设常数a ∈R ,集合()(){} |10A x x x a =--≥,{}|1B x x a =≥-. 若A B =R ,则a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞ 【答案】B 4 ．（2013年高考天津卷（文））已知集合A = {x ∈R| |x|≤2}, B= {x∈R | x≤1}, 则A B ?= （ ） A ．(,2]-∞ B ．[1,2] C ．[-2,2] D ．[-2,1] 【答案】D 5 ．（2013年高考四川卷（文））设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则A B = （ ） A ．? B ．{2} C ．{2,2}- D ．{2,1,2,3}- 【答案】B 6 ．（2013年高考山东卷（文））已知集合 B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集,且 (){4}U A B = e,{1,2}B =,则U A B = e （ ） A ．{3} B ．{4} C ．{3,4} D ．? 【答案】A 7 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<= 则 （ ） A ．{}0 B ．{}0,1 C ．{}0,2 D ．{}0,1,2 【答案】B 8 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知集合M={x|-3

高考数学试题分类汇编(导数)

2007年高考数学试题分类汇编（导数） （福建理11文） 已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ B ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， （海南理10） 曲线12 e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ） Ａ．29 e 2 Ｂ．24e Ｃ．22e Ｄ．2e （海南文10） 曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ） Ａ．294e Ｂ．2 2e Ｃ．2 e Ｄ．2 2 e （江苏9） 已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥， 则(1)'(0) f f 的最小值为（ C ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．3 2 （江西理9） 12．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ B ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 （江西理5） 5．若π 02 x <<，则下列命题中正确的是（ D ） Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x > Ｃ．2 24sin π x x < Ｄ．2 24sin π x x >

（江西文8） 若π 02x << ，则下列命题正确的是（ B ） Ａ．2sin πx x < Ｂ．2sin πx x > Ｃ．3sin πx x < Ｄ．3 sin π x x > （辽宁理12） 已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．． 出现的是（ ） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值 B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值 C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值 D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值 （全国一文11） 曲线313y x x =+在点413?? ???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ） Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23 （全国二文8） 已知曲线2 4 x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ A ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （浙江理8） 设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ） (北京文9) ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是＿＿＿＿．3 （广东文12）

文科数学高考试题分类汇编(解三角形,三角函数)

2012——2014（全国卷，新课标1卷，新课标2卷）数学高考真题分类训练（二） 班级 姓名 一、三角函数 1、若函数()sin ([0,2])3 x f x ??π+=∈是偶函数，则=?（ ） （A ）2π （B ）3 2π （C ）23π （D ）35π 2、已知α为第二象限角，3sin 5 α=，则sin 2α=（ ） （A ）2524- （B ）2512- （C ）2512 （D ）2524 3、当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时，x =___________. 4、已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（ ） （A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4 5、设函数f (x )=(x +1)2+sin x x 2+1 的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____ 6、已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13 a a ==则（ ） （A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213 7、若函数()()sin 0=y x ω?ωω=+>的部分图像如图，则 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 （B ） 8、函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ） 9、设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ= 10、已知sin2a 3 2=，则cos2(a+4π)=( ) （A ） （B ） （C ） （D ）

11、函数)()2cos(y π?π?<≤-+=，x 的图像向右平移 2π个单位后，与函数y=sin （2x+3 π）的图像重合，则?=___________. 12、若0tan >α，则（ ） A. 0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α 13、在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+ =x y ,④)42tan(π -=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 14、函数x x x f cos sin 2)sin()(??-+=的最大值为_________. 二、解三角形 1、已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 2、已知锐角ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =， 6c =，则b =（ ） （A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 2、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=，C=，则△ABC 的面积为 （A ）2+2 （B ） （C ）2 （D ）-1 3、如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=?，C 点的仰角45CAB ∠=?以及75MAC ∠=?；从C 点测得60MCA ∠=?.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .

2019-2020高考数学试题分类汇编

2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–11}，则A ∪B = （A ）（–1，1） （B ）（1，2） （C ）（–1，+∞） （D ）（1，+∞） 7，（天津文、理，1）设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤∈R ，则A B = . 10，（上海1）已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则A B = ． 一、 集合(2020) 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则 a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____.

中考数学试题分类汇编

中考数学试题分类汇编 一、选择题 1、（2007湖北宜宾）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简代数式||a +b –a 的结果是（ ）D A ．2a +b B ．2a C ．a D ．b 2、（2007重庆）运算)3(623m m -÷的结果是（ ）B （A ）m 3- （B ）m 2- （C ）m 2 （D ）m 3 3、（2007广州）下列运算中，正确的是（ ）C A ．33x x x =? B ．3x x x -= C ．32x x x ÷= D ．336x x x += 4、（2007四川成都）下列运算正确的是（ ）D Ａ．321x x -= Ｂ．22122x x --=- Ｃ．236()a a a -=· Ｄ．23 6()a a -=- 4、（2007浙江嘉兴）化简：(a ＋1)2－(a －1)2＝（ ）C （A ）2 （B ）4 （C ）4a （D ）2a 2＋2 5、（2007哈尔滨）下列运算中，正确的是（ ）D A ．325a b ab += B ．44a a a =? C ．623a a a ÷= D ．3262()a b a b = 6．（2007福建晋江）关于非零实数m ，下列式子运算正确的是（ ）D A ．9 23)(m m =；B ．623m m m =?；C ．532m m m =+；D ．426m m m =÷。 7．（2007福建晋江）下列因式分解正确的是（ ）C A ．x x x x x 3)2)(2(342++-=+-； B ．)1)(4(432-+-=++-x x x x ； C ．22)21(41x x x -=+-； D ．)(232y x y xy x y x xy y x +-=+-。 8、（2007湖北恩施）下列运算正确的是（ ）D A 、623a a a =? B 、4442b b b =? C 、1055x x x =+ D 、87y y y =? 9、（2007山东淮坊）代数式2346x x -+的值为9，则2463x x - +的值为（ ）A A ．7 B ．18 C ．12 D ．9 10、（2007江西南昌）下列各式中，与2(1)a -相等的是（ ）B A ．21a - B ．221a a -+ C ．221a a -- D ．2 1a + 二、填空题 b 0a

历年高考真题遗传题经典题型分类汇总(含答案)

历年高考真题遗传类基本题型总结 一、表格形式的试题 1．（2005年）已知果蝇中，灰身与黑身为一对相对性状（显性基因用B表示，隐性基因用b表示）；直毛与分叉毛为一对相对性状（显性基因用F表示，隐性基因用f表示）。两只亲代果蝇杂交得到以下子代类型 请回答： （1）控制灰身与黑身的基因位于；控制直毛与分叉毛的基因位于。 （2）亲代果蝇的表现型为、。 （3）亲代果蝇的基因为、。 （4）子代表现型为灰身直毛的雌蝇中，纯合体与杂合体的比例为。 （5）子代雄蝇中，灰身分叉毛的基因型为、；黑身直毛的基因型为。 2．石刁柏（俗称芦笋，2n=20）号称“蔬菜之王”，属于XY型性别决定植物，雄株产量明显高于雌株。石刁柏种群中抗病和不抗病受基因A 、a控制，窄叶和阔叶受B、b控制。两株石刁柏杂交，子代中各种性状比例如下图所示，请据图分析回答： （1）运用的方法对上述遗传现象进行分析，可判断基因A 、a位于染色体上，基因B、b位于染色体上。 （2）亲代基因型为♀，♂。子代表现型为不抗病阔叶的雌株中，纯合子与杂合子的比例为。 3．（10福建卷）已知桃树中，树体乔化与矮化为一对相对性状(由等位基因D、d控制)，蟠桃果形与圆桃果形为一对相对性状（由等位基因H、h控制），蟠挑对圆桃为显性，下表是桃树两个杂交组合的试验统计数据： （1）根据组别的结果，可判断桃树树体的显性性状为。 （2）甲组的两个亲本基因型分别为。 （3）根据甲组的杂交结果可判断，上述两对相对性状的遗传不遵循自由组台定律。理由是：如果这两对性状的遗传遵循自由组台定律，则甲纽的杂交后代应出现种表现型。比例应为。 4.（11年福建卷）二倍体结球甘蓝的紫色叶对绿色叶为 显性，控制该相对性状的两对等位基因（A、a和B、b）分别位于3号和8号染色体上。下表是纯合甘蓝杂交试验的统计数据： 请回答： （1）结球甘蓝叶性状的有遗传遵循____定律。 （2）表中组合①的两个亲本基因型为____，理论上组合①的F2紫色叶植株中，纯合子所占的比例为_____。 （3）表中组合②的亲本中，紫色叶植株的基因型为____。若组合②的F1与绿色叶甘蓝杂交，理论上后代的表现型及比例为____。

2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编2：函数

2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题 1 ．（2019年高考重庆卷（文））函数21 log (2) y x = -的定义域为 （ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(2,3) (3,)+∞ D ．(2,4)(4,)+∞ 【答案】C 2 ．（2019年高考重庆卷（文））已知函数3 ()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则 (lg(lg 2))f = （ ） A ．5- B ．1- C ．3 D ．4 【答案】C 3 ．（2019年高考大纲卷（文））函数()()()-1 21log 10=f x x f x x ? ?=+ > ??? 的反函数 （ ） A ． ()1021x x >- B ．()1 021 x x ≠- C ．()21x x R -∈ D ．()210x x -> 【答案】A 4 ．（2019年高考辽宁卷（文））已知函数()) ()21ln 1931,.lg 2lg 2f x x x f f ?? =+++= ??? 则 （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D 5 ．（2019年高考天津卷（文））设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 （ ） A ．()0()g a f b << B ．()0()f b g a << C ．0()()g a f b << D ．()()0f b g a << 【答案】A 6 ．（2019年高考陕西卷（文））设全集为R , 函数()1f x x =-M , 则C M R 为 （ ） A ．(-∞,1) B ．(1, + ∞) C ．(,1]-∞ D ．[1,)+∞ 【答案】B 7 ．（2019年上海高考数学试题（文科））函数 ()()211f x x x =-≥的反函数为()1f x -,则()12f -的值是

高考数学试题分类汇编集合

2008年高考数学试题分类汇编：集合 【考点阐述】 集合.子集.补集.交集.并集． 【考试要求】 （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 【考题分类】 （一）选择题（共20题） 1、（安徽卷理2）集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解： }{0A y R y = ∈>，R (){|0}A y y =≤e，又{2,1,1,2}B =-- ∴ }{()2,1R A B =--e，选D 。 2、（安徽卷文1）若A 为全体正实数的集合，{}2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ） A ．}{2,1A B =-- B ． ()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ． }{()2,1R C A B =-- 解：R A e是全体非正数的集合即负数和0，所以}{() 2,1R A B =--e 3、（北京卷理1）已知全集U =R ，集合{} |23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合A ∩（C U B ）等于（ ） A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤ D ．{}|13x x -≤≤ 【标准答案】: D 【试题分析】: C U B=[-1, 4]，()U A B e＝{}|13x x -≤≤

历年高考试题分类汇编之《曲线运动》,推荐文档

历年高考试题分类汇编之《曲线运动》 （全国卷1）14．如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满 足 A.tan φ=sin θ B. tan φ=cos θ C. tan φ=tan θ D. tan φ=2tan θ 答案：D 解析：竖直速度与水平速度之比为：tanφ = ，竖直位移与水平位移之比为：tanθ = gt v 0 ，故tanφ =2 tanθ ，D 正确。 0.5gt 2 v 0t （江苏卷）5．如图所示，粗糙的斜面与光滑的水平面相连接，滑块沿水平面以速度 运动．设滑块运动到A 点的时刻为t =0，距A 点的水平距离为x ，水平 0v 速度为．由于不同，从A 点到B 点的几种可能的运动图象如下列选 x v 0v 项所示，其中表示摩擦力做功最大的是 答案：D 解析：考查平抛运动的分解与牛顿运动定律。从A 选项的水平位移与时间的正比关系可知，滑块做平抛运动，摩擦力必定为零；B 选项先平抛后在水平地面运动，水平速度突然增大，摩擦力依然为零；对C 选项，水平速度不变，为平抛运动，摩擦力为零；对D 选项水平速度与时间成正比，说明滑块在斜面上做匀加速直线运动，有摩擦力，故摩擦力做功最大的是D 图像所显示的情景，D 对。本题考查非常灵活，但考查内容非常基础，抓住水平位移与水平速度与时间的关系，然后与平抛运动的思想结合起来，是为破解点。 （江苏卷）13．(15分)抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L 、网高h ，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g ) (1)若球在球台边缘O 点正上方高度为h 1处以速度，水平发出，落在球台的P 1点(如 1v

高考文科数学试题解析分类汇编

2013年高考解析分类汇编16：选修部分 一、选择题 1 ．（2013年高考大纲卷（文4））不等式 222x -<的解集是 （ ） A ．()-1,1 B ．()-2,2 C ．()()-1,00,1U D ．()()-2,00,2U 【答案】D 2|2|2 <-x ，所以?????->-<-222222 x x ，所以402 <2, 则关于实数x 的不等式||||2x a x b -+->的解集是______. 【答案】R 考察绝对值不等式的基本知识。函数||||)(b x a x x f -+-=的值域为：

2020年高考数学试题分类汇编之立体几何

2018年高考数学试题分类汇编之立体几何 一、选择题 1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中， 2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方 体所得截面面积的最大值为 A ． 33 B ．23 C ．324 D ．3 9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角

全国中考数学试题分类汇编

A B C D P E 2015年全国中考数学试题分类汇编————压轴题 1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y = 2 4 1x +1，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上. (1) 写出点M 的坐标； (2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时. ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1：2时，求t 的值. (1)M(0,2)(2)1AC:y= 21x+1.PQ // MC.t x x --+0 14 12 =21 2. 如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，P 是线段AD 边上的任意一点（不含端点 A 、D ），连结PC ， 过点P 作PE ⊥PC 交A B 于E （1）在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC ⊥QE ？若存在，求线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （2）当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围． （3）存在，理由如下： 如图2，假设存在这样的点Q ，使得QC ⊥QE. 由（1）得：△PAE ∽△CDP ， ∴ ， ∴ ，

∵QC ⊥QE ，∠D ＝90 ° ， ∴∠AQE ＋∠DQC ＝90 ° ,∠DQC ＋∠DCQ ＝90°， ∴∠AQE=∠DCQ. 又∵∠A=∠D=90°， ∴△QAE ∽△CDQ ， ∴ ， ∴ ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵AP≠AQ ，∴AP ＋AQ ＝3.又∵AP≠AQ ，∴AP≠ ，即P 不能是AD 的中点， ∴当P 是AD 的中点时，满足条件的Q 点不存在， 综上所述， 的取值范围8 7 ≤ ＜2； 3.如图，已知抛物线y ＝－1 2 x 2＋x ＋4交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设P （x ，y ）（x ＞0）是直线y ＝x 上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值． (1)令x=0,得y=4 即点B 的坐标为(0,4) 令y=0,得(-1/2)x2+x+4=0 则x2-2x-8=0 ∴x=-2或x=4 ∴点A 的坐标为(4,0) 直线AB 的解析式为 (y-0)/(x-4)=(4-0)/(0-4) ∴y=-x+4 (2)由(1),知直线AB 的解析式为y=-x+4