《统计学》-第五章-时间数列(补充例题)
第五章 动态数列
例1、“九五”时期我国国内生产总值资料如下：
单位：亿元
试计算“九五”时期我国国内生产总值和其中各产业的平均发展水平。
解：【分析】这是时期数列资料，可按简单算术平均数（n
a ∑）计算平均发展水平。
计算结果如下：
国内生产总值平均发展水平78432.7亿元
其中：第一产业平均发展水平14258.3亿元；第二产业平均发展水平39100.1亿元；第三产业平均发展水平25074.2亿元。
例2、我国人口自然增长情况见下表：
单位：万人
试计算我国在“七五”时期年平均增加人口数量。
解：【分析】新增长人口是时期指标，故平均增加人口数量仍用n
a a ∑=
计算。
年平均增加4.16965
1629
1678172617931656=++++==
∑n
a a （万人）
例3、某商店2010年商品库存资料如下：
单位：万元
试计算第一季度、第二季度、上半年、下半年和全年的平均库存额。 解：这是一个等间隔时点数列，用“首末折半法”计算：
1
212
1121-++++=-n a a a a a n
n （万元）第一季度平均库存额8.563
2485560263=+
++= （万元）第二季度平均库存额443
2504043248=+
++=（万元）第三季度平均库存额8.463
2454548250=+
++=（万元）第四季度平均库存额8.573
2686057245=+
++= （万元）上半年平均库存额4
.502
44
8.56=+= （万元）下半年平均库存额3
.522
8
.578.46=+= （万元）
全年平均库存额35.514
8
.578.46448.56=+++=
试计算2002年该企业平均工人数。
解：【分析】这是不等间隔时点数列，用间隔月数进行加权的公式计算平均工人数：
1
211
1232121)(21
)(21)(2
1---+++++++++=n n n n f f f f a a f a a f a a a
1
3322112412
4123241241432414408224083352233533012330326+++++?++?++?++?++?++?+=
=385（人）
例5、某企业2002年各季度计划利润和利润计划完成程度的资料如下：
试计算该企业年度利润计划平均完成百分比。
解：【分析】应该按两个时期数列对比组成的相对指标动态数列计算序时平均数的算式计算：
∑∑∑∑=÷=
b
a n
b n a a 该企业利润年平均计划完成百分比（%）
%132898
875887860%
125898%138875%135887%130860=+++?+?+?+?=
例6、1995-2000年各年底某企业职工工人数和工程技术人员数资料如下：
解：【分析】这是由两个时点数列对比所组成的相对指标动态数列计算序时平均数的问题。分子和分母均应按“首末折半法”计算序时平均数后加以对比。 工程技术人员占全部职工工人数比重（%）
)2
121(11)
212
1(11121121n n n n b b b b n a a a a n ++++-++++-=-- =%4.51.11312.61)2
1425121811201085102021000(16128278605250250161==+++++?-+++++?-）
（
例7、某工厂2003年上半年工人数和工业总产值资料如下：
另外，7月初工人数为2250人。根据上述资料计算：
（1）上半年平均工人数。（2）上半年平均总产值。（3）上半年平均劳动生产率。（4）上半年劳动生产率。
解：【分析】解答本题要明确劳动生产率的概念；认识月初工人数是时点指标，总产值是时期指标，然后采用相应的方法计算序时平均数加以对比。 （1）上半年平均工人数
（人）
21011
722250
2190221621501950205021850=-+
+++++= （2）上半年平均总产值（亿元）
105.36
73
.374.323.371.272.250.2=+++++= （3）上半年平均劳动生产率人万元（亿元）/78.14001478.02101
105
.3===
（4）上半年劳动生产率
人万元（亿元）/67.88008867.02101
73
.374.323.371.272.250.2==+++++=
试计算各企业和综合两企业的月劳动生产率
解：先按
∑∑f
af 公式计算平均工人数
甲企业：
人）
(3035.3028
5158
245531215330≈=++?+?+? 乙企业：人）
(3286.3278
5158
328531415332≈=++?+?+? 全公司：人）
）（）（）（(6308
5158
328245531431215332330=++?++?++?+
例9、试利用动态指标的互相联系来确定某市生产总值动态数列水平和所缺的环比动态指标：
解：【分析】动态分析指标中增长速度与发展水平、前期水平与增长1%绝对值的关系是解答本题的依据。
就是结果如下表所示：
平均增长量=
11.349
9== 平均发展速度
=9%8.107%107%9.107%108%107%107%3.107%1.106%8.106????????=
072.1353
660
9
= 平均增长速度=1.072-1=0.072
即该市生产总值年平均总值34.11亿元，平均发展速度107.2%。
例10、已知某公司所属甲、乙两工厂2001年利税各为500万元与1000万元，其环比增长速度如下：
单位：%
试通过计算确定哪个工厂平均增长速度较高？整个公司哪年的发展速度较快？ 解：各年份利税总量指标计算如下：
平均增长速度： 甲厂：%24.111124.01500
75
.61811.1125.1==-=
-?
乙厂：%47.121247.011000
1265
115.11.1==-=
-? 乙厂的平均增长速度比甲厂高1.23个百分点 公司发展速度：
2002年：
%83.11015005
.1662100050011005.562==++
2003年：%31.1135
.166275
.188311005.562126575.618==++
说明整个公司2003年发展速度较快。
例11、某地区粮食产量1985—1987年平均发展速度是1.03，1988—1989年平均发展速度是1.05，1990年比1989年增长6%，试求1985—1990年六年的平均发展速度。
解：【分析】本题的基年是1984年，前后跨度七年，可理解为对6项环比发展速度按几何平均法计算其平均值。 平均发展速度%2.10406.1)05.1()03.1(623=??=∑∏=
f
f X X
例12、1995年我国国内生产总值5.76万亿元。“九五”的奋斗目标是到2000年增加到9.5万亿元，远景目标是2010年比2000年翻一番。试问：（1）“九五”期间将有多大平均增长速度？（2）1996—2010年（以1995年为基期）平均每年发展速度多大才能实现远景目标？
（3）2010年人口控制在14亿内，那时人均国内生产总值达到多少元？ 解：（1）平均发展速度=%52.11076
.55.950==n
n a a “九五”平均增长速度将达到10.52%
（2）至2010年国内生产总值将达到的规模是：)(195.92万亿元=?
实现远景目标的平均增长速度为：%3.81083.1176
.519
1150=-=-=-n
n a a （3）2010年人均国内生产总值将达到的水平是：)(357.11419万元=÷
例13、某煤矿采煤量如下：
求：（1）按五日和按旬合并煤产量，编成时间数列；（2）按五日和按旬计算平均日产量，编成时间数列；（3）运用移动平均法（时距扩大为四天和五天）编制时间数列。 解：（1）（2）按五日和按旬计算的采煤量与按五日和按旬的平均日产量编成时间数列。 某煤矿每五日的采煤量和每五日平均每日采煤量的时间数列
单位：吨
某煤矿每10日的采煤量和每10日平均每日采煤量的时间数列
五天移动平均： 第一个平均数为
2.2995
1496
5298291304302301==++++
对正第三天原值。
依次类推移动平均，得出五天移动平均数列共26项。 四天移动平均： 第一个平均数为
5.2994291
304302301=+++
对着第2-3项中间。 第二个平均数为
75.2984
298
291304302=+++
对着第2-3项中间。依次类推移动平均，得出四天移动平均数列。最后进行二项移正平均。
例14、某地区年粮食总产量如下表所示：
要求：（1）试检查该地区粮食生产发展趋势是否接近于直线型的？（2）如果是直线型，请用最小平方法配合直线趋势方程。（3）预测第11年的粮食生产水平。 解：（1）列表如下：
从逐期增长量可以看出，各期增长量大体相同，所以变化趋势是直线型的。
把上表数据代入简化了的方程组：
?????==∑∑∑2
t
b ty na
y 解得7.25610
2567
===
∑n
y a ，17.3330
10472
===
∑∑t ty b
则配合的直线方程为t
bt a y t 17.37.256+=+= （3）预测第11年（11=t ）粮食产量为：
)(57.2911117.37.25611万吨=?+=y
解：【分析】从以上资料可知环比速度大体相同，所以其发展趋势是指数曲线型的，方程
式为t
t ab y =
a b t y lg lg lg +=
设a A b B y Y lg ,lg ,
lg ===
下面用最小二乘法配合曲线方程。
01412.021
916620
.1521424.546)(2
22-=-??-?=--=
∑∑∑∑∑t t n Y t tY n B 968.010*******.0===-B b ()6528.26
211412.06
6203.15=?-+=+=
∑∑n
t B n
Y A
573.44910106528.2===A a
所以t
t t ab y 968.0573.449?==
元）(358968.0573.449777=?==ab y
例16、某市1999——2002年各月毛衣销售量如下：
根据上表资料按月平均法计算季节比率。
解：【分析】先计算出各年同月份的月平均数（即上表的“月平均”）和各年所有月份的月总平均数，然后将12个各年同月的平均数分别除以各年所有月份的月总平均数，得到12个季节比率，比率高说明是旺季，比率低说明是淡季。 通过计算，各年所有月份的平均数（月总平均数）为
12
39754
36000106255200300022258001200262550001100018750+++++++++++=11348.25
所计算的季节比率如下表：
如1月份的季节比率=
%22.16525.1134818750
=
如12月份的季节比率=%31.35025
.1134839754
=