高一数学基本初等函数教案
第二章基本初等函数（Ⅰ）
一、课标要求：
教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题.
1.了解指数函数模型的实际背景.
2.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
3.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）.
4.通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.
5.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.
6.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）.
7.知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0,a≠1），初步了解反函数的概念和f--1(x)的意义.
8.通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数
1
312
,,,
y x y x y x y x
-
====的图象，了解它们
的变化情况.
二、编写意图与教学建议：
1.教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设.
2.在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容做了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想. 建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.
3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展.
4.教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担.
5.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能..
6. 教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.
三、教学内容与课时安排的建议
本章教学时间约为14课时.
2.1指数函数：6课时
2.2对数函数：6课时
2.3幂函数：1课时
小结：1课时
§2.1.1 指数（第1—2课时）
一．教学目标：
1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；
（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；
（3）掌握分数指数幂的运算性质；
（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.
2．过程与方法：
通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.
3．情态与价值
（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；
（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；
（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.
二．重点、难点
1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解； （2）掌握并运用分数指数幂的运算性质； 2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解 三．学法与教具
1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法
2．教具：多媒体 四、教学设想：
第一课时
一、复习提问：
什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？
归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a =，则x 叫做a 的平方根.同理，若3x a =，则x 叫做a 的立方根.
根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2±，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零. 二、新课讲解
类比平方根、立方根的概念，归纳出n 次方根的概念.
n 次方根：一般地，若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根（throot ），其中n ＞1，且n ∈Ｎ＊
,当n 为偶数
时，a 的n
表示，如果是负数，用
叫做根式.n 为奇数时，a 的n 次方
表示，其中n 称为根指数，a 为被开方数.
类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？
n a n a n a n ???±??为奇数, 的次方根有一个,为正数:为偶数, 的次方根有两个,为
n a n a n a n ???
??为奇数, 的次方根只有一个,为负数:为偶数, 的次方根不存在.
零的n
0=
举例：16的次方根为2±
，275-的27-的4次方根不存在.
小结：一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇
数和偶数两种情况.
根据n 次方根的意义，可得：
n a =
n a =
a n 的n 次方根，
a =一定成立吗？如果不一定成立，
等于什么？
让学生注意讨论，n 为奇偶数和a 的符号，充分让学生分组讨论.
通过探究得到：n a =
n 为偶数,
,0
||,0
a a a a a ≥?==?
-
|8|8=
=-=-=
小结：当n 再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误： 例题：求下列各式的值
（1）(1)
(2) (3)
(4)
分析：当n ||a =，然后再去绝对值.
n =是否成立，举例说明. 课堂练习：1. 求出下列各式的值
1)a ≤
21,a a =-求的取值范围.
3三．归纳小结：
1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n x a x 是的次方根,n 为奇数时,
n 为偶数时，x =
2．掌握两个公式：(0)
,||(0)
n a a n n a a a ≥?==?-
3．作业：P 69习题2.1 A 组 第1题
第二课时
提问：
1．习初中时的整数指数幂，运算性质？
00,1(0),0n a a a a a a a =?????=≠无意义
1(0)n n
a a a -=
≠
;()m n m n m n mn a a a a a +?== (),()n m mn n n n a a ab a b ==
什么叫实数？
有理数，无理数统称实数.
2．观察以下式子，并总结出规律：a＞0
①
10
25
a a
===②
8
42
a a
===
③
12
34
a a
===
10
25
a a
===
小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.
根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：
2
3(0)
a a
==>
1
2(0)
b b
==>
5
4(0)
c c
==>
*
(0,,1)
m
n
a a n N n
=>∈>
为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：
*
0,,)
m
n
a a m n N
=>∈
正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.
即：*
1
(0,,)
m
n
m
n
a a m n N
a
-
=>∈
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.
说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是
111
(0)
n
m m m m
a a a a a
=????>
由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
（1）(0,,)
r s r s
a a a a r s Q
+
?=>∈
（2）()(0,,)
r S rs
a a a r s Q
=>∈
（3）()(0,0,)
r r r
a b a b Q b r Q
?=>>∈
若a＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P62——P62.
.
时，
(如课本图所
所以，.
一般来说，无理数指数幂(0,)p
a a p >是一个无理数是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.
思考：
由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：
(0,,)r s r s a a a a r R s R +?=>∈∈ ()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈ ()(0,)r r r a b a b a r R ?=>∈
3．例题 （1）．（P 60，例2）求值 解：① 22233233
3
8(2)224?
====
② 1
112()
2
12
2
2
125
(5)
5
55
--
?--====
③ 5151(5)1()(2)2322
----?-===
④334()344162227
()()()81338
-?--===
（2）．（P 60，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）
解：11733
3
2
22
a a a a
a +=?==
2
2822
2
3
3
3
a a a a a +
?==
42133
2
()a a ====
分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算. 课堂练习：P 63练习 第 1，2，3，4题 补充练习：
1. 计算：1221
21
(2)()248
n n n ++-?的结果 2. 若1
310731033
3,384,[()]n a a a a a -==?求的值
1．分数指数是根式的另一种写法.
2．无理数指数幂表示一个确定的实数.
3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.作业：P69习题2.1 第2题
第三课时
一．教学目标
1．知识与技能：
（1）掌握根式与分数指数幂互化；
（2）能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值.
2．过程与方法：
通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质.
3．情感、态度、价值观
（1）培养学生观察、分析问题的能力；
（2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.
二．重点、难点：
1．重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值.
2．难点：有理指数幂性质的灵活应用.
三．学法与教具：
1．学法：讲授法、讨论法.
2．教具：投影仪
四．教学设想：
1．复习分数指数幂的概念与其性质
2．例题讲解
例1．（P60，例4）计算下列各式（式中字母都是正数）
（1）
2115
11
3366
22
(2)(6)(3)
a b a b a b
-÷-
（2）
3
1
8
8
4 () m n-
（先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）
分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的.整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.
我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？
其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行.
第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算.
解：（1）原式=
211115
326236 [2(6)(3)]a b
+-+-?-÷-
=0 4ab =4a
（2）原式=
3
1
88
8
4
()() m n-
=23m n - 例2．（P 61 例5）计算下列各式 （1
）-（2
2(a ＞0）
分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.
解：（1）原式= 1113
2
4
(25125)25-÷ = 231322
(55)5-÷ = 21
313222
5
5
---
= 16
55-
= 5
（2）原式
=
1252223
6
213
2
a a
a a a
--===?
小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数. 课堂练习：
化简：
（1
）293
2
)-
（2
（3）
归纳小结：
1． 熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础.
2．含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算. 作业：P 65 习题2.1
A 组 第4题
B 组 第2题
2.1.2指数函数及其性质（2个课时）
一. 教学目标：
1．知识与技能
①通过实际问题了解指数函数的实际背景；
②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质. ③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．情感、态度、价值观
①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. ②培养学生观察问题，分析问题的能力. 3．过程与方法
展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质. 二．重、难点
重点：指数函数的概念和性质及其应用. 难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用. 三、学法与教具：
①学法：观察法、讲授法及讨论法. ②教具：多媒体.
第一课时
一．教学设想： 1. 情境设置
①在本章的开头，问题（1）中时间x 与GDP 值中的 1.073(20)x
y x x =∈≤与问题(2)
t 1中时间t和C-14含量P的对应关系P=[(2
，请问这两个函数有什么共同特征.
②这两个函数有什么共同特征
15730
1][()]2
t P =t
57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可
以用x
y a =（a ＞0且a ≠1来表示）.
二．讲授新课 指数函数的定义
一般地，函数x
y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2
2
x y += （2）(2)x y =- （3）2x
y =-
（4）x y π= （5）2
y x = （6）2
4y x =
（7）x y x = （8）(1)x
y a =- （a ＞1，且2a ≠）
小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .
00
0,0x
x a a x a ?>?=?≤??x
当时,等于若当时,无意义
若a ＜0，如1
(2),,8
x y x x =-=
1
先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在. 若a =1, 11,x
y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)x
y a a a =>≠且的形式才能称为
指数函数，
5,,3,31x x x a y x y y +===+1x
x
为常数,象y=2-3,y=2等等,
不符合
(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数.
我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过
先来研究a ＞1的情况
用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2x
y =的图象
x 3.00- 2.50- 2.00- 1.50- 1.00- 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00
2x y =
18
-
14
12
1 2 4
再研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数()2
x y =的图象.
x
2.50- 2.00-
1.50- 1.00-
0.00 1.00 1.50 2.00 2.50
1()2
x y =
14
12
1 2 4
- - -
-
-
-
-
- - -
-
-
-
-
x
y
0 y =2x
从图中我们看出
12()2
x x y y ==与的图象有什么关系?
通过图象看出12()2
x x y y y ==与的图象关于轴对称,实质是2x
y =上的x,y 点(-)
x y x,y y 1
与=()上点(-)关于轴对称.2
讨论：1
2()2
x x y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？
②利用电脑软件画出11
5,3,(),()35
x x x x y y y y ====的函数图象.
问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.
从图上看x
y a =（a ＞1）与x
y a =（0＜a ＜1）两函数图象的特征.
- - -
- -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
x
y 0
问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性. 问题3：指数函数x
y a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系. 图象特征
函数性质
a ＞1 0＜a ＜1 a ＞1 0＜a ＜1
向x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R
图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方
函数的值域为R +
函数图象都过定点（0，1） 0a =1
自左向右， 图象逐渐上升 自左向右， 图象逐渐下降 增函数
减函数
在第一象限内的图 象纵坐标都大于1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于1 x ＞0，x a ＞1 x ＞0，x a ＜1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于1
在第二象限内的图 象纵坐标都大于1
x ＜0，x a ＜1
x ＜0，x a ＞1
5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[,]x
a b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （2）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ； 例题：
例1：（P 66 例6）已知指数函数()x
f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求
(0),(1),(3)f f f -的值.
分析：要求(0),(1),(3),,x
f f f a x π-13的值,只需求出得出f()=()再把0，1，3分别代入x ，即可求得(0),(1),(3)f f f -.
提问：要求出指数函数，需要几个条件？ 课堂练习：P 68 练习：第1，2，3题
补充练习：1、函数1()()2
x f x =的定义域和值域分别是多少? 2、当[1,1],()32x
x f x ∈-=-时函数的值域是多少?
解（1）,0x R y ∈> （2）（－5
3
，１）
例2：求下列函数的定义域： （1）4
4
2
x y -= （2）||2()3
x y =
分析：类为(1,0)x
y a a a =≠>的定义域是R ，所以，要使（1），（2）题的定义域，保要使其指数部分有意义就得 . 3．归纳小结
作业：P 69 习题2.1 A 组第5、6题
1、理解指数函数(0),101x
y a a a a =>><<注意与两种情况。
2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想 .
第2课时
教学过程：
1、复习指数函数的图象和性质
2、例题
例1：（P 66例7）比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.73
( 2 )0.1
0.8
-与0.20.8-
( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1
解法1：用数形结合的方法，如第（1）小题，用图形计算器或计算机画出 1.7x
y =的图象，在图象上找出横坐标分别为2.5, 3的点，显然，图象上横坐标就为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以
2.531.7 1.7<.
解法2：用计算器直接计算： 2.5
1.7 3.77≈ 31.7 4.91≈
所以， 2.5
31.7
1.7<
解法3：由函数的单调性考虑
1.7x y =
因为指数函数 1.7x
y =在R 上是增函数，且2.5＜3，所以， 2.531.7 1.7<
仿照以上方法可以解决第（2）小题 .
注：在第（3）小题中，可以用解法1，解法2解决，但解法3不适合 .
由于1.70.3=0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小 .
思考：
1、已知0.70.90.8
0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 2. 比较113
2
a a 与的大小（a ＞0且a ≠0）.
指数函数不仅能比较与它有关的值的大小，在现实生活中，也有很多实际的应用. 例2（P 67例8）截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？
分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题： 1999年底 人口约为13亿
经过1年 人口约为13（1+1%）亿 经过2年 人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿 经过3年 人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿 经过x 年 人口约为13(1+1%)x 亿 经过20年 人口约为13(1+1%)20亿
解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿，则
13(11%)x y =+
当x =20时，20
13(11%)
16()y =+≈亿
答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.
小结：类似上面此题，设原值为N ，平均增长率为P ，则对于经过时间x 后总量
(1),(1)(x x x y N p y N p y ka K R =+=+=∈像等形如，a ＞0且a ≠1）的函数称为指数型函数 .
思考：P 68探究：
（1）如果人口年均增长率提高1个平分点，利用计算器分别计算20年后，33年后的我国人口数 . （2）如果年平均增长率保持在2%，利用计算器2020~2100年，每隔5年相应的人口数 . （3）你看到我国人口数的增长呈现什么趋势？ （4）如何看待计划生育政策？ 3．课堂练习
（1）右图是指数函数①x
y a = ②x
y b = ③x
y c = ④x
y d =的图象，判断,,,a b c d 与1的大小
x y a =
x y b =x y c =
x y d =
关系；
（2）设31212,,x x
y a y a +-==其中a ＞0，a ≠1，确定x 为何值时，有：
①12y y = ②1y ＞2y （3）用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的
3
4
，写出存留污垢y 与漂洗次数x 的函数关系式，若要使存留的污垢，不超过原有的1%，则少要漂洗几次（此题为人教社B 版101页第6题）.
归纳小结：本节课研究了指数函数性质的应用，关键是要记住a ＞1或0＜a ＜时x
y a =的图象，在此基础上研究其性质 .本节课还涉及到指数型函数的应用，形如x
y ka =（a ＞0且a ≠1）. 作业：P 69 A 组第 7 ，8 题 P 70 B 组 第 1，4题
对数（第一课时）
一．教学目标：
1．知识技能：
①理解对数的概念，了解对数与指数的关系； ②理解和掌握对数的性质； ③掌握对数式与指数式的关系 . 2. 过程与方法：
通过与指数式的比较，引出对数定义与性质 . 3．情感、态度、价值观
（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力. （2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质 . （3）在学习过程中培养学生探究的意识.
（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力. 二．重点与难点：
（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质 （2）难点：推导对数性质的 三．学法与教具：
（1）学法：讲授法、讨论法、类比分析与发现 （2）教具：投影仪
四．教学过程：
1．提出问题
思考：（P 72思考题）13 1.01x
y =?中，哪一年的人口数要达到10亿、20亿、30亿……，该如何解决？ 即：
182030
1.01, 1.01, 1.01,131313
x x x ===在个式子中，x 分别等于多少？ 象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）. 1、对数的概念
一般地，若(0,1)x
a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =
a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
举例：如：2
4416,2log 16==则，读作2是以4为底，16的对数.
12
42=，则
41log 22=，读作1
2
是以4为底2的对数. 提问：你们还能找到那些对数的例子
2、对数式与指数式的互化 在对数的概念中，要注意：
（1）底数的限制a ＞0，且a ≠1
（2）log x
a a N N x =?=
指数式?对数式
幂底数←a →对数底数 指 数←x →对数 幂 ←N →真数
说明：对数式log a N 可看作一记号，表示底为a （a ＞0，且a ≠1），幂为N 的指数工表示方程x a N =（a ＞0，且a ≠1）的解. 也可以看作一种运算，即已知底为a （a ＞0，且a ≠1）幂为N ，求幂指数的运算. 因此，对数式log a N 又可看幂运算的逆运算.
例题：
例1（P 73例1）
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
（1）54=645 （2）61264-=
（3）1
() 5.733
m = （4）12
log 164=- （5）10log 0.012=- （6）log 10 2.303e =
注：（5）、（6）写法不规范，等到讲到常用对数和自然对数后，再向学生说明. （让学生自己完成，教师巡视指导） 巩固练习：P 74 练习 1、2 3．对数的性质：
提问：因为a ＞0，a ≠1时，log x N
a a N x =?=
则 由１、a 0=1 ２、a 1=a 如何转化为对数式 ②负数和零有没有对数？ ③根据对数的定义，log a N
a
=？
（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答） 由以上的问题得到 ①
011,a a a == （a ＞0，且a ≠1）
② ∵a ＞0，且a ≠1对任意的力，10log N 常记为lg N . 恒等式：log a N
a =N
4、两类对数
① 以10为底的对数称为常用对数，10log N 常记为lg N .
② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N .
以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即lg1002=. 说明：在例1中，10log 0.010.01,log 10ln10e 应改为lg 应改为. 例2：求下列各式中x 的值
（1）642
log 3
x =-
（2）log 86x = （3）lg100x = （4）2ln e x -= 分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x . 解：（1）2223()
3
23
3
3
1(64)
(4)
4
416
x --?--=====
（2）1
1116
636
6
6
2
8,()(8)(2)2x x =====
所以 （3）2
1010010,2x
x ===于是 （4）2
2
2ln ,ln ,e x x e e -=-==-x
由得即e
所以2x =-
课堂练习：P 74 练习3、4
补充练习：1. 将下列指数式与对数式互化，有x 的求出x 的值 .
（1）12
5
-=
（2）x = （3）1327
x =
（4）1()644
x = （5）lg0.0001x = （6）5ln e x = 2．求log log log ,a b c b c N
a
??∈+的值(a,b,c R 且不等于1，N ＞0）.
3．计算3
1log 5
3
的值.
4．归纳小结：对数的定义
log (b N a a N b a =?=＞0且a ≠1）
1的对数是零，负数和零没有对数 对数的性质 log 1a a = a ＞0且a ≠1 log a N
a
N =
作业：P 86 习题 2.2 A 组 1、2
P 88 B 组 1
对数（第二课时）
一．教学目标：
1．知识与技能
①通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能.
②运用对数运算性质解决有关问题. ③培养学生分析、综合解决问题的能力.
培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2. 过程与方法
①让学生经历并推理出对数的运算性质. ②让学生归纳整理本节所学的知识. 3. 情感、态度、和价值观
让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性. 二．教学重点、难点
重点：对数运算的性质与对数知识的应用 难点：正确使用对数的运算性质 三．学法和教学用具
学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 教学用具：投影仪 四．教学过程
1．设置情境
复习：对数的定义及对数恒等式
log b a N b a N =?= （a ＞0，且a ≠1，N ＞0），
指数的运算性质.
;m n m n m n m n a a a a a a +-?=÷=
();
n
m n mn
m
a a a ==
2．讲授新课
探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道m n m n a a a +?=，那m n +如何表示，能用对数式运算吗？
如：,,m
n
m n
m n a a a
M a N a +?===设。于是,m n
MN a += 由对数的定义得到
log ,log m n a a M a m M N a n N =?==?= log m n a MN a m n MN +=?+=
log log log ()a a a M N MN ∴+=放出投影
即：同底对数相加，底数不变，真数相乘
提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？ （让学生探究，讨论）
如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： （1）log log log a a a MN M N =+ （2）log log log a
a a M
M N N
=- （3）log log ()n
a a M n M
n R =∈
证明：
（1）令,m
n
M a N a ==
则：m n m n M
a a a N
-=÷= log a M
m n N
∴-=
又由,
m
n M a N a ==
log ,log a a m M n N ∴==
即：log log log a a a
M M N m n N
-=-= （3）0,log ,N n
n
a n N M M a ≠==时令则 log ,
b n
a b n M M a ==则
N b n n
a a ∴=
N b ∴=
即log log log a a a M
M N N
=-
当n =0时，显然成立.
log log n
a a M n M ∴=
提问：1. 在上面的式子中，为什么要规定a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0？ 2． 你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗？
例题：1. 判断下列式子是否正确，a ＞0且a ≠1，x ＞0且a ≠1，x ＞0，x ＞y ，则有 （1）log log log ()a a a x y x y ?=+ （2）log log log ()a a a x y x y -=- （3）log log log a
a a x
x y y
=÷ （4）log log log a a a xy x y =- （5）(log )log n
a a x n x = （6）1log log a a
x x
=- （7
1
log a x n
=
例2：用log a x ，log a y ，log a z 表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值.
（1）log a xy z （2
）log a （3）75log (42)z ? （4
）分析：利用对数运算性质直接计算： （1）log log log log log log a a a a a a xy
xy z x y z z
=-=+- （2
）2log log log log log log a
a a a a a x x ==+
=11
2log log log 23
a a a x y z +
- （3）7575
222log (42)log 4log 214519?=+=+=
（4
）25
2lg105
==
点评：此题关键是要记住对数运算性质的形式，要求学生不要记住公式. 让学生完成P 79练习的第1，2，3题 提出问题：
你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？
a ＞0，且a ≠1，c ＞0，且e ≠1，
b ＞0
log log log c a c b
b a
=
先让学生自己探究讨论，教师巡视，最后投影出证明过程.
设log ,log ,,M N
c c M a N b a c b c ====则
(整理)基本初等函数教案.
第二章 基本初等函数指数和指数函数 考点回顾： 1．幂的有关概念 (1)正整数指数幂 )(*∈????=N n a a a a a n n 个 (2)零指数幂 )0(10 ≠=a a (3)负整数指数幂 ()10,n n a a n N a -* = ≠∈ (4) 正分数指数幂 ) 0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； (5) 负分数指数幂 ) 10,,,1m n m n a a m n N n a -* = = >∈> (6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质 ()() 10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()() 20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()() 30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ 3．根式的内容 （1）根式的定义:一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中() *∈>N n n ,1，n a 叫做根式， n 叫做根指数，a 叫被开方数。 (2)根式的性质: ①当n 是奇数，则a a n n =；当n 是偶数，则 ???<-≥==00a a a a a a n n ②负数没有偶次方根， ③零的任何次方根都是零 课堂练习: 1．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( ) A ．幂函数 B ．对数函数
C ．指数函数 D ．余弦函数 2． (2010·山东理，4)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( ) A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－3 3． (2010·重庆南开中学)已知f (x )＝a x ，g (x )＝b x ，当f (x 1)＝g (x 2)＝3时，x 1>x 2，则a 与b 的大小关系不可能成立．．．．． 的是( ) A ．b >a >1 B ．a >1>b >0 C ．01>a >0 4． (2010·辽宁，10)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) B ．10 C ．20 D ．100 5．(2010·深圳市调研)已知所有的点A n (n ，a n )(n ∈N * )都在函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象上，则a 3＋a 7与2a 5的大小关系是( ) A ．a 3＋a 7>2a 5 B ．a 3＋a 7<2a 5 C ．a 3＋a 7＝2a 5 D ．a 3＋a 7与2a 5的大小关系与a 的值有关 6． (2010·青岛市质检)过原点的直线与函数y ＝2x 的图象交于A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数y ＝4x 的图象于点C ，若直线AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是( ) A ．(1,2) B ．(2,4) C ．(1 2，2) D ．(0,1) 7. (2010·北京东城区)定义在 R 上的函数f (x )满足f (x )＝ ????? 21－x x ≤0 f x －1－f x －2 x >0 ，则f (－1)＝______，f (33)＝________. 8．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x 4x ＋1. (1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数． 9．已知关于x 的方程9x －2×3x ＋(3k －1)＝0有两个实数根，求实数k 的取值范围．
高中三角函数公式大全必背知识点
三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21 [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π -a) = cosa cos(2π -a) = sina sin(2π +a) = cosa cos(2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式
人教版高一数学必修一基本初等函数解析
基本初等函数 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n ( N * ；2）)0(10≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ） ； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的 对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ；
基本初等函数 示范教案
第二章 基本初等函数（Ⅰ） 本章教材分析 教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体的函数模型解决一些实际问题. 本章总的教学目标是:了解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=a x 的符号及意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）,通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型;理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用;通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=log a x 的符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）;知道指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数（a ＞0,a≠1）,初步了解反函数的概念和f -1(x)的意义;通过实例了解幂函数的概念,结合五种具体函数y=x,y=x 2,y=x 3,y=x -1,y=x 2 1的图象,了解它们的变化情况. 本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质,要在理解定义的基础上,通过几个特殊函数图象的观察,归纳得出一般图象及性质,这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法.把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点. 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情境创设.在学习对数函数的图象和性质时,教材将它与指数函数的有关内容作了比较,让学生体会两种函数模型的增长区别与关联,渗透了类比思想.建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念,目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展.教材对幂函数的内容做了削减,仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数,并且安排的顺序向后调整,教学中应防止增加这部分内容,以免增加学生的学习负担.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能.教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读. 本章教学时间约需14课时,具体分配如下（仅供参考） 2.1.1 指数与指数幂的运算 整体设计 教学分析 我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n 次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂.
高中数学公式三角函数公式大全
高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全： 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a
=sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa
高中数学必修1第二章基本初等函数测试题(含答案)人教版
《基本初等函数》检测题 一．选择题．（每小题5分，共50分） 1．若0m >，0n >，0a >且1a ≠，则下列等式中正确的是 ( ) A ．()m n m n a a += B ．1 1m m a a = C ．log log log ()a a a m n m n ÷=- D 43 ()mn = 2．函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 ( ) A ．(1,2) B ．(2,2) C ．(2,3) D ．2 (,2)3 3．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(4)f 的值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．12 D ．8 4．若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是 （ ） A ．12 2lg x x x >> B ．12 2lg x x x >> C ．12 2lg x x x >> D ．12 lg 2x x x >> 5．函数(2)log (5)x y x -=-的定义域是 （ ） A ． (3,4) B ．(2,5) C ．(2,3)(3,5) D ．(,2)(5,)-∞+∞ 6．某商品价格前两年每年提高10%，后两年每年降低10%，则四年 后的价格与原来价格比较，变化的情况是 （ ）
A ．减少1.99% B ．增加1.99% C ．减少4% D ．不增不减 7．若1005,102a b ==，则2a b += （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8． 函数()lg(101)2 x x f x =+-是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇且偶函数 D ．非奇非偶函数 9．函数2log (2)(01)a y x x a =-<<的单调递增区间是 （ ） A ．(1,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,0)-∞ 10．若2log (2)y ax =- (0a >且1a ≠)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[2,)+∞ 二．填空题．(每小题5分，共25分) 11．计算：459log 27log 8log 625??= ． 12．已知函数3log (0)()2(0) x x x >f x x ?=?≤?， ， ,则1[()]3 f f = ． 13． 若 3())2 f x a x bx =++，且 (2) f =，则 (2f - = ． 14．若函数()log (01)f x ax a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3
高中数学教案——基本初等函数(Ⅰ)
第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2．2对数函数 2.2.1 对数与对数运算 练习（64） 1.把下列指数式写成对数式： （1）328=；（2）5232=；（3）1 122-=；（4）131273-=. 1．解：（1）2log 83=；（2）2log 325=；（3）2 1log 12=-；（4）271log 33 =-． 2.把下列对数式写成指数式： （1）3log 92=；（2）5log 1253=；（3）2 1log 24=-；（4）31log 481 =-. 2．解：（1）239=； （2）35125=； （3）2124-=； （4）41381-=． 3.求下列各式的值： （1）5log 25；（2）2 1log 16 ；（3）lg1000；（4）lg 0.001. 3．解：（1）5log 252=；（2）21log 416=-；（3）lg10003=；（4）lg0.0013=-. 4.求下列各式的值： （1）15log 15； （2）0.4log 1； （3）9log 81； （4） 2.5log 6.25； （5）7log 343； （6）3log 243. 4．解：（1）15log 151=； （2）0.4log 10=； （3）9log 812=； （4） 2.5log 6.252=；（5）7log 3433=； （6）3log 2435=. 练习（68） 1.用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式：
（1）lg()xyz ；（2）2lg xy z ；（3）3；（4）. 1．解：（1）lg()lg lg lg xyz x y z =++； （2）2 2lg lg()lg lg 2lg lg xy xy z x y z z =-=+-； （3）331lg()lg 3lg lg 2xy x y z =-=+-； （4）221lg lg()lg 2lg lg 2 y z x y z y z ==--. 2. 求下列各式的值： （1）23log (279)?；（2）2lg100；（3）lg 0.00001；（4）2．解：（1）22333log (279)log 27log 9347?=+=+=； （2）24lg100lg104==； （3）5lg 0.00001lg105-==-； （4）12 1ln ln 2e ==. 3. 求下列各式的值： （1）22log 6log 3-； （2）lg5lg 2+； （3）551log 3log 3 +； （4）33log 5log 15-. 3．解：（1）22226log 6log 3log log 213 -===； （2）lg5lg 2lg101+==； （3）55 51log 3log log 103 +==； （4）3331log 5log 15log 13-==-. 4.利用对数的换底公式化简下列各式： （1）log log a c c a ?； （2）2345log 3log 4log 5log 2???；
高中数学三角函数公式大全全解
三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：
函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式：
第三章基本初等函数(1)导学案(人教B版)
3．1．1实数指数幂及其运算 【学习要点】1根式、分数指数幂的概念. 2分数指数的运算性质． 【学习要求】1理解根式和分数指数幂的概念及它们的运算性质．了解实数指数幂的意义。 2 会进行简单的运算。 【复习引入】 1 、相同因数相乘 个 n a aaa ???记作n a ，读作 ，a 叫做幂的 ， n 叫做幂的 。其中n 是正整数。 2、 正整数指数幂的性质：（1） （2） （3） （3） 【概念探究】阅读教材85页到88页例1，完成下列各题。 1、 指数概念的扩充：n a 中的n 可以扩展为整数。整数指数幂的性质为：（1） （2） （3） 。 2 、0a = ，n a -= 3、零指数幂和负整数指数幂都要求 。 4、 如果存在实数x ，使得(,1,)n x a a R n n N +=∈>∈，则x 叫作 。求a 的n 次方根，叫作把a 开n 次方，称作 。 5、规定正分数指数幂的定义是：（1） （2） 。 规定负分数指数幂的定义是： 。 规定0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂和0次幂 。规定了分数指数幂以后，指数的概念也就从整数指数扩展到了 指数。 6 、有理指数幂的运算性质有：（1） （2） （3） 。 完成教材89页1题 【例题解析】 例题1计算下列各式，并把结果化为只含正整数指数的形式（式子中的,0a b ≠） （1） 3221 2 3 (3) 9a b a b a b ------= （2）343 20 ()()[ ]()() a b a b a b a b --+--+(0,0)a b a b +≠-≠ 例题2化简下列各式 （1 2（2 3）102 0.5 2 3 1(2)2 (2 ) (0.01) 5 4 - -+?- 小结：化简，注意体会指数的运算性质。 例3： 化简：3 3 2 b a a b b a 练习：（1 【补充练习】 1、 化简，注意体会指数的运算性质： （1）2 2 2 5 2 4 3 2 ()()()a b a b a b --÷ （2）34 0.1 0.01 -- 3、 求值，注意体会分数指数幂与根式的转换： （1） 2 1.53(0.027)-； （2 ； （3 完成教材89页2题
三角函数公式大全(很详细)
高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 1.2 直角坐标系中的定义
图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 r ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 2 转化关系2.1 倒数关系 2.2 平方关系 2 和角公式 3.1 倍角公式
3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式 证明过程 首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式） 则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式） 将正弦的和角、差角公式相加，得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一） 同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是
最新职业技校文化课数学教案：基本初等函数数学
文化课数学教案：基本初等函数 一.教学目标 1.知识与技能 （1）理解指数与对数,指数函数与对数函数的联系. （2）能更加熟练地解决与指数函数,对数函数有关的问题. 2.过程与方法 通过提问,分析点评,让学生更能熟悉指数函数,对数函数的性质. 3.情感、态度、价值观 （1）提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构. （2）培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力. 二.重点、难点 重点：指数函数与对数函数的性质。 难点：灵活运用函数性质解决有关问题。 三、学法与教具 1、学法：讲授法、讨论法。 2、教具：投影仪。 四、教学设想 1、回顾本章的知识结构
2、指数与对数 指数式与对数式的互化 幂值 真数 b a ＝ N log a N ＝ b
底数 指数←→对数值 提问：在对数式中，a ，N ，b 的取值范围是什么？ 例1：已知54log 27＝a ，54b ＝3，用108,log 81a b 表示的值 解法1：由54b ＝3得54log 3＝b ∴108log 81＝5454log 81log 108＝54545454log 27log 3log 212log 272a b a b a +++==+-- 解法2：由54log 275427a ==得 设108log 81,10881x x ==则 所以21(5427)327x -?=? 即：2(5454)5454a x b a -?=? 所以25454,2x ax a b x ax a b -+=-=+即 因此得：2a b x a +=- （1）法1是通过指数化成对数，再由对数的运算性质和换底公式计算结果. 法2是通过对数化成指数，再由指数的运算性质计算出结果，但法2运算的技巧性较大。 2．指数函数与对数函数 问题1：函数log x x a y a y ==与中,a与x 分别必须满足什么条件.
高中数学基本初等函数知识点梳理
第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． ②式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：()n n a a =；当 n 为奇数时，n n a a =；当n 为偶数时， (0) || (0) n n a a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 11 ()()(0,,,m m m n n n a a m n N a a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈
【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称 指数函数 定义 函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数 图象 1a > 01a << 定义域 R 值域 (0,)+∞ 过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =． x a y =x y (0,1) O 1 y =x a y =x y (0,1) O 1 y =
基本初等函数复习教案一对一
教师: 高一学生: 上课时间 2013年月日阶段: 基础（√）提高（）强化（）课时计划共次课第次课教学课题: 基本初等函数 教学目标: 1.了解几种特殊的基本初等函数 2.应用函数的性质解题 教学重难点：重点：基本初等函数基础知识点的熟练掌握难点：基本初等函数的实际应用 教学过程1. 2. 3. 4. 课后作业 教学反思【励志故事】 相信自己可以 伟大的梦想让成就随之成长，渺小的希望让你永落人群之后，相信自己，就必然会做到；一切都由意识掌控。如果自认高人一等，就一定出类拔萃，即使第一枚奖章还未颁发，你已获得难得的自信，你已懂得随梦想起飞。生命的战争并不总青睐于所谓的强者；或早或晚，赢得胜利的人，是相信是自己可以的人。
家长建议 家长签名： 附件：教案正文 核心内容： 知识点一：指数与对数的运算 1、n 次方根* ∈>N n n ,1有如下恒等式： () a a n n =；? ??=为偶数为奇数 n a n a a n n ,, 2、规定正数的分数指数幂：n m n m a a =;n m n m n m a a a 1 1= =- ()1,,,0>∈>* n N n m a 且 例1、求下列各式的值： （1）()() * ∈>-N n n n n 且,13π； （2） ()2 y x - 例2、化简：（1）)3()6)(2(6 56131212132b a b a b a -÷-； （2）)0,0()(3 421 4132 23>>?b a a b b a ab b a ； 3、对数与指数间的互化关系：当10≠>a a ，且时，N a b N b b =?=log 4、负数与零没有对数；1log ,01log ==a a a 5、对数的运算法则： （1）()N M N M a a a log log log +=?， （2）N M N M a a a log log log -=， （3）M n M a n a log log =， （4）M m n M a n a m log log = （5）a N N b b a log log log = ， （6）a b b a log 1 log =
电子教案：人教A版高中数学必修1第二章 基本初等函数(1)2.1 指数函数教案
4.2.1 指数函数及其图像与性质 【教学目标】 1.知识与技能目标： 使学生理解指数函数的定义、图象及性质，培养学生正确使用几何画板工具。 2.过程与方法目标： 在实验活动过程中引领学生主动探索指数函数性质，启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会学习数学规律的方法。 3.情感态度与价值观： 让学生感受数学问题探索的乐趣，体验成功的喜悦，体会辨证的思维及数学图形的和谐美。 【教学重、难点】 教学重点：理解指数函数的定义、图象及性质。 教学难点：指数函数性质的归纳与运用。 【教学方法】 我校汽修专业的学生数学基础比较薄弱，学生对数学普遍不感兴趣。本节课概念性比较强，而且突出数学图形的运用，这恰是学生学习的弱项，但是思想比较活跃的他们对新事物具有强烈的好奇心，动手能力、观察能力比较强。因此本节课主要采用数学实验教学活动的方法，通过结合计算机软件工具，让学生在实验活动过程中来去体验、感悟知识，让学习成为一种愉悦的主动认知过程，切实做到将数学课堂还给学生。 【教学过程】 1.流程 （1）教学流程： （2）学生认知流程： 2.教学过程设计
三、深入探究、引导发现 （2）动眼观察，产生猜想：展示学生制作的6个函数图像（图1，分开独立的6个图像；图2，将它们放在同一坐标系下），让他们观察这6个指数函数图像有何共同的特征： 图1 图2 思考：能将他们分分类吗？这个图象特征与底数a 是否存在关系？ 引导学生大胆猜测：指数函数的图象按底数分成两 类。 教师：让学生自由发挥，说说他们观察到的有共性的图像特征。 学生：容易发现： ①都过点（0，1）； ②图像都在x 轴上方； ③有的图像呈上升趋势；有 的图像呈下降趋势。 教师：引导学生去观察图像呈上升或下降这一图像特征与它们的底数存在的关系。 学生:发现呈上升趋势的3个图象，底数都大于1；呈下降趋势的3个图象，底数都大于0小于1；从而对“指数函数图像形按底数分成两类”形成初步的认识。 教师：引导学生一起观察发现：底数大于1的三个函数，虽然它们的弯曲程度不同，但是都呈上升的趋势；底数大于0小于1的三个函数也类似，形成“指数函数的图象按底数分成两类，即底数大于1的指数函数图像呈上升趋势，底数大于0且小于1的指数函数图像呈下降的趋势”这一猜想。 学生很容易观察它们呈上升或下降的整体特征，从而对指数函数图像的分类形成初步的认识。。 让学生自己去动手操作、观察发现，并引导他们对所发现的知识进行归纳、分类，目的在于让学生成为数学课堂的主人，同时努力达到“使学习过程成为学生愉悦的主动认知过程”这一目标。 -1 -6 -4-24 ()3 x y = 1 -1 -6-4-2 0.35 x y =1 -1 -6-4-2 0.7x y =1 -1 -6 -4 -22.3 x y = 1 -1-6 -4 -2 1 4 x y =-1 -6-4-2 1 3 ()5 x y =
高一数学基本初等函数教案
核心内容： 知识点一：指数与对数的运算 1、n 次方根*∈>N n n ,1有如下恒等式： ()a a n n =； ? ? ?=为偶数为奇数 n a n a a n n ,, 2、规定正数的分数指数幂：n m n m a a =;n m n m n m a a a 1 1= = -() 1,,,0>∈>* n N n m a 且 例1、求下列各式的值： （1）()()*∈>-N n n n n 且,13π； （2） ()2y x - 例2、化简：（1）)3()6)(2(6 56 13 12 12 13 2b a b a b a -÷-； （2）)0,0()(3 421 4132 23>>?b a a b b a ab b a ； 3、对数与指数间的互化关系：当10≠>a a ，且时，N a b N b b =?=log 4、负数与零没有对数；1log ,01log ==a a a 5、对数的运算法则： （1）()N M N M a a a log log log +=?， （2）N M N M a a a log log log -=， （3）M n M a n a log log =， （4）M m n M a n a m log log = （5）a N N b b a log log log = ， （6）a b b a log 1 log = 其中1,0≠>a a 且，0>M ，0>N ,R n ∈.， 例3、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）128 1 27= -； （2）273=a ； （3）1.0101=-； （4）532log 2 1-=； （5）3001.0lg -=； （6）606.4100ln =.
最全高中数学三角函数公式
定义式 ） ct 函数关系 倒数关系：；； 商数关系：；． 平方关系：；；．诱导公式
公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系：
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作 锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：
记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用： 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。
人教版高中数学必修一《基本初等函数》章末复习学案
数学·必修1(人教版) 本章概述 学习内容 1.指数函数 (1)通过具体实例(如细胞的分裂，考古中所用的14 C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函数模型的实际背景． (2)理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． (3)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． (4)在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 2．对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用． (2)通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点． (3)了解指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数． 3．幂函数 通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y ＝x α? ?? ??α＝1，2，3，12，－1的图象，了解 它们的变化情况． 4．学习指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数要注意的问题 (1)指数幂的学习，应在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上，结合具体实例，理解有理指数幂及其运算性质，了解实数指数幂的意义及其运算性质，体会“用有理数逼近 基本初等函数(Ⅰ)
无理数”的思想，可以利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程． (2)关于反函数，可通过比较同底的指数函数和对数函数，了解指数函数y＝a x(a＞0， 且a≠1)和对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数． (3)学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，应结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理 解和处理现实生活和社会中的简单问题. 知识结构 2.1 指数函数 2．1.1 指数与指数幂的运算(一) ?基础达标 1．化简下列各式：
高中数学必修一《基本初等函数测试题》
《第一次测试：函数》 1 下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（ ） A 2x y = B x x y 2 = C )10(log ≠>=a a a y x a 且 D x a a y log = 2．函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围 （ ） A ．2-≥b B ．2-≤b C ．2->b D ． 2-k B ．21 -
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