[整理]《测量平差》试卷e及答案(-5-1).

中国矿业大学2008～2009学年第 二 学期《 误差理论与测量平差 》试卷（B ）

卷

考试时间：100 分钟 考试方式：闭 卷

学院 班级 姓名 学号 题 号 一 二 三 四 五 六 总分 得 分

阅卷人

一、填空题 （共20分，每空 2 分）

1、如下图，其中A 、B 、C 为已知点，观测了5个角，若设L 1、L 5观测值的平

差值为未知参数2

1??X X 、，按附有限制条件的条件平差法进行平差时，必要观测个数为 ，多余观测个数为 ，一般条件方程个数为 ，限制条件方程个数为

A

B

C

D

E

L 1L 2L 3

L 4

L 5

2、测量是所称的观测条件包括 、观测者、

3、已知某段距离进行了同精度的往返测量（L 1、L 2），其中误差cm 221==σσ，往返测的平均值的中误差为 ，若单位权中误差cm 40=σ，往返测的平均值的权为

4、已知某观测值X 、Y 的协因数阵如下，其极大值方向为 ，若单位权中误差为±2mm ，极小值F 为 mm 。

???

?

??--=0.15.05.00.2XX

Q

二、已知某观测值X 、Y 的协因数阵如下，求X 、Y 的相关系数ρ。（10分）

???

? ??--=25.015.015.036.0XX

Q

三、设有一函数2535+=x T ，6712+=y F 其中：

?

?

?+++=+++=n n n

n L L L y L L L x βββααα 22112211 αi ＝A 、βi =B （i ＝1，2，…，n ）是无误差的常数，L i 的权为p i =1，p ij ＝0（i ≠j ）。（15分）

1）求函数T 、F 的权； 2）求协因数阵TF Ty Q Q 、。

四、如图所示水准网，A 、B 、C 三点为已知高程点， D 、E 为未知点，各观测高差及路线长度如下表所列。（20分）

用间接平差法计算未知点D 、E 的高程平差值及其中误差；

A

C

B

D

h 1

h 2

h 3

h 4

h 5

E

h 6

高差观测值/m 对应线路长度/km

已知点高程/m

h 1= -1.348 h 2= 0.691 h 3= 1.265 h 4= -0.662 h 5= -0.088 h 5= 0.763 1 1 1 1 1 1

H A =23.000 H B =23.564 C B =23.663

五、如下图所示，A ，B 点为已知高程点，试按条件平差法求证在单一附合水准路线中，平差后高程最弱点在水准路线中央。(20分)

h1

h2

S

A

B

六、如下图所示，为未知P 点误差曲线（图中细线）图和误差椭圆图（图中粗线），A 、B 为已知点。（15分）

1）试在误差曲线上作出平差后P A 边的中误差，并说明； 2）试在误差椭圆上作出平差后P A 方位角的中误差，并说明；

3）若点P 点位误差的极大值E ＝5mm ，极小值F ＝2mm ，且?=52F ?,试计算方位角为102o的PB 边的中误差。

A B

P

参考答案及评分标准

一、填空题 （共20分，每空 2 分） 1：2、3、4、1

2：测量仪器、外界环境22.5o（或202.5o）、112.5o（292.5o） 3：cm cm 818.222或、2 4：157.5o或337.5o、1.78 二、解：

5

.025.0*36.015

.0)*(*)*(*0020-=-=

===

yy xx xy yy xx xy

y

x xy Q Q Q Q Q Q σσσσσσρ

三、解：（1）L 向量的权阵为：

??????

?

??=100010001 p 则L 的协因数阵为：

??????

?

??==-1000100011

p Q LL （2分） （3分）

（3分）

（2分）

（2分）

()253

1115253555253555253)(*5253

5212122112211+????

??? ??=++++=++++=++++=+=n n n n n n L L L A AL AL AL L L L L L L x T αααααα

()671

1112671222671222671)(*2671

2212122112211+????

??

? ??=++++=++++=++++=+=n n n n n n L L L B BL BL BL L L L L L L y F ββββββ （2分） 依协因数传播定律 则函数T 的权倒数为：

()()225)1115(**11151

nA A Q A Q p T LL TT T

===

则：2

251nA p T = （3分）

则函数F 的权倒数为：

()()24)1112(**11121

nB B Q B Q p T LL FF F

===

则：2

41nB

p F =

（3分）

（2）

()???

?

??

? ??=+++=+++=n n n n L L L B BL BL BL L L L y 21212211111βββ （1分）

依协因数传播定律

()()nAB

B Q A Q T LL Ty 5)111(**1115==

（2分）

()()nAB B Q A Q T LL TF 10)1112(**1115==

（2分）

四、解：1）本题n=6，t=2，r=n-t=4；

选D 、E 平差值高程为未知参数2

1??X X 、 （2分） 则平差值方程为：

1

6

1514232221

1

?????????????X

H h

H X h H X h H X h H X h X X h A

A

B A B -=-=-=-=-=

-= （2分）

则改正数方程式为：

6165154143232221211???????l x

v l x

v l x

v l x v l x

v l x x

v --=-=-=-=-=--= （1分）

取参数近似值 255.24907.2220

221011=+==++=h H X h h H X B B 、 令C=1，则观测值的权阵：

?????????

?

?

?=101

1

1

1

01P

?????????

?

?

?--=010*********B

??

??

?

????

? ??-=?????????? ??------------=+-=??

??

??

?

???

??=7551000)()()()()()()(0160150

14023

0220

20

1106

543

21

X H h H X h H X h H X h H X h X X h d BX h l l l l l l l C A B A B

（4分）

组法方程0?=-W x

N ，并解法方程： ???? ??--==3114PB B N T

???

? ??-==107Pl B W T

???

? ??-=???? ??-???? ??==-311074113111?1W N x

（4分） 求D 、E 平差值：

m

x X X H m x X X H D C 258.24???906.22???2022101

1=+===+== （1分） 2）求改正数：

??????

???

?

??----=-=664734?l x

B v 则单位权中误差为：

mm r pv v T 36.64

162

?0±=±=±=σ （2分）

则平差后D 、E 高程的协因数阵为：

???

? ??==-4113

1111

??N

Q X X （2分）

根据协因数与方差的关系，则平差后D 、E 高程的中误差为：

mm

mm Q mm mm Q E D 84.311

229??32.32266

9??220110±=±==±=±==σσ

σσ

（2分）

五、证明：设水准路线全长为S ，h 1水准路线长度为T ，则h 2水准路线长度为S-T ；

设每公里中误差为单位权中误差，则

h 1的权为1/T ，h 2的权为1/(S-T)；则其权阵为：

??

?

? ?

?-=)/(10

/1T S T P （4分）

平差值条件方程式为：

0??2

1=+h h 则 A=( 1 1 ) （3分）

S A AP N T ==-1

由平差值协因数阵：LL T LL LL L L AQ N A Q Q Q 1?

?--=

则高差平差值的协因数阵为：

???

?

??---=-=-1111

)(1

??S T S T AQ N

A Q Q Q LL T LL LL L L （3分）

则平差后P 点的高程为：

()???

? ??+=+=211??01?h h H h H H A

A P （2分） 则平差后P 点的权倒数（协因数）为

S

T S T f AQ N A fQ f fQ Q T LL T LL T LL P )

(1-=

-=- （3分） 求最弱点位，即为求最大方差，由方差与协因数之间的关系可知，也就是求最大协因数（权倒数），上式对T 求导令其等零，则

02=-S

T

S T=S/2 （3分） 则在水准路线中央的点位的方差最大，也就是最弱点位，命题得证。

（2分）

六、解：1）在误差曲线上作出平差后P A 边的中误差；

连接PA 并与误差曲线交点a ，则Pa 长度为平差后P A 边的中误差

Pa PA =σ

? （3分） 2）在误差椭圆上作出平差后P A 方位角的中误差；

作垂直与PA 方向的垂线Pc ，作垂直与Pc 方向的垂线cb ，且与误差椭圆相切，

垂足为c 点，则Pc 长度为平差后P A 边的横向误差PA u σ

? 则平差后P A 方位角的中误差：

ρρσ

σ

α'

'=

''≈PA

PA

u S Pc

S PA

PA

?? （3分）

图共4分，每作对一个，得2分 3）因为?=52F ? 则：?=142E ?

则：?-=?-?=-=ψ40142102E ?α （2分） 所以：

323

.16)40(sin *4)40(cos *25sin cos ??2222222

2=?-+?-=ψ

+ψ==ψF E σσ? 方位角为102o的PB 边的中误差：mm 04.4??±==ψσσ

? （3分）