2020_2021学年高中数学第2章统计2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关课时作
课时分层作业(十四) 变量间的相关关系
(建议用时：60分钟
)
一、选择题
1．有几组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③立方体的棱长和体积．其中两个变量成正相关的是( )
A ．①③
B ．②③
C ．②
D ．③
C [①是负相关；②是正相关；③不是相关关系．]
2．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^
，那么下面说法不正确的是( )
A ．直线y ^＝b ^x ＋a ^
必经过点(x ，y )
B ．直线y ^＝b ^x ＋a ^
至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点
C ．直线y ^＝b ^ x ＋a ^
的斜率为
∑i ＝1
n
x i y i －n x y
∑i ＝1
n
x 2
i －n x
2
D ．直线y ^＝b ^x ＋a ^
是最接近y 与x 之间真实关系的一条直线
B [回归直线一定经过样本点的中心，故A 正确；直线y ^＝b ^x ＋a ^
可以不经过样本点中的任何一点，故B 错误．由回归方程的系数可知C 正确；在直角坐标系中，直线y ^＝b ^x ＋a ^
与所有样本点的偏差的平方和最小，故D 正确；]
3．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；②y 与x 负相关且y ^
＝－3.476x ＋5.648；③y 与
x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ^
＝－4.326x －4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④
D ．①④
D [由正负相关的定义知①④一定不正确．]
4．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下：
则y 对x A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝88＋1
2
x
D ．y ＝176 C [x ＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y ＝175＋175＋176＋177＋177
5＝176.
根据回归直线过样本中心点(x 、y )验证知C 符合．]
5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为( )
A ．63.6万元
B ．65.5万元
C ．67.7万元
D ．72.0万元
B [x ＝14(4＋2＋3＋5)＝3.5，y ＝14
(49＋26＋39＋54)＝42，所以a ^＝y －b ^
x ＝
42－9.4×3.5＝9.1.所以回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.令x ＝6，得y ^
＝65.5(万元)．]
二、填空题
6．若回归直线y ^＝b ^x ＋a ^
的斜率估值为1.23，样本中心点为(4,5)，当x ＝2时，估计y 的值为________．
2.54 [因为回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率估值为1.23，所以b ^＝1.23，y ^＝1.23x ＋a ^
. 因为样本中心点为(4,5)，
所以5＝1.23×4＋a ^，a ^＝0.08，y ^
＝1.23x ＋0.08， 代入x ＝2，y ＝1.23×2＋0.08＝2.54.]
7．如图，有5组(x ，y )数据，去掉________点对应的数据后，剩下的4组数据的线性相关程度最大．
D [去掉D 点对应的数据后，其余四点大致在一条直线附近，相关性最强．]
8．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：h)与当天投篮命中率y 之间的关系：
时间x
1
2
3
4
5
命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4
6号打6h 篮球的投篮命中率为________．
0.5 0.53 [y ＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝2.5
5
＝0.5，
x＝
1＋2
＋3＋4＋5
5
＝3.
由公式，得b^＝0.01，
从而a^＝y－b^x＝0.5－0.01×3＝0.47.
所以回归方程为y^＝0.47＋0.01x.
所以当x＝6时，y^＝0.47＋0.01×6＝0.53.]
三、解答题
9．两对变量A和B，C和D的取值分别对应如表1和表2，画出散点图，分别判断它们是否具有相关关系；若具有相关关系，说出它们相关关系的区别．
表1
A 261813104－1
B 202434385064
C 05101520253035
D 541.6
7
602.6
6
672.0
9
704.9
9
806.7
1
908.5
9
975.4
2
1
034.75
[
从图中可以看出两图中的点各自分布在一条曲线附近，因此两对变量都具有相关关系．图(1)中，当A的值由小变大时，B的值却是由大变小，故A和B成负相关；
图(2)中，当C的值由小变大时，D的值也是由小变大，故C和D成正相关．
10．下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：
x 345 6
y 2.534 4.5
(1)
(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线．
[解] (1)散点图如图：
(2)x＝
3＋4＋5＋6
4
＝4.5，
y＝
2.5＋3＋4＋4.5
4
＝3.5，
∑
i＝1
4
x i y i＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
∑
i＝1
4
x2i＝32＋42＋52＋62＝86，
所以b^＝
∑
i＝1
4
x i y i－4x y
∑
i＝1
4
x2i－4x2
＝
66.5－4×4.5×3.5
86－4×4.52
＝0.7，
a ^＝
y －b ^
x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 所以所求的线性回归方程为y ^
＝0.7x ＋0.35.
1．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量
U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X
之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )
A ．r 2 B ．0 C ．r 2<0 D ．r 2＝r 1 C [由数据知变量X 与Y 成正相关，U 与V 成负相关即r 1>0，r 2<0.∴r 2<0 x 1 2 3 4 5 6 y 2 1 3 3 4 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a ，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( ) A.b ^>b ′，a ^ >a ′ B.y ^>b ′，a ^ >a ′ D.y ^ C [由(1,0)，(2,2)求b ′，a ′. b ′＝2－02－1 ＝2， a ′＝0－2×1＝－2. 求b ^，a ^ 时， i ＝1 6 x i y i ＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，