2017-2018学年湖北省鄂东南八校联考高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2017-2018学年湖北省鄂东南八校联考高二下学期期中考试

数学（理）试题

一、单选题

1．抛物线24y x =的准线方程为（ ） A. 1x =- B. 1y =- C. 116x =- D. 116

y =- 【答案】D

【解析】根据题意，抛物线y=4x 2的标准方程为x 2=4

y

， 其焦点在y 轴正半轴上，且p=18

， 则其准线方程为y=﹣116

； 故选：D ．

2．函数2log y x =的导函数是（ ） A. 1y x =

B. ln2y x =

C. 1ln2y x =

D. 12ln y x

= 【答案】C

【解析】函数2log y x =的导函数是1

ln2

y x = 故选：C

3．下列说法错误．．

的是（ ） A. 对于命题p ： x R ?∈，使得210x x ++<，则p ?： x R ?∈，均有2

10x x ++≥

B. 若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题

C. 若命题“若p 则q ”为真命题，则其否命题也可能为真命题

D. 命题“若方程2

0x x m +-=无实数根，则0m ≤”的逆否命题为：“若0m >，则

方程2

0x x m +-=有实数根”

【答案】B

【解析】对于A ，对于命题p ： x R ?∈，使得2

10x x ++<，则p ?： x R ?∈，均

有2

10x x ++≥，正确；

对于B ，若p ∨q 为真命题，则p 、q 至少有一个为真命题即可．不一定p 、q 均为真命题，故B 错误；

对于C ，若命题“若p 则q ”为真命题，则其否命题也可能为真命题，正确；

对于D ，命题“若方程2

0x x m +-=无实数根，则0m ≤”的逆否命题为：“若0m >，

则方程2

0x x m +-=有实数根”，正确.

4．盒中装有9个乒乓球，其中6个白色球，3个红色球，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红色球的条件下，第二次也摸出红色球的概率为（）

A. 1

4

B.

2

9

C.

3

8

D.

1

3

【答案】A

【解析】设第一次摸出红球为事件A，第二次摸出红球为事件B，

则P（A）=

1

3

1

9

1

3

C

C

=，P（AB）=

2

3

2

9

1

12

C

C

=．

∴P（B|A）=

() ()

1

4 P AB

P A

=．

故选：A

点睛：本题考查的是条件概率.条件概率一般有两种求解方法：(1)定义法：先求P(A)

和P(AB)，再由P(B|A)＝

()

()

P AB

P A

,求P(B|A)．(2)基本事件法：借助古典概型概率公

式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得

P(B|A)＝

() () n AB n A

.

5．如图所示的程序框图的算法思想于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的6

a=，则输入的a，b不可能是（）

A. 12，18

B. 6，6

C. 24，32

D. 30，42

【答案】C

【解析】根据题意，执行程序后输出的a=6，

则执行该程序框图前，输人a、b的最大公约数是6，

分析选项中的四组数，满足条件的是选项C．

故选：C．

6．某学校从编号依次为001，002，…，900的900个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个编号分别为053，098，则样本中最大的编号为（）

A. 853

B. 854

C. 863

D. 864

【答案】C

【解析】∵样本中相邻的两个编号分别为053，098，

∴样本数据组距为98﹣53=45，则样本容量为900

45

=20，

则对应的号码数x=53+45（n﹣2），当n=20时，x取得最大值为x=53+45×18=863，

7．函数()f x 在0x x =处导数存在且记为()0'f x ，则“0x x =是()f x 是的极值点”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件 【答案】B

【解析】x=x 0是f （x ）的极值点，可得：f′（x 0）=0；反之不成立，例如f （x ）=x 3，f′（0）=0，但是0不是函数f （x ）的极值点． ∴“0x x =是()f x 是的极值点”的必要不充分条件． 故选：B ．

8．在正方体1111ABCD A BC D -中，点

E 、

F 分别是棱1B B 、AD 的中点，则异面直线1D E 与FB 所成角的正弦值为（ ）

A.

5 B. 5 C. 3 D. 3

【答案】A

【解析】取1D D 的中点为M ，连接MB ，易知：MB 1D E

∴∠MBF 即为异面直线1D E 与FB 所成角

设正方体棱长为2，在△MBF 中，MB=3，BF =MF=

∴cos ∠MBF

=

=

∴异面直线1D E 与FB 故选：A

点睛：本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般．求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线．2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论． 9．如图，矩形OABC 的四个顶点依次为()0,0O ， ,02A π??

???， ,12B π??

???

， ()0,1C ，记线段OC ， CB 以及sin 02y x x π?

?

=≤≤

??

?

的图象围成的区域

（图中阴影部分）为Ω，若向矩形OABC 内任意投一点M ，则点M 落在区域Ω内的概率为（ ）

A.

12π- B. 22π- C. 2π D. 21π

-

【答案】D

【解析】阴影部分的面积是： ()2

1sinx dx π

-?=

12

π

-， 矩形的面积是：

12

2

π

π

?=

，

∵点M 落在区域Ω内的概率： 12

2

12

π

π

π

-=-，

故选：D ．

10．现有A ， B ， C ， D ， E 五位同学全部保送到清华、北大和武大3所大学，若每所大学至少保送1人，且A 同学必须保送到清华，则不同的保送方案共有（ ） A. 36种 B. 50种 C. 75种 D. 100种 【答案】B

【解析】先将五人分成三组，只有2,2,1或者3,1,1，共有

221311

531521

2522

C C C C C C +=种分组方法.有A 的那组去清华，剩下的两组去北大和武大，全排列有2种方法，故共有

25×2=50种方法 故选：B

11．

将二项式6

x ?

+ ?

展式式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ）

A.

27 B. 37 C. 835

D. 7

24 【答案】A

【解析】

二项式6(x +展开式通项为：

3

6621662r r r r r r

r T C x C x --+==，知当r=0，2，4，6

时为有理项，则二项式6

(x 展开式中有4项有理项，3项无理项，所以基本事件总数为77

A ，无理项互为相邻有43

4

5A A ，所以所求概率

P=43457

727

A A A =， 故选：A ．

12．设()'f x 是函数()f x 的导函数，且()()()'3f x f x x R >∈， 13f e ??

= ???

（e 为自然对数的底数），则不等式()3

ln 0f x x -<的解集为（ ）

A. 0,3e ?? ???

B. ,3e ??+∞ ???

C. (

D. )

+∞

【答案】C

【解析】可构造函数F （x ）=

()3x

f x e

，

F′（x ）=

()()2232

3()x x

x f x e f x e e -=

()()

2'3x

f x f x e -，

由()()'3f x f x >，可得F′（x ）＞0，即有F （x ）在R 上递增． 不等式()3

ln f x x -<即为

()3

f lnx x

＜1，（x ＞0），即

()3lnx

f lnx e

＜1，x ＞0．

即有F （13）=13f e ??

???=1，即为F （lnx ）＜F （13

）

，

由F （x ）在R 上递增，可得lnx ＜1

3

，解得0＜x

故不等式的解集为（0，

， 故选：C ．

点睛：点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，一般：（1）条件含有()()f

x f x +'，就构造()()x

g x e f x =

,（2）若()()f x f x -'，就构造

()()

x

f x

g x e =

，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2x

g x e f x =，（4）()()

2f x f x -'就构造()()2x

f x

g x e =，等便于给出导数时联想构造函数.

二、填空题

13．二项式5

21x x ?

?- ???

展开式中含x 项的系数为__________（用数字作答）．

【答案】-10

【解析】5

21x x ??- ??

?展开式的通项为()

52

151r

r

r

r T C x x -+??=- ???

=（﹣1）r C 5r x

10﹣3r