6.边角互换
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高考数学母题
[母题]Ⅰ(13-06):边角互换(301) 755
边角互换 [母题]Ⅰ(13-06):(2014年课标Ⅰ高考试题)已知a,b,c 分别为△ABC 的三个内角A,B,C 的对边,a=2,且(2+ b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC 面积的最大值为 .
[解析]:由(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC ?(a+b)(a-b)=(c-b)c ?b 2+c 2-a 2=bc ?cosA=21,b 2+c 2-bc=4?sinA=2
3,bc ≤4?S △ABC ≤3. [点评]:边角互换的基本类型:①边或角的正弦三角函数的齐次关系式(分式或等式),利用正弦定理可进行相互转换;②两边平方和与第三边平方的差与这两边及其夹角的余弦值的积利用余弦定理可进行相互转换;③把正切与余切三角函数化成正弦与余弦后,利用正、余定理进行转换.
[子题](1):(2012年天津高考试题)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,已知8b=5c,C=2B,则cosC= . [解析]:由C=2B ?sinC=sin2B ?sinC=2sinBcosB ?c=2bcosB ?cosB=54
?cosC=cos2B=2cos 2B-1=25
7. 注:化角为边是边角互换的常见手法,其中,倍、半角三角函数转化为整角三角函数后利用正、余定理进行转换. [子题](2):(2011年浙江高考试题)在△ABC 中,角A,B,C,所对的边分别为a,b,c.若acosA=bsinB,则sinAcosA+ cos 2B=( ) (A)-21 (B)21 (C)-1 (D)1 [解析]:由acosA=bsinB ?sinAcosA=sin 2B ?sinAcosA+cos 2B=sin 2B+cos 2B=1.故选(D).
注:化边为角是边角互换的另一手法,其后的关键是利用三角形内角和及三角公式进行恒等变换.
[子题](3):(2010年江苏高考试题)在锐角三角形ABC,A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,b
a a
b +=6cosC,则B C A C tan tan tan tan += . [解析]:由b a a b +=6cosC ?ab b a 22+=6ab
c b a 2222-+?a 2+b 2=23c 2?abcosC=61(a 2+b 2)=41c 2?B C A C tan tan tan tan +=C C cos sin (A A sin cos + B B sin cos )=C C cos sin B A A B A B sin sin sin cos cos sin +=C C cos sin B A B A sin sin )sin(+=C B A C cos sin sin sin 2=C
ab c cos 2=4. 注:对正切与余切三角函数,首先化成正弦与余弦,然后进行三角恒等变换,化成最简形式后利用正、余定理进行转换. [子题系列]:
1.(2014年江西高考试题)在△ABC 中,内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c,若3a=5b,则A A
B 222sin sin sin 2-的值为 .
2.(2011年重庆高考试题)若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sinA=4sinB=3sinC,则cosB= .
3.(2014年天津高考试题)在△ABC 中,内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.已知b-c=
4
1a,2sinB=3sinC,则cosA 的值为 .
4.(2013年安徽高考试题)设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C= .
5.(2010年天津高考试题)在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c,若a 2-b 2=3bc,sinC=23sinB,则A=( ) (A)300 (B)600 (C)1200 (D)1500
6.(2014年江苏高考试题)若△ABC 的内角满足sinA+2sinB=2sinC,则cosC 的最小值是 .
7.(2008年四川高考试题)△ABC 的三个角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c.若a=25b,A=2B,则cosB= . 8.(2013年湖南高考试题)在锐角中△ABC,角A,B 所对的边长分别为a,b.若2asinB=3b,则角A 等于 .
9.(2011年辽宁高考试,2013年全国高中数学联赛陕西预赛试题)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c,
756 [母题]Ⅰ(13-06):边角互换(301)
asinAsinB+bcos 2A=2a,则a
b =( ) (A)23 (B)22 (C)3 (D)2 10.(2012年全国高中数学联赛湖北初赛试题)在△ABC 中,角A,B,C 的对边长a,b,
c 满足a+c=2b,且C=2A 则sinA= .
11.(2010年“华约”自主招生试题)在△ABC 中,三边长a,b,c 满足a+c=3b,则tan
2A tan 2C 的值为 . 12.(1999年全国高中数学联赛试题)在△ABC 中,记BC=a,CA=b,AB=c,若9a 2+9b 2-19c 2=0,则
B A
C cot cot cot +=_______. 13.(2005年全国高中数学联赛天津初赛试题)在△ABC 中,如果a 2+b 2=6c 2,则(cotA+cotB)tanC 的值等于 .
14.(2004年全国高中数学联赛上海初赛试题)在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边依次为a 、b 、c.若a 2+b 2=tc 2,且cotC= 2004(cotA+cotB),则常数t=_____.
15.(2008年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在△ABC 中,若tanAtanB=tanAtanC+tanCtanB,则
222c b a += . 16.(2009年湖南高考试题)在锐角△ABC 中,BC=1,B=2A,则
A AC cos 的值等于 ,AC 的取值范围为 . [子题详解]:
1.解:由A A
B 222sin sin sin 2-=-257. 2.解:由6sinA=4sinB=3sin
C ?6a=4b=3c ?cosB=16
11. 3.解:由2sinB=3sinC ?2b=3c,又由b-c=41a ?b=43a,c=21a ?cosA=bc
a c
b 2222-+=-41. 4.解:由3sinA=5sinB ?3a=5b,设a=5k(k>0),则b= 3k,由b+c=2a ?c=7k;由cosC=-
21?C=32π. 5.解:由sinC=23sinB ?c=23b ?a 2-b 2=6b 2?a=7b ?cosA=23.故选(A). 6.解:由sinA+2sinB=2sinC ?a+2b=c ?cosC=ab c b a 2222-+=ab ab b a 8222322-+≥ab ab ab 82262-=4
26-. 7.解:由A=2B ?sinA=sin2B ?sinA=2sinBcosB ?a=2bcosB ?cosB=
45. 8.解:由2asinB=3b ?2sinAsinB=3sinB ?sinA=2
3?A=3π. 9.解:由asinAsinB+bcos 2A=2a ?sin 2AsinB+sinBcos 2A=2sinA ?sinB=2sinA ?b=2a.故选(D). 10.解:由a+c=2b ?sinA+sinC=2sinB ?sinA+sin2A=2sin3A ?1+2cosA=2(3-4sin 2A)?cosA=
43?sinA=47. 11.解:由a+c=3b ?sinA+sinC=3sinB ?2sin 2C A +cos 2C A -=6sin 2B cos 2B ?cos 2C A -=3sin 2B ?cos 2C A -=3cos 2C A + ?cos 2A cos 2C =2sin 2A sin 2C ?tan 2A tan 2C =21.12.解:由B A C cot cot cot +=B A B A B A C C sin cos cos sin sin sin sin cos +?=C
B A 2sin sin sin cosC= ab c b a c ab 22222
-+?=95. 13.解:由(cotA+cotB)tanC=C C B A B A cos sin sin sin )sin(?+=C B A C cos 1sin sin sin 2?=22222c b a ab ab c -+?=52. 14.解:由cotC=2004(cotA+cotB)?C C sin cos =2004B A B A sin sin )sin(+?cosC=2004B A C sin sin sin 2?ab c b a 2222-+=2004ab
c 2?t=4009. 15.解:由tanAtanB=tanAtanC+tanCtanB ?B A B A cos cos sin sin =C C cos sin B A B A cos cos )sin(+?cosC=B A C sin sin sin 2?ab c b a 2222-+=ab c 2?2
22c b a +=3. 16.解:由B=2A ?sinB=2sinAcosA ?b=2acosA ?
A AC cos =A b cos =2a=2;由B=2A ∈(0,2π),C=π-3A ∈(0,2π)?A ∈(6
π, 4π)?AC=b=2cosA ∈(2,3).