不等式的性质2教案
不等式的性质
教学目的：
1． 熟练掌握性质1，2，3、5的应用；
2． 掌握并会证明性质4、6、7、8、
3． 掌握反证法证明性质8
教学重点：性质4、6、8的证明
教学难点：几个性质的应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b ，c>d ，是同向不等式 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b ，c 2．不等式的性质： 性质1：如果a>b ，那么bb ．(对称性) 即：a>b ?bb 性质2：如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性) 即a>b ，b>c ?a>c 性质3：如果a>b ，那么a+c>b+c ． 即a>b ?a+c>b+c 性质5如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则) 即a>b ， c>d ?a+c>b+d ． 二、讲解新课： 性质4：如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ； 如果a>b ，且c<0，那么ac 证明：∵ac-bc ＝(a-b)c ∵a>b ∴a-b>0 当c>0时，(a-b)c>0即ac>bc ． 当c<0时，(a-b)c <0即ac 类比定理3推论，设想同向不等式相乘，不等号方向是否改变？即如果a>b ，c>d 是否一定能得出ac>bd ？(举例说明) 能否加强条件得出ac>bd 呢?(引导学生探索，得出推论) ． 性质6 如果a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd ．(相乘法则) 证明：,0a b c >>Q ac bc ∴> ① 又,0,c d b >>Q ∴bc bd > ② 由①、②可得ac bd > 说明：（1）上述证明是两次运用定理4，再用定理2证出的； （2）所有的字母都表示正数，如果仅有,a b c d >>，就推不出ac bd >的结论 （3）这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘这就是 说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向 性质7 若0,(1)n n a b a b n N n >>>∈>则且 说明：（1）推论2是推论1的特殊情形； （2）应强调学生注意n ∈N 1n >且的条件 如果a>b >0，那么a n >b n (n ∈N ，且n>1) 性质8 若0,1)a b n N n >>>∈>且 点拨：遇到困难时，可从问题的反面入手，即所谓的“正难则反” ．我们用反证法来证明定理5 ，因为反面有两种情形，即 < 和= ，所以不能仅仅否定了<，就“归谬”了事，而必须进行“穷举” 证明：假定n a 不大于n b < n a =由推论2 和定理1 这些都同已知条件0a b >>矛盾 >点评：反证法证题思路是：反设结论→找出矛盾→肯定结论． 三、讲解范例： 例1 已知0>>b a 且d c <<0，求证：d b c a > (相除法则) 证：∵0>>c d ∴??? ???>>>>0011b a d c d b c a > 例2 已知a>b>0，c<0，求证： b c a c > 证明：∵0,a b >>两边同乘以正数得,1ab 11,b a > 即 b a 11< ，又 c<0 ∴ b c a c > 例3 已知a ，b ，x ，y 是正数，且b a 11>，x>y ．求证： b y y a x x +>+ 证：∵ b a 11>>0 ∴b>a>0, 又x>y>0 ∴xb>ay ∴xy+xb>xy+ay 即 x(y+b)>y(x+a) ∵a ， b ，x ，y 是正数，∴y+b>0，x+a>0 ∴b y y a x x +>+ 例4 已知函数2()f x ax c =-, -4≤(1)f ≤-1, -1≤f (2)≤5, 求(3)f 的取值范围 分析： 利用(1)f 与(2)f 设法表示a 、c, 然后再代入(3)f 的表达式中，从而用(1)f 与(2)f 来表示(3)f , 最后运用已知条件确定(3)f 的取值范围 解： ∵ ???=+=-)2(4)1(f c a f c a 解得 ??? ????-=-=)1(34)2(31)]1()2([31f f c f f a ∴ )1(3 5)2(389)3(f f c a f -= -= ∵ -4≤f (1)≤1, 故 )3 5)(4()1()35()35)(1(--≤-≤--f (1) 又 -1≤f (2)≤5, 故 340)2(3838≤≤-f (2) 把(1)和(2)的各边分别相加，得： -1≤)1(3 5)2(38f f -≤20 所以，-1≤f (3)≤20 点评：应当注意，下面的解法是错误的： 依题意，得：? ??≤+≤--≤-≤-(2) 541(1) 14c a c a 由（1）（2）利用不等式的性质进行加减消元，得 0≤a ≤3， 1≤c ≤7 (3) 所以，由c a f -=9)3(可得，-7≤f (3)≤27 以上解法其错因在于，由（1）（2）得到不等式（3）是利用了不等式性质中的加法法则，而此性质是单向的，不具有可逆性，从而使得a 、c 的范围扩大，这样f (3)的范围也就随之扩大了 四、课堂练习： 1．已知0>>b a ，0< b e c a e ->- 证：??? ???<-<-?>->-????<<>>011000e d b c a d b c a d c b a d b e c a e ->- 2．如果0,0<<>>d c b a 求证：d b c a ->-ππααsin sin log log 证：∵1sin 0<<α π>1 ∴0log sin <πα 又∵0,0>->->>d c b a ∴d b c a ->- ∴d b c a -<-11 ∴d b c a ->-ππααsin sin log log 3.判断下列各式是否正确？为什么？ （1）如果a >b ，那么a-c>b-c （2）如果a > b,那么a/c>b/c （3）如果ac 假 假 真 4.π/4 5.若-14< x < y< -6 ,求yx , y/x 的取值范围．0 36 五、小结 ：本节学习了如下八个不等式性质 1.() a b b a >?<性质对称性2.() a b b c a c >>?>性质且传递性3. a b a c b c >?+>+性质（同加性）5 a b c d a c b d >>?+>+性质且（同向不等式的可加性）4. () 0 0. a b c ac bc a b c ac bc >>?>> 且 6 . 00a b c d ac bd >>>>?>性质（非负同向不等式的可乘性）且7. 0n n a b a b >>?>∈*性质（非负不等式乘方性质） （其中n N ） 8. 01a b >>?>∈>*性质（非负不等式开方性质） n N 且n ） 六、课后作业： 课本P 84 习题3.1 B 组 1、2、3 《不等式的基本性质》教案 教学目标 1、经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同． 2、掌握不等式的基本性质． 教学重难点 不等式的基本性质的掌握与应用． 教学过程 一、比较归纳，产生新知 我们知道，在等式的两边都加上或都减去同一个数或整式，等式不变． 请问：如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式，那么结果会怎样？请举几例试一试，并与同伴交流． 类比等式的基本性质得出猜想：不等式的结果不变．试举几例验证猜想． 如3＜7，3+1=4，7+1=8，4＜8，所以3+1＜7+1；3-5=-2，7-5=2，-2＜2，所以3-5＜7-5；3+a＜7+a；3＜7，3-a＜7-a等．都能说明猜想的正确性． 二、探索交流，概括性质 完成下列填空． 2＜3，2×5______3×5； 2＜3，2×(-1)______3×(-1)； 2＜3，2×(-5)______3×(-5)； 你发现了什么？请再举几例试试，与同伴交流． 通过计算结果不难发现：第一个空填“＜”，后三个空填“＞”． 得出不等式的基本性质： 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变．不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．(通过自我探索与具体的例子使学生加深对不等式性质的印象) 三、例题解析 将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式： (1)x-5＞-1；(2)-2x＞3. 解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加5，得 x＞-1+5 即 x ＞4 (2)根据不等式的基本性质3，两边都除以-2，得 32 ＜-x 四、练习巩固，促进迁移 1、用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由． ① 6+2 ______ -3+2； ② 6×(-2)______ -3×(-2)； ③ 6÷2______ -3÷2； ④ 6÷(-2)______ -3÷(-2) 2、利用不等式的基本性质，填“＞”或“＜”． (1)若a ＞b ，则2a +1 _____ 2b +1； (2)若a ＜b ，且c ＞0，则ac +c ______ bc +c ； (3)若a ＞0，b ＜0， c ＜0，(a -b )c ______ 0． 3、巩固应用，拓展研究． 按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据． (1)a ＞b 两边都加上-4； (2)-3a ＜b 两边都除以-3； (3)a ≥3b 两边都乘以2； (4)a ≤2b 两边都加上c ． 五、课堂小结 不等式的基本性质： 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变． 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 学习目标 1、掌握不等式的基本性质。 2、会应用不等式的基本性质对不等式进行化简。 3、知道等式与不等式性质的联系与区别。 重点难点 重难点：不等式的性质及其应用。 学习过程 一、课前预习 1、不等式的性质1： 字母表示为：如果a＞b，那么 2、不等式的性质2： 字母表示为：如果a＞0,c＞0,那么 3、不等式的性质3： 字母表示为：如果a＞0,c＜0,那么 二、课堂研讨 （一）重点研讨 4、将下列不等式化成“χ＞a”或“χ＜a”的形式。 （1）χ+12＞6 （2）2χ＜-2 （3）χ-2＞0.9 （4）-3χ＜-6 5、思考：等式的性质和不等式的性质有什么异同？ 相同点：不同点： （二）拓展训练 6、解不等式2x—1﹤5x-5并在数轴上表示解集。 7、已知a﹥b,ac一定大于bc吗？ （三）达标测试 8、填写不等号或变形依据。 （1）∵0<1∴a a+1，依据； （2）若2x>-6，两边同除以2，得，依据；（3）若-12 x f，两边同乘以-3，得，依据。 3 9、若x>y，判断下列不等式变形是否正确，并说出你的理由。（1）x-6 （3）-2x<-2y （4）2x+1>2y+1 （5）ax>ay 三、课后巩固 10、填空 （1）∵ 2a > 3a ∴ a 是 数 （2）∵ 32 a a p ∴ a 是 数 （3）∵ax < a 且 x > 1 ∴ a 是 数 11、根据下列已知条件，说出a 与b 的不等关系，并说明是根据不等式哪一条性质。 （1）a －3 > b －3 （2） 33a b f （3）－4a > －4b 12、设m ＞n ，用“＜”或“＞”填空 ⑴m －5 n －5 ⑵m+4 n+4 ⑶6m 6n ⑷－31 m － 31 n 13、利用不等式的性质解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来。 ⑴ x －7＞26 ⑵ 3x ＜2x+1 《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 （1）能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系； （2）初步学会作差法比较两实数的大小； （3）掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系， 会作差法比较两实数的大小 ，通过类比法，掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. （一）新课导入 用不等式(组)表示不等关系 中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< （二）新课讲授 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 （1）某路段限速40km /h ； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ，“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40，于是0＜v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于（3），设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c . 对于（4），如图，设C 是线段AB 外的任意一点，CD 垂直于AB ，垂足 为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着， 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解：提价后销售的总收入为错误!x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 “不等式的性质”的教学设计 07990201 侯志静 综合理科072班 一、课标分析 数学新课程标准提到：要注重提高学生的数学思维能力，即“在学生学习数学运用数学解决问题时，应经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。笔者在认真学习领会新课程标准的基础上，在《不等式的性质》教学设计中大胆探索归纳式学习方法、勇于实践探究式教学方法，以取得更好的教学效果。二、教材分析 （1）本节内容是七年级下第九章《不等式和不等式组》中的重点部分，是不等式的第一节课，由于学生是第一次接触不等式，故此节课应该是在加深对不等式的认识的基础上，着重探究不等式的性质，了解一般不等式的解与解集以及解不等式的概念。 （2）不等式的性质是后继深入学习一元一次不等式组以及解决与不等式有关问题的基础和依据。教材中列举了不等式的三条基本性质定理,这三条性质不等式的最基本、也是最重要的性质，不仅要掌握它们的内容、理解掌握它们成立的条件、把握它们之间的联系,还要对这些性质进行拓展探究。 （3）不等式的性质是培养学生数学能力的良好题材，学习不等式，要经常用到观察、分析、归纳、猜想、迭代的思想，还要综合运用前面的知识解决不等式中的一些问题，这些都有助于学生数学能力的提高。本节内容安排上难度和强度不高，适合学生讨论，可以充分开展合作学习，培养学生的合作精神和团队竞争的意识。 （4）本章的知识定位与传统教材有些不同，在这套教材中，前面已经介绍了一元一次方程、一次函数及二元一次方程组的内容，现在再学习一元一次不等式和一元一次不等式组已是顺理成章的了，但是知识体系的变化会引起对不等式整个内容的理解与把握上的不同，相应问题的难度与函数、方程的综合程度会有所加大，并且突出由一些具体的实际问题抽象为不等关系模型的过程，让学生体会 9.1.2 不等式的性质 三维目标知识与技能 1、理解掌握不等式的性质； 2、会解决简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。 过程与方法 经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，初步体会 不等式与等式的异同，初步掌握类比的思想方法。 情感与态度通过创设问题情境和实验探究活动，积极引导学生参与数学活动，提高学习数学的兴趣，增进学习数学的信心，体会在解决问题的过 程中与他人交流合作的重要性。 教学重点：理解并掌握不等式的性质及运用； 教学难点：不等式性质3的探索及正确运用不等式的性质； 教学方法与手段：启发、讨论、探究 教学过程： 一、情境创设 复习回顾： 等式有哪些性质？ 导入新课： ①给不平衡的天平两边同时加入相同质量的砝码，天平会有什么变化？ ②不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码，天平会有什么变化？ ③如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？ 二、自主探究 探究活动一 （一）探究不等式的性质 问题1 用“＞”或“＜”填空． ①－1 < 3 －1＋2 3＋2，－1－3 3－3 ②5 >3 5＋a 3+a ，5－a 3－a ③ 6 > 2 6×5 2×5 ，6×（－5） 2×（－5） ④－2 < 3 （－2）×6 3×6 （－2）×（－6） 3×（一6） ⑤－4 ＞－6 （－4）÷2 （－6）÷2 （－4）÷（－2）（－6）÷（－2） 问题2 从以上练习中，你发现了什么规律？请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？请把你的发现告诉同学们并与他们交流． 问题3 你能用式子表示不等式的三条性质吗？ 【板书如下： （1）若a >b ，则a+c > b+c ,a-c >b-c ； （2）若a >b ，且c>0,则ac >bc ，a/c >b/c ； （3）若a >b ，且c<0,则ac 1.1 课时1 不等式的基本性质 一、教学目标 （一）核心素养 在回顾和复习不等式的过程中，对不等式的基本性质进行系统地归纳整理，并对“不等式有哪些基本性质和如何研究这些基本性质”进行讨论，使学生掌握相应的思想方法，以提高学生对不等式基本性质的认识水平. （二）学习目标 1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础. 2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明. 3.会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法. （三）学习重点 应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明. （四）学习难点 灵活应用不等式的基本性质. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 （1）读一读：阅读教材第2页至第4页，填空： a b >? a b =? a b >?> ②a c b c a b +>+?> ③ac bc a b >?> ④33a b a b >?> ⑤22a b a b >?> ⑥,a b c d ac bd >>?> 2.预习自测 （1）当x ∈ ，代数式2(1)x +的值不大于1x +的值. 【知识点】作差比较法 【解题过程】2(1)(1)x x +-+=2(1)x x x x -=- 【思路点拨】熟悉作差比较法 【答案】[0,1] （2）若c ∈R ，则22ac bc > a b > A.? B.? C.? D.≠ 【知识点】不等式的基本性质 【解题过程】由22ac bc >，得0c ≠，所以20c >；当,0a b c >=时，22ac bc =. 【思路点拨】掌握不等式的基本性质 【答案】A. （3）当实数,a b 满足怎样条件时，由a b >能推出 11a b ，所以当0ab >时，11a b <. 【思路点拨】掌握作差比较法 【答案】当0ab >时， 11a b <. (二)课堂设计 1.问题探究 探究一 结合实例，认识不等式 ●活动① 归纳提炼概念 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的. 【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程. ●活动② 认识作差比较法 关于实数,a b 的大小关系，有以下基本事实： 如果a b >，那么a b -是正数；如果a b =，那么a b -等于零；如果a b <，那么a b -是负数.反过来也对. 这个基本事实可以表示为：0;0;0a b a b a b a b a b a b >?->=?-= 11.3不等式的性质 教学目标 知识性目标： 1．掌握不等式的两条基本性质，并能熟练的应用不等式的性质进行不等式的变形； 2．理解不等式的基本性质与等式的基本性质之间的区别. 过程性目标 在积极参与探索、发现不等式基本性质的过程中，体会不等式的两条基本性质的作用和意义，培养学生探索数学问题的能力. 情感态度目标 1．通过学生的自主讨论培养学生的观察力和归纳的能力； 2．通过学生的讨论使学生进一步体会集体的作用，培养其集体合作的精神. 重点和难点 重点：掌握不等式的两条基本性质，尤其是不等式的基本性质2； 难点：正确应用不等式的两条基本性质进行不等式的变形. 一、创设情境 问：在解一元一次方程时，我们主要是对方程进行变形，那么方程变形主要有哪些？ 答：去分母、移项、系数化为1. 问：这些解法具体步骤的主要依据是等式的两条基本性质. 等式基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式； 等式基本性质2：等式的两边都乘以或除以同一个数不等于0的数，所得的结果仍是等式 探索1： （1）请同学们观察：电梯里两人身高分别为：a米、b米，且a＞b，都升高6米后的高度后的不等式关系：a＋6＞b＋6；同理：a－3 b－3（填写“＜”、“＞”号) （2）实物演示：一个倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b（显然有a＞b）,如果在两边盘内再分别加上等量的砝码c，那么盘子会出现什么情况？ 可让学生进行操作，并得出结论：盘子仍然像原来那样倾斜（即a+c＞b+c）. a＞b ?a+c＞b+c. 归纳1: 教师在学生得出结论的前提下总结： 不等式的性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 用数学式了表示： 如果a＞b,那么a+c＞b+c，a-c＞b-c. 探索2： 问题：如果不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数,不等号的方向是否也不变呢？ 将不等式7＞4两边都乘以同一个数，比较所得数的大小，用“＞”，“＜”或“＝”填空： 7×3 ______4×3， 7×2 ______4×2 ， 7×1______ 4×1， 2．2不等式的基本性质 1．理解并掌握不等式的基本性质；(重 点) 2．能够运用不等式的基本性质解决问 题．(难点) 一、情境导入 小刚的爸爸今年32岁，小刚今年9岁， 小刚说：“再过24年，我就比爸爸年龄大 了”．小刚的说法对吗？为什么？ 二、合作探究 探究点一：不等式的基本性质 【类型一】根据不等式的基本性质判 断大小 已知a＜b，用不等号填空： (1)a＋3________b＋3； (2)－ a 4________－ b 4； (3)3－a________3－b. 解析：(1)两边都加3，a＋3＜b＋3，(2) 两边都除以－4，－ a 4>－ b 4，(3)两边都乘－1， －a＞－b，两边都加3，3－a＞3－b.故答案 为：＜，＞，＞. 方法总结：不等式的基本性质是不等式 变形的重要依据，关键要注意不等号的方 向．性质1和性质2类似于等式的性质，但 性质3中，当不等式两边乘或除以同一个负 数时，不等号的方向要改变． 【类型二】判断变形是否正确 已知a＞b，则下列不等式中，错 误的是() A．3a＞3b B．－ a 3<－ b 3 C．4a－3＞4b－3 D．(c－1)2a＞(c－ 1)2b 解析：A.在不等式a＞b的两边同时乘 以3，不等式仍成立，即3a＞3b，故本选项 正确；B.在不等式a＞b的两边同时除以－3， 不等号方向改变，即－ a 3<－ b 3，故本选项正 确；C.在不等式a＞b的两边同时先乘以4、 再减去3，不等式号方向不变，即4a－3＞ 4b－3，故本选项正确；D.当c－1＝0，即c ＝1时，该不等式不成立，故本选项错误； 故选D. 方法总结：“0”是很特殊的一个数，因 此，解答不等式的问题时，应密切关注“0” 存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的 基本性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数 (或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两 边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不 变；(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数， 不等号的方向改变． 探究点二：不等式性质的运用 【类型一】把不等式化成“x＞a”或 “ x＜a”的形式 把下列不等式化成“x＞a”或 “x＜a”的形式． (1)2x－2<0； (2)3x－9<6x； (3) 1 2x－2＞ 3 2x－5. 解析：根据不等式的基本性质，把含未 知数的项放到不等式的左边，常数项放到不 等式的右边，然后把系数化为1. 解：(1)根据不等式的基本性质1，两边 都加上2得2x<2.根据不等式的基本性质2， 课题 §1.2 不等式的基本性质 教学目标 知识与能力：1.探索并掌握不等式的基本性质； 2. 运用不等式的基本性质将不等式变形。 方法与过程：通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高学生的辨别能力. 情感态度与价值观：通过大家对不等式性质的探索，培养学生的钻研精神，同 时还加强了同学间的合作与交流. 教学重点：掌握不等式的基本性质并能正确运用将不等式变形 教学难点：不等式基本性质3的运用 教学方法：类推探究法 教具准备：小黑板 教学过程 Ⅰ.复习回顾，导入新课 等式的基本性质 等式的基本性质1：等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式. 等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式. 不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证. Ⅱ.新课讲授 1.不等式基本性质的推导 （1）提问1：如果在不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向会怎么样？ 举例说明3＜5 3+2＜5+2 3－2＜5－2 3+5＜5+5 3－5＜5－5 3+a＜5+a 3－a＜5－a 3+ a+b ＜5+ a+b 3－(a+b) ＜5－( a+b) 不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。 很好，不等式的这一条性质和等式的性质相似。下面继续进行探究。 （2）提问2如果在不等式的两边都乘同一个数，不等号的方向会怎么样？ 学生独立完成做一做，小组互相讨论总结 2<3; 2÷51=2×5<3×5=3÷5 1； 2÷2=2×21<3×21=3÷2; 2÷（-1）=2×(-1)>3×(-1)=3÷（-1）; 2÷（51-）=2×(-5)>2×(-5)=3÷（51-）; 2÷（-2）=2×(21-)>3×(2 1 -)=3÷（-2）； （3）如果在不等式的两边都除以同一个数，不等号的方向会怎么样？ （乘一个不为0的数等于除以这个数的倒数） 不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 。 不等式的基本性质3：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 。 2.火眼金睛 （1）已知x ＞y,填空： x －6__y －6； 3x__3y ； －2x__－2y ； 2x+1__2y+1； （2）用不等式的基本性质解释π 42 l ＞162l 的正确性 解：∵ π41＞16 1 根据不等式的基本性质2，两边都乘以l 2得 ∴π42l ＞16 2 l 所以我们进一步验证了上节课的猜想，无论绳长L 取何值，圆的面积总大于正方形的面积。 第六章不等式 在日常生活和生产实践中，我们经常会遇到这样一些问题： 1．小丽的家离学校a km，如果步行速度为b km / h ，为了保证上午八点钟以前到校，小丽最晚什么时候出发？ 2．为什么用相同材料做成圆柱型的容器比做成棱柱型的容器的容积大？ 在这两个问题中，前者是解不等式问题，后者是证明不等式问题，但它们的解决都离不开不等式知识和方法的系统掌握。 自然界中的等量关系是相对的，而不等量关系是绝对的，不等量关系比等量关系的存在更具有普遍性，所以不等关系的研究具有重要的意义，在中学数学中是重要的内容。本章将在前面学过的一元一次不等式、一元二次不等式和含绝对值的不等式的解法的基础上，进一步学习不等式的概念、不等式的性质、不等式的证明和一些简单不等式的解法。 §6.1不等式的性质 【学习目标要求】 1．运用数形结合的观点，认识实数顺序的规定，掌握判断两个实数大小的充要条件。 2．理解不等式的重要性质，掌握这些性质的证明方法。 3．会用不等式的性质解决一些简单问题。 【基础知识导学】 1．不等式的定义 用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式。 说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠。 （2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等） （3）不等式研究的范围是实数集R。 2．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立。判断两个实数大小的充要条件是 a＞b ? a - b＞0 a= b ? a - b = 0 a＜b ? a - b＜0 由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了。 7.1 不等式及其基本性质 〖教学目标〗 ◆1、使学生掌握和理解不等式的三条基本性质. ◆2、培养学生观察、分析、比较的能力，会运用不等式的基本性质进行不等式的变形，提高他们灵活地运用所学知识解题的能力． 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：不等式的三条基本性质的运用. ◆教学难点：不等式的基本性质3的运用和 不等式的变形以及范例要比较两个代数式的大小的几种方法，学生缺乏这方面的经验，这些是本节教学的难点. 〖教法和学法〗 操练合作发现总结式教学法操练 合作 发现 归纳 应用 总结〖教学过程〗 一、从学生原有的认知结构提出问题 ,练习问题，解决问题，总结结论。 1.用“＜、＞、=“完成下列填空： （1）如果a ＜- 9，而- 9＜ 3 ，那么a_____3 。 （2）如果a ＞- 9，而- 9＞-13 ，那么a____-13 。 你发现了什么？你还可以再举例吗？试一试！能得到什么结论？ 2.通过实验观察，用“＜、＞、=“完成下列填空： 8＿>＿5 8＋2＿>＿5＋2 10＿>＿ 7 10－2＿>＿7－2 你发现了什么？试一试！你能得到什么结论？ 8 5g 2g 2g 通过观察和举实例合作学习，完成下列两个问题，并自己判断前面的猜想的结论是否正确？ (1)已知a ＜b 和b ＜c ，在数轴上表示如图： a b c 由数轴上a 和c的位置关系，你能得到什么结论？ (2)若a > b，则a+ c和b +c 哪个较大， a- c和b- c呢？请用数轴上点的位置关系加以说明。 不等式的基本性质1： 不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得的不等式仍成立。你总结出来了吗？ 做一做 1.用适当的不等号填空： （1）∵0 1， ∴a a+1（不等式的基本性质2） （2）∵(a-1)20 ∴(a-1)2-2 -2（不等式的基本性质2） ２. a,b两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“＞”或“＜”号填空：(1)a b; (2) ｜a｜｜b｜; (3)a+b 0 (4)a-b 0 (5)a+b a-b (6)ab a b o a 3.通过计算，用“＜、＞、=“完成下列填空： 《不等式的性质》教学设计 一、教材分析 （一）本节课在教材中的地位和作用： 本节课是人教版《数学》第九章第一节9.1.2不等式的性质的第一课时的内容。它承接了等式的性质，让学生第一次经历不等式的等价变形，也经历了从“数”的大小关系到“式”的大小关系的转折，不等式的性质是解不等式的重要依据，因此它是不等式解法的核心内容之一，是本章的基础，地位相当重要。 生活中的数量关系不外乎两种：相等关系与不等关系，通过这堂课的学习，让学生对数量关系的变形有一个完整的认识，形成一个知识体系。 （二）教学目标： 1.经历探索不等式的性质的过程，理解不等式的性质. 2.会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集. 3.在等式性质与不等式性质的转换过程中，渗透类比的学习方法. 4.通过分组探究活动，让学生体会在解决问题过程中与他人合作的重要性，积累数学活动经验. 教学重点是探索不等式的性质. 二、学情分析： 学生的认知基础有：第一，会比较数的大小；第二，理解等式性质并知道等式性质是解方程的依据；第三、具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有一定的抽象概括能力和数学建模能力和合情推理归纳能力。 不等式性质3缺少生活经验的依据，已有知识经验对性质3造成负迁移，导致学生不理解运用性质3时“为什么要改变不等号的方向”；在不等式的等价变形时不知道“什么时候要改变不等号的方向”。本设计运用分组讨论合作交流的方式，使学生对不等式性质2、3经历猜测、验证、纠错、归纳、完善的充分的思考过程，自发生成。 教学难点是不等式性质3的探索与运用. 三、教法：引导探究法 教法分析、 本节课的教学设计意在让学生通过与旧知识——等式性质及其应用类比中，通过自主探索与合作交流获得新知，所以处处蕴含着类比的思想，在探索新知的过程中又引导学生经历猜想——验证——归纳的完整的数学思维过程，培养了学生合情推理的能力，同时帮助学生积累了数学的探究方法和获得新知的经验。 在探索不等式性质2、3时，采取自主探索与合作交流的形式化解学生学习的难度，使学生感受到当不等式两边同时乘以或除以一个数时分类的必要性，明确把不等式的两边都乘以或除以同一个（不为零）数时，必须认清这个数的符号，如果这个数是正数，那么不等号的方向不变，如果这个数负数，那么不等号的方向改变。借用类比的学习方法，使学生对不等式性质2、3深有所感，让学生在感知、归纳、纠错、完善的过程中，经历充分的思考过程，自发生成。 学法：自主探究、合作交流 四、教具 小白板、物理天平和砝码 楠杆中学数学教研活动 活动课题：不等式的基本性质 活动时间：2014年12月17日 活动地点：校多媒体教室 活动班级：八年级（5）班 主讲人：周刚 《4.2 不等式的基本性质》教学设计 楠杆中学周刚教学目标： 知识与技能： 掌握不等式的三条基本性质，理解不等式的基本性质与等式的基本性质之间的区别。 过程与方法： 经历通过类比、猜测、验证，在积极参与探索、发现不等式基本性质的过程中，体会不等式的三条基本性质的作用和意义，培养学生探索数学问题的能力。 情感态度价值观： 1、通过学生的自主讨论培养学生的观察力和归纳的能力； 2、通过学生的讨论使学生进一步体会集体的作用，培养其集体合作的精神。 3、通过实验探究活动，体会探索过程中所应用的归纳和类比思想方法。 教学重点：理解并掌握不等式的三大基本性质。 教学难点：熟练应用运用不等式的三大基本性质。 教学方法：探究式教学法 学习方法：自主探究合作交流 教学过程： 一、精导引标 1、故事：《童言无忌》 三岁的小凯幼儿园回家开始缠着他的爸爸说：“爸爸，你比我大多少岁啊？”爸爸放下手中的报纸笑眯眯的答道：“我比可爱的小凯大25岁呀，怎么了？”小凯高兴地跑开道：“再过25年我就和爸爸一样大了”。留下错愕的爸爸沉浸在“百感交集”中…… 【设计理念】趣味引入，探寻学生解释小孩疑问的方法，期待新课后的数学解释，展示学生学以致用能力。 2、复习回顾 （1）什么叫做不等式？ （2）等式的基本性质是什么？ 二、精讲达标 不等式是否有和等式类似的性质呢？为了研究不等式的性质，我们现在先从一些数字的运算开始。 1、用“＜”或“＞”完成下列两组填空。 ①5＞3 5+2 3+2 5+(-2) 3+(-2) 5+0 3+0 5+x 3+x ②-1＜3 -1+2 3+2 -1+(-3) 3+(-3) -1+0 3+0 -1+x 3+x 提问：从以上的练习中，你发现了什么？ 请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？请把你的发现告诉同学们并与他们交流。 让学生充分发表“发现”，师生共同归纳得出： 不等式性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子）， §7.3不等式的性质 [目标设计] 1、了解不等式的意义，掌握不等式的基本性质，并能正确运用它们将不等式变形； 2、提高学生观察、比较、归纳的能力，渗透类比的思维方法； 重点：掌握不等式的基本性质并能正确运用它们将不等式变形。 难点：掌握不等式的基本性质并能正确运用它们将不等式变形。 [情境设计] 复习： 1. 解方程 3x －4＝5x －5 解：3x －5x ＝－5＋4 －2x ＝－1 x ＝2 1化1 2. [活动设计] 1. ①去分母；②移项；③合并同类项；④化未知数的系数为1 2.试验： ① 有甲、乙两同学，甲的钱多于乙的钱，然后再给甲、乙两人相同的钱，则甲、 (甲的钱肯定还 是多于乙的钱) ② a＞b a＋c＞b＋c 从左侧看：从天平中可以看出 a＞b 从右侧看：天平两边加上等量的砝码c 不等式性质1：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，a－c＞b－c 不等式两边都加上(或减去) 3.操作：将不等式5﹥3的两边分别乘以同一个数，用不等号填空： 5×1（）3×1， 5×2（）3×2， 5×3（）3×3， 5×4（）3×4， … 5×（-1）（）3×（-1）， 5×（-2）（）3×（-2）， 5×（-3）（）3×（-3）， 5×（-4）（）3×（-4）， … 不等式性质2：如果a＞b，并且c＞0，那么ac＞bc 不等式性质3：如果a＞b，并且c＜0，那么ac＜bc 不等式的两边都乘以(或除以) 不等式的两边都乘以(或除以) 练习1-3 4.练习：课本P 14 5.思考： ①不等式的两边都乘以0，会出现什么样的结果？ ②不等式的性质与等式的性质有什么相同点、不同点？ §1.2 不等式的基本性质 教学目标 知识与能力：1.探索并掌握不等式的基本性质； 2. 运用不等式的基本性质将不等式变形。 方法与过程：通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高学生的辨别能力. 情感态度与价值观：通过大家对不等式性质的探索，培养学生的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与交流. 教学重点：掌握不等式的基本性质并能正确运用将不等式变形 教学难点：不等式基本性质3的运用 教学方法：类推探究法 教具准备：小黑板 教学过程 Ⅰ.复习回顾，导入新课 等式的基本性质 等式的基本性质1：等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍 是等式. 等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的 数），所得结果仍是等式. 不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节 课我们将加以验证. Ⅱ.新课讲授 1.不等式基本性质的推导 （1）提问1：如果在不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向会怎么样？ 举例说明3＜5 3+2＜5+2 3－2＜5－2 3+5＜5+5 3－5＜5－5 3+a ＜5+a 3－a ＜5－a 3+ a+b ＜5+ a+b 3－(a+b) ＜5－( a+b) 不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。 很好，不等式的这一条性质和等式的性质相似。下面继续进行探究。 （2）提问2如果在不等式的两边都乘同一个数，不等号的方向会怎么样？ 学生独立完成做一做，小组互相讨论总结 2<3; 2÷51=2×5<3×5=3÷5 1； 2÷2=2×21<3×21=3÷2; 2÷（-1）=2×(-1)>3×(-1)=3÷（-1）; 2÷（51-）=2×(-5)>2×(-5)=3÷（51-）; 2÷（-2）=2×(21-)>3×(2 1 -)=3÷（-2）； （3）如果在不等式的两边都除以同一个数，不等号的方向会怎么样？ （乘一个不为0的数等于除以这个数的倒数） 不等式的基本性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 。 不等式的基本性质3：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 。 2.学以至用 （1）已知x ＞y,填空： x －6__y －6； 3x__3y ； －2x__－2y ； 2x+1__2y+1； （2）用不等式的基本性质解释π42l ＞16 2 l 的正确性 解：∵ π41＞16 1 根据不等式的基本性质2，两边都乘以l 2得 ∴π42l ＞162 l 《不等式的基本性质》教学设计 课 题： 不等式的基本性质 教学目标： 1． 理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础。 2． 掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用 比较法，分析法证明简单的不等式。 教学重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；利用不等式的性质求范围。 教学难点：灵活应用不等式的基本性质。 教学过程： 一、引入： 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。 二、不等式的基本性质： 1、实数的运算性质与大小顺序的关系： 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知： 0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-?b ?b 不等式的性质 教学目的： 1． 熟练掌握性质1，2，3、5的应用； 2． 掌握并会证明性质4、6、7、8、 3． 掌握反证法证明性质8 教学重点：性质4、6、8的证明 教学难点：几个性质的应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b ，c>d ，是同向不等式 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式例如：a>b ，c 当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一些珍贵资料，融合以后进行再制作，形成了本套作品。 本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 实际问题与一元一次不等式 教学目标 会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式解决实际问题 教学重点 寻找实际问题中的不等关系列出不等式。 教学难点 寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型。 教学过程 一、课前预习准备部分 1、知识要点归纳： 要点一：解一元一次不等式与解一元一次方程的区别 （1）在解一元一次不等式时去分母和系数化为1时，如果乘数或除数是负 数，要把不等号改变方向; (2)不等式的解集含有无限多个数，而一元一次方程只有一个解； （3）解一元一次不等式，是根据不等式的性质，将不等式化为,(,)x a x a x a x a <≥>≤或的形式，而解一元一次方程，是根据等式的性 质将方程逐步化为x a =的形式。 要点二：列不等式解应用题的一般步骤： 审题→设未知数→找不等关系→列出不等式→解这个不等式求出解集→检 验所求的解集是否正确，是否符合实际情况→写出答案。 2、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来 (1)321x x <+; (2)43x -> 二、自主学习：（探索用一元一次不等式解决实际问题。） 1.甲乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠 方案：在甲商场累计购买100元后，再购买的商品按原价的90%收费；在 乙商场累计购买50元商品后，在购买的商品按原价的95%收费，顾客在哪 家商场购物花费少？ 问题分析： （1）甲店购物 元后优惠，乙店购物 元后优惠。 （2）如果购物都不超过50元，都达不到两店的优惠方案，则在两店购 物 。 （3）如果购物超过50元而不超过100元，达不到甲店优惠起点，但乙店 超过50元优惠95%，所以在 购物花费小。 （4）现在有4个人，准备分别消费40元、80元、140元、160元，那么去 哪家商店更合算？为什么？ （5）如果累计购买超过100元，那么在甲商店购物花费小吗？ 设累计购物x 元（x ＞100），此时： 在甲店购物花费为 ； 在乙店购物花费为 ； 若在甲店花费较小，则： ，解不等式 得： 。 若在乙店花费较小，则： ，解不等式 得： 。 （6）累计购买超过100元而不到150元时，在哪个店购物花费小？累计 §6.1.2不等式的性质 【教学重点与难点】 教学重点：掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．教学难点：正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形． 【教学目标】 1、探索并掌握不等式的基本性质 2、会用不等式的基本性质进行化简 【教学方法】 通过观察、分析、讨论，引导学生归纳总结出不等式的三条基本性质，从具体上升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握． 【教学过程】 一、创设情境复习引入 （设计说明：设置以下习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．） 问题：1、什么是等式？等式的基本性质是什么？ 2、什么是不等式？ 3、用“＞”或“＜”填空． （1）3<7 （2）2<3 （3） 2<3 3+1 7+1 2×53×52×( -1) 3×(-1) 3-5 7-5 2÷23÷22×(- 5) 3×(-5) 3+a 7+a 2÷(-2) 3÷(-2) （教学说明：复习等式的基本性质后学生自然会联想到，不等式是否有与等式相类似的性质，从而引起学生的探究欲望.接着问题3为学生探究不等式的性质提供了载体，通过观察，寻找规律，得出不等式的性质.） 二、师生互动，探索新知 1、不等式的基本性质 问题1：观察思考问题3，猜想出不等式的性质 先让学生独立思考，后合作交流，通过充分讨论，类比等式性质得出不等式的性质. 观察时，引导学生注意不等号的方向，通过（1）题学生容易得出不等式性质1： 不等式基本性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 比较（2）、（3）题，注意观察不等号方向，并思考不等号方向的改变与什么有关？由学生概括总结，教师补充完善得出： 不等式基本性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 不等式基本性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．鲁教版七年级数学下册 不等式的基本性质教案
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