概率论与随机过程课程论文
《概率论与随机过程》课程论文
浅析二阶模糊随机过程均方Henstock —Stieltjes 积分
摘要:定义了二阶模糊随机过程均方Henstock —Stiehjes 积分，并探究了其部分性质。同时对二阶二阶模糊随机过程均方Henstock —Stiehjes 积分的一个收敛定理和可导性做了简单研究。
关键词：二阶模糊随机过程；Henstock 积分；均方Henstock 积分
1 引言
在现实生活中存在大量既具有随机性又具有模糊性的不确定性现象，这些现象被称为模糊随机现象．许多人们感兴趣的模糊随机现象往往是通过积分、导数和微积分方程等数学形式出现的，这就为研究描述模糊随机现象的模糊随机过程以及模糊随机微积分提供了实际背景．文献[1]比较系统地研究了一类模糊随机过程的均方微积分．如同实值过程的均方微积分，模糊随机过程的均方微积分重要性在于简单实用，不涉及很深的随机分析理论．众所周知，经典牛顿积分与黎曼积分互不包含，虽然勒贝格积分包含了黎曼积分，但也不包含牛顿积分。Henstock 积分不仅包含牛顿积分、黎曼积分和勒贝格积分，而且不需要测度理论支持，便于应用科学工作者和工程研究人员很快地掌握并应用到他们的实际研究中去．本文讨论一类模糊随机过程的均方Henstock 积分及其基本性质，使文献[1]中的结果为本文的特例，推广了其结果．文中第一部分对实值Henstock 积分、模糊数空间以及关于模糊随机变量的L 2空间等预备知识作了介绍，第二部分给出了二阶模糊随机过程均方Henstock 积分的定义并对其基本性质等进行了讨论，第三部分则对二阶模糊随机过程均方Henstock 积分的收敛定理和可导性做了简单讨论。
2 预备知识
定义1(参阅文献[1]) 设)0x d(>是区间[a,b]上一实值，[a,b]的一个划分
1{[,];,1,2,,}i i i P x x i n -=x =L 称为()x d 细分（细的划分，简称细分），如果下列条件成立：
（1）012n a x x x x b =<<<<=L ； （2）1[,]()i i i i i i i x x i n -x 翁
x -d(x ),x +d(x ),=1,2,,L ，其中i x 称为分点，i x 称为1[,]i i x x -的
关联点。
引理1 （1）给定[a,b]上函数)0x d(>，那么[a,b]的()x d 细分P 总是存在的。 （2）设120()()x x （3）设()x d 是定义在[a,c]上的正实值函数，()x d 是定义在[c,b]上的正实值函数，令 1122min{(),},[,)()min{(),()},min{(),},(,] x c x x a c x x x x c x x c x c b ìd - ??? ?d =d d =í???d - ?? 对于任意()x d 细分，如果c 不是关联点，那么c 总是一个分点。 证明：（1）的证明见文献[2]的引理2.1. （2）设[a,b]上任意1()x d 细分1{[,];,1,2,,}i i i D t t i n -=x =L ，则对1[,]i i t t -x 有，11212()(),()()i i i i i i i i t t -x - 122[,]((),())i i i i i i i t t -x 翁x -d x x +d x ， 因此1()x d 细分也是2()x d 细分。 （3）设1{[,];,1,2,,}i i i D t t i n -=x =L 是[a,b]的任意()x d 细分，设c 不是一个分点，则必存在D 中某个区间包含c ，不妨设1[,]i i c t t -?。C 不是关联点，所以i c 箈。若i c >x ，则i i i t c -x >-x ，另由()x d 定义知此时1()min{(),}i i i c d x =d x -x ，又由()i i i t -x 是分点。 定义2 （参阅文献[2]）实值函数()f x 称为[a,b]上Henstock 可积的（简称H 可积），如果存在常数A ，对每个e>0，都存在一个函数()0x d >，对[a,b]的任意()x d 细分1{[,];,1,2,,}i i i P x x i n -=x =L ，有 11 ()()n i i i i f x x A -=x -- 。 注：如果上述定义中的()x d 为常值函数，那么H 积分即为黎曼积分。由牛顿积分的定义，易证牛顿可积的实值函数也是H 可积的（见文献[3]中定理2）。由文献[2]中定理5.7知如果实值函数()f x 在[a,b]上勒贝格可积，则其在[a,b]上H 可积。 模糊数空间{:[0,1]|,1~4}d d E u R u = 满足下面的（）（）：（1）u 是正规模糊集；（2）u 是模糊凸的；（3）u 是上半连续的；（4）0[]{|() 0}d u x R u x =?是紧集。设,d u v E ?， u 的r 一水平集定义为[]{|()}(01)r d u x R u x r r =纬< ，在d E 上定义距离 01 (,)sup ([],[])r r r D u v d u v ＃=。(,)d E D 是一完备度量空间。 设(,,)A P W 是一完备的概率空间。Borel 可测函数:(,)(,)d X A E D W 称为模糊随机变 量（简记为f.r.v.）。如果E x < ，则X 的期望值EX 存在，且[][]r r EX E X =对所有[0,1]r ?成立。 设2 2{|...}L X X f r v E x =< 是一且。对任意2,X Y L ?，定义2L 上的距离如下： 1 22(,)((,))X Y ED X Y r =。对任何2,,,X Y Z L R 蝜 ，有 (,)(,),X Z Y Z X Y r ++=r (,)(,),X Y X Y r l l =l r (,)(,)(,).X Y X Z Y Z r +r 定理1 设(1)()n n X 3是L 2中序列，则下列条件等价： （1）2 X L ?，并且2 L n X X ?，即(,)0n X X r ； （2）(1)()n n X 3是L 2中 一个柯西序列，即当,m n 时，有(,)0m n X X r ； （3）2 (,1)n X n 3一致可积且(,)0P n D X X ?，即X n 以概率收敛到f.r.v.X. 由定理1可见，2(,)L r 是一完备的距离空间。 2 二阶模糊随机过程均方Henstock —Stiehjes 积分的定义及部分 性质 以下给出二阶模糊随机过程均方Henstock —Stiehjes 积分的定义． 定义3 设()X t 是定义在[a,b]上的二阶模糊随机过程，()g t 是[a,b]上的实值函数，若对0,()0t "e>$d >尺度函数，使得对[a,b]上的任意d 精细划分1{[,];,1,2,,}i i i T t t i n -=x =L ， 有 (,()())b T a S X t dg t r 其中11 ()[()()]n T i i i i S X g t g t --=x -? ，则称()X t 在[a,b]上关于()g t 均方Henstock-Stieltjes 可 积。 均方Henstock 积分的性质： 定理2 ()X t 是均方H 可积的，则积分值是唯一的。 证明：设有两个积分值00 ,X X ￠，由定义知，任意给定的e>0，存在1()0x d >和2()0x d >，对任意1()x d 细分1D 和2()x d 细分2D ，有0(,)2n S X e r <和0 (,)2 m S X e ￠r <，其中n m S S 和分别细分1D 和细分2D 上的黎曼和。 令12()min{(),()}x x x d =d d ，对任意()x d 细分D ，由引理1知，D 既是1()x d 细分也是2()x d 细分。因此对细分D 的黎曼和k S ，有 0000(,)(,)(,)k k X X X S S X ⅱr +r 由e 的任意性可知积分值唯一。 定理3 ()X t 是均方H 可积德当且仅当对任意e>0，存在实值函数()0x d >，对任意()x d 细分11{[,];,1,2,,}i i i P x x i n -=x =L 和21{[,];,1,2,,}i i i P x x i m -ⅱ =x =L ，有(,)n m S S r 1 ()(),()().n m n i i i m i i i i i S X x x S X x x --==ⅱ = x -= x -邋 证明：()T设0()b a X X t dt = ò，所以有00(,)(,)(,)n m n m S S S X S X r +r ()ü取一列单调下降到0的序列n e ，对每个n e ，存在()0n x d >，使对任意两个()n x d 细分1D ，2D 有12(,)n r S S 也是()n x d 细分，因而有(,)n m n S S r n e e < ，同时有0(,)2n S X e r <成立，对此()n x d 的任意细分P ， 有00(,)(,)(,)n m n m S S S X S X r +r 定理4 如果()X t 在区间[a,c]，[c,b]上都是均方H 可积的()a c b <<，则()X t 在[a,b]上是均方H 可积的，并且有()()()b c b a a b X t dt X t dt X t dt = + 蝌 。 证明：设12(),()c b a c I X t dt I X t dt = =蝌。 ()X t 在[a,c]与[c,b]上均方H 可积，因而，对给定的e>0，存在1()0x d >和2()0x d >，对[a,c] 的任意1()x d 细分11{[,];,1,2,,},i i i D t t i n -=x =L 和[c,b]的任意2()x d 细分21{[,];,1,2,,},i i i D t t i m -ⅱ =x =L 有 111(()(),)2n i i i i X t t I -=e r x -< ?， 121 (()(),)2 m i i i i X t t I -=e ⅱ r x -< ?。 令()x d 为式（1）所定义，则对[a,b]的任意()x d 细分，有引理1的（3），可设c 总是一个分点。（如果c 是某个关联点，可将c 增加为分点，此时，()x d 细分的黎曼和保持不变。）又由引理1的（2）知[a,c]上()x d 细分也是1()x d 细分，[c,b]上()x d 细分也是2()x d 细分。对[a,b]的任意()x d 细分1{[,];,1,2,,}i i i D x x i k -=x =L ，其上黎曼和k S 可表示为两部分，不妨设12k S =S +S ，其中1S 表示[a,c]上的和，2S 表示[c,b]上的和。因此， 1212121122(,)(,)(,)(,)k S I I I I I I r +=r S +S + S +r S 即()X t 是均方H 可积的，且有()()()b c b a a b X t dt X t dt X t dt = + 蝌 。 4 二阶模糊随机过程均方Henstock —Stiehjes 积分的收敛定理及可导性 定理5 设()g t 是[a,b]上的增实函数，二阶模糊随机过程序列{()}n X t 关于()g t 在[a,b]上均方Henstock-Stieltjes 可积，且()n X t 一致收敛于二阶模糊随机过程()X t ，则()X t 在[a,b]上关于()g t 是均方Henstock-Stieltjes 可积的，并且 ()lim ()()()()b b n a a n X t dg t X t dg t r = 蝌 证明：()n X t 一致收敛于()X t ，对任意0e >，当n N >时，有 [,] sup ((),())[()()]1 n t a b X t X t g b g a ?e r < -+ 由于()n X t 关于()g t 在[a,b]上均方Henstock-Stieltjes 可积，则对e 存在尺度函数()0n t d >，使得 当n n T T ⅱ 和是[a,b]的任意n d 精细划分时，有(,)n n T T S S ⅱ r ()[()()]n k n i i i T i S X g t g t ￠--ⅱ =x -? 。 现令()()n t t d =d ，使得对区间[a,b]上的任意d 精细划分12T T 和，有和式 111 ()[()()]k T i i i i S X g t g t -=ⅱ = x -? ，211 ()[()()]l T i i i i S X g t g t -=ⅱⅱⅱ= x -? ，则 12111 1111111 1(,)(()[()()], ()[()()])(()[()()], ()[()()])(()[()()],()[()(k l T T i i i i i i i i k k i i i n i i i i i l l i i i n i i i i i S S X g t g t X g t g t X g t g t X g t g t X g t g t X g t g t --==--==--==ⅱⅱⅱⅱ r =r x -x -ⅱⅱⅱ x -x -+ ⅱⅱⅱⅱⅱⅱr x -x -邋邋邋11111 [,] )])(()[()()], ()[()()]) 22sup ((),())[()()][()()][()()]1 k l i i i n i i i i i n t a b X g t g t X g t g t X t X t g b g a g b g a g b g a --==?+ⅱⅱⅱⅱ r x -x -e -+e <3e -+邋g g 因此()X t 在[a,b]上关于()g t 是均方Henstock-Stieltjes 可积的。 [,] (()(), ()())((),())()sup ((),())() [()()][()()]1 b b b b n n n a a a a t a b X t dg t X t dg t X t X t dg t X t X t dg t g b g a g b g a ?r e <- 即 ()lim ()()()()b b n a a n X t dg t X t dg t r =蝌 定理6 设二阶模糊随机过程()X t 在[a,b]上连续，()t a 是[a,b]上的实值增函数， ()()()x a G x X t d t = a ò为()X t 在[a,b]上均方HS 积分的原函数，则()G t 在[a,b]上均方a 可导， 且对任意的[,]t a b ?，有()()G t X t a ￠=。 证明：由二阶模糊随机过程()X t 在[a,b]上连续，则()X t 在[a,b]上关于()t a 均方HS 可积，对任意给定的0[,]t a b ?，有0((),())X t X t r 关于()t a 均方RS 可积，对任何区间[r,s]满足00000[,] ((),())t r s t t t t 翁-d +d ，有 0000()()1( ,())(()(),()[()()]) ()()()() 1 (()(),()())()()1 ()((),())(). ()() s s r r s r G s G r X t G s G r X t s r s r s r X t d t X t d t s r RS X t X t d t s r -r =r -a -a a -a a -a =r a a a -a a a -a 蝌ò 由二阶模糊随机过程()X t 在[a,b]上连续，0(()(),()G s G r X t r - 参 考 文 献 [1] FENG YH.Mean —square Integral and Differential of Fuzzy Stochastic Process[J].Fuzzy Sets and Systems,1999.102(2):271—280. [2]李静,冯玉湖.模糊随机过程的均方Henstock 积分[J].东华大学学报:自然科学版,2007,33(5):590-594. 自动控制 摘要：综述了自动控制理论的发展情况，指出自动控制理论所经历的三个发展阶段，即经典控制理论、现代控制理论和智能控制理论。最后指出，各种控制理论的复合能够取长补短，是控制理论的发展方向。 自动控制理论是自动控制科学的核心。自动控制理论自创立至今已经过了三代的发展：第一代为20世纪初开始形成并于50年代趋于成熟的经典反馈控制理论；第二代为50、60年代在线性代数的数学基础上发展起来的现代控制理论；第三代为60年代中期即已萌芽，在发展过程中综合了人工智能、自动控制、运筹学、信息论等多学科的最新成果并在此基础上形成的智能控制理论。经典控制理论(本质上是频域方法)和现代控制理论(本质上是时域方法)都是建立在控制对象精确模型上的控制理论，而实际上的工业生产系统中的控制对象和过程大多具有非线性、时变性、变结构、不确定性、多层次、多因素等特点，难以建立精确的数学模型。因此，自动控制专家和学者希望能从要解决问题领域的知识出发，利用熟练操作者的丰富经验、思维和判断能力，来实现对上述复杂系统的控制，这就是基于知识的不依赖于精确的数学模型的智能控制。本文将对经典控制理论、现代控制理论和智能控制理论的发展情况及基本内容进行介绍。 1自动控制理论发展概述 自动控制是指使用自动化仪器仪表或自动控制装置代替人 自动地对仪器设备或工业生产过程进行控制，使之达到预期的状态或性能指标。对传统的工业生产过程采用自动控制技术，可以有效提高产品的质量和企业的经济效益。对一些恶劣环境下的控制操作，自动控制显得尤其重要。 自动控制理论是和人类社会发展密切联系的一门学科，是自动控制科学的核心。自从19世纪M ax we ll对具有调速器的蒸汽发动机系统进行线性常微分方程描述及稳定性分析以来，经过20世纪初Ny qu i s t，B od e，Ha rr is，Ev ans，W ie nn er，Ni cho l s等人的杰出贡献，终于形成了经典反馈控制理论基础，并于50年代趋于成熟。经典控制理论的特点是以传递函数为数学工具，采用频域方法，主要研究“单输入—单输出”线性定常控制系统的分析和设计，但它存在着一定的局限性，即对“多输入—多输出”系统不宜用经典控制理论解决，特别是对非线性、时变系统更 北邮人： 一、填空题 1. 设事件,A B 满足()0.7,()0.3P A P AB ==, 则()P AB = 2. 袋中有10个球，其中1个红球，10个人不放回地依次抽取，每次抽取一个，问最后一个人取到红球的概率是 3. 设平面区域D 由1,0,x y y x ===围成，平面区域1D 由21,0,x y y x ===围成。现向D 内依次随机地投掷质点，问第3次投掷的质点首次落在1D 内的概率是 4. 设随机变量(1,2),(2,4)X N Y N 且相互独立，求23X Y +-的概率密度函数()f x = 5. 设平稳过程{(),0}X t t ≤≤+∞的功率谱密度为28()+14X S ωω= +，则其自相关函数为 6.设一灯管的使用寿命X 服从均值为1/λ的指数分布，现已知该灯管用了10小时还没有坏，该灯管恰好还能再用10小时的概率为 7.设电话总机在(0,]t 内接受到电话呼叫次数()N t 是强度（每分钟）为0λ>的泊松过程，(0)0N =， 则2分钟收到3次呼叫的概率 8.设随机过程(),0X t tY t =≥，其中Y 服从正态分布，即(1,4)Y N ，求103()E tX t dt ??= ??? ? 二、设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 , 0(,)0, 其他 y e x y f x y -?<<=?? (1) 求边缘概率密度(),()X Y f x f y ，(2) 求条件概率密度|(|)Y X f y x ， |(|)X Y f x y ，(3)求条件概率(1|1),{1}P Y X P X Y ≤≤+<. 三、在某交通路口设置了一个车辆计数器，记录南行北行的车辆总数。设X(t)和Y(t)分别表示在[0,t]内南行和北行的车辆数，它们是强度分别为1λ和2λ的possion 过程，且相互独立。如果在t(>0)时记录的车辆总 数为n ，求其中南行车辆有k(0 湖北民族学院 姓名 XX 班级 XX 学号 XXXXXXXX 摘要 最优控制，又称无穷维最优化或动态最优化，是现代控制理论的最基本，最核心的部分。它所研究的中心问题是：如何根据受控系统的动态特性，去选择控制规律，才能使得系统按照一定的技术要求进行运转，并使得描述系统性能或品质的某个“指标”在一定的意义下达到最优值。最优控制问题有四个关键点：受控对象为动态系统；初始与终端条件（时间和状态）；性能指标以及容许控制。 一个典型的最优控制问题描述如下：被控系统的状态方程和初始条件给定，同时给定目标函数。然后寻找一个可行的控制方法使系统从输出状态过渡到目标状态，并达到最优的性能指标。系统最优性能指标和品质在特定条件下的最优值是以泛函极值的形式来表示。因此求解最优控制问题归结为求具有约束条件的泛函极值问题，属于变分学范畴。变分法、最大值原理（最小值原理）和动态规划是最优控制理论的基本内容和常用方法。庞特里亚金极大值原理、贝尔曼动态规划以及卡尔曼线性二次型最优控制是在约束条件下获得最优解的三个强有力的工具，应用于大部分最优控制问题。尤其是线性二次型最优控制，因为其在数学上和工程上实现简单，故其有很大的工程实用价值。 关键词：最优控制；控制规律；最优性能指标；线性二次型 Abstract The optimal control, also called dynamic optimization or infinite dimension, optimization of modern control theory, the most basic part of the core. It is the center of the research question: how to control system based on the dynamic characteristics, to choose, can control system according to certain technical requirements, and makes the operation performance of the system or the quality of describing a "index" in certain significance to achieve optimal value. The optimal control problem has four points for dynamic systems, controlled, The initial and terminal conditions (state) and, Performance index and allow control. A typical of optimal control problem is described as follows: the state equation and initial conditions are given, and given the objective function. Then a feasible method for the control system of the output state transition to the target state and optimum performance. The optimal performance index and quality in the specific conditions of the optimal value is functional form. Therefore solution of optimal control problem is due to the constraint condition of functional, belongs to the category of variational learning. The variational method, the maximum principle (minimum principle) and dynamic planning is the optimal control theory, the basic contents and methods. The Pontryagin maximum principle, Behrman dynamic programming and Kaman linear quadratic optimal control is obtained in the constraint condition of the optimal solution of the three powerful tools, used in the most optimal control problem. Especially the linear quadratic optimal control, because its in mathematics and engineering implementation is simple, so it has great practical value. Key words: The optimal control, Control rule, optimal performance indicators, The linear quadratic 自动控制原理的历史与发展 摘要 在科技高速发展的今天，自动控制技术在工农业生产、国防和科学技术领域中，都有着十分重要的作用。在短短一百年中，自动控制理论得到了令人吃惊的发展，对人类社会产生了巨大的影响。从瓦特的蒸汽机、阿波罗的登月到海湾战争，无处不显示着控制技术的威力。随着社会生产和科学技术发展，自动控制技术在不断进步、不断完善起来。控制理论目前还在向更纵深、更广阔的领域发展，无论在数学工具、理论基础、还是在研究方法上都产生了实质性的飞跃，在信息与控制学科研究中注入了蓬勃的生命力，启发并扩展了人的思维方式，引导人们去探讨自然界更为深刻的运动机理。自动控制理论的不断发展，必将会给提高社会生产力，提高人民的生活水平，促进人类的发展。 [关键字]：自动控制理论发展现状未来展望 1.自动控制理论简介 1.1控制思想起源的意义 控制思想与技术的存在至少已有数千年的历史了。“控制”这一概念本身即反映了人们对征服自然与外在的渴望，控制理论与技术也自然而然地在人们认识自然与改造自然的历史中发展起来。 1.2自动控制的定义 自动控制是指应用自动化仪器仪表或自动控制装置代替人自动地对仪器设备或工生产过程进行控制，使之达到预期的状态或性能指标。对传统的工业生产过程采用动控制技术，可以有效提高产品的质量和企业的经济效益。对一些恶劣环境下的控操作，自动控制显得尤其重要。 1.3自动控制理论的基本概念 在已知控制系统结构和参数的基础上，求取系统的各项性能指标，兵找出这些性能指标与系统参数间的关系就是对自动控制系统的分析，而在给定对象特性的基础上，按照控制系统应具备的性能指标要求，寻求能够全面满足这些性能指标要求的控制方案并合理确定控制器的参数，则是对自动控制系统的分析和设计。 1.4自动控制的历史 利用反馈来控制系统有着悠久的历史。最早的反馈控制出现在公元前330年的古希腊，运用在一种改进的浮球控制器装置上。现代欧洲的第一个反馈系统出现在15世纪荷兰人发明的温度控制器中。18世纪，瓦特的蒸汽机离心调速器被公认是第一台应用在工业生产中的自动反馈控制器，这是将自动控制技术应用到工业中的最早代表。在十八世纪以前的整个时期，自动控制系统的发展仅仅是靠直觉和发明。为了提高控制系统精度，不得不减慢瞬变震荡的衰减，甚至导致系统的不稳定。因此，有必要发展一套自动控制的理论。后来逐渐有一些科学家总结了与控制理论结合的数学理论，而这套控制理论用用了控制器不同的等效模型。1932年奈奎斯特提出了研究控制系统的频率发。1948年伊文思提出了根轨迹法，这两大重大贡献，是自动控制理论和控制技术发展史上的里程碑。建立在频率法和根轨迹法基础上的控制理论成为经典控制理论。 第二次世界大战前，美国和西欧的自动控制理论，在发展方式上与俄国和东欧有很大差别。在美国，应用反馈的主要促进因素是电话系统的发展。与此相反，前苏联接触的数学家和机械学家在控制理论领域占主流。因此，俄国的理论更倾向与运用不同方程的时域公式。 第二次世界大战是自动控制理论的理论和实践得到巨大发展的时期。因为当时，必须设计和制造自动领航系统、火炮位置系统、雷达天线控制系统和其他建立在反馈控制方法基础上的军事系统。这些军事系统的复杂性和优良的性能都要求必须发展不同的控制技术，提高控制系统的性能，以及发展新的理论和方法等。 20世纪40年代后，越来越多的数学和分析方法得到应用，控制工程才真正成为一门独立的工程学科。 第二章 概率论与随机过程 2 2-16 图P2-16中的电路输入为随机过程 X(t)，且E[X(t)]=O, xx ()= (),即X(t)为白噪 过程。 (a )试求谱密度 yy ( f )。 2 (b )试求 yy ( )和 E[Y (t)]。 ----kW 1 R X(t) 图 P2-16 2 (b) E [y (t)]= yy (0) 解：由功率密度谱的定义知 C 二 Y(t) xx xx ( )e j2f d ()e j2f d 又系统函数 H(f)=^ X(f) 1 j2 fc 1 j 2 fc 1 __ j2 fc yy (f) xx (f)H(f)2 (2 fcR)2 yy () yy (f)e j2 df 2 1 R 2f^e j2f df 莎汀 2 ?- E [y (t)]= yy (0) 2Rc 2-20 一离散时间随机过程的自相关序列函数是 (k) (1/2)W ，试求其功率密度谱。 (f)= k (k)e j2 fk 2-24 系统的噪声等效带宽定义为 B eq 认 2 H(f) df 1/知 o XJ) ???命题得证。 2-23 试证明函数 在区间［ (f) 1 (2) k 2 I k l e 2 j fk / 1 2 j f 、 2 1e j2f 2 1 !e j2f 2 1e j2f 2 1 1 e j2 2 sin[2 W(t f k (t)= ］上为正交的，即 G e o 2 1 1 le j2f 2 即为所求。 2W )] k 2 W(t ) 2W ,k = o , 所以，抽样定理的重建公式可以看作带限信号 s(t)的级数展开式，其中权值为 s(t)的样值, 且｛ f k (t )｝是级数展开式中的正交函数集。 证明： 由题得 k sin[2 W(t -)] f k (t)f j (t)dt = ---------- 2 W(t —) 2W sin[2 W(t j )] 込dt 2 W(t j ) 1 cos[( j k) 2 cos[4 wt (k j) ] dt (2 wt k)(2 wt j) 概率统计系的发展与未来 何书元(编写) 2005年 概率统计系的前身是概率统计教研室。1956年初，我国第一个科学发展规划将概率统计列为数学研究中的重点发展方向之一。为落实这一规划，同时在苏联著名数学家柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）建议的基础上, 北京大学数学系成立了全国第一个概率统计教研室, 由许宝騄(1910-1970)教授任教研室主任。同年，根据教育部的安排，一些综合大学选派了进修教师和学生共50多人到北京大学，在许先生的主持下从事概率统计的学习和研究。同年秋，中国科学院的王寿仁、张里千先生、中山大学的郑曾同先生被邀请到北京大学讲授概率统计方面的课程。许先生亲自主持讨论班。这批学员是我国培养的第一批为数可观的概率统计人才，许多人日后成为我国概率统计界的学术骨干。到“文化革命”前，概率统计专业共培养了七届学生，约200人。这时的教学和科研同时在统计推断、试验设计、概率极限定理、马氏过程、多元分析等多方面开展，受到国际同行的好评。这时的毕业生也以基础深厚，学风严谨著称。 当时的概率统计在北京大学是一派兴旺，集中了大批优秀老师和学生，得到数学系领导的关心和大力支持。许先生更是带有一些神秘的英雄色彩(参考“道德文章垂范人间”的前言)。他像磁石一样把莘莘学子吸引到北京大学。大家都十分羡慕那些能得到许先生指导的同学。许先生亲自主持制定概率统计专门化学生的培养计划和教学大纲，指导了五届毕业论文。一些专门化课程的教材也是根据许先生的讲稿整理而成。他领导的讨论班不仅有北大的教师学生参加，还有中科院数学研究所的同志参加，内容涉及到概率论和数理统计的多个方面。在这段时间中，先后有波兰的菲茨(Fisz)教授来北大讲授统计分析，乌尔巴尼克（Urbanike）教授讲授广义随机过程，邓肯(E. Dynkin)教授讲授马氏过程。许先生与这些专家共同制定讲学计划，帮助年轻人消化整理专家们的讲学内容，使北大成为大规模培养概率统计人才的第一基地。 许先生有很高的学术成就，在国际上享有盛誉。他对待教学工作极为认真，讲课条理清晰，作风严谨，十分注意鼓励和培养年轻人。他早年的学生就曾经写到：“许先生坚持简洁，对事物深刻的了解，不畏避困难，凡事追求高标准，这些优秀的品质深深地吸引着我们，使我们成为他的学生。”许先生身体一直不好，加上“文革”期间受到不公正的待遇，终于1970年冬去世。当时由于信息不畅，加上概率统计教研室和数学系的许多老师还在江西鲤鱼洲劳动，使得许先生的过早 13/2012 59 现代控制理论概述及实际应用意义 王 凡 王思文 郑卫刚 武汉理工大学能源与动力工程学院 【摘 要】控制理论作为一门科学技术，已经广泛地运用于我们社会生活的方方面面。本文介绍了现代控制理论的产生、发展、内容、研究 方法和应用以及经典控制理论与现代控制理论的差异，并介绍现代控制理论的应用。提出了学习现代控制理论的重要意义。【关键词】现代控制理论；差异；应用；意义 1.引言 控制理论作为一门科学技术，已经广泛地运用于我们社会生活的方方面面。例如，我们的教学也使用了控制理论的方法。老师在课堂上讲课，大家在课堂上听，本身可看作一个开环函数；而同学们课下做作业，再通过老师的批改，进而改进和提高老师的授课内容和方法，这就形成了一个闭环控制。像这样的例子很多，都是控制理论在生活中的应用。现代控制理论如此广泛，因此学好现代控制理论至关重要。 2.现代控制理论的产生与发展现代控制理论的产生和发展经过了很长的时期。从现代控制理论的发展历程可以看出，它的发展过程反映了人类由机械化时代进入电气化时代，并走向自动化、信息化、智能化时代。其产生和发展要分为以下几个阶段的发展。 2.1 现代控制理论的产生在二十世纪五十年代末开始，随着计算机的飞速发展，推动了核能技术、空间技术的发展，从而对出现的多输入多输出系统、非线性系统和时变系统的分析与设计问题的解决。 科学技术的发展不仅需要迅速 地发展控制理论，而且也给现代控制理论的发展准备了两个重要的条件—现代数学和数字计算机。现代数学，例如泛函分析、现代代数等，为现代控制理论提供了多种多样的分析工具；而数字计算机为现代控制理论发展提供了应用的平台。 2.2 现代控制理论的发展五十年代后期，贝尔曼（Bellman）等人提出了状态分析法；在1957年提出了动态规则；1959年卡尔曼（Kalman）和布西创建了卡尔曼滤波理论；1960年在控制系统的研究中成功地应用了状态空间法，并提出了可控性和可观测性的新概念；1961年庞特里亚金（俄国人）提出了极小（大）值原理；罗森布洛克（H.H.Rosenbrock）、麦克法轮（G.J.MacFarlane）和欧文斯（D.H.Owens）研究了使用于计算机辅助控制系统设计的现代频域法理论，将经典控制理论传递函数的概念推广到多变量系统，并探讨了传递函数矩阵与状态方程之间的等价转换关系，为进一步建立统一的线性系统理论奠定了基础。 20世纪70年代奥斯特隆姆（瑞典）和朗道（法国，https://www.wendangku.net/doc/8c15604195.html,ndau）在自适应控制理论和应用方面作出了贡献。 与此同时，关于系统辨识、最优控制、离散时间系统和自适应控制的发展大大丰富了现代控制理论的内容。 3.现代控制理论的内容及研究方法 现代控制理论的内容主要有为系统辨识；最优控制问题；自适应控制问题；线性系统基本理论；最佳滤波或称最佳估计。 （1）系统辨识 系统辨识是建立系统动态模型的方法。根据系统的输入输出的试验数据，从一类给定的模型中确定一个被研究系统本质特征等价的模型，并确定其模型的结构和参数。 （2）最优控制问题 在给定约束条件和性能指标下，寻找使系统性能指标最佳的控制规律。主要方法有变分法、极大值原理、动态规划等极大值原理。现代控制理论的核心即：使系统的性能指标达到最优（最小或最大）某一性能指标最优：如时间最短或燃料消耗最小等。 （3）自适应控制问题 在控制系统中，控制器能自动适应内外部参数、外部环境变化，自动调整控制作用，使系统达到一定意义下的最优。模型参考自适应控制 《概率论与随机过程》第一章习题 1. 写出下列随机试验的样本空间。 （1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录 抽取的次数。 （4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选 举的结果。 （6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 （7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 （8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次 品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察 装球的情况。 （10） 测量一汽车通过给定点的速度。 （11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1） A 发生，B 与C 不发生。 （2） A 与B 都发生，而C 不发生。 （3） A ，B ，C 都发生。 （4） A ，B ，C 中至少有一个发生。 （5） A ，B ，C 都不发生。 （6） A ，B ，C 中至多于一个发生。 （7） A ，B ，C 中至多于二个发生。 （8） A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设{}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） BC A 。 （5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，??????≤<=121x x A ，? ?????<≤=234 1x x B ，具体写出下列各式。 （1）B A ?。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） B A 。 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，81)(=AC P ，求A ， B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算）？ （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少？ 第一章经典控制理论和现代控制理论 本学期学习了现代控制理论课程的主要内容，现代控制理论建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分。在现代控制理论中，对控制系统的分析和设计主要是通过对系统的状态变量的描述来进行的，基本的方法是时间域方法。现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统。它所采用的方法和算法也更适合于在数字计算机上进行。现代控制理论还为设计和构造具有指定的性能指标的最优控制系统提供了可能性。现代控制理论的名称是在1960年以后开始出现的，用以区别当时已经相当成熟并在后来被称为经典控制理论的那些方法。现代控制理论已在航空航天技术、军事技术、通信系统、生产过程等方面得到广泛的应用。现代控制理论的某些概念和方法，还被应用于人口控制、交通管理、生态系统、经济系统等的研究中。 以下是经典控制理论和现代控制理论的比较： 1、经典控制理论： (1)理论基础：Evens的根轨迹，Nyquist稳定判据。 (2)研究对象：线性定常SISO系统分析与设计。 (3)分析问题：稳、准、快 (4)采用方法：是以频率域中传递函数为基础的外部描述方法。 (5)数学描述：高阶微分方程、传递函数、频率特性;方块图、信号流图、频率特性曲线。 (6)研究方法：时域法、根轨迹法、频率法。 2、现代控制理论： (1)理论基础：李雅普诺夫稳定性理论，Bellman动态规划，Понтрягин极值原理，Kalman 滤波。 (2)研究对象：MIMO系统分析与设计（复杂系统：多变量、时变、非线性） (3)分析问题：稳、准、快 (4)设计（综合）问题： 1)采用方法：是以时域中（状态变量）描述系统内部特征的状态空间方法为基础的内部描述方法。 2)数学描述：状态方程及输出方程、传递函数阵、频率特性；状态图、信号流图、频率特性曲线。 3)研究方法：状态空间法（时域法）、频率法。多采用计算机软硬件教学辅助设计——MATLAB软件 (5)特点： 1）系统：MIMO、非线性、时变。 2）方法将矩阵理论和方法应用到控制理论中，不仅能描述系统的输入与输出之间的关系，而且在任何初始条件下，都能揭示系统内部的行为。 3）一个复杂系统可能有多个输入和多个输出，并且以某种方式相互关联或耦合。为了分析这样的系统，必须简化其数学表达式，转而借助于计算机来进行各种大量而乏味的分析与计算。从这个观点来看，状态空间法对于系统分析是最适宜的。 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ； 2015级硕士期末论文《现代控制理论综述》 课程现代控制理论姓名 学号 专业 2016 年1 月 4 日 经典控制理论与现代控制理论的差异 现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分。在现代控制理论中，对控制系统的分析和设计主要是通过对系统的状态变量的描述来进行的，基本的方法是时间域方法。现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统。它所采用的方法和算法也更适合于在数字计算机上进行。现代控制理论还为设计和构造具有指定的性能指标的最优控制系统提供了可能性。现代控制理论的名称是在1960年以后开始出现的，用以区别当时已经相当成熟并在后来被称为经典控制理论的那些方法。现代控制理论已在航空航天技术、军事技术、通信系统、生产过程等方面得到广泛的应用。现代控制理论的某些概念和方法，还被应用于人口控制、交通管理、生态系统、经济系统等的研究中。 现代控制理论是在20世纪50年代中期迅速兴起的空间技术的推动下发展起来的。空间技术的发展迫切要求建立新的控制原理，以解决诸如把宇宙火箭和人造卫星用最少燃料或最短时间准确地发射到预定轨道一类的控制问题。这类控 制问题十分复杂，采用经典控制理论难以解决。1958年，苏联科学家Л.С.庞特里亚金提出了名为极大值原理的综合控制系统的新方法。在这之前，美国学者R.贝尔曼于1954年创立了动态规划，并在1956年应用于控制过程。他们的研究成果解决了空间技术中出现的复杂控制问题，并开拓了控制理论中最优控制理论这一新的领域。1960～1961年，美国学者R.E.卡尔曼和R.S.布什建立了卡尔曼-布什滤波理论，因而有可能有效地考虑控制问题中所存在的随机噪声的影响，把控制理论的研究范围扩大，包括了更为复杂的控制问题。几乎在同一时期内，贝尔曼、卡尔曼等人把状态空间法系统地引入控制理论中。状态空间法对揭示和认识控制系统的许多重要特性具有关键的作用。其中能控性和能观测性尤为重要，成为控制理论两个最基本的概念。到60年代初，一套以状态空间法、极大值原理、动态规划、卡尔曼-布什滤波为基础的分析和设计控制系统的新的原理和方法已经确立，这标志着现代控制理论的形成。 现代控制理论所包含的学科内容十分广泛，主要的方面有：线性系统理论、非线性系统理论、最优控制理论、随机控制理论和适应控制理论。 线性系统理论是现代控制理论中最为基本和比较成熟的一个分支，着重于研究线性系统中状态的控制和观测问题，其基本的分析和综合方法是状态空间法。按所采用的数学工具，线性系统理论通常分成为三个学派：基于几何概念和方法的几何理论，代表人物是W.M.旺纳姆;基于抽象代数方法的代数理论，代表人物是R.E.卡尔曼；基于复变量方法的频域理论，代表人物是H.H.罗森布罗克。 非线性系统理论的分析和综合理论尚不完善。研究领域主要还限于系统的运动稳定性、双线性系统的控制和观测问题、非线性反馈问题等。更一般的非线性系统理论还有待建立。从70年代中期以来，由微分几何理论得出的某些方法对 自控课程设计课程设计(论文) 设计（论文）题目单位反馈系统中传递函数的研究 学院名称Z Z Z Z学院 专业名称Z Z Z Z Z 学生姓名Z Z Z 学生学号Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 任课教师Z Z Z Z Z 设计（论文）成绩 单位反馈系统中传递函数的研究 一、设计题目 设单位反馈系统被控对象的传递函数为 ) 2)(1()(0 0++= s s s K s G （ksm7） 1、画出未校正系统的根轨迹图，分析系统是否稳定。 2、对系统进行串联校正，要求校正后的系统满足指标： （1）在单位斜坡信号输入下，系统的速度误差系数=10。 （2）相角稳定裕度γ>45o , 幅值稳定裕度H>12。 （3）系统对阶跃响应的超调量Mp <25%,系统的调节时间Ts<15s 3、分别画出校正前，校正后和校正装置的幅频特性图。 4、给出校正装置的传递函数。计算校正后系统的截止频率Wc 和穿频率Wx 。 5、分别画出系统校正前、后的开环系统的奈奎斯特图，并进行分析。 6、在SIMULINK 中建立系统的仿真模型，在前向通道中分别接入饱和非线性环节和回环非线性环节，观察分析非线性环节对系统性能的影响。 7、应用所学的知识分析校正器对系统性能的影响（自由发挥）。 二、设计方法 1、未校正系统的根轨迹图分析 根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从0变为无穷时，闭环系统特征方程式的根在s 平面上变化的轨迹。 1）、确定根轨迹起点和终点。 根轨迹起于开环极点，终于开环零点；本题中无零点，极点为：0、-1、-2 。故起于0、-1、-2，终于无穷处。 2）、确定分支数。 根轨迹分支数与开环有限零点数m 和有限极点数n 中大者相等，连续并且对称于实轴；本题中分支数为3条。 《概率论论文》 概率论论文（一）： 《概率论与数理统计》论文 摘要 概率论的发展具有很长的历史，多位数学家对概率论的构成做出了巨大贡献。纵观其发展史，在实际生活中具有很强的应用好处。正是有了前人的努力，才有了现代的概率论体系。本文将从概率论的研究好处、定义，以及发展历程进行叙述。 概率论的发展与起源 1.1概率论的定义 概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象 而言的，随机现象是指在基本条件不变的状况下，一系列或观察会得到不同结果的现象。每一次实验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，抛一枚硬币，可能会出现正面或者反面；在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或者一组基本事件统称为随机事件，或者简称为事件。事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下超多重复的随机实验却往往呈现出明显的数量规律。例如，连续多次抛一枚硬币，出现正面的频率随着抛次数的增加逐渐趋近于1/2；犹如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且测量值大多落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某种程度的对称性。大数定律和中心极限定律就是描述和论证这些规律的。在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变状况。例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而构成不规则的运动，即布朗运动，这就是随机过程。随机过程的统计特征、计算与随机过程有关的某些事件的概率，个性是研究 与随机过程样本轨道（及过程的一次实现）有关的问题，是现代概率论的主要课题。 在当代，随着概率论本身的发展和学科之间的交叉融合，囊括了概率理论和 统计理论两大部分的广义概率论已经成为一门应用十分广泛的学科，概率方法与统计方法逐渐渗透到了其它学科的研究工作当中。无论是在自然科学领域还是社会科学领域，各门学科中都能看到概率论的身影。概率论已经成为一种重要的工具，在社会发展中发挥着巨大的作用。 1.2课题背景及研究的目的和好处 现代社会步调快，信息更新快，信息量大，如何从中选取分析最有效的信息 成为发展的先决条件，故概率统计学有着不可比拟的重要地位与作用。无论是在日常生活中，还是商业经济、科学研究，小到日常下雨，大到卫星发射，各种事物发展中都有概率统计的影子。在这个科技革新的时代，概率统计学必将发挥前所未有的重大影响，所以研究概率学具有十分重要的好处。 《概率论与随机过程》第一章习题 1.写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。 （4）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （5）一个小组有A，B，C，D，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。 （6）甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 （7）一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 （8）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 （9）有A，B，C三只盒子，a，b，c三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。 （10）测量一汽车通过给定点的速度。 （11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 2.设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。 （1）A发生，B与C不发生。 （2）A与B都发生，而C不发生。 （3）A，B，C都发生。 （4）A，B，C中至少有一个发生。 （5）A，B，C都不发生。 （6）A，B，C中至多于一个发生。 （7）A，B，C中至多于二个发生。 （8）A，B，C中至少有二个发生。 3. 设{ }10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） BC A 。 （5）)(C B A ?。 4. 设{}20≤≤=x x S ，?????? ≤<=121x x A ，? ?????<≤=2341x x B ，具体写出下列各式。 （1）B A ?。 （2）B A ?。 （3）B A 。 （4） B A 。 5. 设A ，B ，C 是三事件，且41)()()(===C P B P A P ，0)()(==CB P AB P ，1)(=AC P ，求A ，B ， C 至少有一个发生的概率。 6. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1） 求恰有90个次品的概率。 （2） 至少有2个次品的概率。 7.（1）在房间里有500个人，问至少有一个人的生日是10月1日的概率是多少（设一年以365天计算） （2）在房间里有4个人，问至少有二个人的生日在同一个月的概率是多少 8. 一盒子中有4只次品晶体管，6只正品晶体管，随机地抽取一只测试，直到4只次品管子都找到为止。求 第4只次品管子在下列情况发现的概率。 （1） 在第5次测试发现。 （2） 在第10次测试发现。 9. 甲、乙位于二个城市，考察这二个城市六月份下雨的情况。以A ，B 分别表示甲，乙二城市出现雨天这一 事件。根据以往的气象记录已知4.0)()(==B P A P ，28.0)(=AB P ，求)/(B A P ，)/(A B P 及)(B A P ?。 10. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概 率。 （1） 二只都是正品。 （2） 二只都是次品。 （3） 一只是正品，一只是次品。 （4） 第二次取出的是次品。 11. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率 论文题目：现代控制理论综述 摘要 本文是对现代控制理论课程的完整综述，现代控制理论的主要内容包括控制系统的状态空间表达式及其解，线性控制系统的能控性和能观性，稳定性与李雅普诺夫方法，线性定常系统的综合以及最优控制理论等部分。本文通过对控制理论各部分的阐述，构出了现代控制理论的主要框架及各部门的基本内容。 关键词：现代控制；状态方程；稳定性；最优控制； Abstract This article is a complete review of modern control theory course, the main contents of the modern control theory, including the control system of the state space expression and its solution, the controllability of linear control systems and can view, stability and Lyapunov method, the synthesis of linear time-invariant system and optimal control theory. This article through to all parts of the control theory, compose the main framework of modern control theory and the basic content of each department. Keywords: Modern control; State equation;Stability;Optimal control 自动控制原理课程设计 学院：计算机与信息学院 专业: 信息工程 姓名：顾靖苓 学号：201040930114 轴双旋翼直升机悬停方向的控制 摘要：本文主要目的是设计共轴双旋翼直升机悬停方向的控制系统。文中主要介绍了此控制系统的设计方案，在时域和频域中详细地分析了系统的稳定性、稳态性能和动态性能。并且，为达到设计指标，对系统进行了串联校正，使系统能够较好地达到了指标要求。在控制系统的设计过程中，利用了Scilab和Matlab软件进行仿真分析，动态直观地反映了系统的性能。 关键字：共轴双旋翼直升机串联校正稳定性稳态性能动态性能 Coaxial twin rotor helicopter hovering direction control Departments:Computer and information science Professional: Information engineering Name: Gu-jing-ling Student id: 201040930114 Abstract：Main purpose of this article is to design coaxial twin rotor helicopter hovering direction control system. This paper mainly introduces the design scheme of the control system, in the time domain and frequency domain detailed analysis the system's stability, steady performance and dynamic performance. And, to achieve the design target, the system for the series correction, the system can better achieve the index requirements. In the design of a control system process, the use of the Matlab software Scilab and simulation analysis, dynamic directly reflects the performance of the system.自动控制原理论文
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