第7讲 高一第一学期期末复习题——必修2

B

A A

S

C

B

高一第一学期期末复习题——必修2

一、选择题

1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）

A ．①②

B ．①③

C ．①④

D ．②④ 【分析】： 正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D. 2．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（

）

Ａ．

3

4000cm 3

Ｂ．

3

8000cm 3

Ｃ．3

2000cm

Ｄ．3

4000cm

【答案】：

B 【分析】：如图，

180********.33

V =???=

3．已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的

球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC =，

则球的体积与三棱锥体积之比是（ ） Ａ．π Ｂ．2π Ｃ．3π Ｄ．4π

【答案】：D 【分析】：如图，2,90,,AB r ACB BC ?=∠=

31111,3323

ABC V SO S r r ?∴=??=??=三棱锥

333

441,::4.333

V r V V r r πππ=∴==球球三棱锥

4．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，

且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、 三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =（ ）

①正方形

②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 正视图

侧视图

俯视图

A

E

2:2

【答案】：B 【分析】：如图，设正三棱锥P ABE -的各棱长为a ，

则四棱锥

P ABCD -的各棱长也为

a ，

于是1,

2

h

==

2

,h h ===

12::2:2.h h h ∴

5

．若,,l m n 是互不相同的空间直线，,αβ真命题的是（ ）

【解析】逐一判除,易得答案(D).

6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是（ ） A ．9π B ．10π C ．11π D ．12π

解析：本小题主要考查三视图与几何体的表面积. 从三视图可以看出该几何体是由一个球和 一个圆柱组合而成的，其表面及为

22411221312.S ππππ=?+??+??=选D.

7．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标

准方程是（ ）

A ．2

2

7(3)13x y ?

?-+-= ??

?

B ．22

(2)(1)1x y -+-=

C ．22

(1)(3)1x y -+-=

D ．2

23(1)12x y ?

?-+-= ??

?

解析：本小题主要考查圆与直线相切问题.

设圆心为(,1),a 由已知得|43|1

1,2().52

a d a -==∴=-舍选B. 8．已知圆的方程为22

680x y x y +--=．设该圆过点

(35)，

的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（

） A ．

B ．

C ．

D ．

解：化成标准方程 22

(3)

(4)25x y

-+-=，过点(3,5)的最长弦为10,AC =

最短弦为BD ==

1

2.2

S A C B D

=?=

俯视图

正(主

)视图 侧(左)视图

9．点P （x ，y ）在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是（ ）

A. [0，5]

B. [0，10]

C. [5，10]

D. [5，15] 【试题解析】：根据题意可知点Ｐ在线段()43063x y x +=-≤≤上，有线段过原点，故点Ｐ到原点最短距离为零，最远距离为点()6,8P -到原点距离且距离为１０，故选Ｂ； 10．已知平面α⊥平面β，α∩β= l ，点A ∈α，A ?l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是（ ） A. AB ∥m B. AC ⊥m C. AB ∥β D. AC ⊥β 【标准答案】：Ｄ【试题解析】：容易判断Ａ、Ｂ、Ｃ三个答案都是正确的，对于Ｄ，虽然AC l ⊥，但ＡＣ不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，故不一定垂直； 11

在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a +b 的最大值为（ ） A

． B

．C ．4 D

．解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算.如图

设长方体的高宽高分别为,,m n k ，由题意得

=1n ?=

a =

b =，所以22(1)(1)6a b -+-=

228a b ?+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴

4a b ?+≤当且仅当2a b ==时取等号.

12.将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分 别是GHI ?三边的中点）得到的几何体如图2，则

该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为（ ）

【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A. 二、填空题

1．与直线20x y +-=和曲线2

2

1212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．

【分析】：曲线化为2

2

(6)(6)18x y -+-=，其圆心到直线20x y +-=

的距离为d =

=所求的

最小圆的圆心在直线y x =

圆心坐标为(2,2).标准方程为22(2)(2)2x y -+-=.

2.在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点坐标分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，点

(0,)P p 在线段OA 上（异于端点）

，设,,,a b c p 均为非零实数，直线,BP CP 分别交,AC AB 于点E ，F ，一同学已正确算出OE 的方程：11110x y b c p a ??

??-+-= ? ?????

，请你求

OF 的方程： .

【解析】本小题考查直线方程的求法.画草图，由对称性可猜想1111

()(

)0x y c b p a -+-=.

事实上，由截距式可得直线:1x y

AB a b +=，直线:1x y CD c p

+=，两式相减得

1111

()()0x y c b p a

-+-=，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求的直线OF 的方程.答案1111

()()0x y c b p a

-+-=.

3．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面

3，那么这个球的体积为 _________

【标准答案】：43

V =

π【试题解析】∵正六边形周长为３，得边长为1

2，故其主对角线

为１，从而球的直径22R =

= ∴1R = ∴球的体积43

V =π 4．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球

面上，且该六棱柱的体积为9

8

，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 解：令球的半径为R ，六棱柱的底面边长为a ，高为h ，显然有R =，且

21

9624863a V h h a ??==?=?????

??

==??

1R ?=3

4433V R ππ?== 5．经过圆22

20x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 ． 【解析】易知点C 为(1,0)-，而直线与0x y +=垂直，我们设待求的直线的方程为y x b =+，将点C 的坐标代入马上就能求出参数b 的值为1b =，故待求的直线的方程为

10x y -+=. 三、解答题 1． 如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，已知 122DC DD AD AB ===，AD DC AB DC ⊥，∥．

（1）求证：11DC AC ⊥；

（2）设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，

1A 1D 1C

1B

使1D E ∥平面1A BD ，并说明理由． （1）证明：在直四棱柱1111ABCD A BC D -中， 连结1C D ，

1DC DD =，∴四边形11DCC D 是正方形．

11DC D C ∴⊥．

又AD DC ⊥，11AD DD DC DD D =⊥，⊥， AD ∴⊥平面11DCC D ，1D C ?平面11DCC D ，

1AD DC ∴⊥．

1AD DC ?，平面1ADC ，且AD DC D =⊥，

1D C ∴⊥平面1ADC ， 又1AC ?平面1ADC ，1DC AC ∴1⊥．

（2）连结1AD ，连结AE ，设11AD A D M =， BD AE N =，连结MN ， 平面1AD E 平面1A BD MN =， 要使1D E ∥平面1A BD ，须使1MN D E ∥， 又M 是1AD 的中点．N ∴是AE 的中点． 又易知ABN EDN △≌△，AB DE ∴=． 即E 是DC 的中点．

综上所述，当E 是DC 的中点时，可使1D E ∥平面1A BD ． 2．如图,在直四棱柱1111ABCD A BC D -中,已知 122DC DD AD AB ===,AD DC ⊥,AB DC .

(I)设E 是DC 的中点,求证: 11D E A BD 平面;

(II)求二面角11A BD C --的余弦值. 解：:(I)连结BE ，则四边形DABE 为正方形，11BE AD A D ∴==，且11BE AD A D ， 11A D EB ∴四边形为平行四边形，11D E A B ∴. 1111D E A BD A B A BD ??平面，平面，11.D E A BD ∴平面

(II) 以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设1DA =，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,2),(1

,0,2).D A B C A 1(1,0,2),(1,1,0).DA DB ∴==

设(,,)n x y z =为平面1A BD 的一个法向量，由1,n DA n DB ⊥⊥得20

x y x y +=??+=?，

取1z =，则(2,2,1)n =--.

设111(,,)m x y z =为平面1C BD 的一个法向量，由,m DC m DB ⊥⊥得1111220

y z x y +=??

+=?，

B C D

A

1A 1D 1C

1B M

E B C

D

A 1A

1D

1C

1B

取11z =,则(1,1,1)m =-.cos ,9m n m n m n

?<>=

=

=?

由于该二面角11A BD C --为锐角，所以所求的二面角11A BD C -- 3．如图，A

B C D ，，，为空间四点．在ABC △中，2AB AC BC ===， 等边三角形ADB 以AB 为轴运动．

（Ⅰ）当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ；

（Ⅱ）当ADB △转动时，是否总有AB CD ⊥？

证明你的结论． 解：（Ⅰ）取AB 的中点E ，连结DE CE ，， 因为ADB 是等边三角形，所以DE AB ⊥． 当平面ADB ⊥平面ABC 时， 因为平面ADB 平面ABC AB =， 所以DE ⊥平面ABC ，可知DE CE ⊥

由已知可得1DE EC ==，在DEC Rt △中，

2CD ==．

（Ⅱ）当ADB △以AB 为轴转动时，总有AB CD ⊥．

证明：（ⅰ）当D 在平面ABC 内时，因为AC BC AD BD ==，， 所以C D ，都在线段AB 的垂直平分线上，即AB CD ⊥．

（ⅱ）当D 不在平面ABC 内时，由（Ⅰ）知A B D E ⊥．又因AC BC =，所以AB CE ⊥．

又DE CE ，为相交直线，所以AB ⊥平面C D E ，由CD ?平面C D E ，得A B C D ⊥．综上所述，总有AB CD ⊥．

4．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22

12320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(02)P ，

且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ，．求k 的取值范围

解： 圆的方程可写成22

(6)4x y -+=，所以圆心为(60)Q ，

，过(02)P ， 且斜率为k 的直线方程为2y kx =+．代入圆方程得2

2

(2)12320x kx x ++-+=， 整理得2

2

(1)4(3)360k x k x ++-+=．直线与圆交于两个不同的点A B ，等价于

2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ?=--?+=-->，

解得304k -<<，即k 的取值范围为304??- ???

，．

5．如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点． （Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ；

（Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值． 证明：（Ⅰ）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，

所以OA OB OC ===，且AO BC ⊥， 又SBC △为等腰三角形，故SO BC ⊥，

D B A

C E

D B

A

O

S

B

A

C

O

S

C M

且2

SO SA =

，从而222OA SO SA +-． 所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥． 又AO BO O =．所以SO ⊥平面ABC ．

（Ⅱ）解法一：取SC 中点M ，连结AM OM ，，

由（Ⅰ）知SO OC SA AC ==，，得OM SC AM SC ⊥⊥，． OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角．

由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥=，，得AO ⊥平面SBC ．

所以AO OM ⊥

，又AM SA =

，故sin AO AMO AM ∠===

所以二面角A SC B --

解法二：以O 为坐标原点，射线OB OA ，分别为x 轴、y 轴的正半轴， 建立如图的空间直角坐标系O xyz -．

设(1

00)B ，，，则(100)(010)(001)C A S -，，，，，，，，． SC 的中点11022M ??- ???，，，111

101(101)222

2MO MA SC ????=-=-=-- ? ?????，，，，，，，，．

00MO SC MA SC ==，∴··．

故,MO SC MA SC MO MA ⊥⊥>，，<等于 二面角A SC B --的平面角．

3

cos MO MA MO MA MO MA

<>==，

·· 所以二面角A SC B -- 6．已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主 视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视 图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该儿何体的体积V

； (2)求该几何体的侧面积S

【解析】画出直观图并就该图作必要的说明. (1)64V = (2)40

S =+

7．在平面直角坐标系xOy 巾，已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y x =相切于坐标原点0．求圆C 的方程.

【解析】(1)设圆的方程为2

()()8x s y t -+-=

依题意2

2

8s t +==0,0s t <> 解得2,2s t =-=,故所求圆的方程为2

(2)(2)8x y ++-=

8．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==

，2AB DC ==

（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积．

（Ⅰ）证明：在ABD △中，由于4AD =，8BD =

，AB = 所以2

2

2

AD BD AB +=．故AD BD ⊥．

又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =， BD ?平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAD ，

又BD ?平面MBD ，故平面MBD ⊥平面PAD ． （Ⅱ）解：过P 作PO AD ⊥交AD 于O ，

由于平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ． 因此PO 为四棱锥P ABCD -的高，

又PAD △是边长为4

的等边三角形．因此4PO ==

在底面四边形ABCD 中，AB DC ∥，2AB DC =，

所以四边形ABCD 是梯形，在Rt ADB △中，斜边AB

=， 此即为梯形ABCD 的高，所以四边形ABCD

的面积为24S ==．

故1

243

P ABCD V -=??=

9．如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，E F ，分别是BC PC ，的中点． （Ⅰ）证明：AE PD ⊥； （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD

所成最大角的正切值为

2

E A

F C --的余弦值． 解：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，可得ABC △为正三角形． 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥．又BC AD ∥，因此AE AD ⊥． 因为PA ⊥平面ABCD ，AE ?平面ABCD ，所以PA AE ⊥． 而PA ?平面PAD ，AD ?平面PAD 且PA AD A =，

所以AE ⊥平面PAD ．又PD ?平面PAD ，所以AE PD ⊥． （Ⅱ）解：设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接AH EH ，．

由（Ⅰ）知AE ⊥平面PAD ，则EHA ∠为EH 与平面PAD 所成的角． 在Rt EAH △

中，AE =AH 最短时，EHA ∠

最大， 即当AH PD ⊥时，EHA ∠最大． 此时tan 2

AE EHA AH AH ∠===

因此AH =2AD =，所以45ADH ∠=，所以2PA =．

解法一：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ?平面PAC ， A

B

C

M P

D O

A

B

C

M P

D P B F A

P B E

C D F A

H

O S

所以平面PAC ⊥平面ABCD ．过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ， 过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角，

在Rt AOE △中，3

sin 30EO AE ==

3cos302AO AE ==，

又F 是PC 的中点，在Rt ASO △中，32

sin 454

SO AO =

=，

又SE ===

在Rt ESO △

中，cos 5SO ESO

SE ∠===． 解法二：由（Ⅰ）知AE AD AP ，，两两垂直，以A

角坐标系，又E F ，分别为BC PC ，的中点，所以 (000)10)

(020)A B C D -，，，，，，，，，，

1(002)0)122P E F ?? ?

???，，，，，，，，

所以31(300)12AE AF ?

?== ???

?

，，，，，．

设平面AEF 的一法向量为111()x y z =，，m ，则00AE AF ?=??=??，，m m 因此111101

02

x y z =++=，

． 取11z =-，则(021)=-，

，m ， 因为BD AC ⊥，BD PA ⊥，PA AC A =，所以BD ⊥平面AFC ， 故BD 为平面AFC 的一法向量．又(0)BD =，，

所以cos 5BD BD BD

<>==

=，

m m m

因为二面角E AF C --． 10．在四面体ABCD 中，CB=CD ，AD BD ⊥，且E ，F 分别是AB ，BD 的中点， 求证（I ）直线EF D 面AC ； （II ）EFC D ⊥面面BC .

证明：（I ）E ，F 分别为AB ，BD 的中点EF AD ?

EF AD

AD ACD EF ACD EF ACD ?

?

???????

面面面.