双重根号化简
双重根号化简及根与系数的关系
一、双重根号的化简：
对于 ,若存在实数a,b ，满足a+b=p,ab=q,则 = = (a>b>0)， 例如： = +1 典例：
化简：1、 2、
3、 4、
5、 6、
二、韦达定理：
1、若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中，两根为1x ，2x 。则a b
x x -=+21，
a c
x x =
?21，；补充公式a
x x ?=-21
2、一般地，对于关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0（p ，q 为已知常数，p 2－4q ≥0），它的两个根为x 1、x 2，则x 1＋x 2=-p,x 1?x 2=q
即：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项 典例1：写出下列方程的两根和与两根积：
33)4(0
152)3(0
)2(047)1(2222=+-=+-=-+=+-m x x x x n mx x x x
三、韦达定理的应用：
应用（1）：已知方程的一个根，求另一个根 。
典例2：
1、 已知一元二次方程2x 2
-7x+6=0的一个根是2，则它的另一个根是
2、 .已知关于x 的方程x 2－6x ＋p 2
－2p ＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p 的值.
应用（2）：已知方程的两个根，求做方程 （根据根与系数的关系，把已知的两个根的和的相反数做所求方程的一次项系数，两根的积做常数项，而把二次项系数作为1，这样，就能作出这个方程。） 典例3：已知方程的两个实数根是1+ 和1- ，则这个方程是
应用（3）：不解这个方程，求某些与根有关的代数式的值（这些代数式是方程两个根的对称式）。
典例4：已知方程x 2+2x-1=0的两根分别是x 1,x 2,求①1211
x x +②x 12+x 22
③x 12+x 1x 2+x 22 ④
+
⑤ │ x 1-x 2 │的值。
应用（4）：求作另一个方程，使它的根与原方程的根有某些特殊关系。 典例5：已知方程x 2+5x-2=0,求作一个新的一元二次方程, 使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数。
应用（5）：不解方程，判断方程根的情况。 典例6：若k>1,关于x 的方程2x 2-(4k+1)x+2k 2-1=0的根的情况是( ) A.有一正根和一负根B.有两个正根 C.有两个负根 D.没有实数根
应用(6)：利用给出的条件，确定一个一元二次方程中某些字母系数的值。 （注意验证：Δ≥0）
典例7：（2013呼和浩特，9，3分）已知α、β是关于x 的一元二次方程x 2+(2m+3)x+m 2=0的两个不相等的实数根，且满足α
1
+
β
1
=-1，求m 的值
应用(7)：根据根与系数的关系，可以把所求的两个数当作一元二次方程当中的系数，然后解这个方程，那么方程的两个根就是这两个数。 典例8：
已知两个数的和是20，乘积是23，求这两个数。
应用（8）：综合应用：即已知方程两根时，要同时考虑根的定义和根与系数的关系。
（2013烟台）已知实数a ，b 分别满足a 2－6a ＋4＝0，b 2－6b ＋4＝0，且a ≠b ，求b a
＋a b
的值
四、跟踪练习
1、已知1x 、2x 是一元二次方程022=-x x 的两根，则21x x ?的值是（） A.0 B.2 C.2- D.4
2、已知一元二次方程062=+-c x x 的一个根是2，则另一个根为（） A.2 B.3 C.4 D.8
3、关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的两根同为负数，则( )
A ．p ＞0且q ＞0
B ．p ＞0且q ＜0
C ．p ＜0且q ＞0
D ．p ＜0且q ＜0
4.(2014,陕西)若x=﹣2是关于x 的一元二次方程x 2﹣ax+a 2=0的一个根，则a 的值为（ ） A ． 1或4 B ． ﹣1或﹣4 C ． ﹣1或4 D ． 1 5、（2014,广西来宾）已知一元二次方程的两根分别是2和﹣3，则这个一元二次
6.（2014,攀枝花）若方程012=-+x x 的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ）
A.1-=+βα1-=αβ
B.
C.322=+βα
D.
11
1
-=+
β
α
7、（2014,莱芜）若关于x 的方程x 2+（k ﹣2）x+k 2=0的两根互为倒数，则k= ． 8、（2014,江西）若,a b 是方程2230x x --=的两个实数根，则22a b +=_______.
9、已知关于x 的方程x 2－px ＋q ＝0的两个根是0和－3，则p=_____， q =____ 10、孔明同学在解一元二次方程x 2－3x ＋c ＝0时，正确解得x 1＝1，x 2＝2，则c 的值为__________．
11．已知方程x 2
－6x －5＝0的两根为a ，b ，则1a ＋1
b
的值是__________．
12、.已知关于x 的方程x 2－2x ＋m 2+m －2＝0的一个根是2，求方程的另一个根和m 的值.
13、（2014山东省烟台市，8，3分）关于x 的方程的022
=+-a ax x 两个根的平方和5是，
求a 的值
14、已知，关于x 的方程x m mx x 2222+-=-的两个实数根1x 、2x 满足12x x =，求实数m 的值.
15、已知方程x 2+3x+m=0的两根之差为5,求m 的值.
16、如果m,n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3,n2-n=3,求代数式2n2-mn+2m+2015的值。
17、已知：①a2+2a-1=0,②b4-2b2-1=0且1-ab2≠0,求(
221
ab b
a
++
)2004的值。
18、已知关于x的方程x2+2mx+m+2=0,求:
(1)m为何值时,?方程的两个根一个大于0,另一个小于0;
(2)m为何值时,方程的两个根都是正数;
(3)m为何值时,?方程的两个根一个大于1，一个根小于1。
19、（1）已知方程x2-x-6=0的两个根是α、β，求α2+β2
（2）已知方程x2-2(k+1)x+k2+2=0的两根是α、β且α2+β2=8，求k的值
（3）设方程x2-x-1=0的两根是α、β，且S1=α+β,S2=α2+β2,┈┈S n=αn+βn┈
①用配方法求α、β的值
②求S
1,S
2
,的值
③求n≥3时，S
n ,S
n-1
,S
n-2
的关系式。
二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算 【知识要点】 1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数（即不小于0），a 的结果也是非负数． 2．二次根式的性质 （1） () ()02 ≥=a a a （2）()()()?? ? ??<-=>==000 02a a a a a a a （3）()0,0≥≥?=? b a b a b a （4） ()0,0>≥=b a b a b a 3．运算法则： （1）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a （2）除法运算： ()0,0>≥= b a b a b a 4．最简的二次根式： （1）被开方数因数是整数，因式是整式． （2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 5．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 方法:①单项 a =来确定． ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定． 如 : a 与a - 【经典例题】 例1．判断下列各式，是否是二次根式： ,12,4,,4,27,824233 +--a a a 2,21122 +?? ? ?? < -a a a
例2．计算下列各题： （1） () 2 7 （2）2 43??? ? ?? （3）() 2 23 （4）2 55??? ? ?? （5 （6 例4．把下列各式分母有理化 （1）12 1 （2） 2 33 （3） 12121 （4）50 3 51- 例5．化简 （1）121699?? （2）637? （3）221026- （4） ()()2512-?- 例6．计算 （1）??? ? ??-?32335 （2） ??? ? ??-?56215 （3）??? ? ??-?614123 （4）5433 1 12785??? -
二次根式化简的方法与技巧
二次根式化简的方法与技巧 二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 ab b a =? ()0,0≥≥b a ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． ⑤运算结果一般要化成最简二次根式． 化简二次根式的常用技巧与方法 所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。 二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。 一、巧用公式法
例1.计算 b a b a b a b a b a +-+ -+-2 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为 a 与 b 成立，且分式也成立，故有,0,0>>b a )0(≠-b a 而同时公式： ()),)((,222222 b a b a b a b ab a b a -+=-+-=-可以帮助我们将 b ab a +-2 和 b a - 变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。 解：原式 ()b a b a b a b a b a b a b a b a 22)()() )(( 2 -=-+-=+-++ --= 二、适当配方法。 例2．计算：32163223-+--+ 分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有321-+其分子必有含321-+的因式，于是可以发现() 2 21223+=+，且() 21363+=+ ，
二次根式化简练习题含答案
（一）判断题：（每小题1分，共5分） 1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ） 2．3－2的倒数是3＋2．（ ） 3．2)1(-x ＝2 )1(-x ．…（ ） 4．ab 、3 1b a 3、b a x 2- 是同类二次根式．…（ ） 5．x 8， 3 1 ，29x +都不是最简二次根式．（ ） （二）填空题：（每小题2分，共20分） 6．当x __________时，式子3 1 -x 有意义． 7．化简－ 8 15 27102 ÷31225a ＝ ． 8．a －12-a 的有理化因式是____________． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________． 10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2 2 22d c ab d c ab +-＝______． 12．比较大小：－ 7 21_________－ 3 41． 13．化简：(7－52)2000 ·(－7－52) 2001 ＝______________． 14．若1+x ＋ 3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________． 15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2 ＝____________． （三）选择题：（每小题3分，共15分） 16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ） （A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0 17．若x ＜y ＜0，则2 2 2y xy x +-＋2 2 2y xy x ++＝………………………（ ） （A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y 18．若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+x x 等于………………………（ ） （A ） x 2 （B ）－x 2 （C ）－2x （D ）2x 19．化简a a 3 -(a ＜0)得………………………………………………………………（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a 20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ）
二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算
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二次根式 【知识要点】 1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数(即不小于0),a 的结果也是非负数. 2.二次根式的性质 （１)()()02≥=a a a （2）() ()() ?????<-=>==00002a a a a a a a (3）()0,0≥≥?=?b a b a b a (4）()0,0>≥=b a b a b a 3.运算法则： （１）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a (2)除法运算：()0,0>≥=b a b a b a 【化简以及分母有理化】 外移：2||a b a b = 内移:a b ， 当0a >时,2a b a b = 当0a <时,2a b a b =- 4．最简的二次根式： （１）被开方数因数是整数,因式是整式. （２)被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 5．分母有理化 定义:把分母中的根号化去，叫做分母有理化.
方法:①单项二次根式:利用a a a ?=来确定. ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定. 如: a b +与a b -，a b a b +-与, a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 例题. 化简：(1)3227a b = ； （2)32418a a ?= ． 例题32 27= . 2 3649y x ＝ ; 同类二次根式 (1)定义: 几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类 二次根式。 (2)判断方法: 注意以下三点： ①都是二次根式,即根指数都是2； ②必须先化成最简二次根式； ③被开方数相同. 【重难点解析】 1．化简二次根式：尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。 如:21223=?= 23 21832=?＝ 32 25052=?＝ 52 2.根号里的数比较大时，使用短除法把这个数分解成质数的幂的形式。 如29482379=??= 2379?，24202553=?＝ 253? ３．根号内有字母或代数式，观察它们所能分解出来的最小偶次数。如: 542 x x x x x =?=、()()()3232111x x x x x x +=++=()()11x x x x ++ 4．单项的分母有理化,可以直接分子分母同时乘以分母再约分。 如：11333333?==? 、 2223233233823233 ?====??
二次根式运算和化简超级经典
二次根式运算和化简(超级经典)
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二次根式的运算 【知识梳理】 1、 当0≥a 时，称a 为二次根式，显然0≥a 。 2、 二次根式具有如下性质： （1）() ()02≥=a a a ； （2）?? ?<-≥==时；，当时，，当002a a a a a a （3）()00≥≥?=b a b a ab ，； （4）()00>≥=b a b a b a ，。 3、二次根式的运算法则如下： （1）()()0≥±=±c c b a c b c a ； （2）()()0≥=a a a n n 。 4、设Q m d c b a ∈，，，，，且m 不是完全平方数，则当且仅当d b c a ==，时， m d c m b a +=+。 5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法，还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。 6、最简二次根式与同类二次根式 （1）一个根式经过化简后满足： 被开方数的指数与根指数互质； 被开方数的每一个因式的指数都小于根指数； 被开方数不含分母。 适合上述这些条件的根式叫做最简根式。 （2）几个根式化成最简根式后，如果被开方数都相同，根指数也都相同，那么这几个根式叫做同类根式。
【例题精讲】 【例1】已知254245222+-----=x x x x y ，则=+22y x ___________________。 【巩固一】若y x ，为有理数，且42112=+-+-y x x ，则xy 的值为___________。 【巩固二】已知200911+-+ -=x x y ，则=+y x _______________________。 【拓展】若m 适合关系y x y x m y x m y x --?+-= -++--+19919932253， 求m 的值。 【例2】当b a 2<时，化简二次根式a b ab a b a a 2 2442+--。 【巩固】 1、化简()2 232144--+-x x x 的结果是__________________。
最新二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算 1 【知识要点】 2 1．定义：一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数 3 式，它们都必须是非负数（即不小于0），a 的结果也是非负数． 4 2．二次根式的性质 5 （1） () ()02 ≥=a a a 6 （2）() ()()?? ? ??<-=>==000 02a a a a a a a 7 （3）()0,0≥≥?=?b a b a b a 8 （4） ()0,0>≥=b a b a b a 9 3．运算法则： 10 （1）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a 11 （2）除法运算： ()0,0>≥= b a b a b a 12 4．最简的二次根式： 13 （1）被开方数因数是整数，因式是整式． 14 （2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 15 5．分母有理化 16 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 17 方法:①单项 a =来确定． 18
②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定． 19 如: a b +与a b -，a b a b +-与， 20 a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 21 练习： 22 1．判断下列各式,是二次根式有_________________. 23 ,12,4,,4,27,824233+--a a a 2,21122+??? ? ? <-a a a 24 2．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ） 25 A ． B ． C ． D ． 26 3. 与最简二次根式是同类二次根式，则m=______． 27 28 4.若1＜x ＜2，则的值为（ ） 29 A ．2x ﹣4 B ．﹣2 C ．4﹣2x D ．2 30 5．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（ ） 31 32 A ．﹣2a+b B ．2a ﹣b C ．﹣b D ．b 33 6．若式子有意义，则x 的取值范围为（ ） 34 A ．x ≥2 B ．x ≠3 C ．x ≥2或x ≠3 D ．x ≥2且x ≠3 35
复合根式化简经典例题(含详细解答步骤)
几道有一定技术含量的复合根式计算题 以下几道题，题题经典，基础比较好，有一定能力的同学建议看以看。 （1）……这可是本文中最简单的题了。 解：原式 =2|……注意这里！！ 评注：对付这种根号里面套着根号的复合二次根式，用配方法还是不错的。 （2） 解：原式 =|1| =1 评注：一般地，碰到这种玩意，你配就行，把根号一层一层脱掉。本题就不在配方的详细过程上过多介绍了。 （3）下面教你一招绝的。 解：设x
显然0x >则2x =2 = 12- ……大胆地用完全平方公式吧！计算量其实不大。 =12- =12- = 12- =121)- =8 - =2 0x > ，x ∴= 即原式 评注：方法够“毒”的吧，呵呵。反正还得配方。 用这种方法可以很轻松地解决下面这道题题。 （4 解：令x = 则2 2x = =10 把这长串式子平方看起来挺复杂，你用完全平方公式配合平方差公式试试，就这么简单。 显然0x >，所以x = == 教你个绝招： （5 解：设x =
则33x = 插一句嘴，介绍一个公式：()()3333a b a b ab a b +=+++， 自己推导去。看出来了吗？在本题里，你看出哪个是“a ”，哪个是“b ”了吗？看出a+b=x 了吗？？ ((2020=++-+x ? =40x + =406x + 3406x x ∴=+ 36400x x --= 2(4)(410)0x x x -++= ……这要看你分解因式的“功底”了。 4x ∴=，即原式的结果为4. 评注：可算解出来了。。。看到那么多根号别害怕。。。题目的样子很狰狞是吧，三次根号里面套着二次根号，但是。。。。其实就这么点东西。
二次根式的概念及其化简教案
2．7二次根式 第1课时二次根式的概念及其化简【学习目标】 1．理解二次根式概念及性质． 2．会用公式ab＝a·b(a≥0，b≥0)，a b＝ a b (a≥0，b>0)进行二次根式的化简运算． 【学习重点】 二次根式乘除法法则． 【学习难点】 二次根式乘除法法则的灵活运用． 学习行为提示：让学生通过阅读教材后，独立完成“自学互研”的所有内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成． 学习行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案． 教会学生落实重点． 说明：学生亲自计算，通过观察、猜想，借助计算器验证得出结论，这比教师讲无数遍的效果要好得多，同时也为后面归纳二次根式的基本性质作了很好的引导．情景导入生成问题
观察下列代数式： 5，11，7.2，49 121，（c＋b）（c－b）(其中b＝24，c＝25)． 这些式子都是我们在前面已经学习过的，它们有什么共同特征呢？ 【说明】通过学生观察、总结归纳这些式子的特点，为给二次根式下定义做好准备．【归纳结论】它们都含有开方运算，并且被开方数都是非负数． 一般地，形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数． 二次根式有些什么性质呢？让我们一起去研究吧！ 自学互研生成能力 知识模块一二次根式积的算术平方根与商的算术平方根 先阅读教材第41页“做一做”的内容，然后完成下面的问题． 做一做： (1)计算下列各式，你能得到什么猜想？ 4×9＝________，4×9＝________； 4 9＝________，4 9 ＝________； 25 49＝________，25 49 ＝________； (2)根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流． 6×7与6×7，6 7与 6 7 . 【归纳结论】ab＝a·b(a≥0，b≥0)，a b＝ a b (a≥0，b>0)．即积的算术平方根，等于各个因式算术平 方根的积，商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根．注意：a、b的取值范围不能忽略． 知识模块二二次根式的化简 先独立完成下面例1的化简，然后再对照教材第42页例1的规范解答自评自解．例1：化简： (1)81×64；(2)25×6；(3)5 9.
第八讲 二次根式的化简求值
第八讲 二次根式的化简求值 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式，有理式和无理式统称代数式，整式和分式统称有理式． 有条件的二次根式的化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点．这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形，有时需把待求式化简或变形，有时需把已知条件和待求式同时变形． 例题求解 【例l 】已知21=+ x x ，那么 1 91 322++- ++x x x x x x 的值等于 ． (河北省初中数学创新与知识应用竞赛题) 思路点拨 通过平方或分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用x x 1 +的代数式表示． 【例2】 满足等式2003200320032003=+--+xy y x x y y x 的正整数对(x ，y)的个数是( ) A ．1 B ．2 C ． 3 D ． 4 (全国初中数学联赛题) 思路点拨 对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解． 【例3】已知a 、b 是实数，且1)1)(1(22=++++b b a a ，问a 、b 之间有怎样的关系?请推导． (第20届俄罗斯数学奥林匹克竞赛题改编) 思路点拨 由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化． 【例4】 已知：a a x 1 += (0
二次根式的化简与计算(讲义及答案)
二次根式的化简与计算（讲义） ? 课前预习 1. 回顾实数的相关概念，并完成下列各题． （1）二次根式： ①定义：一般地，形如___________的式子叫做二次根式． ②性质： 2=_______（a ≥0=_______（a ≥0）． =_______（a ≥0，b ≥0=______（a ≥0，b ＞0）． ③乘除法则： =_____（a ≥0，b ≥0=_____（a ≥0，b ＞0）． ④加减法则： 先化成最简二次根式，再合并_______________． （2）实数混合运算顺序： 先算__________，再算______，最后算______．同级运算，从左向右进行．如果有括号，先算括号里面的． 2. 成立的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1 B ．x ≥2 C ．1≤x ≤2 D ．x ≤2 ? 知识点睛 1. 二次根式的双重非负性： a ____00． 2. 二次根式双重非负性的常见应用： （120b c +=，则a =______，b =______，c =_____． （2a =______． 3. 实数混合运算处理方法： ①观察________，划________； ②有序操作，依________； ③每步推进一点点．
做运算时往往需要估计工作量 ．．．．．，观察式子结构，巧用公式，可以大大简化运算．4.二次根式与数形结合： 被开方数中出现平方形式，可通过构造直角三角形借助勾股定理 ．．．．．．．．．．．．．解决问题． ?精讲精练 1.若x，y 为实数，且满足10 x-=，则xy=______． 2.若x，y，z 2 (3)20 y x z -++= ，则 =_______． 3.若实数x，y 2210 y y ++=，则x y=_______． 4.若实数a，b (0 b-=，则a2+2b的平方根为________． 5.若实数x，y 满足3 y=，则2xy=________． 6.若实数x，y 满足1 y= =____． 7.已知a，b为一等腰三角形的两边长，且a，b 满足等式4 b =-，则此等腰三角形的周长为______． 8.计算： （1 2 1 3 - ? ? ---+ ? ???
二次根式的化简与求值
二次根式的化简与求值 一、教学目标： 1、二次根式的加减运算 2、二次根式的加混合运算 二、教学重、难点： 1、二次根式的化简求值 2、双重二次根式的化简 三、典型例题： 知识点一：同类二次根式 1、如果最简二次根式b a +7与36+-b b a 可以合并，求a 、b 的值。 、 2、合并下列二次根式 ⑴ 2322+ ⑵ 33321 - ⑶ 545352+- 知识点二：二次根式的加减 1、计算 ⑴ ??? ? ??+--???? ??-3135.1225.435.2428118 ⑵ 32)2(31122-+-- ⑶ 332ab b a b a b a b a +-- （0＞a 0＞b ）
知识点三：二次根式的混合运算 1、运用运算法则计算 ⑴ ??? ? ??-?2128 ⑵ 121212218-??? ??+-+- ⑶ 5 656-+ ⑷ 3)32(12÷-= 2、运用运算律和乘法公式计算 ⑴ 22)23()23(--+ ⑵ 020172016)2(2 32)32()32(----+?- ⑶ )23)(13(2)23()13(22+--++- 3、已知23-=x ，23+=y ，求33xy y x +的值。 4、已知a 、b 是正整数，且2020=+b a ，求a 、b 的值。 5、观察下列等式；322322=+，833833=+，15 441544=+…… ⑴猜想99 1010+的结果 ⑵你发现了什么规律？请用含n （n ≥2且n 为整数）的式子将规律表示出来，并证明。
知识点四：双（多）重二次根式的化简 化简求值： ⑴ 312213242--+=__________。 ⑵ 3243819++-=___________。 ⑶ 2648 13-53+++=____________。 四、课堂训练： 1、计算： ⑴ 321+-631+27 ⑵ 2115141021-15-1410++++ ⑶ （ ））（12010200920101541231121+++??++++++ 2、已知x= 131-3+，y=1 -313+，求x 4+y 4的值。 3、⑴已知x+x 1=7(0 二次根式化简的方法与技巧 二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后， 进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 \a、b =、ab a - 0,b- 0 ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算. ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类 项. ⑤运算结果一般要化成最简二次根式. 化简二次根式的常用技巧与方法 所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打 破僵局，迅速找到解题的途径。 二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握 基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，约 分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目 转化为可以约分和和可以合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。 例1■计算 a -2 ba b a - ；b 、巧用公式法 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a与、b成立，且分式也成立，故有 a . 0,b ? 0, (... ab =0)而同时公式： 2 2 2 2 2 (a—b)=a - 2 ab +b , a - b =(a+b)(a—b),可以帮助我们将 a a b b和a -b变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。 解：原式 (\ a \ b)(\ a - \ b) =a 一\ b) (\ a 一\ b) 二2 a2「b 、适当配方法。 3 2一2 - 3 -、6 例 2 .计算： 1 ? ?? 2 _ \ 3 分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，???分母含有1 . 3其分子必有 含i+J2—J3的因式，于是可以发现3十2丿2 = 1 + 2，且、3 飞「31 -2 , 2．7 二次根式 第1课时 二次根式及其化简 1．了解二次根式的定义及最简二次根式；(重点) 2．运用二次根式有意义的条件解决相关问题．(难点) 一、情境导入 问题：(1)如图，在Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝2，∠C ＝90°，那么AB 边的长是多少？(2)面积为S 的正方形的边长是多少？(3)要修建一个面积为6.28平方米的圆形水池，它的半径是多少米？(π取3.14) 上述结果有什么共同特征？ 二、合作探究 探究点一：二次根式的相关概念 【类型一】 二次根式的定义 下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？ (1)2；(2)4；(3)3 3；(4)1x ＋y ； (5)x ＋y (x≥0，y ≥0)；(6)3a 2 ＋8； (7)－x 2 －12. 解：(1)(2)(5)(6)是；(3)(4)(7)不是． 方法总结：在判断一个代数式是不是二次根式时，应该在原始形式的基础上进行判断，不能先化简再作判断，如本题4＝2，4是二次根式，但2不是二次根式． 【类型二】 二次根式有意义的条件 当x________，x ＋3＋ 1 x ＋1 在实数范围内有意义． 解析：要使x ＋3＋1 x ＋1在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x ＋3≥0和分母 x ＋1≠0，解得x ≥－3且x≠－1. 方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不 为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．探究点二：二次根式的性质及化简 化简下列二次根式． (1)48；(2)8a3b(a≥0，b≥0)； (3)（－36）×169×（－9）. 解析：本题主要考查运用 ab＝a·b(a≥0，b≥0)及a2＝a(a≥0)进行化简．解：(1)48＝16×3＝16×3＝43； (2)8a3b＝22·a2·2ab＝（2a）2·2ab＝2a2ab； (3)（－36）×169×（－9）＝36×169×9＝6×13×3＝234. 方法总结：(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数，如(3)题．(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(因式)，即化为最简二次根式(后面学到)． 探究点三：最简二次根式 在二次根式8a， c 9 ，a2＋b2，a2 中，最简二次根式共有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：8a中有因数4； c 9 中有分母9；a3中有因式a2.故最简二次根式只有a2＋b2.故选A. 方法总结：只需检验被开方数是否还有分母，是否还有能开得尽方的因数或因式． 三、板书设计 二次根式 ?? ? ??定义???形如a（a≥0）的式子 有意义的条件：a≥0 性质：（a）2＝a（a≥0），a2＝a（a≥0） 最简二次根式 本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系，加深学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否确认结果的合理性等等． 4．4一次函数的应用 第1课时确定一次函数的表达式 二次根式教学设计 夹山镇中心学校 本节课教学内容“二次根式”是湘教版八年级下册第四章第l 节第一课时。主要内容是学习二次根式的定义和性质，重点是对二次根式的性质的理解及应用2. 难点是性质的区别与联系.本节课是一节新授课。在备课时我就按照目标让学生明白、过程让学生经历、结论让学生讨论、规律让学生总结的指导原则进行认真备课，尤其对例题与练习题也进行了精心的挑选，按照由易到难由简入繁的顺序安排，并且认真制作了课件，便于学生对重点内容的理解和难点的解决.在实际授课中，通过以下步骤让学生认识、理解、并掌握本节知识：（1）让学生回顾了算术平方根与平方根的概念，得出二次根式的定义后又复习了算术平方根具有双重非负性；（2）通过练习掌握如何判断一个式子是否是二次根式的条件，掌握二次根式在实数范围内有意义的条件；（3）通过练习让学生得出二次根式的两个性质，体会从特殊到一般的思维过程，进而掌握公式的一般推导方法。在整个学习过程中，突出引导学生自己得出结论，特别是二次根式的两个性质，学生自己就初步得出了结论，培养了学生总结规律的能力。 4.1.1二次根式 教学目的： 1、使学生理解二次根式的意义 2、理解和应用二次根式的性质a 0≥()0≥a 和()()02≥=a a a 及掌握二次根式 的化简. 3、掌握用解一元二次不等式的方法求二次根式的被开方数中字母的取值范围; 4、培养学生观察、分析、归纳、概括的能力。 教学重点：理解二次根式的意义及其性质 教学难点：难点是理解性质及掌握二次根式 的化简. 教具：多媒体课件 教学过程： 一、复习： 请回答下列问题 二次根式的性质 求下列各数的算术平方根的平方值，并说出这些值与原来的各数有什么关系？ 5.0,9 4,0,2,4 问：如果用字母a 表示数，上述结论是否成立？成立的条件是什么？ 答：如字母,0≥a 那么()a a =2， 我们得到 二次根式的基本性质 (1) ()()02≥=a a a 请判断下列各式是否成立？ 2a 2a 【二次根式化简】 1、被开方数是小数的二次根式化简 例1、化简5.1 分析：被开方数是小数时，常把小数化成相应的分数，后进行求解。 解：5.1=262 62223232==??=。 评注：化简时通常分子、分母同时乘以分数的分母，使分母上数或者式子成为完全平方数或者完全平方式。 2、被开方数是分数的二次根式化简 例2、化简125 1 分析：因为，125=5×5×5=52×5，所以，只需分子、分母同乘以5就可以了。 解：1251=25 5555551=????。 评注：化简时，通常分子、分母同时乘以分数分母的一个恰当因数或因式，使分母上数或者式子成为完全平方数或者完全平方式。 3、被开方数是非完全平方数的二次根式化简 例3、化简48 分析：因为，48=16×3=42 ×3， 所以，根据公式b a ab ?=（a≥0，b≥0），就可以把积的是完全平方数或平方式的部分从二次根号下开出来，从而实现化简的目的。 解：48=34343163162=?=?=?。 评注：将被开方数进行因数分解，是化简的基础。 4、被开方数是多项式的二次根式化简 例4、化简3)(y x + 分析：当指数是奇数时，保持底数不变，设法把指数化成是一个偶数和一个奇数的积。 解：3)(y x +=y x y x y x y x y x y x ++=+?+=++)()()()(22。 评注：当多项式从二次根号中开出来的时候，一定要注意添加括号。否则，就失去意义。 5、被开方数是隐含条件的二次根式化简 例5、把 根号外的因式移到根号内，得( ). A ． B ． C ． D ． 【答案】C. 由二次根式的意义知x ＜0，则 . 【总结升华】反过来将根号外的因式移到根号内时，也必须向里移非负数。如此例中x ＜0，所以只能向根号里移x -，到根号里面要变成()2 x -. 练习1．化简二次根式2 2a a a +-的结果是（ ） （A ）2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a 2. 化简a a 1-的结果是： A ）a B ）a - C ）a - D ）a -- 3. 已知?xy 0，化简二次根式_________． 【化简】 例1. 已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，化简 【答案与解析】∵a 、b 、c 为△ABC 的三边长， ∴原式 二次根式的化简与计算的策略与方法 二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 （，） ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． ⑤运算结果一般要化成最简二次根式． 化简二次根式的常用技巧与方法 二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析．1．公式法 【例1】计算①；② 【解】①原式 ②原式 【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便． 2．观察特征法 【例2】计算： 【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以，即得分子，于是可以简解如下： 【解】原式． 【例3】把下列各式的分母有理化． （1）；（2）（） 【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法： 【解】①原式 【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简．但是，不难发现②式分子中的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下： 【解】②原式 3．运用配方法 【例4】化简 【解】原式 【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“” 4．平方法 二次根式的化简 1.若-1 2.= . 3.得 . 4.若三角形的三边a?b?c满足a2-4a+4+=0,则笫三边c的取值范围是_____________. 5.判断题 (1)若=a,则a一定是正数.( ) (2)若=-a,则a一定是负数.( ) (3)=π-3.14.( ) (4)∵(-5)2=52,∴.( ) (5)( ) (6)当a>1时，|a-1|+=2a-2.( ) (7)若x=1,则2x-=2x-(x-2)=x+2=1+2=3.( ) (8)若=-xy≠0,则x、y异号.( ) (9)m<1时，(m-1)=1.( ) (10)=x+1.( ) (11)=0.( ) (12)当m>3时，-m=-3.( ) 6.如果等式=-x成立，则x的取值范围是________. 7.当x_______时，=x-1. 8.若=x+2,则x__________. 9.若m<0,则|m|+. 10.当=________. 11.若x与它的绝对值之和为零，则. 12.当a_________时，|-3a|=-4a. 二次根式化简的几种方法 1、被开放数是小数的二次根式化简 例1、化简5.1 分析：被开放数是小数时，常把小数化成相应的分数，后进行求解。 解：5.1=262 62223232==??=。 评注：化简时通常分子、分母同时乘以分数的分母，使分母上数或者式子成为完全平方数或者完全平方式。 2、被开放数是分数的二次根式化简 例2、化简125 1 分析：因为，125=5×5×5=52×5，所以，只需分子、分母同乘以5就可以了。 解：1251=25 5555551=????。 评注：化简时，通常分子、分母同时乘以分数分母的一个恰当因数或因式，使分母上数或者式子成为完全平方数或者完全平方式。 3、被开放数是非完全平方数的二次根式化简 例3、化简48 分析： 因为，48=16×3=42×3， 所以，根据公式b a ab ?=（a ≥0，b ≥0），就可以把积的是完全平方数或平方式的部分从二次根号下开出来，从而实现化简的目的。 解：48=34343163162=?=?=?。 评注：将被开放数进行因数分解，是化简的基础。 4、被开放数是多项式的二次根式化简 例4、化简3)(y x + 分析：当指数是奇数时，保持底数不变，设法把指数化成是一个偶数和一个奇数 的积。 解：3)(y x +=y x y x y x y x y x y x ++=+?+=++)()()()(22。 评注：当多项式从二次根号中开出来的时候，一定要注意添加括号。否则，就失去意义。 5、被开放数是隐含条件的二次根式化简 例5、化简a a 1-的结果是： A ）a B ）a - C ）a - D ）a -- 分析：含字母的化简，通常要知道字母的符号。而字母的符号又常借被开方数的非负性而隐藏。因此，化简时要从被开方数入手。 解：∵a a 1-有意义∴a 1-≥0，∴-a ＞0 ∴原式=a a a a a a a a a a a a a a a a --=--=--=--=---=-||)())(()()(12 故选（C ）。 二次根式的化简及计算 、学习准备: 1平方根：如果x 2= a，那么x叫做a的平方根。若a _ 0,则a的平方根记为___________________ . 2、算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。若a 3 0,则a的算术平方根记为 __________ 3、填空：① J100表示100的_________ ，结果为 ______ ? ②49表示49的 __________ ，结果为 _____ ? ,64 64 ③0.81的算术平方根记为_____________ ，结果为 _________ ? ④计算：阿+736 = _____________ , T004 —T025 = _____________ ? 二、阅读理解 4、二次根式的概念: 对于形如100^,81，-、a 这样的式子，我们将符号“ja ”叫做二次根式，根号下的数叫做被开方数。 在实数范围内，负数没有平方根，所以被开方数只能是正数或零，即被开方数只能是非负数。 5、积的算术平方根 计算..= = . _______ .4 .9 x_= ______________ ，所以盲 一般地，-.晶“菱电(a_0,b_0)(注意：公式中a,b必须都是非负数) 积的算术平方根，等于 ___________________________________ ? 想一想：.、(《) (-9)= 二?一匚9成立吗？为什么？、.(-4) (-9)应该等于多少？ 例1、化简：(1) .16 81 (2) 2000 (3)27 15 (4) . 16ab2 (a - 0,b - 0) 即时练习：计算(1) 49 121 (2) 18 ( 3) 3x3(4)、27m2n3 学生做题前请先回答以下问题 问题1：你背（记）讲义上知识点睛部分的内容了吗？ 实数混合运算的操作流程是什么？ 问题2：二次根式与数形结合问题中，被开方数中出现平方形式，可通过_____________________解决问题． 问题3：若可看作是一个直角三角形的斜边长，那么____和_____就可以看作是这个直角三角形的两条直角边． 二次根式的化简与计算（数形结合）（北师版）一、单选题(共3道，每道13分) 1.计算的结果是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：实数混合运算 2.计算的结果是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：实数混合运算 3.计算的结果是( ) A.1 B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：实数的混合运算 二、填空题(共5道，每道12分) 4.化简的结果是____． 答案：2 解题思路： 试题难度：知识点：双重二次根式 5.计算：____. 答案：4 解题思路： 试题难度：知识点：实数混合运算 6.计算：____. 答案：3 解题思路： 试题难度：知识点：实数混合运算 7.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC，已知 AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x，则，则AC+CE的最小值是____. 答案：10 解题思路： 试题难度：知识点：实数的应用---数形结合求最值 8.若，请仿照第7题中的方法，运用构图法求解代数式 的最小值，则该最小值是____． 答案：13 解题思路： 试题难度：一颗星知识点：实数的应用---数形结合求最值 学生做题后建议通过以下问题总结反思 问题1：做完本套试题可进行以下反思：混合运算有常见的几个易错点，下列哪些是你做题过程中经常出错的呢？出错原因是什么？ ①类似于这种根号下带平方形式的形式；二次根式化简的方法与技巧
二次根式及其化简【公开课教案】【公开课教案】
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