2016年高考试题——数学理(山东卷)原卷版

绝密★启用前

2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

参考公式：

如果事件A ,B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )；如果事件A ,B 独立，那么P (AB )=P (A )·P (B ).

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

（1）若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z =（ ）

（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --

（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-

（A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞

（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).

根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）

（A ）56 （B ）60 （C ）120 （D ）

140

（4）若变量x ，y 满足2,

239,

0,

x y x y x +≤??-≤??≥?则22x y +的最大值是（ ）

（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12

（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（

）

（A ）1233+π （B ）123+π （C ）123+π （D ）2

1+π

（6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）

（A ）充分不必要条件

（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件

（D ）既不充分也不必要条件 （7）函数f （x ）=（3sin x +cos x ）（3cos x –sin x ）的最小正周期是（ ）

（A ）2π （B ）π （C ）

2

3π （D ）2π （8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos=13

.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（ ） （A ）4 （B ）–4 （C ）94 （D ）–94 （9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x > 时，11()()22

f x f x +=- .则f (6)= （ ）

（A ）?2 （B ）?1 （C ）0 （D ）2 （10）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）

（A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）e x y = （D ）3y x =

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

（11）执行右边的程序框图，若输入的a ,b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________.

（12）若（a x2+1

x

）5的展开式中x

5的系数是—80，则实数a=_______.

（13）已知双曲线E：

22

22

1

x y

a b

-=（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.

（14）在[1,1]

-上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆22

(5)9

x y

-+=相交”发生的概率为.

（15）已知函数

2

||,

()

24,

x x m

f x

x mx m x m

≤

?

=?

-+>

?

其中0

m>，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.

三、解答题：本答题共6小题，共75分.

（16）（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

tan tan

2(tan tan).

cos cos

A B

A B

B A

+=+

（Ⅰ）证明：a+b=2c;

（Ⅱ）求cos C的最小值.

（17）（本小题满分12分）

在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB是圆台的一条母线.

（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；

（II）已知EF=FB=

1

2

AC=23，AB=BC.求二面角F BC A

--的余弦值.

（18）（本小题满分12分）

已知数列{}n a的前n项和S n=3n2+8n，{}n b是等差数列，且1.

n n n

a b b

+

=+

（Ⅰ）求数列{}n b的通项公式；

（Ⅱ）令

1

(1)

.

(2)

n

n

n n

n

a

c

b

+

+

=

+

求数列{}n c的前n项和T n.

（19）（本小题满分12分）

甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23

；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：

（I ）“星队”至少猜对3个成语的概率；

（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望EX .

(20) (本小题满分13分)

已知()2

21()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；

（II ）当1a =时，证明()3()'2

f x f x +

＞对于任意的[]1,2x ∈成立. （21）（本小题满分14分） 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b

+=＞＞ 3，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.

（I ）求椭圆C 的方程； （II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .

（i ）求证：点M 在定直线上;

（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求

12S S

的最大值及取得最大值时点P 的坐标.