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2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项:
1.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
参考公式:
如果事件A ,B 互斥,那么P (A +B )=P (A )+P (B );如果事件A ,B 独立,那么P (AB )=P (A )·P (B ).
第Ⅰ卷(共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
(1)若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位,则z =( )
(A )1+2i (B )1-2i (C )12i -+ (D )12i --
(2)设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=- (A )(1,1)- (B )(0,1) (C )(1,)-+∞ (D )(0,)+∞ (3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20), [20,22.5), [22.5,25),[25,27.5),[27.5,30). 根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( ) (A )56 (B )60 (C )120 (D ) 140 (4)若变量x ,y 满足2, 239, 0, x y x y x +≤??-≤??≥?则22x y +的最大值是( ) (A )4 (B )9 (C )10 (D )12 (5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为( ) (A )1233+π (B )123+π (C )123+π (D )2 1+π (6)已知直线a ,b 分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) (A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件 (C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件 (7)函数f (x )=(3sin x +cos x )(3cos x –sin x )的最小正周期是( ) (A )2π (B )π (C ) 2 3π (D )2π (8)已知非零向量m ,n 满足4│m │=3│n │,cos .若n ⊥(t m +n ),则实数t 的值为( ) (A )4 (B )–4 (C )94 (D )–94 (9)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时,3()1f x x =- ;当11x -≤≤ 时,()()f x f x -=-;当12x > 时,11()()22 f x f x +=- .则f (6)= ( ) (A )?2 (B )?1 (C )0 (D )2 (10)若函数()y f x =的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是( ) (A )sin y x = (B )ln y x = (C )e x y = (D )3y x = 第Ⅱ卷(共100分) 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. (11)执行右边的程序框图,若输入的a ,b 的值分别为0和9,则输出的i 的值为________. (12)若(a x2+1 x )5的展开式中x 5的系数是—80,则实数a=_______. (13)已知双曲线E: 22 22 1 x y a b -=(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是_______. (14)在[1,1] -上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆22 (5)9 x y -+=相交”发生的概率为. (15)已知函数 2 ||, () 24, x x m f x x mx m x m ≤ ? =? -+> ? 其中0 m>,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是________________. 三、解答题:本答题共6小题,共75分. (16)(本小题满分12分) 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 tan tan 2(tan tan). cos cos A B A B B A +=+ (Ⅰ)证明:a+b=2c; (Ⅱ)求cos C的最小值. (17)(本小题满分12分) 在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O'的直径,FB是圆台的一条母线. (I)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:GH∥平面ABC; (II)已知EF=FB= 1 2 AC=23,AB=BC.求二面角F BC A --的余弦值. (18)(本小题满分12分) 已知数列{}n a的前n项和S n=3n2+8n,{}n b是等差数列,且1. n n n a b b + =+ (Ⅰ)求数列{}n b的通项公式; (Ⅱ)令 1 (1) . (2) n n n n n a c b + + = + 求数列{}n c的前n项和T n. (19)(本小题满分12分) 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23 ;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: (I )“星队”至少猜对3个成语的概率; (Ⅱ)“星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望EX . (20) (本小题满分13分) 已知()2 21()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈. (I )讨论()f x 的单调性; (II )当1a =时,证明()3()'2 f x f x + >对于任意的[]1,2x ∈成立. (21)(本小题满分14分) 平面直角坐标系xOy 中,椭圆C :()222210x y a b a b +=>> 3,抛物线E :22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. (I )求椭圆C 的方程; (II )设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . (i )求证:点M 在定直线上; (ii )直线l 与y 轴交于点G ,记PFG △的面积为1S ,PDM △的面积为2S ,求 12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.