高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题05三角函数与解三角形A辑(解析版)

备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

专题05三角函数与解三角形A 辑

历年联赛真题汇编

1．【2008高中数学联赛（第01试）】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 成等比数列，则sinAcotC+cosA sinBcotC+cosB

的取值范围是( ) A ．(0,+∞) B ．(0,

√5+12

) C ．(

√5?12

,

√5+12

) D ．(

√5?12

,+∞)

【答案】C

【解析】设a ，b ，c 的公比为q ，则b =aq,c =aq 2， 而sinAcotC+cosA sinBcotC+cosB =

sinAcotC+cosAsinC sinBcosC+cosBsinC

=

sin(A+C)sin(B+C)

=

sin(π?B)sin(π?A)

=

sinB sinA

=

b a

=q ，

因此，只需求q 的取值范围，因为a ，b ，c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此a ，b ，c 要构成三角形的三边，必须且只需a +b >c 且b +c >a ， 即有不等式组{a +aq >aq 2aq +aq 2>a

，

即{q 2?q ?1<0q 2+q ?1>0 ，解得{

1?√5

2

2q >√5?12

或q

√5+12

， 从而

√5?12

√5+12

.

因此所求的取值范围是(√5?12

,

√5+12

).

故选C ．

2．【2007高中数学联赛（第01试）】设函数f (x )=3sinx +2cosx +1.若实数a ，b ，c 使得af (x )+bf (x －c )=1对任意实数x 恒成立，则bcosc a 的值等于( )

A ．?1

2

B ．12

C ．?1

D ．1

【答案】C

【解析】令c =π，则对任意的x ∈R ，都有f(x)+f(x ?c)=2， 于是取a =b =1

2,c =π，则对任意的x ∈R ，有af(x)+bf(x ?c)=1，

由此得

bcosc a

=?1.

故选C ．

更一般地，由题设可得f(x)=√13sin(x +φ)+1，f(x ?c)=√13sin(x +φ?c)+1， 其中0<φ<π

2

，且tanφ=2

3

，

于是可化为√13asin(x +φ)+√13bsin(x +φ?c)+a +b =1，

即√13asin(x +φ)+√13bsin(x +φ)cosc ?√13bcos(x +φ)sinc +(a +b ?1)=0. 所以√13(a +bcosc)sin(x +φ)?√13bsinccos(x +φ)+(a +b ?1)=0. 由已知条件，上式对任意x ∈R 恒成立，故必有{a +bcosc =0①

bsinc =0②a +b ?1=0③ .

若b =0，则由式①知a =0，显然不满足式③.故b ≠0. 所以，由式②知sinc =0，故c =2kπ+π或c =2kπ(k ∈Z ).

当c =2kπ时，cosC =1，则式①，③矛盾.故c =2kπ+π(k ∈Z )，cosc =－1. 由式①，③知a =b =1

2，所以

bcosc a

=?1.

3．【2006高中数学联赛（第01试）】已知△ABC ，若对任意t ∈R ，|BA ????? ?tBC ????? |≥|AC ????? |，则△ABC 一定为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形

D ．答案不确定

【答案】C

【解析】令∠ABC =α，过A 作AD ⊥BC 于D .

由|BA ????? ?tBC ????? |?|AC ????? |推出|BA ????? |2?2tBA ????? ?BC ????? +t 2|BC ????? |2?|AC ????? |2， 令t =

BA ????? ?BC

????? |BC

????? |2，代入上式，得|BA ????? |2?2|BA

????? |2cos 2α+cos 2α|BA ????? |2?|AC ????? |2， 即|BA

????? |2sin 2α?|AC ????? |2，也即|BA ????? |sinα?|AC ????? |， 从而有|AD

????? |?|AC ????? |，由此可得∠ACB =π

2. 故选：C.

4．【2005高中数学联赛（第01试）】△ABC 内接于单位圆，三个内角A ，B ，C 的平分线延长后分别交此圆于A

1，B 1，C 1.则

AA 1?cos A 2+BB 1?cos B 2+CC 1?cos C

2

sinA+sinB+sinC

的值为( ) A ．2 B ．4 C ．6

D ．8

【答案】A

【解析】如图，联结BA 1，则AA 1=2sin (B +A

2)=2sin (

A+B+C 2

+B 2

?C 2

)=2cos (B 2

?C

2

)，

所以AA 1?cos A

2

=2cos (B

2

?C

2

)cos A

2

=cos

A+B?C 2

+cos

A+C?B 2

=cos (π2?C)+cos (π

2

?B)=sinC +sinB

同理BB 1?cos B

2

=sinA +sinC ，CC 1?cos C

2

=sinA +sinB ，

所以AA 1?cos A 2

+BB 1?cos B 2

+CC 1?cos C

2

=2(sinA +sinB +sinC)，

于是，原式=2(sinA+sinB+sinC)sinA+sinB+sinC

=2.

故选：A.

注本题也可以用“特殊值”法，当△ABC 是正三角形时，易知所求的值为2.

5．【2004高中数学联赛（第01试）】设锐角使关于x 的方程x 2+4xcosθ+cotθ=0有重根，则θ的弧度数为( ) A ．π

6

B ．π12

或5π

12

C ．π6

或5π

12

D ．π

12

【答案】B

【解析】因方程x 2+4xcosθ+cotθ=0有重根，故Δ=16cos 2θ?4cotθ=0. 因为0<θ<π

2，所以4cotθ(2sin2θ?1)=0.

得sin2θ=12

，所以2θ=π6

或2θ=

5π6

，

于是θ=

π

12

或5π

12

.

故选：B.

6．【2003高中数学联赛（第01试）】若x ∈[?5π12

,?π3

]，则y =tan (x +

2π3

)?tan (x +π6

)+cos (x +π

6

)的最大值

是( ) A ．12

5√2

B ．11

6

√2

C ．11

6

√3

D ．12

5

√3

【答案】C

【解析】由题意得y =tan (x +2π3

)+cot (x +

2π3

)+cos (x +π

6

)

=

1

cos(x+2π3)sin(x+2π

3

)

+cos (x +π

6)=

2

sin(2x+4π

3

)

+cos (x +π6

)，

因为?5π12

?x ??π

3

，所以2x +

4π3

∈[π2

,

2π

3

]，x +π6

∈[?π4

,?π6

]，

可见

2

sin(2x+4π

3

)

与cos (x +π6

)在[?

15π12

,?π

3

]上同为递增函数.

故当x =?π

3

时，y 取最大值

11√36

.

故选：C.

7．【2001高中数学联赛（第01试）】在四个函数y =sin|x|，y =cos|x|，y =|cotx |，y =lg|sinx|中以π为周期，在(0,π

2)上单调递增的偶函数是( )

A ．y =sin|x|

B ．y =cos|x|

C ．y =|cotx|

D ．y =lg|sinx|

【答案】D

【解析】可考虑用排除法.

y =sin|x|不是周期函数(可通过作图判断)，排除A ；

y =cos|x|的最小正周期为2π，且在(0,π

2)上是减函数，排除B ；

y =|cotx|在(0,π

2

)上是减函数，排除C .

故选：D.

8．【2001高中数学联赛（第01试）】如果满足∠ABC =60°，AC =12，BC =k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是( ) A ．k =8√3 B ．0

C ．k ≥12

D ．0

【答案】D

【解析】根据题设，△ABC 共有两类，如图，可求得k =8√3或0

9．【2000高中数学联赛（第01试）】设sinα>0,cosα<0，且sin α

3

>cos α

3

，则α

3

的取值范围是( )

A ．(2kπ+π6

,2kπ+π

3

),k ∈Z

B ．(2kπ3

+π6

,

2kπ

3

+π

3

),k ∈Z

C ．(2kπ+

5π6,2kπ+π),k ∈Z

D ．(2kπ+π4

,2kπ+π3

)∪(2kπ+5π6

,2kπ+π),k ∈Z

【答案】D

【解析】(1)由sinα>0,cosα<0知a 终边在第二象限； (2)由sin α

3

>cos α

3

知α

3

终边在第一、三象限的角平分线的上方.

选项A 显然不符合条件(2)，选项B 取k =0时亦知不符合条件(2)，

选项C 与选项D 有相同部分，只需检验选项D 中的前部分，显然符合条件(2)， 又将其乘以3，也在第二象限，符合条件(1). 故选：D.

10．【1999高中数学联赛（第01试）】已知点A (1，2)，过点(5，－2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B ，C ，那么，△ABC 是( ). A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形

D ．答案不确定

【答案】C

【解析】设B (t 2,2t ),C (s 2,2s ),s ≠t,s ≠1,t ≠1. 则直线BC 的方程为

y?2t 2s?2t

=

x?t 2s 2?t 2

，化简，有2x ?(s +t)y +2st =0，

又因为直线BC 过点(5，－2)，故2×5?(s +t)(?2)+2st =0， 即(s +1)(t +1)=4， 所以k AB ?k AC =

2t?2t 2?1

?

2s?2s 2?1

=

4(s+1)(t+1)

=?1，

所以∠BAC =90°，即△ABC 是直角三角形.

11．【1997高中数学联赛（第01试）】设f(x)=x 2?πx,α=arcsin 1

3

，β=arctan 5

4

，γ=arccos (?1

3

)，δ=

arccot (?5

4

)，则( )

A ．f(α)>f(β)>f(δ)>f(γ)

B ．f(α)>f(δ)>f(β)>f(γ)

C ．f(δ)>f(α)>f(β)>f(γ)

D ．f(δ)>f(α)>f(γ)>f(β)

【答案】B

【解析】由题意，f (x )的图像关于直线x =π2

对称，且在(?∞,π2

)单调减少，在(π

2

,+∞)单调增加.

所以，当|x1?π

2|>|x2?π

2

|时，有f(x1)>f(x2)，

又易知0<α<π

6,π

4

<β<π

3

,π

2

<γ<2π

3

,3π

4

<δ<5π

6

，

所以0<|γ?π

2|<π

6

<|β?π

2

|<π

4

<|δ?π

2

|<π

3

<|α?π

2

|<π

2

.

故有f(α)>f(δ)>f(β)>f(γ).

12．【1996高中数学联赛（第01试）】设x∈(?1

2

,0)，以下三个数：α1=cos(sinxπ)，α2=sin(cosxπ)，α3= cos(x+1)π的大小关系是( )

A．α3<α2<α1B．α1<α3<α2

C．α3<α1<α2D．α2<α3<α1

【答案】A

【解析】解法一因为是选择题，我们可以用特殊值法来解决这个问题.设x=?1

3

，

计算题中几个算式的值：

cossinxπ=cos1

2=sinπ?1

2

，sincosxπ=sin√3

2

2

，cos(x+1)π<0.

解法二令?xπ=k，则k∈(0,π

2)，则0

2

，cosk∈(0,π

2

).

所以α1=cossink>cosk>sincosk=α2>0，α3=?cosk<0<α2，即α1>α2>α3.

13．【1995高中数学联赛（第01试）】log in 1cos1,log sin1tan1,log geos 1sin1,log cos 1 tan 1的大小关系是( ) A．log sin1cos1

B．log cos1sin1

C．log sin1tan1

D．log cos1tan1

【答案】C

【解析】由π

4

<1知cos1

从而log sin1tan1<0且log cos1tan1<0，

而log sin1cos1>0且log cos1sin1>0，

于是可排除A和B，只剩C和D，

又由log cos1sin1

14．【1994高中数学联赛（第01试）】设a，b，c是实数.那么对任何实数x，不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要条件是( )

A．a，b同时为0，且c>0B．√a2+b2=c

C．√a2+b2c

【答案】C

【解析】与a，b不同时为零时asinx+bcosx+c>0①

所以√a2+b2sin(x+φ)+c>0，则sin(x+φ)>

22

②

而式②成立的充分必要条件是

√22

当a，b同时为零时，此时不等式成立的充要条件是c>√a2+b2.

这一结论含于C中，故选C．

15．【1994高中数学联赛（第01试）】已知0

4

，则下列三数：x=(sina)log b sina，y=(cosa

)log b cosa,z=(sina)log b cosa的大小关系是( )

A．x

【答案】A

【解析】因为0

又因为0

4

，所以0

所以log b sina>log b cosa>0，所以(sina)log b sina<(sina)log b cosa，即z>x.

又(sina)log b cosa<(cosa)log b cosa，即z

16．【1993高中数学联赛（第01试）】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边边长分别是a，b，c，若c－a等于

AC边上的高h，则sin C?A

2+cos C+A

2

的值是( )

A．1B．1

2C．1

3

D．?1

【答案】A

【解析】如图，显然1=c?a=?=a.

此时sin∠C?∠A

2+cos∠C+∠A

2

=sin30°+cos60°=1.

17．【1992高中数学联赛（第01试）】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c(b≠1)，且C

A ,sin

B sinA

都

是方程log

√b

x=log b(4x?4)的根，则△ABC( ).

A．是等腰三角形，但不是直角三角形

B．是直角三角形，但不是等腰三角形

C．是等腰直角三角形

D．不是等腰三角形，也不是直角三角形

【答案】B

【解析】由已知方程得log b x2=log b(4x?4)，即x2?4x+4=0.求得的根x1=x2=2，故∠C=2∠A以及sinB=2sinA.

因∠A+∠B+∠C=180°，所以3∠A+∠B=180°，

因此sinB=sin3A，所以2sinA?4sin3A=2sinA.

即sinA(1?4sin2A)=0.

但sinA≠0，所以sin2A=1

4，而sinA>0，所以sinA=1

2

.

从而∠A=30°,∠C=60°,∠B=90°.

18．【1990高中数学联赛（第01试）】设a∈(π

4,π

2

)，则(cosa)cosa，(sina)cosa,(cosa)sina的大小顺序是( )

A．(cosα)cosα<(sinα)cosα<(cosα)sinαB．(cosα)cosα<(cosα)sinα<(sinα)cosαC．(sinα)cosα<(cosα)cosα<(cosα)sinαD．(cosα)sinα<(cosα)cosα<(sinα)cosα【答案】D

【解析】因为a∈(π

4,π

2

)，所以0

2

故(cosa)sina<(cosa)cosa，所以(cosa)cosa<(sina)cosa.

19．【1989高中数学联赛（第01试）】若A，B是锐角△ABC的两个内角，则复数z=cosB?sinA+i(sinB ?cosA)在复平面内所对应的点位于( )

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】B

【解析】因为A+B>π

2，进而0<π

2

?A

2

，

所以cosB

2?A)=sinA，sinB>sin(π

2

?A)=cosA，cosB?sinA<0，sinB?cosA>0.

说明z位于第二象限.

20．【1989高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=arctanx+1

2

arcsinx的值域是( ).

A．(?π,π)B．[?3π

4,3π

4

]C．(?3π

4

,3π

4

)D．[?π

2

,π

2

]

【答案】D

【解析】f(x)的定义域是[－1，1]，此时?π

4?arctanx?π

4

，?π

4

?1

2

arcsinx?π

4

.

而且arctanx和arcsinx是单调增加的，从而f(x)的值域是[?π

2,π2 ].

21．【1987高中数学联赛（第01试）】边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是( )

A．10√2B．14C．5√6D．12

【答案】B

【解析】不妨设菱形ABCD的对角线BD?6,AC?6，

令∠ABD=θ，则45°

5

?θ<90°，

所以AC+BD=10(sinθ+cosθ)=10√2sin(θ+45°).

注意到90°<45°+arccos3

5

?θ+45°<135°，而y=sinx在第二象限递减，

所以当θ+45°=45°+arccos3

5

时，sin(θ+45°)取得最大值，

这时θ=arccos3

5

，(AC+BD)max=10(sinθ+cosθ)=14.

22．【1987高中数学联赛（第01试）】如图，△ABC的顶点B在单位圆的圆心上，A，C在圆周上，∠ABC=2a

(0

3

).现将△ABC在圆内按逆时针方向依次作旋转，具体方法如下：第一次，以A为中心，使B落在圆周上；第二次，以B为中心，使C落到圆周上；第三次，以C为中心，使A落到圆周上，如此旋转直到第100次.那么，点A所走路程的总长度为( )

A．22π(1+sina)?66a B．22π+68

3

πsina?66a

C．67

3

πD．33π?66a

【答案】A

【解析】当△ABC依次以A，B，C(即在图中A，B1，C2)为中心，在圆内接逆时针方向旋转，使点B再次回到圆心时，点A所描画的轨迹为圆弧AA1及圆弧A1A2，且它们的半径分别为1，AC的长边为2sina.

因为△AB1B与△B1C2B为正三角形，∠A1B1C2=2a，所以弧AA1所对的圆心角为2

3

π?2a.

又由△A1B1C2以C2为中心作第三次旋转时，其边C2B1旋转了π

3到达C2B，因而，弧A1A2所对的圆心角为π

3

，

这样，△ABC每旋转三次，点A所走的路程为(2

3π?2a)×1+π

3

×2sina=2

3

π(1+sina)?2a.

故△ABC旋转100次，点A所走的路程为s=100?1

3[2

3

π(1+sina)?2a]=22π(1+sina)?66a.

23．【1986高中数学联赛（第01试）】设－1

A．{x|2nπ+θ

B．{x|2nπ?θ

C．{x|(2n?1)π+θ

D．{x|(2n?1)π?θ

【答案】D

【解析】因为?1

2

,0).

先求出在区间(?π,0)中，满足方程sinx=a的角x=?π?arcsina和x=arcsina.从单位圆中，容易看出，不等式sinx

24．【1985高中数学联赛（第01试）】已知方程arccos4

5?arccos(?4

5

)=arcsinx，则( )

A ．x =

2425

B ．x =?24

25

C ．x =0

D ．这样的x 不存在

【答案】D

【解析】因为arccos (?4

5

)=π?arccos 4

5

，所以原方程为2arccos 4

5

?arcsinx =π，

又因为arccosx 是减函数，所以arccos 45

√22

=π

4

.

又?arcsinx ?π2

，所以2arccos 4

5

?arcsinx <π.

此式表明没有能满足方程的x.

25．【1984高中数学联赛（第01试）】若动点P (x ，y )以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点Q (－2xy ，y 2－x 2)的运动方式是( )

A ．以角速度ω在单位圆上顺时针运动

B ．以角速度ω在单位圆上逆时针运动

C ．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动

D ．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动 【答案】C

【解析】将动点P (x ，y )的坐标用参数式表示{x =cosωt

y =sinωt ，其中t 为参数. 动点Q (－2xy ，y 2－x 2)可表示为Q (x'，y').

{

x ′=?2xy =?sin2ωt =cos (?2ωt +3

2π)

y ′=y 2?x 2=?cos2ωt =sin (?2ωt +3

2

π)

很明显，角ωt 与?2ωt 的旋转方向是相反的.

26．【1983高中数学联赛（第01试）】已知等腰△ABC 的底边BC 及高AD 的长都是整数，那么sinA 和cosA 中( )

A ．一个是有理数，另一个是无理数

B ．两个都是有理数

C ．两个都是无理数

D ．是有理数还是无理数要根据BC 和AD 的数值来确定 【答案】B

【解析】在等腰△ABC 中，设t =tan (1

2

∠BAC)=tan A

2

，因为底边BC 与高AD 的长都是整数，又t =tan A

2

=

BD AD

=

BC 2AD

，所以t 是有理数.

于是，从sinA=2t

1+t2,cosA=1?t2

1+t2

得sinA,cosA都是有理数.

27．【1983高中数学联赛（第01试）】任意△ABC，设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为l，R与r，那么( )

A．l>R+r B．l?R+r

C．1

6

【答案】D

【解析】由正弦定理R=a

2sinA

对于边长a为定值的任意△ABC，总存在一个锐角A，使其外接圆半径R大于任意

给定的常数M(不妨假定M>a

2

).

因为若要R=a

2sinA >M,只要0

2M

.

所以对于任意△ABC，选项A，C不可能.

当△ABC为正三角形，设边长为a，则l=3a,R=√3

3a,r=√3

6

a，此时l>R+r.

故选项B也不可能.

28．【1982高中数学联赛（第01试）】对任何φ∈(0,π

2

)都有( ) A．sinsinφ

B．sinsinφ>cosφ>coscosφ

C．sincosφ>cosφ>cossinφ

D．sincosφ

【答案】D

【解析】我们知道，如果α>0，则sinα<α.

因为φ∈(0,π

2)，所以0

2

.

而cosx在区间(0,π

2

)上是减函数，所以cosφ

由cosφ∈(0,1)，又可知sincosφ

由式①，②可知sincosφ

29．【1981高中数学联赛（第01试）】条件甲:两个三角形的面积和两条边对应相等.条件乙:两个三角形全等( )

A．甲是乙的充分必要条件

B．甲是乙的必要条件

C．甲是乙的充分条件

D．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件

【答案】B

【解析】若两个三角形全等，则其边对应相等，面积也相等.但若两边对应相等，其夹角互补，则亦有面积相等.

其实，由面积相等和两边对应相等，根据面积公式1

2

absinC，只能推得夹角的正弦相等，因此夹角可能相等也可能互补，两个三角形未必全等，故答案为选项B．

30．【1981高中数学联赛（第01试）】条件甲:√1+sinθ=a.条件乙:sinθ

2+cosθ

2

=a

A．甲是乙的充分必要条件

B．甲是乙的必要条件

C．甲是乙的充分条件

D．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件【答案】D

【解析】条件甲即√1+sinθ=|sinθ

2+cosθ

2

|?0.

而当θ

2+π

4

为第三或四象限角时，条件乙sinθ

2

+cosθ

2

<0.

此时，甲乙两式不相等

31．【1981高中数学联赛（第01试）】设α≠kπ

2(k=0,±1,±2,?),T=sinα+tanα

cosα+cotα

A．T取负值B．T取非负值C．T取正值D．T取值可正可负【答案】C

【解析】由题意得T=sinα+tanα

cosα+cotα=tanα(cosα+1)

cotα(sinα+1)

=tan2α?cosα+1

sinα+1

>0.

其中α≠kπ

2

,k=0,±1,±2,?.优质模拟题强化训练

1．△ABC的三边长分别为AB=a，BC=b，CA=c．若{c=√a2?2+√b2?2

a=√b2?3+√c2?3

b=√c2?4+√a2?4

，则→

AB

?→

BC

，→

BC

?→

CA

，→

CA

?→

AB

中小于

0的个数为（）．

A．3B．2C．1D．0

【答案】A

【解析】

如图，以a为斜边、√2为直角边作Rt△ABE；以b为斜边、BE为直角边作Rt△BCE，

使EC在AE的延长线上．则CA=√a2?2+√b2?2=c．

同理，作Rt△CBF、Rt△CAF、Rt△ACD、Rt△ABD，使CF=√3，AD=2，有AB=√b2?3+√c2?3=a，BC=√c2?4+√a2?4=b．

可见，图所得到的△ABC就是已知三角形（全等），

这个三角形的三条高线为AD=2，BE=√2，CF=√3．

由三角形面积公式有AB?CF=BC?AD=CA?BE=2S△ABC．

则AB=2S△ABC

CF =

√3△ABC

，BC=2S△ABC

AD

=S△ABC，CA=2S△ABC

BE

=√2S△ABC．

从而，△ABC中的最大角为∠ABC．

由余弦定理得cos∠ABC=AB2+BC2?CA2

2AB?BC =√3

12

>0．

可见，∠ABC为锐角，△ABC为锐角三角形，得→

AB ?→

BC

=ab cos(π?∠ABC)<0．

同理，→

BC ?→

CA

<0，→

CA

?→

AB

<0．选A.

2．arccos1

3+1

2

arccos7

9

=（）.

A．3π

8B．2π

3

C．π

2

D．arcsin8

9

【答案】C 【解析】

令θ=arccos1

3+1

2arccos

7

9

，则π

6

<θ<π

2

+1

2

×π

6

=π

2

+π

12

，

即π

3<2θ<π+π

6

.

因为cos[2arccos1

3]=2[1

3

]2?1=?7

9

=cos[π?arccos7

9

]，

所以，2θ=π.故θ=π

2

.选C.

3．设f(x)=cos(ωx)的最小正周期为6，则f(1)+f(2)+?+f(2018)的值是（）.

A．0B．1C．1

2D．√3

2

【答案】A

【解析】

由最小正周期为6可知6ω=2π，即ω=π

3

.

于是当k为整数时，

f(6k+1)+f(6k+2)+f(6k+3)+f(6k+4)+f(6k+5)+f(6k+6)=0即每个完整周期内的6个函数值之和为零.注意2018=6×336+2，

所以原式=f(1)+f(2)=cosπ

3+cos2π

3

=0.

故答案为A

4．函数y=(sinx?1)(cosx?1)

2+sin2x

(x∈R)的最大值为（）.

A．√2

2B．1C．1

2

+√2

2

D．√2

【答案】B

【解析】

因为y=sin x?cos x?(sin x+cos x)+1

2+2sin x?cosx

，令

t=sin x+cos x=√2sin(x+π

4

)∈[?√2,√2]，

则sin x?cos x=1

2

(1?t2)，于是

y=1

2(t

2?1)?t+1

2+(t2?1)

=

1

2

?

t

t2+1

.

令g(t)=t

t2+1(t∈?√2,√2)，则g′(t)=1?t2

(t2+1)2

.

由g′(t)=0知t=?1或1.

因为g(?√2)=?√2

3,g(?1)=?1

2

,g(1)=1

2

,g(√2)=√2

3

，于是g(t)的最小值是g(?1)=?1

2

，所以y的最大值是

1 2?(?1

2

)=1.

故答案为:B

5．设曲线f(x)=acosx+bsinx的一条对称轴为x=π

5。则曲线y=f(π

10

?x)的一个对称点为（）。

A．(π

5,0)B．(2π

5

,0)C．(3π

5

,0)D．(4π

5

,0)

【答案】B

【解析】

因f(x)=a cos x+b sin x=√a2+b2sin(x+θ)的周期为2π，

所以，曲线f(x)=a cos x+b sin x的一个对称点为(π

5+π

2

,0)，即(7π

10

,0).

于是，曲线y=f(x+π

10)的一个对称点为(3π

5

,0).

则曲线y=f(π

10?x)的一个对称点为(?3π

5

,0).

又y=f(π

10

?x)的周期为2π，其对称点的周期为π，

故答案为：B

6．已知sin2005x+cos2005x=1.则对任意k>0，必有（）

A．sin k x+cos k x=1B．sin k x+cos k x>1

C．sin k x+cos k x<1D．sin k x+cos k x的值不确定

【答案】A

【解析】

因sin2005x+cos2005x≤sin2x+cos2x=1，等于成立当且仅当sin x与cos x一个取0，另一个取1，此时，对任意k >0，必有sin k x+cos k x=1.

故答案为:A

7．已知ΔABC为锐角三角形，f(x)=?x2+2x+m，p=sinA+sinB+sinC，q=cosA+cosB+cosC.则（）.

A．f(p)>f(q)B．f(p)=f(q)

C．f(p)

【答案】C

【解析】

由ΔABC为锐角三角形得∠A+∠B>π

2?∠A>π

2

?∠B>0

从而，sinA>cosB.

同理，sinB>cosC，sinC>cosA.

故p>q.

因cosA+cosB+cosC=1+4sin A

2sin B

2

sin C

2

>1，

所以p>q>1.

又f(x)在(1,+∞)内为减函数，因此，f(p)

8．y=sin(π

3

+x)?sin3x的最大值为（）．

A．√3

2B．1C．16√3

25

D．8√3

9

【答案】D 【解析】

令π

3+x=t，则x=t?π

3

，sin3x=sin(3t?π)=?sin3t，

y=sin(π

3

+x)?sin3x=sint+sin3t=4sint(1?sin2t)．故y2=16sin2t(1?sin2t)(1?sin2t)

=8(2sin2t)(1?sin2t)(1?sin2t)≤8×(2

3)

3

=64

27

．

所以，y≤8√3

9，等号在sin2t=1

3

时成立．

9．函数y=[sinx?cosx]+[sinx+cosx]的值域为（）（[x]表示不超过实数x的最大整数）. A．{?2,?1,0,1,2}B．{?2,?1,0,1}

C．{?1,0,1}D．{?2,?1,1}

【答案】D

【解析】

y=[1

2sin2x]+[√2sin(x+π

4

)]..

下面的讨论均视k∈Z.

（1）当2kπ≤x≤2kπ+π

2

时，y=1；

（2）当2kπ+π

2

4

时，y=?1；

（3）当2kπ+3π

4

（4）当x=2kπ+π或2kπ+3π

2

时，y=?1；

（5）当2kπ+π

2

时，y=?2；

（6）当2kπ+3π

2

4

时，y=?2；

（7）当2kπ+7π

4

≤x<2kπ+2π时，y=?1.

综上，y∈{?2,?1,1}.

故答案为：D

10．在锐角ΔABC中，令y=tanA+tanB+tanC

sinA+sinB+sinC

.则（）.

A．0

C．y≥3D．1≤y≤2【答案】B

【解析】

tanA+tanB+tanC

=sin(B+C)

cosA

+

sin(C+A)

cosB

+

sin(A+B)

cosC

=(cosC

cosB +cosB

cosC

)sinA+(cosA

cosC

+cosC

cosA

)sinB+(cosB

cosA

+cosA

cosB

)sinC.

≥2(sinA+sinB+sinC)

11．已知两个不等的锐角α、β，满足x sinβ+y cosα=sinα，x sinα+y cosβ=sinβ，其中，α+β≠π

2

，且x、y ∈R.则x2?y2的值是（）.

A．?1B．0

C．1D．不存在

【答案】C

【解析】

由题意解得

x=sinβ?cosα?sinα?cosβsinα?cosα?sinβ?cosβ=2sin(β?α)

sin2α?sin2β

=2sin(β?α)

2cos(α+β)?sin(α?β)

=?

1

cos(α+β)

=?sec(α+β)

y=sin 2α?

sin

2β

sinα?cosα?sinβ?cosβ

=cos2β?cos2αsin2α?sin2β=sin(α+β)?sin(α?β)

sin(α?β)?cos(α+β)

=tan(α+β)

故x2?y2=[?sec(α+β)]2?tan2(α+β)=1. 故答案为C

12．设0

2，且满足tany=tanx+1

cosx

.那么，y?x

2

的值是（）.

A．π

12B．π

6

C．π

4D．π

3

【答案】C 【解析】

tan x+

1

cos x

=

1+sin x

cos x

=

1+cos(

π

2?x)

sin(

π

2?x)

=2cos 2(π

4

?x

2

)

2sin(π

4?x

2

)?cos(π

4

?x

2

)

=cot(π

4

?x

2

)=tan(π

4

+x

2

)=tan y

而0

2，则y、π

4

+x

2

都在(0,π

2

)内，

即y=x

2+π

4

.所以，y?x

2

=π

4

.

故答案为：C

13．锐角ΔABC的三边长a、b、c和面积S满足S=c2?(a?b)2

k

，且∠C既不是ΔABC的最大内角，也不是最小内角.则实数k的取值范围是（）.

A．(0,4)B．(4(√2?1),4)

C．(0,4(√2?1))D．(4,+∞)

【答案】B

【解析】

不妨设0<∠A≤∠C≤∠B<π

2，则π

2

<∠A+∠C≤2∠C≤∠C+∠B<π.

从而，π

4<∠C<π

2

.

又k=c2?(a?b)2

S =2ab?(a2+b2?c2)

1

2

ab sin C

2=2ab(1?cos C)

1

2

ab sin C

=4tan C

2

在(π

4,π

2

)上是增函数，所以，4tanπ

8

4

故4(√2?1)

14．在ΔABC中，∠A≤∠B≤∠C，sinA+sinB+sinC

cosA+cosB+cosC

=√3，则∠B的取值范围是（）.

A．(π

3,π

2

)B．(0,π

2

)

C．π

3D．(π

4

,π

3

)

【答案】C

【解析】

由条件有sin A+sin B+sin C=√3(cos A+cos B+cos C)

?2sin A+C

2°cos A?C

2

+sin B=√3(2cos A+C

2

°cos A?C

2

+cos B)

?(2√3cos A+C

2?2sin A+C

2

)cos A?C

2

=sin B?√3cos B.

利用辅助角公式有2sin(π

3?A+C

2

)cos A?C

2

=sin(B?π

3

)

?2sin(B

2?π

6

)cos A?C

2

=2sin(B

2

?π

6

)cos(B

2

?π

6

)

?2sin

B?60°

2

(cos

A?C

2

?cos

B?60°

2

)=0

?sin B?60°

2°sin A?C+B?60°

4

°sin B?A+C?60°

4

=0，

所以，∠B?60°=0或者∠A?∠C+∠B?60°=0或者∠B?∠A+∠C?60°=0,

即∠B=60°或者∠C=60°或者∠A=60°,亦即∠A、∠B、∠C中有一个为60°.

若∠B<60°,则∠A≤∠B<60°，所以，只能∠C=60°，此时，∠A+∠B+∠C<180°,矛盾；

若∠B>60°，则∠C≥∠B>60°,所以，只能∠A=60°，从而，∠A+∠B+∠C>180°，亦矛盾.选C. 15．已知△ABC的三边长a、b、c满足a2?a?2b?2c=0,且a+2b?2c+3=0.则△ABC的最大内角的度数是( ).

A．150°B．120°

C．90°D．60°

【答案】B

【解析】

由(a+2b+2c)(a+2b?2c)=?3a2，有a2+b2+ab=c2，故cos C=?1

2

.选B.

16．已知sin(α+2β)=3

5，sin(2α?3β)=4

5

，α∈[π

12

,π

4

]，β∈[0,π

12

]。则sin(8α?5β)=（）。

A．4

25B．?4

125

C．?4

5D．4

5

【答案】C

【解析】

注意到sin(8α?5β)

高考数学二轮复习：三角函数专题

高考数学二轮复习：三角函数的专题(附参考答案) 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用： 1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,3 3cos sin -=-求。 分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=- ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--= 其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。 A ．m 2=n B ．m 2=12+n C ．n m 22= D ．22m n = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系： sin θcos θ=2 121)cos (sin 22-=-+m θθ 而：n ctg tg ==+θ θθθcos sin 1 故：1212122+=?=-n m n m ，选B 。 例3 已知：tg α+ctg α=4，则sin2α的值为（ ）。 A ．21 B ．21- C ．41 D ．4 1-

高中数学三角函数知识点(复习)

三角函数知识点复习 §1.1.1、任意角 1、正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角终边相同的角的集合： . §1.1.2、弧度制 1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 . 3、弧长公式：. 4、扇形面积公式：. §1.2.1、任意角的三角函数 1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么： 2、 设点为角终边上任意一点，那么：（设），，， 3、 ，，在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 5、特殊角0°，30°，45°，60°， 1、平方关系：. 2、商数关系：. 3、倒数关系： §1.3、三角函数的诱导公式 （概括为“奇变偶不变，符号看象限”） 1、 诱导公式一： （其中：）

2、 诱导公式二： 3、诱导公式三： 4、诱导公式四： 5、诱导公式五： 6、诱导公式六： §1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大 最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. 在上的五个关键点为：

§1.4.3、正切函数的图象与性质 图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

图象

定 义 域 值 域 [-1,1][-1,1] 最 值 周 期 性 奇 偶 性 奇偶 单调性在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性对称轴方程： 对称中心 对称轴方程： 对称中心

1、记住正切函数的图象： 2、记住余切函数的图象：

(完整)高一数学三角函数试题及答案解析,推荐文档

2 3 ) 高一数学三角函数综合练习题 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的,把正确的答案填在指定位置上.） - 1. 若角、满足-90 << < 90 ，则 是（ ） 2 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 3 2. 若点 P (3 , y ) 是角 终边上的一点，且满足 y < 0, cos = ，则 tan = （ ） 3 3 4 5 4 A ． - B ． C ． D ． - 4 4 3 3 1 3. 设 f (x ) = cos 30 g (x ) -1 ，且 f (30 ) = ，则 g (x ) 可以是（ ） 2 A. 1 cos x 2 B. 1 sin x 2 C. 2cos x D. 2sin x 4. 满足 tan ≥cot 的一个取值区间为（ ） A ． (0, ] B ．[0, ] C ．[ , ) D ． [ , ] 4 1 5. 已知sin x = - 3 1 A. arcsin 3 4 ，则用反正弦表示出区间[-, - B. -+ a rcsin 1 3 4 2 4 2 ] 中的角 x 为（ ） 2 C. -arcsin 1 D ． 3 1 arcsin 3 7. ?ABC 中，若cot A c ot B > 1，则?ABC 一定是（ ） A ．钝角三角形 B ． 直角三角形 C ．锐角三角形 D ．以上均有可能 1+ cos 2x + 3sin 2 x 9. 当 x ∈(0, ) 时，函数 f (x ) = sin x 的最小值为（ ） A ． 2 B ．3 C ． 2 D ．4 10. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点. 若函数 y = f (x ) 的图象恰 好经过 k 个格点，则称函数 f (x ) 为 k 阶格点函数. 下列函数中为一阶格点函数的是 （ ） A. y = sin x B. y = cos(x + 6 C. y = lg x D. y = x 2 第Ⅱ卷（非选择题，共计 100 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把正确的答案填在指定位置上.） +

高中数学三角函数知识点归纳总结

《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα<

,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号

高中数学三角函数知识点总结(非常好用)

高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： x y + O — — + # x y O — + + — + y O ) | — + + —

sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系：αα cos sin =tan α （z k k ∈+≠ ,2 ππ α） 6.诱导公式：记忆口诀：2 k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号 看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ' ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质

高一数学三角函数试题及答案解析

高一数学试卷 、选择题(本大题共 10小题，每小题5分，共50分?在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，把正确的答案填在指定位置上 .) 1.若角、 满足 90° 90°，则 ------ 是( ) 2 A ? 第一象限角 B ?第二象限角 C ?第三象限角 D ? 第四象限角 2. 若点 P(3 : ,y)是角 终边上的一点，且满足 y 0, cos 3 山 ，贝U tan ( ) 5 A 3 3 c 4 D 4 B C 4 4 3 3 3. 设 f(x) 1 cos30o g(x) 1，且 f(30o )- 2 ，则g(x)可以是( ) A 1 cosx B ?丄sinx C ? 2cosx D ? 2sin x 2 2 4.满足tan cot 的一个取值区间为( ) -(0 ,4] 7. ABC 中，右 cot Acot B 1，则 ABC 疋是( ) A .钝角三角形 B ?直角三角形 C ?锐角三角形 D ?以上均有可能 A ? 2,2 B 横、纵坐标均为整数的点叫做格点 .若函数y f (x)的图象恰好 9.B 解析：由 cos2x 1 2 2sin x ,整理得 f (x) sinx 亠0 sin x x ). 令 t sin x,0 t 1，则函数y t 2在t 1时有最小值 t 3 . 经过k 个格点，则称函数 f (x)为k 阶格点函 数 F 列函数中为一阶格点函数的是 5. 已知sin x 1 -，则用反正弦表示出区间［ 3 2】中的角 x 为( .i arcs in 3 .1 arcs in C 3 .1 arcs in 3 ) .1 arcs in — 3 [牯) 7.A 解析：因 cot Acot B 1即有 cosAcosB sin Asi n B 1.由 sin A,sin B 0,得 cosAcosB sin As inB 0 即 cos(A B) 0,故 A B (0,2)，C 9.当x (0,)时，函数 f(x) 2 1 cos2x 3sin x ” 冃— 的最小值为( sin x 10.在平面直角坐标系中,

高中数学三角函数公式大全

高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

高中数学三角函数公式总结

平方关系：sin^2α＋cos^2α＝1 商的关系：sinα/cosα＝tanα 直角三角形ABC中, 角A 的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边, [1]三角函数恒等变形公式两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanαtanβ-tanβ·tanγ-ta nγ·tanα) 辅助角公式：Asinα+Bcosα=(A2+B2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A2+B2)^(1/2) cost=A/(A2+B2)^(1/2) tant=B/A Asinα-Bcosα=(A2+B2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan2(α)] 三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin3(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α) cos(3α)=4cos3(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α) tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降幂公式sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)] cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 推导公式1+cos2α=2cos2α 1-cos2α=2sin2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)2 其他：

高中数学三角函数测试试卷简单(完美版)

一．单选题（共__小题） 1．已知0≤x≤2π，且sinx＜cosx，则x的取值范围是（） A．B．C．D． 2．已知a=sin（-1），b=cos（-1），c=tan（-1），则a、b、c的大小关系是（） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C ．b ＜a ＜c D ．c ＜a ＜b 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜） 的部分图象如图，则函数f（x）的解析式为（） A．f（x）=4sin（x-）B．f（x）=-4sin（x+） C．f（x）=-4sin（x-）D．f（x）=4sin（x+） 4．已知函数f（x）=Atan（ωx+φ）（ω＞1，|φ|＜），y=f（x）的部分图象如图，则f（）=（）

A．B．C．D． 5．函数的最小值为（） A．8B．10C．12D． 6．α，β都是锐角，且，，则sinβ的值是（）A．B．C．D． 7．已知，tanα，tanβ是关于方程x2+2011x+2012=0的两根，则α+β=（） A．B．C．或D．或 8．已知函数f（x）=sin（ωx）在[0，10π]上恰好存在5个最大值，则ω的取值范围是（）A．5B．C．D． 如图所示，设点A是单位圆内的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时 针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，原点O到弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致是（） A．B． C．D．

． ． ． ． 11．若0＜x ＜，则2x 与3sin x 的大小关系（ ） A ．2x ＞3sin x B ．2x ＜3sin x C ．2x=3sin x D ．与x 的取值有关 12．在△ABC 中，若3cos （A-B ）+5cosC=0，则tanC 的最大值为（ ） A ．- B ．- C ．- D ．-2 函数y=Asin （ωx+?）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （11）的值等于（ ） A ． B ． C ． D ． 14．已知α，β是锐角，sin α=x ，cos β=y ，cos （α+β）=-，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．- + x （ ＜x ＜1） B ． C ． D ． 二．填空题（共__小题）

人教版 高中数学必修4 三角函数知识点

高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+=

高中数学三角函数知识点总结(珍藏版)

高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦

sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + —

高中数学三角函数练习题及答案解析(附答案)

高中数学三角函数练习题及答案解析（附答 案） 一、选择题 1．探索如图所呈现的规律，判断2 013至2 014箭头的方向是() 图1－2－3 【解析】观察题图可知0到3为一个周期， 则从2 013到2 014对应着1到2到3. 【答案】 B 2．－330是() A．第一象限角B．第二象限角 C．第三象限角D．第四象限角 【解析】－330＝30＋(－1)360，则－330是第一象限角．【答案】 A 3．把－1 485转化为＋k360，kZ)的形式是() A．45－4360 B．－45－4360 C．－45－5360 D．315－5360 【解析】－1 485＝－5360＋315，故选D. 【答案】 D 4．(2019济南高一检测)若是第四象限的角，则180－是() A．第一象限的角B．第二象限的角 C．第三象限的角D．第四象限的角

【解析】∵是第四象限的角，k360－90k360，kZ， －k360＋180180－－k360＋270，kZ， 180－是第三象限的角． 【答案】 C 5．在直角坐标系中，若与的终边互相垂直，则与的关系为() A．＝＋90 B．＝90 C．＝＋90－k360 D．＝90＋k360 【解析】∵与的终边互相垂直，故－＝90＋k360，kZ，＝90＋k360，kZ. 【答案】 D 二、填空题 6．，两角的终边互为反向延长线，且＝－120，则＝________. 【解析】依题意知，的终边与60角终边相同， ＝k360＋60，kZ. 【答案】k360＋60，kZ 7．是第三象限角，则2是第________象限角． 【解析】∵k360＋180k360＋270，kZ k180＋90k180＋135，kZ 当k＝2n(nZ)时，n360＋90n360＋135，kZ，2是第二象限角，当k＝2n＋1(nZ)时，n360＋270n360＋315，nZ

高中数学三角函数

三角函数常见题 1、A，B，C为三角形内角，已知1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC，求角A 解：1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC 2cos2A-1-2cos2B+1+2sin2C=2sinBsinC cos2A-cos2B+sin2(A+B)=sinBsinC cos2A-cos2B+sin2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC cos2A-cos2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC 2cos2AsinB+2sinAcosAcosB=sin(180-A-B) 2cosA(cosAsinB+sinAcosB)-sin(A+B)=0 Sin(A+B)(2cosA-1)=0 cosA=1/2 A=60 2、证明：(1+sinα+cosα+2sinαcosα)/(1+sinα+cosα)=sinα+cosα <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+(sina+cosa)2 <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+1+2sinacosa <===>0=0恒成立 以上各步可逆，原命题成立 证毕 3、在△ABC中,sinB*sinC=cos2(A/2),则△ABC的形状是? sinBsin(180-A-B)=(1+cosA)/2 2sinBsin(A+B)=1+cosA 2sinB(sinAcosB+cosAsinB)=1+cosA sin2BsinA+2cosAsin2B-cosA-1=0 sin2BsinA+cosA(2sin2B-1)=1 sin2BsinA-cosAcos2B=1 cos2BcosA-sin2BsinA=-1 cos(2B+A)=-1 因为A，B是三角形内角 2B+A=180 因为A+B+C=180 所以B=C 三角形ABC是等腰三角形 4、求函数y=2-cos(x/3)的最大值和最小值并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合 -1≤cos(x/3)≤1 -1≤-cos(x/3)≤1 1≤2-cos(x/3)≤3 值域[1,3] 当cos(x/3)=1时即x/3=2kπ即x=6kπ时，y有最小值1此时{x｜x=6kπ,k∈Z} 当cos(x/3)=-1时即x/3=2kπ+π即x=6kπ+3π时，y有最小值1此时{x｜x=6k π+3π,k∈Z} 5、已知△ABC，若(2c-b)tanB=btanA，求角A [(2c-b)/b]sinB/cosB=sinA/cosA 正弦定理c/sinC=b/sinB=2R代入

(完整版)高中数学三角函数解题技巧和公式(已整理)

关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用： 1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如： 例1 已知θθθθ33cos sin ,3 3cos sin -=-求。 分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=- ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--= 其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。 解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：3 1cos sin 31)33(cos sin 212=?==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 39 43133]313)33[(332=?=?+= 例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（ ）。 A ．m 2=n B ．m 2=12+n C ．n m 22= D ．22m n = 分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系： sin θcos θ=2 121)cos (sin 22-=-+m θθ 而：n ctg tg ==+θ θθθcos sin 1 故：1212122+=?=-n m n m ，选B 。 例3 已知：tg α+ctg α=4，则sin2α的值为（ ）。

高中数学必修三角函数知识点与题型总结

高中数学必修三角函数知 识点与题型总结 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

三角函数典型考题归类 1．根据解析式研究函数性质 例1（天津理）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84?? ????，上的最小值和最大值． 【相关高考1】（湖南文）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ????? ?=-++++ ? ? ?????? ?． 求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间． 【相关高考2】（湖南理）已知函数2π()cos 12f x x ? ?=+ ?? ?，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． 2．根据函数性质确定函数解析式 例2（江西）如图，函数π 2cos()(00)2 y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y 轴相交于点(0，且 该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值； （2）已知点π02A ?? ??? ，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，当0y = 0ππ2x ?? ∈???? ，时，求0x 的值． 【相关高考1】（辽宁）已知函数2 ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω??? ?=++--∈ ? ???? ?R ，（其中0ω>），（I ）求函数()f x 的值域；（II ）（文）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交 点间的距离为 π 2 ，求函数()y f x =的单调增区间．

高中数学三角函数知识点

高中数学第四章-三角函数知识点汇总 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：2 11||2 2 s lr r α= = ?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r y =α sin ； r x = αcos ； x y = α tan ； y x = α cot ； x r = α sec ；. y r = α csc . 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： SIN \C O S 三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 (3) 若 o

人教版高中数学三角函数全部教案

人教版高中数学三角函数 全部教案 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

三角函数 第一教时 教材：角的概念的推广 目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角” “终边相同的角”的含义。 过程：一、提出课题：“三角函数” 回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义 的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。 二、角的概念的推广 1．回忆：初中是任何定义角的（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘” 2．讲解：“旋转”形成角（P4） 突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边” “始边”往往合于x轴正半轴 3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 记法：角α或α ∠可以简记成α

4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1角有正负之分如：=210=150=660 2角可以任意大 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）3周（360×3=1080） 3还有零角一条射线，没有旋转 三、关于“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：是第Ⅰ象限角30060是第Ⅳ象限角 5851180是第Ⅲ象限角2000是第Ⅱ象限角等 四、关于终边相同的角 1．观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同 2．终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与) k∈个周角的和 k (Z 390=30+360)1 k (= 330=30360)1 (= k = (- k30=30+0×360)0

高一三角函数知识点梳理总结

高一三角函数知识 §1.1任意角和弧度制 ?? ? ??零角负角：顺时针防线旋转正角：逆时针方向旋转 任意角..1 2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3.. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：Z k k ∈-=，βα 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与角β的关系：Z k k ∈-+=，βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则α与角β的关系：Z k k ∈+=，βα 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则α与角β的关系：Z k k ∈++=， 90180βα 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对 的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|r l = α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式： 1rad ＝（π 180）°≈57.30° 1°＝180 π 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角：? ?? ? ??∈+<

高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题、答案

三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用． 题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题． 例1 若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是（ ） A ．1- B C ．1 2 - D ． 1 2 +分析：三角形的最小内角是不大于3 π的，而()2 sin cos 12sin cos x x x x +=+，换元解决． 解析：由03 x π <≤ ，令sin cos ),4t x x x π=+= +而7 4412 x πππ<+≤，得 1t <≤ 又2 12sin cos t x x =+，得21 sin cos 2 t x x -=， 得22 11(1)122 t y t t -=+=+-，有1102y +<≤=．选择答案D ． 点评：涉及到sin cos x x ±与sin cos x x 的问题时，通常用换元解决． 解法二：1sin cos sin cos sin 242y x x x x x x π? ?=++= ++ ?? ?， 当4 x π= 时，max 1 2 y = ，选D 。 例2．已知函数2 ()2sin cos 2cos f x a x x b x =+．，且(0)8,()126 f f π ==． （1）求实数a ，b 的值；（2）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值． 分析：待定系数求a ，b ；然后用倍角公式和降幂公式转化问题． 解析：函数)(x f 可化为()sin 2cos 2f x a x b x b =++． （1）由(0)8f = ，()126f π=可得(0)28f b ==，3 ()126 22 f a b π = += ，所以 4b =，a =

高中数学三角函数知识点及试题总结

高考三角函数 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： sin α cos α tan α x y + O — — + x y O — + + — + y O — + + —

5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系：α α cos sin =tan α （z k k ∈+≠ ,2 ππ α） 6.诱导公式：记忆口诀：2 k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号 看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质