6354-10040Z95T3
北京市丰台区
2010年高三年级第二学期统一练习（一）
数 学 试 题（理）
注意事项： 1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色
字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码.
2．本次考试所有答题均在答题卡上完成.选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式
将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项.非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚.作图题用2B 铅笔作图，要求线条、图形清晰.
3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，
在试题、草稿纸上答题无效.
4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损.
一、本大题共8小题，每小题5分共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项. 1．如果ai
ai
z +-=11为纯虚数，则实数a 等于 （ ）
A ．0
B ．-1
C ．1
D ．-1或1
2．设集合[)(]}1,0,log |{},,0,)2
1(|{2∈==+∞∈==x x y y N x y y M x
，则集合
N M 是（ ）
A ．[)+∞-∞,1)0,(
B ．[)+∞,0
C ．(]1,∞-
D ．)1,0()0,( -∞
3．若,)21(2
210n
n n
x a x a x a a x ++++=- 则2a 的值是 （ ）
A ．84
B ．-84
C ．280
D ．-280
4．奇函数)0,()(-∞在x f 上单调递增，若,0)1(=-f 则不等式0)( C ．)1,0()0,1( - D ．),1()0,1(+∞?- 5．从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数， 则所有不同的三位数的个数是 （ ） A ．36 B ．48 C ．52 D ．54 6．在ABC ?，|"|||"""BC AC BC BA AC AB =?=?是的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．设,24,0,0=++>>ab b a b a 则 （ ） A ．a+b 有最大值8 B ．a+b 有最小值8 C ．ab 有最大值8 D ．ab 有最小值8 8．已知整数以按如下规律排成一列：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3， 1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）……，则第60个数对是 （ ） A ．（10，1） B ．（2，10） C ．（5，7） D ．（7，5） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．在平行四边形ABCD 中，点E 是边AB 的中点，DE 与AC 交于点F ，若AEF ?的面积 是1cm 2，则CDF ?的面积是 cm 2. 10．若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是 cm 3. 11．样本容量为1000的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算，x 的值为 ，样本数据落在[)14,6内的频数为 . 12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为? ? ?+==11 t y x （参数R t ∈），圆C 的 参数方程为?? ?=+==θ θsin 1 cos y x （参数[)πθ2,0∈），则圆心到直线l 的距离 是 . 13．在右边的程序框图中，若输出i 的值是4， 则输入x 的取值范围是 . 14．函数)10(12 ≤≤+=x x y 图象上点P 处的切线与直线 1,0,0===x x y 围成的梯形面积等于S ，则S 的最大 值等于 ，此时点P 的坐标是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明， 演算步骤或证明过程. 15．（12分） 已知函数x b x a x f cos sin )(+=的图象经过点).1,3 (),0,6(π π （I ）求实数a 、b 的值； （II ）若]2 , 0[π ∈x ，求函数)(x f 的最大值及此时x 的值. 16．（13分） 如图，在底面是正方形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ， F 是PC 中点， G 为AC 上一点. （I ）求证：BD ⊥FG ； （II ）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG//平面PBD ，并说明理由. （III ）当二面角B —PC —D 的大小为 3 2π 时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值. 17．（14分） 某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响.已知 师父加工一个零件是精品的概率为 3 2，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为.9 1 （I ）求徒弟加工2个零件都是精品的概率； （II ）求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率； （III ）设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为ξ，求ξ的分布列与均值E ξ. 18．（13分） 已知函数.ln )(x a x x f + = （I ）当a<0时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）若函数f （x ）在[1，e]上的最小值是,2 3 求a 的值. 19．（13分） 在直角坐标系xOy 中，点M 到点)0,3(),0,3(21F F -的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线b kx y l +=:与轨迹C 交于不同的两点P 和Q. （I ）求轨迹C 的方程； （II ）当0=?时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点. 20．（14分） 设集合W 由满足下列两个条件的数列}{n a 构成： ① ;2 12 ++<+n n n a a a ②存在实数M ，使.M a n ≤（n 为正整数） （I ）在只有5项的有限数列;5,4,3,2,1,}{},{54321=====a a a a a b a n n 其中中 1,4,5,4,154321=====b b b b b ；试判断数列}{},{n n b a 是否为集合W 的元素； （II ）设}{n c 是各项为正的等比数列，n S 是其前n 项和，,4 7 ,4133== S c 证明数列W S n ∈}{；并写出M 的取值范围； （III ）设数列,}{W d n ∈且对满足条件的M 的最小值M 0，都有)(* N n M d n n ∈≠. 求证：数列}{n d 单调递增. 参考答案 一、选择题（每小题5分，共40分） 1.B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.C 7.B 8.C 二、填空题（每小题5分，共30分） 9．4 10．324 11．0.09,680 12．2 13．(]4,2 14． )4 5,21(,45 三、解答题：（本大题共6小题，共80分） 15．（12分） 解：（I ）∵函数x b x a x f cos sin )(+=的图象经过点)1,3 (),0,6( π π ， ???????=+=+ ∴1212 3023 21b a b a …………4分 解得：1,3== b a …………5分 （II ）由（I ）知：)6 sin(2cos sin 3)(π -=-= x x x x f …………8分 ],3,6[6],2,0[π πππ-∈-∴∈x x …………9分 2 ,3 6 π π π = = - ∴x x 即当时， )(x f 取得最大值.3 …………12分 16．（13分） 证明：（I ）⊥PA 面ABCD ，四边形ABCD 是正方形， 其对角线BD ，AC 交于点E ， ∴PA ⊥BD ，AC ⊥BD. ∴BD ⊥平面APC ， ?FG 平面PAC ， ∴BD ⊥FG …………7分 （II ）当G 为EC 中点，即AC AG 4 3 = 时， FG//平面PBD ， …………9分 理由如下： 连接PE ，由F 为PC 中点，G 为EC 中点，知FG//PE ， 而FG ?平面PBD ，PB ?平面PBD ， 故FG//平面PBD. …………13分 （III ）作BH ⊥PC 于H ，连结DH ， ∵PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是正方形， ∴PB=PD ， 又∵BC=DC ，PC=PC ， ∴△PCB ≌△PCD ， ∴DH ⊥PC ，且DH=BH ， ∴∠BHD 主是二面角B —PC —D 的平面角， …………11分 即,3 2π= ∠BHD ∵PA ⊥面ABCD ， ∴∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角 …………12分 连结EH ，则PC EH BHE BD EH ⊥= ∠⊥,3 ,π ,,3tan EC BE EH BE BHE === ∠∴而 ,3 3 sin ,3==∠∴=∴ EC EH PCA EH EC ,2 2 tan = ∠∴PCA ∴PC 与底面ABCD 所成角的正切值是 2 2 …………14分 解：以A 为原点，AB ，AD ，PA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系 如图所示， 设正方形ABCD 的边长为1，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0） D （0，1，0），P （0，0，a ）（a>0）,)20)(0,,(),2 ,21,21(),0,21 ,21(< （I ）),2 ,21,21(),0,1,1(a m m --- =-= 002 1 21=+-++ =?m m FG BD FG BD ⊥∴ …………5分 （II ）要使FG//平面PBD ，只需FG//EP ， 而),2 1,21(a -=， 由EP FG λ=可得???????-=-=-λλa a m 2 2 121，解得,1=λ ,4 3 = m …………7分 ,4 3 ),0,43,43(AC AG G =∴∴ 故当AC AG 4 3 = 时，FG//平面PBD …………9分 设平面PBC 的一个法向量为),,,(z y x = 则?????=?=?0 0BC u ，而)0,1,0(),,1,1(=-=BC a PC ? ??==-+∴00y az y x ，取z=1，得)1,0,(a u =， 同理可得平面PBC 的一个法向量)1,,0(a = 设v u ,所成的角为0， 则,2 1|32cos ||cos |==πθ ,2 1111,21| |||22=+?+∴= a a v u 1=∴a …………12分 ∵PA ⊥面ABCD ，∴∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角， 22 2 1tan === ∠∴AC PA PCA …………14分 17．（14分） 解：（I ）设徒弟加工1个零件是精品的概率为p 1， 则 ,4 1 9132322121==?p p 得 所以徒弟加工2个零件都是精品的概率是 4 1 …………3分 （II ）设徒弟加工零件的精品数多于师父的概率为p ， 由（I ）知，2 11= p 9 所以36 7 4191419442912= ?+?+?= p …………9分 （III ）ξ的分布列为 …………13分 ξ的期望为3 7 3644361233613236613610=?+?+?+?+? …………14分 18．（13分） 解：函数x a x x f + =ln )(的定义域为),0(+∞ …………1分 221)('x a x x a x x f -=-= …………3分 （1）.0)(',0>∴ 故函数在其定义域),0(+∞上是单调递增的. …………5分 （II ）在[1，e]上，发如下情况讨论： ①当a<1时，,0)('>x f 函数)(x f 单调递增， 其最小值为,1)1(<=a f 这与函数在[1，e]上的最小值是 2 3 相矛盾； …………6分 ②当a=1时，函数(]e x f ,1)(在单调递增， 其最小值为,1)1(=f 同样与最小值是 2 3 相矛盾； …………7分 ③当e a <<1时，函数[)a x f ,1)(在上有0)(' 3 1ln e a a == +得 …………9分 ④当a=e 时，函数[),0)(',1)( 2 3 相矛盾； …………10分 ⑤当a>e 时，显然函数],1[)(e x f 在上单调递减， 其最小值为,21)(>+ =e a e f 仍与最小值是 2 3 相矛盾； …………12分 综上所述，a 的值为.e …………13分 19．（13分） 解：（1）)0,3(),0,3(-到点M 的距离之和是4， M ∴的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦中为32的椭圆， 其方程为.14 22 =+y x …………3分 （2）将b kx y +=，代入曲线C 的方程， 整理得0428)41(2 2 =+++kx x k …………5分 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 所以.0)14(16)44)(41(4642 2 2 2 2 2 >+-=-+-=?b k b k b k ① 设),,(),,(2211y x Q y x P ，则 2 21221414 ,4128k x x k k x x +=+- =+ ② …………7分 且.)()())((2 21212 2121b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=?③ 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点A （-2，0）， 所以),,2(),,2(2211y x AQ y x AP +=+= 由.0)2)(2(,02121=+++=?y y x x 得 将②、③代入上式，整理得.0516122 2=+-b kb k …………10分 所以,0)56()2(=-?-b k b k 即,5 6 2k b k b = =或经检验，都符合条件① 当b=2k 时，直线l 的方程为.2k kx y += 显然，此时直线l 经过定点（-2，0）点. 即直线l 经过点A ，与题意不符. 当k b 56= 时，直线l 的方程为).6 5(56+=+=x k k kx y 显然，此时直线l 经过定点)0,5 6 (- 点，且不过点A. 综上，k 与b 的关系是：,5 6k b = 且直线l 经过定点)0,5 6 (-点 …………13分 20．（14分） 解：（I ）对于数列}{n a ， 取 ,22 23 1a a a ==+显然不满足集合W 的条件，① 故}{n a 不是集合W 中的元素， …………2分 对于数列}{n b ，当}5,4,3,2,1{∈n 时， 不仅有 ,42 ,3234 2231b b b b b b <=+<=+ ,32 43 3b b b <=+而且有5≤n b ， 显然满足集合W 的条件①②， 故}{n b 是集合W 中的元素. …………4分 （II ）}{n c 是各项为正数的等比数列，n S 是其前n 项和， ,4 7,4133== S c 设其公比为q>0， ,47332 3=++∴ c q c q c 整理得0162=--q q 112 1,1,21-==∴= ∴n n c c q 1 2 12-- =n n S …………7分 对于,2 1 2212122,222* +++=-<--=+∈?n n n n n n n S S S N 有 且,2 故W S n ∈}{，且[)+∞∈,2M …………9分 （III ）证明：（反证）若数列}{n d 非单调递增，则一定存在正整数k ， 使1+≥k k d d ，易证于任意的k n ≥，都有1+≥k k d d ，证明如下： 假设1,)(+≥≥=k k d d k m m n 时 当n=m+1时，由 ,22 1212 m m m m m m d d d d d d -<<+++++得 而0)2(11121≥-=-->-+++++m m m m m m m d d d d d d d 所以,21++>m m d d 所以，对于任意的,,1+≥≥m m d d k n 都有 显然k d d d ,,,21 这k 项中有一定存在一个最大值，不妨记为0n d ； 所以.),(0* 00M d N n d d n n n =∈≥从而与这题矛盾. 所以假设不成立， 故命题得证. …………14分