高考抛物线专题做题技巧与方法总结
高考抛物线专题做题技巧与方法总结
知识点梳理：
1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (0>p )： 标准方程 px y 22=
px y 22-=
py x 22=
py x 22-=
图形
▲
y x
O
▲
y
x
O
▲
y x
O
▲
y
x
O
焦点 )0,2(p
F )0,2(p
F - )2
,
0(p F )2
,0(p F - 准线 2
p x -= 2
p x = 2
p y -
= 2
p y =
范围 R y x ∈≥,0 R y x ∈≤,0 0,≥∈y R x 0,≤∈y R x
对称轴 x 轴 y 轴
顶点 （0，0）
离心率 1=e
2.抛物线的焦半径、焦点弦
①)0(22≠=p px y 的焦半径=PF 2
P x +;)0(22≠=p py x 的焦半径=PF 2
P y +；
② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.
③ AB 为抛物线px y 22
=的焦点弦，则=B A x x 4
2
p ，=B A y y 2p -，
||AB =p x x B A ++
3. px y 22
=的参数方程为???==pt y pt x 222（t 为参数），py x 22=的参数方程为?
??==2
22pt y pt
x （t 为参数）. 重难点突破
重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能
通过方程研究抛物线的几何性质 难点: 与焦点有关的计算与论证
重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质 1.要有用定义的意识
问题1：抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.
1617 B. 16
15 C.87
D. 0
点拨：抛物线的标准方程为y x 412=
，准线方程为16
1
-=y ,由定义知，点M 到准线的距离为1，所以点M 的纵坐标是
16
15
2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向
问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有
点拨：抛物线的类型一共有4种，经过第一象限的抛物线有2种，故满足条件的抛物线有2条
3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路” 问题3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切
点拨：设AB 为抛物线的焦点弦，F 为抛物线的焦点，点''、B A 分别是点B A 、在准线上的射影，弦AB 的中点为M ，则''BB AA BF AF AB +=+=，点M 到准线
的距离为AB BB AA 2
1
)''(21=+，∴以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线
相切
3、典型例题讲解： 考点1 抛物线的定义
题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 [例1 ]已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为
解题思路：将点P 到焦点的距离转化为点P 到准线的距离
[解析]过点P 作准线的垂线l 交准线于点R ，由抛物线的定义知，
PR PQ PF PQ +=+，当P 点为抛物线与垂线l 的交点时，PR PQ +取得最小值，
最小值为点Q 到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3
总结：灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关 练习：
1.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()
P x y P x y ，，，，33
3()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列， 则有 （ ） A ．321x x x =+
B ． 321y y y =+
C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+
［解析］C 由抛物线定义，2132()()(),222
p p p
x x x +=+++即：2312x x x =+．
2. 已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时,
M 点坐标是 ( )
A. )0,0(
B. )62,3(
C. )4,2(
D. )62,3(- [解析] 设M 到准线的距离为MK ,则MK MA MF MA +=+|||，当MK MA +最小时，M 点坐标是)4,2(，选C
考点2 抛物线的标准方程 题型:求抛物线的标准方程
[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点(-3,2) (2)焦点在直线240x y --=上 解题思路：以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.
[解析] (1)设所求的抛物线的方程为22y px =-或22(0)x py p =>, ∵过点(-3,2) ∴229)3(24?=--=p p 或
∴29
34
p p ==或
∴抛物线方程为24
3
y x =-或292x y =,
前者的准线方程是1,3x =后者的准线方程为9
8
y =-
(2)令0x =得2y =-，令0y =得4x =，
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,42p
=, ∴8p =，此时抛物线方程216y x =;焦点为(0,-2)时22
p
= ∴4p =，此时抛物线方程28x y =-.
∴所求抛物线方程为216y x =或28x y =-,对应的准线方程分别是
4,2x y =-=.
总结：对开口方向要特别小心，考虑问题要全面 练习：
3.若抛物线2
2y px =的焦点与双曲线2
213
x y -=的右焦点重合,则p 的值
[解析]
4132
=?+=p p
4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.
能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）
[解析] 用排除法，由抛物线方程y 2=10x 可排除①③④，从而②⑤满足条件.
5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与Y 轴的交点，A 为抛物线上一点,且3||,17||==AF AM ，求此抛物线的方程
[解析] 设点'A 是点A 在准线上的射影，则3|'|=AA ，由勾股定理知22|'|=MA ，点A 的横坐标为)2
3,22(p
-
，代入方程py x 22=得2=p 或4，抛物线的方程y x 42=或y x 82=
考点3 抛物线的几何性质
题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证
[例3 ]设A 、B 为抛物线px y 22
=上的点,且 90=∠AOB (O 为原点),则直线AB 必过的定点坐标为__________.
解题思路：由特殊入手，先探求定点位置
［解析］设直线OA 方程为kx y =,由???==px
y kx y 22解出A 点坐标为)2,2(2k p
k p
??
???
=-=px
y x k y 212解出B 点坐标为)2,2(2
pk pk -，直线AB 方程为2
21)2(2k pk x k pk y ---=+,令0=y 得p x 2=，直线AB 必过的定点)0,2(p
总结：（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B 点坐标可由A 点坐标用k
1
-换k 而得。 练习：
6. 若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = [解析]-1
7.过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射
影为11,B A ,则=∠11FB A ( )
A. 45
B. 60
C. 90
D. 120 [解析]C
基础巩固训练：
1.过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于)(422R a a a ∈++，则这样的直线（ ）
A.有且仅有一条
B.有且仅有两条
C.1条或2条
D.不存在 [解析]C 44)1(52||22≥++=++=++=a a a p x x AB B A ，而通径的长为4． 2.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线24x y =上的点P 到该抛物线焦点的距离为5，则点P 的纵坐标为 （ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6 [解析] B 利用抛物线的定义，点P 到准线1-=y 的距离为5，故点P 的纵坐标为4．
3.两个正数a 、b 的等差中项是
9
2
，一个等比中项是25，且,b a >则抛物线2()y b a x =-的焦点坐标为( )
A ．1(0,)4-
B ．1(0,)4
C ．1(,0)2-
D ．1
(,0)4
-
[解析] D. 1,4,5-=-==a b b a
4. 如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，
F 是抛物线的焦点，若)(,,,21*∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ，则||5F P =（ ）．
A ．5
B ．6
C ． 7
D ．9
[解析]B 根据抛物线的定义，可知12
i
i i p
PF x x =+=+（1i =，2，……，n ），)(,,,21*∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ,55=x ,||5F P =6
5、抛物线,42F x y 的焦点为=准线为l ，l 与x 轴相交于点E ，过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AB ⊥l ，垂足为B ，则四边形ABEF 的面积等于（ ）
A ．33
B ．34
C ．36
D ．38
[解析] C. 过A 作x 轴的垂线交x 轴于点H ，设),(n m A ，则
1,1-=-=+==m OF OH FH m AB AF ，32,3)1(21==∴-=+∴n m m m
四边形ABEF 的面积==?++32)]13(2[2
1
36
6、设O 是坐标原点，F 是抛物线2
4y x =的焦点，A 是抛物线上的一点，FA
与x
轴正向的夹角为60
，则OA 为 ．
[解析]21.
过A 作AD x ⊥轴于D ，令FD m =，则m FA 2=即m m 22=+，解得2=m ．
)32,3(A ∴21)32(322=+=∴OA 综合提高训练
7.在抛物线24y x =上求一点，使该点到直线45y x =-的距离为最短，求该点的坐标
[解析]解法1：设抛物线上的点)4,(2x x P ，
点P 到直线的距离17
|544|2
+-=x x d 1717417|
4)21
(4|2≥+-=x ， 当且仅当21
=
x 时取等号，故所求的点为），（12
1
解法2：当平行于直线45y x =-且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为b x y +=4，代入抛物线方程得0442=--b x x ， 由01616=+=?b 得21
,1=
-=x b ，故所求的点为），（12
1
8. 已知抛物线2:ax y C =（a 为非零常数）的焦点为F ，点P 为抛物线c 上一个动点，过点P 且与抛物线c 相切的直线记为l ． （1）求F 的坐标；
（2）当点P 在何处时，点F 到直线l 的距离最小？ 解：（1）抛物线方程为y a
x 12=
故焦点F 的坐标为)41,
0(a
（2）设2
0000 ),(ax y y x P =则
2 ,2'0ax k P ax y =∴=）的切线的斜率点处抛物线（二次函数在
直线l 的方程是)(2 002
0x x ax ax y -=- 0 2 200=-ax y x ax －即
. 411441)1()2(410 2
022
202
0a
x a a ax ax a
d ≥+=
-+--
=
∴
)0,0( 0 0的坐标是此时时上式取“＝”当且仅当P x = .L F 0,0)(P 的距离最小到切线处时，焦点在当∴
9. 设抛物线22y px =（0p >）的焦点为 F ，经过点 F 的直线交抛物线于A 、B 两点．点 C 在抛物线的准线上，且BC ∥X 轴．证明直线AC 经过原点O ．
证明:因为抛物线22y px =（0p >）的焦点为,02p F ??
???
，所以经过点F 的直线AB
的方程可设为 2
p
x my =+
，代人抛物线方程得 2220y pmy p --=．
若记()11,A x y ，()22,B x y ，则21,y y 是该方程的两个根，所以
212y y p =-．
因为BC ∥X 轴，且点C 在准线2p x =-上，所以点C 的坐标为2,2p y ??- ???
， 故直线CO 的斜率为21
112.2
y y p k p y x =
==- 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ．
10.椭圆122
22=+b
y a x 上有一点M （-4，59）在抛物线px y 22=（p>0）的准线l 上，
抛物线的焦点也是椭圆焦点. （1）求椭圆方程；
（2）若点N 在抛物线上，过N 作准线l 的垂线，垂足为Q 距离，求|MN|+|NQ|的最小值
.
解：（1）∵122
22=+b
y a x 上的点M 在抛物线px y 22=（p>0）的准线l 上，抛物线
的焦点也是椭圆焦点. ∴c=-4，p=8……①
∵M （-4，5
9
）在椭圆上
∴
12581162
2=+b a ……② ∵222c b a +=……③ ∴由①②③解得：a=5、b=3
∴椭圆为
19
252
2=+y x
由p=8得抛物线为x y 162= 设椭圆焦点为F （4，0）， 由椭圆定义得|NQ|=|NF| ∴|MN|+|NQ|≥|MN|+|NF|=|MF|
=541
)059()44(22=-+--，即为所求的最小值.
参考例题：
1、已知抛物线C 的一个焦点为F （2
1，0），对应于这个焦点的准线方程为
x =-2
1.
（1）写出抛物线C 的方程；
（2）过F 点的直线与曲线C 交于A 、B 两点，O 点为坐标原点，求△AOB 重心G 的轨迹方程；
（3）点P 是抛物线C 上的动点，过点P 作圆（x -3）2+y 2=2的切线，切点分别是M ，N .当P 点在何处时，|MN |的值最小？求出|MN |的最小值.
解：（1）抛物线方程为：y 2=2x . （4分）
（2）①当直线不垂直于x 轴时，设方程为y =k (x -2
1)，代入y 2=2x ，
得：k 2x 2-(k 2+2)x +04
2
=k
.
设A （x 1，y 1），B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=
2
22
k k +，y 1+y 2=k (x 1+x 2-1)=k
2.
设△AOB 的重心为
G （x ，y ）则???
????=++=+=++=k y y y k k x x x 32
3032
30212
221，
消去k 得y 2=9
23
2-x 为所求，
（6分）
②当直线垂直于x 轴时，A （2
1，1），B （2
1，-1），
（8分）
△AOB 的重心G （3
1，0）也满足上述方程.
综合①②得，所求的轨迹方程为y 2=9
23
2-x ，
（9分）
（3）设已知圆的圆心为Q （3，0），半径r =2
，
根据圆的性质有：|MN |=22
222||2
122||||2|
|||||PQ PQ r PQ r
PQ MQ MP -
?=-=.
（11分）
当|PQ |2最小时，|MN |取最小值， 设P 点坐标为(x 0，y 0)，则y 20=2x 0. |PQ |2=（x 0-3）2+ y 20= x 20-4x 0+9=(x 0-2)2+5， ∴当x 0=2，y 0=±2时，|PQ |2取最小值5， 故当P 点坐标为（2，±2）时，|MN |取最小值5
30
2
.
抛物线专题练习
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为
（ A ）
A ．（1, 0）
B ．（2, 0）
C ．（3, 0）
D ．（－1, 0）
2．圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ D ）
A ．x 2+ y 2-x -2 y -4
1
=0 B ．x 2+ y 2+x -2 y +1=0 C ．x 2+ y 2-x -2 y +1=0
D ．x 2+ y 2-x -2 y +
4
1=0 3．抛物线2x y =上一点到直线042=--y x 的距离最短的点的坐标是
（ A
）
A ．（1，1）
B ．（4
1
,21）C ．)49,23( D ．（2，4）
4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ B ） A ．6m
B ． 26m
C ．4.5m
D ．9m
5．平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ C ）
A ． y 2=－2x
B ． y 2=－4x
C ．y 2=－8x
D ．y 2=－16x
6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛物线的方程是
（ B ）
A ． y 2=-2x
B ． y 2=-4x
C ． y 2=2x
D ． y 2=-4x 或y 2=-36x
7．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|=
（ A ）
A ．8
B ．10
C ．6
D ．4
8．把与抛物线y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量a )3,2(-=平移，所得的曲线的方程是（C ）
A ．)2(4)3(2--=-x y
B ．)2(4)3(2+-=-x y
C ．)2(4)3(2--=+x y
D ． )2(4)3(2+-=+x y
9．过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有
（ C
）
A ．0条
B ．1条
C ．2条
D ．3条
10．过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则q
p 1
1+等于 （ C ）
A ．2a
B ． a
21 C ．4a D ．
a
4
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 2 ．
12．抛物线y =2x 2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 4
k
x = ．
13．P 是抛物线y 2=4x 上一动点，以P 为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这
个圆一定经过一个定点Q ，点Q 的坐标是 （1，0） ．
14．抛物线的焦点为椭圆14
92
2=+y x 的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 x y 542-=
三、解答题（本大题共6小题，共76分）
15．已知动圆M 与直线y =2相切，且与定圆C ：1)3(22=++y x 外切，求动圆圆
心M 的轨迹方程．(12分)
[解析]：设动圆圆心为M （x ，y ），半径为r ，则由题意可得M 到C （0，-3）的
距离与到直线y =3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C （0，-3）为焦点，以y =3为准线的一条抛物线，其方程为y x 122-=．
16．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到
焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．（12分） [解析]：设抛物线方程为)0(22>-=p py x ，则焦点F （0,2
p
-
），由题意可得 ??
???=-+=5
)23(62
22p m p m ，解之得???==462p m 或???=-=462p m ， 故所求的抛物线方程为y x 82-=，62±的值为m
17．动直线y =a ，与抛物线x y 2
1
2=
相交于A 点，动点B 的坐标是)3,0(a ，求线段AB 中点M 的轨迹的方程．(12分)
[解析]：设M 的坐标为（x ，y ），A （2
2a ，a ），又B )3,0(a 得 ???==a
y a x 22
消去a ，得轨迹方程为4
2
y x =，即x y 42=
O x y A A'
B
18．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4
米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？(12分) [解析]：如图建立直角坐标系，
设桥拱抛物线方程为)0(22>-=p py x ，由题意可知， B （4，-5）在抛物线上，所以6.1=p ，得y x 2.32-=，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA’，则A
（A y ,2），由A y 2.322-=得4
5
-=A y ，又知船面露出水面上部分高为0．75
米，所以75.0+=A y h =2米
19．如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段
C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，
|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．(14
分)
[解析]：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标
原点．由题意可知：曲线C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．
设曲线段C 的方程为)0,(),0(22>≤≤>=y x x x p px y B A ， 其中B A x x ,分别为A 、B 的横坐标，MN p =． 所以，)0,2
(),0,2(p
N p M -
． 由17=AM ，3=AN 得 172)2(2
=++
A A px p x ① 92)2
(2=+-A A px p
x ②
联立①②解得p x A 4
=
．将其代入①式并由p>0解得???==14A x p ，或???==22A
x p ． 因为△AMN 为锐角三角形，所以
A x p
>2，故舍去???==2
2A x p ． ∴p=4，1=A x ． 由点B 在曲线段C 上，得42
=-
=
p
BN x B ．综上得曲线段C 的方程为
)0,41(82>≤≤=y x x y ．
20．已知抛物线)0(22>=p px y ．过动点M （a ，0）且斜率为1的直线l 与该抛
物线交于不同的两点A 、B ，p AB 2||≤． （Ⅰ）求a 的取值范围；
（Ⅱ）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求N AB Rt ?面积的最大值．
(14
分)
[解析]：（Ⅰ）直线l 的方程为a x y -=，将px y a x y 22=-=代入，
得 0)(222=++-a x p a x ． 设直线l 与抛物线两个不同交点的坐标为
),(11y x A 、),(22y x B ，
则 ?????=+=+>-+.
),(2,
04)(42212122a x x p a x x a p a 又a x y a x y -=-=2211,，
∴221221)()(||y y x x AB -+-= ]4)[(221221x x x x -+=)2(8a p p +=．
∵
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