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第15课函数的图象与简单变换

第15课 函数的图象与简单变换

一、教学目标

1.掌握基本初等函数的图象特征,学会运用函数的图象理解和研究函数的性质;

2.掌握画函数图象的两种基本方法:描点法和图象变换法.

二、基础知识回顾与梳理

1、如何由2()f x x =的图象得到下列各函数的图象?

(1)(1)y f x =-;(2)(1)y f x =+;(3)2()1g x x =+;(4)2()1g x x =-.

【教学建议】本题主要是帮助学生复习函数图象的平移变换。教学时可由学生口答。

2、若把函数()y f x =的图象向左、向下分别平移2个单位得到函数2x y =的图象,则

()f x =________.

【教学建议】本题帮助复习函数图象的逆向变换.

3、(1)由)3sin(π+=x y 的图象经过怎样的变换得到)3

2sin(π+=x y 的图象? (2)由x y 2sin =的图象经过怎样的变换得到)32sin(π

+=x y 的图象?

(3)要得到)321sin(π-=x y 图象只需将函数x y 2

1sin =的图象经过怎样的平移得到? (4)要得到)23

sin(x y -=π

图象,需将函数)2sin(x y -=的图象 经过怎样的平移得到?

【教学建议】本题选自课本习题,进一步复习函数图象的变换与逆变换.平移变换、伸缩变

换、翻折(对称)变换要加强练习,伸缩变换应作重点强调:

()(0)y Af x A =>的图象,可将()y f x =图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍,横坐标

不变而得到; ()(0)y f ax a =>的图象,可将()y f x =图象上所有点的横坐标变为原来的1a

倍,纵坐标不变而得到.

三、诊断练习

1、教学处理:课前由学生完成四个小题,并写出主要方法、过程。教师抽查部分学生解答,了解学生的解题情况,使课堂教学有针对性,提高课堂效率。点评要简明扼要,可先提问学

生.

2、诊断练习点评

题1 要得到321x y +=-的图象,只需将2x y =图象上所有的点向 平移 个长

度单位,再向 平移 个 长度单位得到.

【分析与点评】看清函数形式特征.()y f x =→()y f x a =+→()y f x a b =++.

题2第2题改为 若01,a <<函数(5)log x a y +=不经过第_______象限

【分析与点评】提问学生函数log x a y =如何平移可得函数(5)log x a y +=的图象?画出函数的

示意图

题3 偶函数()f x ,x R ∈,满足(4)(1)0f f -==,且在区间[0,3]和(3,)+∞上分别递减

和递增,则不等式()0xf x <的解集为 .

【分析与点评】(1)对于既给出函数奇偶性又给出函数单调性的问题,如何画出函数示意图?

利用数形结合的思想解题。答案是(,4)(1,0)(1,4)-∞-?-?.

变式:“偶函数”变为“奇函数”, []0,3改为(]0,3,则不等式()0xf x <的解集

为 .

题4已知定义在区间(0,2)上的函数y=f(x)的图像如左图所示,则)2(x f y --=的图像

为_______

第15课函数的图象与简单变换

【分析与点评】)2(x f y --=的图象与y=f(x)的图象有何关系?

3、要点归纳

(1)要熟练掌握基本初等函数的图象特征及相互间存在的关系;

(2)掌握奇函数,偶函数的图象特征;

(3)充分利用条件作出示意图。运用数形结合思想可帮助学生解决有关解不等式和方程根

的个数等问题.

四、范例导析

例1将下列变换的结果填在横线上:

(1)将函数3x y -=的图象向右平移2个单位,得到函数 的图象;

(2)将函数tan y x =的图象向右平移3个单位,得到函数 的图象;

(3)将函数2log (31)y x =-的图象向左平移2个单位,

得到函数 的图象;

(4)将函数3(2)y x =-的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)得到函数 的图象.

【教学处理】可提问学生或让学生板书变换过程.对于错误的地方,可让其他学生进行纠正,教师再进行点评。突出重点,注意点,易错点.

【引导分析与精讲建议】

(1)前3小题都是平移变换,必须强调都是针对基本变量x (或y )进行的。教师可板书

一些常见的错误写法,让学生避免以后犯同样的错误.

(2)第4题伸缩变换,强调

()()y f x y af x ==横坐标不变纵坐标变为原来的a 倍;

1()()y f x y f x a ==纵坐标不变横坐标变为原来的a 倍. 可借助学生较熟悉的三角函数变换帮助理解.

(3)总结上述解答,让学生明白,一个函数()f x 的图象的各种变换都是针对基本变量x (或

y )进行的,应认真总结这些经验.

例2 作出下列函数图象: (1) 221y x x =-+; (2) 23

x y x -=-; (3)2||y x x =-. 【教学处理】可点名让学生板演,要求写出主要过程(函数变形过程,图象变换过程)。巡

视学生解答情况,对有困难的学生进行指导,并鼓励学生相互交流.

【引导分析与精讲建议】1、强调:对所给的函数,必须认真观察其结构特点,联想它们与

熟悉的初等函数的关系.

第(1)题既可写成分段函数后作图,也可用对称变换作图;第(3)题注意绝对值符号对

函数图象的影响,利用变换作图.

2、 第(2)题应强调对函数解析式变形的重要性:21133

x y x x -==---,故可有如下变换

过程:1y x -=→13y x -=-→113

y x -=+-; 3、 对于含绝对值符号的函数,可以利用“零点分区间”法去掉绝对值号,变为分段函数. 4、 形如()cx d f x ax b +=

+的函数是由反比例函数经过平移变换得到的. 例3已知函数f (x )=log a (a x -1) (a >0且a ≠1).

求证:(1)函数f (x )的图像总在y 轴的一侧;

(2)函数f (x )图像上任意两点连线的斜率都大于0.

【教学处理】指导学生划出题中的关键词,并独立思考,尝试解决.教师巡视,了解学生解答情况,再请完成较好的同学板书或回答,关键地方教师要给予点拨.

【引导分析与精讲建议】1、如何将“图象总在y 轴一侧”这个图象问题转化为代数语言?即证明f (x )的自变量只能在(0,+∞)或(-∞,0)内取值

2、图象上任意两点连线的斜率都大于0,可以用代数式来表示吗?

3、要证k =y 2-y 1x 2-x 1

>0,应分哪几种情况进行讨论? 4、说到数形结合思想,我们更多的会想到以“形”助“数”来解决问题.事实上,本题是以“数”来说明“形”的问题,同样体现着数形结合的思想.

五、解题反思

1、熟悉奇偶函数的图象特点,灵活运用奇偶函数性质解题.

2、必须对基本的初等函数的图象了然于胸,达到“自动化”的程度,这是画函数图象的基础.复杂函数的图象都要由这些函数的图象通过图象变换得到.

3、要善于对复合函数进行分解、变形,找到一个基本函数,再利用图象变换得出图象.

4、最好写出函数表达式“进化”过程,再对应作出每一步的图象,每次只用一个变换,防止出错.

(执笔:江苏省仪征中学

束云松)