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北师大《无机化学》第四版习题答案

第五章化学热力学基础5-1 从手册中查出常用试剂浓硫酸、浓盐酸、浓硝酸、浓氨水的密度和质量分数计算它们的（体积）物质的量浓度和质量摩尔浓度。

解：经查阅: p(HCl)=ml w(HCl)=%

p(H2SO4)=ml w(H2SO4)=98%

p(HNO3)=ml w(HNO3)=%

p=ml w=26%

由公式 c=pw/M可得：c(HCl)=12 mol·L–1 c(H2SO4)=·L–1

c(HNO3)= mol·L–1 c = mol·L–1

设1㎏水中含溶质n mol,则由w=m/(m+1000)（m为溶质质量）可得：

m (HCl)= mol/㎏

m(H2SO4)=500 mol/㎏

m(HNO3)= mol/㎏

m = mol/㎏

5-2 从手册查出常温下的饱和水蒸气压，计算当时相对湿度为40%时，水蒸气压多大。

解：在298K下，P（饱和水蒸气压）=，P（不饱和）/P（饱和）=40%，

则P（不饱和）/P（饱和）=40%×P（饱和）=×= Kpa

答：水蒸气压为 Kpa.

5-3化学实验中经常用蒸馏水冲洗已用自来水洗净的烧杯。设洗净烧杯内残留“水”为1mL,试计算，用30mL蒸馏水洗1次和2次，烧杯中残留的“自来水的浓度”分别多大解：再用自来水洗之后，烧杯中自来水为1ml之后，加入30ml蒸馏水，一共为31ml 水，自来水占1/31，倒掉后又倒1ml，故自来水浓度为1/31。

若第一次加入的蒸馏水倒掉之后，1ml中含1/31ml的自来水；

再加入30ml蒸馏水，一共为31ml水，自来水占1/312=1/963

所以倒掉后自来水占1/312=1/963

5-4 计算15℃,97kPa下15g氯气的体积。

5-5 20℃，97kPa下某气体的体积为，求气体的摩尔质量。

解：由理想气体状态方程：p×v=n×R×T，n=m /M，得p×v=m/M×R×T

M=mpT/pv=××293/97×103×= g/mol

该气体的摩尔质量为： g/mol。

5-6 测得氯化在407℃的1L容积的真空系统里完全蒸发到的压力为60kPa，求氯化汞蒸气的摩尔质量和化学式。

解：(1)设氯化汞蒸汽的摩尔质量为M，则由n=m /M ,p×v=n×R×T

得 M=m×R×T/p×v =××680/60= g/mol

(2)设氯化汞的化学式为HgCl n ,则

解得 n=2

答：氯化汞的摩尔质量是mol,化学式是HgCl2

5-7 在1000℃和97kPa下测得硫蒸气的密度为,求蒸气的摩尔质量和化学式。

解：（1）设硫蒸气的体积为1L，则由p×v=n×R×T得

M=m×R×T/p×v =××1273/97×1 = 65g/mol

(2)设硫蒸气的化学式为S n，则32n=65 解得 n=2

所以硫蒸气的摩尔质量是 65g/mol化学式是S2.

5-8 在25℃时将相同压力的氮气和15L氧气压缩到一个的真空容器中，测得混合气体的总压为150kPa，（1）求两种气体的初始压力；（2）求混合气体中氮和氧的分压；（3）将温度上升到210℃，容器的总压。

解：方法1：1）假设压缩两种气体的总压力为P, 分压为P1、P2，则由玻意耳定律得:P1V1=P2V2

P= P2V2/ V1=75 kPa

P1=75×5/(5+15)=

P2=75× 15(5+15)=56025kPa

（ 2）假设混合气体的分压分别为P3、P4,则有:

P3=150×5/(5+15)= kPa

P4=150×15(5+15)= kPa

（3）假设210℃时，容器的总压为P5，则由盖吕莎克定律得：P/T=P5/T5

P5=P× T5/T=243kPa

方法2：（1）两种气体的初始压力为p ，则由p1v1=p1v1得

p(V N2+V O2)=p混V混

则p=p混×v混/(v N2+v O2)

=150×10/(5+15)

=75 Kp

（2）同温同压下,n(N2):n(O2)=V(N2):V(O2)=1:3

P(O2)=P×X(O2)=1/4×150kPa=

P(N2)=P×X(N2)=3/4×150kPa=

(3) P2V2=nRT2①

PV=nRT ②两式相比,得P2/P=T2/T

150kPa/P=298K/483K P=243kPa

5-9 在25℃，下把氨气通入容积为刚性壁密闭容器中，在350℃下用催化剂使部分氨分解为氮气和氢气，测得总压为5MPa，求氨的解离度和各组分的摩尔分数和分压。

解:P1V1=n（NH3）RT1→n（NH3）=

P2V2=n（混）RT →n（混）=

设有2x mol的NH3在1123K下分解,则有x molN2和3x molH2生成,则 n NH3-2x+x+3x=n总x=

X(NH3)=(n NH3-2x)/n总=

X(N2)=X/n总=

X(H2)=3x/n总=

P(NH3)=P×X(NH3)=

P(N2)=P×X(N2)=

P(H2)=P×X(H2)=

NH3的解离度=(n(NH3)-2x)/n(NH3)=％。

5-10 某乙烯和足量的氢气的混合气体的总压为6930Pa，在铂催化剂催化下发生如下反应：

C2H4(g)+H2(g)＝C2H6(g) 反应结束时温度降至原温度后测得总压为4530 Pa。求原混合气体中乙烯的摩尔分数。

解：由等温变化得：P1V1/n1=P2V2/n2

原混合气体中乙烯的摩尔分数为Ni；设气体总体积为1

6930*1/n=4530*1/（1-Ni）n

得=

答：原混合气体中乙烯的摩尔分数为

5—11以下哪些关系式是正确的（p、V、n表示混合气体的总压、总体积和总物质的量）说明理由。

pV B=n B RT p B V=n B RT p B V B=nRT pV=nRT

答: PV B=n B RT 错误

P B V=n B RT正确,它表示B物质的分压力

P B V B=nRT 错误

PV=nRT 正确,它就是气体的状态方程.

5-12 以下系统内各有几个相

（1）水溶性蛋白质的水溶液；（2）氢氧混合气体；

（3）盐酸与铁块发生反应的系统；（4）超临界状态的水。

解（1）一个相，因为溶液均匀分布的；

（2）一个相，因为混合气体均匀分布的；

（3）三个相，因为反映系统中有未反映的铁固体，生成H2气体以及溶液液体。

（4）一个相，因为超临界状态的水，既有水固体，又有水液体和水蒸汽。

5-13 10 g水在373k和100kPa下气化，所做的功多大

解: 系统接受环境所给的功：

W=P×△V=RT△n=×373×10/18=

5—14 反应CaC2(s)+2H2O(l)=Ca(OH)2(s)+C2H2(g)在298K下的标准摩尔热力学能变化量为–1，求该反应的标准摩尔焓变。

解：该反应是在恒温恒压条件下进行，反应的标准摩尔生成焓：

△rHm=U+P△V =+×298×(1-0)= ?mol–1

5-15 人类登月使用的阿波罗的第一级火箭使用了550吨煤油在内与氧发生燃烧反应产生巨大推力。以C12H26(l)为煤油的平均分子式的燃烧热为-7513KJmol-1，试计算这个燃烧反应的功率。

解：设这个燃烧反应的功率为P，在内产生的热量为WkJ;则由：

C6H12O6+=12CO2+13H2O; H= –7513kJ/moL

170g 7513kJ

550 1000 1000g WkJ

W= 10 10kJ

P=W/t= 10 8kW

5—16 已知Al2O3(s)和MnO2(s)的标准摩尔生成焓为-1676 KJmol-1和-521 KJmol-1，计算1g铝与MnO2(s)足量反应（铝热法）产生的热量。

解: n(Al)=1/27mol

4Al+3MnO2 = 2Al2O3+3Mn

Qp=△H=(-1676+521)×1/27= mol–1

5-17 已知Cl-1(aq)的标准摩尔生成焓为– kJ mol–1，计算1molHCl(g)溶于足量的水释放多少热[注]计算得到的值为氯化氢的溶解热；HCl(g)的标准摩尔生成焓可从本书附表中查获。假设水量的多少与程度无关（事实上是有关的，因此溶解热的数值通常设定为无限稀释。）

解: 假设溶于定量的水释放的热量为△H，则有： HCl(g)=H(∞aq)++Cl aq–

因规定△f Hm O(H(∞aq))=0 △H(Cl–)= –mol

又可查表得：H(HCl) = –mol

△r Hm O=△f Hm O(H(∞aq))+ △f Hm O(Cl aq–)–△f Hm O(HCl(g))

=0+（–）–（–）= kJ?mol–1

所以1 mol HCl(g)溶于足量水的释放热为 kJ?mol–1

5-18：用标准摩尔生成焓的数据计算SiF4(g)与足量H2O(l)的反应生成SiO2(s)和HF(g)

的摩尔反应焓。

解 :反应方程式为：SiF4(g)+ 2H2O(l) =SiO2(s)+4HF(g)

△r Hm O=△r Hm O (SiO2)+4△r Hm O (HF) –△r Hm O (SiF4) –2△r Hm O (H2O)

=(– kJ?mol-1)+4*(– kJ?mol–1) –2* kJ?mol-1) –(– kJ?mol–1)

=( kJ?mol–1)

所以为：SiF4(g)+ 2H2O(l) =SiO2(s)+4HF(g) △r Hm O =( kJ?mol-1)

5-19 利用本书附表与下列数据计算石灰岩[以CaCO3(方解石)计]被CO2(g)溶解发育成喀斯特地形的如下反应的标准摩尔反应焓：

CaCO3 (s) + CO2 (g) + H2O(l) =Ca2+ (aq)+2HCO–-3(aq)

△r Hmθ /kJ?mol-1: Ca2+ (aq) – HCO-3(aq) –

解：CaCO3 (s) + CO2 (g) + H2O(l) =Ca2+ (aq)+2HCO-3(aq)

△r Hmθ=△r Hmθ(Ca2+(aq))+2△r Hmθ(HCO-3(aq)) –△r Hmθ（CaCO3 (s)）–△r Hmθ(CO2 (g)) –△r Hmθ (H2O(l) )

=(– kJ?mol–1)+2×(– kJ?mol–1) –2×(– kJ?mol–1) –( – kJ?mol–1) –(–kJ?mol–1) = –( kJ·mol–1)

5-20 火柴头中的P4S3(s)标准摩尔燃烧热为-3677 kJ?mol-1 [注：燃烧产物为P4O10 (s)和SO2 (g)]，利用本书附表的数据计算P4S3(s)的标准摩尔生成焓。

解：P4S3(s) +8O2 (g)=P4O10 (s) +3SO2 (g)

△r Hmθ=△r Hmθ (P4O10 (s))+3△r Hmθ (SO2 (g)) –△r Hmθ（P4S3(s)）–8△r Hmθ (O2 (g)) –(– kJ?mol–1)+3×(– kJ?mol–1) –△r Hmθ（P4S3(s)）–(0 kJ?mol–1)= –3677 ( kJ?mol–1)

∴△r Hmθ（P4S3(s)）= – kJ?mol–1

即P4S3(s)的标准摩尔生成焓为 kJ?mol–1

5-21 诺贝尔发明的炸药爆炸可使产生的气体因热膨胀体积增大1200倍，其化学原理是硝酸甘油发生如下分解反应：4C3H5（NO3）3(l)=6 N2(g)+10H2O (g)+12CO2 (g) +O2 (g)已知C3H5（NO3）3(l)的标准摩尔生成焓为–355 kJ?mol–1，计算爆炸反应的标准摩尔反应焓。

解：4C3H5（NO3）3=6 N2+10H2O +12CO2 (g) +O2 (g)

△r Hmθ=6×△r Hmθ (N2)+10△r Hmθ (H2O)+12△r HmθCO2 (s)）+ △r Hmθ (O2 (g))

– 4△r Hmθ (C3H5（NO3）3)

=6×(0kJ?mol–1)+10×(–?mol–1)–12×?mol–1)–(0kJ?mol–1)–

4(–355kJ?mol–1) = –( kJ?mol–1)

∴4C3H5（NO3）3=6 N2+10H2O +12CO2 (g) +O2 (g)△r Hmθ =－( kJ?mol–1)

5-22石灰的水化反应放出的热足以将纸张着火或鸡蛋煮熟。试利用本书附表的数据计

算500g(1市斤)生石灰（s）与足量的水生成熟石灰（s）放出的热。（注：可忽略溶解反应）。

解：CaO (s) + H2O(l) =Ca（OH）2(s)

△r Hmθ=△r Hmθ(Ca（OH）2(s)) –△r Hmθ(CaO (s)) –△r Hmθ（H2O(l)）= –( kJ?mol–1)∴500g/56g/mol×△r Hmθ = mol–1

5-23生命体的热源通常以摄入的供热物质折合成葡萄糖[C6H12O6 (s)]燃烧放出的热量，已知葡萄糖 [C6H12O6 (s)]的标准摩尔生成焓为－1273 kJ?mol–1,利用附表数据计算它的燃烧热。

解: 假设葡萄糖的燃烧热为Q，经查表和已知得：C6H12O6 (s) +O2 (g) =6H2O(l) +6CO2 (g)

△r Hmθ=6×△r Hmθ(H2O(l))+6△r Hmθ(CO2 (g)) –△r Hmθ（O2 (s)）–△r Hmθ(C6H12O6 (s)

=－2803( kJ?mol–1)

C6H12O6 (s) +O2 (g) =6H2O(l) +6CO2 (g) △r Hmθ= –2803( kJ?mol–1)

5-24经测定葡萄糖完全氧化反应：C6H12O6 （s）+O2 (g) =6H2O(l) +6CO2 (g)的标准摩尔反应自由能为-2840 kJ?mol-1，试查出产物的标准生成自由能，计算葡萄糖的标准摩尔生成自由能。将所得数据与上题的生成焓数据做比较。

解：

5-25 已知N2、NO和O2的解离焓分别为( kJ?mol-1)、631。8( kJ?mol-1)和493。

7( kJ?mol-1)，

仅利用这些数据判断NO在常温常压下能否自发分解。、

解：假设进行NO=N2+ O2发生，则由已知得反应是吸热反应是极性分子，分子结构复杂，所以是熵减反应，即明显地即反应不是自发的，也就是说在常温常压下不能自发分解。

5-26 预计下列反应是熵增反应还是熵减反应不能预计的通过标准熵进行计算。

（1）葡萄糖燃烧（2）乙炔燃烧（3）碳酸氢钠分解（4）铁丝燃烧

（5）甲烷与水蒸气反应生成水煤气(steam gas–CO和 H2的混合气体)

（6）甲烷与氧气反应生成合成气（syngas–CO和 H2的混合气体）.

解: (1) 葡萄糖燃烧: S增大

因为CO的结构比O2复杂，因而生成物的混乱度比反应物大,即反应是熵增反应。

(2) 乙炔燃烧: S减小

因为生成物中气体计量数之和比反映物大，因而混乱度增大，是熵减反应。

(3) 碳酸氢钠分解: S增大

因为反成物只有固体，而生成物有气体，因而混乱度增大，是熵增反应。

(4) 铁丝燃烧: S减小

因为反应消耗O2气体，而生成物只有固体，因而混乱度减小，是熵减反应。

(5) 甲烷与水蒸气反应生成水煤气: S增大

因为生成物的气体计量数要比反应计量数大，因而混乱度大，是熵增反应。

(6) 甲烷与氧气反应生成合成气: S增大

因为生成物的气体计量数比反映物大，因而混乱度增大，是熵反应。

5-27解：C（s）+O2（g）=CO（g）

5-28 碘钨灯因在灯内发生如下可逆反应：W(s)＋I2(g)＝WI2(g).碘蒸气与扩散到玻璃内壁的钨会反应生成碘化钨，后者扩散到钨丝附近会因钨丝的高温.而分解出钨重新沉积到钨丝上去，从而可延长灯丝的使用寿命。

已知在298K时： W(s) WI2(g) I2(g)

Δf G mθ/ kJ?mol–1 0 －

S mθ/ J?mol–1 /k 251

（a）设玻璃内壁的温度为263K，计算上式反应的Δr G mθ（623K）

（b）估算WI2(g)在钨丝上分解所需的最低温度。

解： W（s）+I2（g）=WI2（g）

（1）由吉布斯-亥姆霍兹方程，在298K时，△r G mθ=△r H mθ—T1△r S mθ ①

在623K时，△r G mθ（623K）=△r H mθ—T2△r S mθ ②

由②—①得，△r G mθ（623K）=（T1—T2）△r H mθ—T2△r S mθ

=（298K－623K）×（251－－）×10–3+（－–）

= －–1

（2）WI2（g）分解即得：△r G m = 0，即吉布斯-亥姆霍兹方程中△r G m =0，

由①得，△r H mθ= －–1，△r S mθ= － KJmol–1K–1

0=△r G m =△r G mθ（T）+RTlnJ

T≈△r G mθ（298K）/ RlnJ=△r H mθ（298K）/〔△r S mθ（298K）－RlnJ〕

= – kJmol–1〔〕– kJmol–1K–1– RlnJ〕

5-29用凸透镜聚集太阳光加热倒置在液汞上的装满液汞的试管内的氧化汞，使氧化汞分解出氧气，是拉瓦锡时代的古老实验。试从书后附录查出氧化汞、氧气和液汞的标准生成焓和标准熵，估算：使氧气的压力达到标态压力和1kPa所需的最低温度（忽略汞的蒸气压），并估计为使氧气压力达1kPa，试管的长度至少多长

解：方法一：经查阅：H: HgO=mol O2=0 kJ/mol Hg(l)=0 kJ/mol

S: HgO=mol K O2= J/mol K

Hg(l)= J/mol K

因为：HgO(s) = Hg(l)+1/2O2

△r H m =0+1/2 0– (–=

△r S m =+1/2 =△H–T△S= –RT㏑J

△r H m–T△r S m = –RT㏑P(O2)/P

从而求得温度分别为：T1=889K T2=647K

方法二： 2HgO（l）=02（g）+2Hg（l）

当02的压力P（02）=1atm，由范特霍夫等温方程式△r G m =0

0=△r G m =△r G mθ（T）+RTlnKθ

lnKθ1=△r S mθ（298K）/R—△r H mθ（298K）/RT1

lnKθ2=△r S mθ（298K）/R—△r H mθ（298K）/RT2

lnK2/K1= －（1/T2—1/T1）△r H mθ（298K）/R

分解HgO时，P（02）=100KPa，则K Pθ=100/100=

5-30查出生成焓和标准熵，计算汽车尾气中的一氧化氮和一氧化碳在催化剂表面上反应生成氮气和二氧化碳在什么温度范围内是自发的。这一反应能否实际发生解：2NO+2CO=N2+2CO2

△r G m θ=

△r H m

θ–T

1△r S m

5-31石灰窑的碳酸钙需加热到多少度才能分解（这时，二氧化碳的分压达到标准压力）若在一个用真空泵不断抽真空的系统内，系统内的气体压力保持10Pa，加热到多少度，碳酸钙就能分解

解： CaCO3（s）=CaO（s）+CO2（g）

△r H mθ（298K）=〔–（–）+（–）+（–）〕kJ·mol—1

=—1＞0（吸热）

△r S mθ（298K）=〔–（）++〕Jmol—1K–1

=—1K–1＞0（熵增大）

(2) 该分解反应为吸热熵增型反应，在温度达到某零界点之前△r G mθ＞0，反应不自发，高于该零界点△r G mθ＜0，反应自发，

正处于零界点温度时，△r G mθ=0

所以0=△r G mθ≈△r H mθ（298K）– T△r S mθ（298K）

T=△r H mθ（298K）/△r S mθ（298K）

=×1000kJ—1/—1K—1

=1051K=778℃，

所以CaCO3加热到778℃以上才能分解。

（2）当P（O2（g））=10Pa时，Kp=10Pa/100kPa=10-4

而Δr G m=Δr G mθ（298K）+RTlnKp

令Δr G m=0，则得T=－Δr G mθ（298K）／RTlnKp

代入数据，解得 T=752K

5-32 以下反应，哪些在常温的热力学标态下能自发向右进行哪些不能

Δr H mθ/kJ?mol–1 Δr S mθJ?mol–1 /k

（1）2 CO2（g）＝2CO（g）+ O2（g） 174

（2）2N2O（g）＝2N2（g）+ O2（g）–163

（3）2NO2（g）＝2NO（g）+ O2（g） 113 145

（4）2NO2（g）＝2O2（g）+ N2（g）– 120

（5）CaCO3(s) ＝CaO(s) + CO2（g） 161

（6）C (s) + O2（g）＝CO2（g）–

（7）CaF (s) +aq＝CaF2( aq) －152

向右

解：（1）2 CO2（g）＝2CO（g）+ O2（g）吸热熵增型不自发进行

（2）2N2O（g）＝2N2（g）+ O2（g）放热熵增性自发进行

（3）2NO2（g）＝2NO（g）+ O2（g）吸热熵增型不自发进行

（4）2NO2（g）＝2O2（g）+ N2（g）放热熵增性自发进行

（5）CaCO3(s) ＝CaO(s) + CO2（g）吸热熵增型不自发进行

（6）C (s) + O2（g）＝CO2（g）放热熵增性自发进行

（7）CaF (s) +aq＝CaF2( aq) 吸热熵增型不自发进行

5-33计算氯化铵固体在试管内及在斜置的两头开口的玻璃管内分解所需的最低温度。

解：答案见课本例题5-19

（1）氯化铵固体在试管内分解：HCl气体和N H3气体的总压= 标准压力Pθ

则HCl气体的分压= Pθ N H3气体的分压= Pθ

分解温度T需根据范特霍夫等温式即Δr G m=Δr G mθ（298K）+RTlnKp

令Δr G m=0，则得T=－Δr G mθ（298K）／RTlnKp

=Δr H mθ（298K）／[Δr S mθ（298K）－Rln（×）]

=594K

（2）氯化铵固体在斜置的两头开口的玻璃管内分解，分解后较重的HCI气体向下逸出，较轻的N H3气体向上逸出，两气体分压都等于标准压力

NH4CI（s） = N H3（g） + HCI（g）

Δf H mθ/ kJ?mol-1 －－－

S mθJ?mol-1 /k

∴ΔrHmθ＝ kJ?mol-1 Δr S mθ=285 J?mol-1 /k

而Δr H mθ=Δr H mθ-TΔr S mθ

令Δr G mθ=0，得T=Δr H mθ（298K）/Δr S mθ（298K）= 618K

5-34 银器与硫化物反应表面变黑是生活中的常见现象。

（1）设空气中H2S气和H2气“物质的量”都只达10-6mol，问在常温下银和硫化氢能否反应生成氢气温度达到多高，银器表面才不会因上述反应而变黑

（2）如果考虑空气中的氧气加入反应，使反应改为2Ag(s)+ H2S(g)+1/2 O2(g) ＝

Ag2S(g)+ H2O(l)，该反应是否比银单独和氢化物反应放出氢气更容易通过计算来回答。温度对该反应自发性的影响如何

附：298下的标准生成焓和标准熵分别为－ kJ?mol-1和146J?mol-1 /k

解：（1） 2Ag(s) + H2S(g) ＝ Ag2S(g) + H2

Δf H mθ/ kJ?mol-1 0–– 0

S mθJ?mol-1 /k 146

∴Δr H mθ＝– kJ?mol-1 ΔrSmθ= – J?mol-1 /k

而Δr H mθ=ΔrHmθ–TΔr S mθ 令Δr G mθ=0，得T=Δr H mθ（298K）/Δr S mθ（298K）=786K

所以银器与硫化物在低于768K可自发生成氢气，高于786K时，银器表面才不会因上述反应而变黑

（2）2Ag(s) + H2S(g) + 1/2 O2(g) ＝ Ag2S(g) + H2O(l)

Δf H mθ/ kJ?mol–1 0－ 0 －－

S mθJ?mol–1 /k 146

∴Δr H mθ＝－ kJ?mol–1 Δr S mθ=－ J?mol–1 /k

而Δr H mθ=Δr H mθ-TΔrSmθ

令Δr G mθ=0，得T=Δr H mθ（298K）/Δr S mθ（298K）=

5-35 高价金属的氧化物在高温下容易分解为低价氧化物。以氧化铜分解为氧化亚铜为例，估算分解反应的温度。该反应的自发性是焓驱动的还是熵驱动的温度升高对反应自发性的影响如何

5-36 很早就有人用热力学理论估算过，CuI2固体在298K下的标准摩尔生成焓和标准摩尔生成自由能分别为mol和mol。可是，碘化铜固体却至今并没有制得过。据认为，这不是动力学上的原因而是热力学上的原因。试分析是什么原因。

5-37 一直二氧化钛（金红石）在常温下的标准摩尔生成焓和标准焓分别为—912kJ/mol 和和，试分析以下哪一种还原反应是消耗热能最省的

TiO2(s)+2H2(g) = Ti(s)+2H2O(g)

TiO2(s)+C(s) = Ti(s)+CO2(g)

TiO2(s)+2Cl2(g) +C(s) = TiCl4(l) +CO2(g)

TiCl4(l) +2H2(g) = Ti(s)+4HCl(g)

附：TiCl4(l)298K下的生成焓和标准焓分别为－ kj/mol和

5-38以温度T/K为横坐标，以生成焓Δf G mθ/为纵坐标，利用吉布斯-亥姆霍兹方程画出CO(g) 和CO2 (g)的生成焓随温度变化的曲线。

（1）哪条曲线的斜率较大为什么

（2）两条曲线的相交点对反应CO(g)+1/2O2(g)=CO2(g)有什么特殊的物理意义

（3）在图上区Δf G mθ(CO)> Δf G mθ(CO2)和Δf G mθ(CO)< Δf G mθ(CO2)的温度区间里，反应CO(g)+1/2O2(g) = CO2(g)的方向有何不同

（4）请在图上添加一条曲线，用以判断反应Fe2O3(s)在什么温度区间可被CO还原为铁。

提示：需按1/3 Fe2O3(s)+ CO=2/3Fe+ CO2来添加该曲线而不应直接使用Δf G mθ（Fe2O3）的温度曲线。

（5）通过此题你对不同反应的自由能的可比性或者不同反应的自由能有没有物理意义有什么认识

5-40 分辨如下概念的物理意义：

（1）封闭系统和孤立系统。

解：封闭系统和孤立系统：封闭系统是指系统与环境之间无物质交换而有能量交换。而孤立系统是指系统与环境之间既无物质交换又无能量交换。

（2）环境压力和标准压力。

解：

（3）热力学标准态和理想气体标准状态。

（4）气体的分压和分体积。

解：气体的分压是指相同温度下组分理想气体单独占有混合气体的体积时显示的压力。气体的分体积是指相同温度下组分气体具有和混合气体相同压力时所显示的体积。

（5）功、热和能。

解：功：除热以外的所有其它能量的传递形式都叫“功”；

热：是指系统与环境之间因温度差异而引起的能量传递形式；

能：是系统内各种形式的能量的总和。

（6）等压膨胀功和可逆膨胀功。

解：等压膨胀功：膨胀是在恒定的外压，既P=P始态=P终态，气体所做的膨胀功：

W= —PΔV= —P（V终—V始）

可逆膨胀功：膨胀分无限多次连续不断地进行，第一次膨胀时外压比P始态小一个无限小量，随后每次膨胀时的外压总比上一次小一个无限小量，直到最后一次，外压比 P终态大一个无限小量，这种膨胀过程中气体所做的功叫做可逆膨胀功，是做功的极大值。

（7）膨胀功和有用功。

解：膨胀功是气体的体积变化引起做功，气体向外膨胀，克服环境的压力，向环境做功，气体被压缩，是环境向气体做功，似“压缩功”，但它与气体膨胀做功只是数符（正负号）不同，仍叫膨胀功。

有用功：除膨胀功以外的“其它功”。

（8）热力学能和焓。

解：热力学能是指系统内各种形式的能量的总和。

焓：在恒温恒压下，系统不做非体积功时的热效应。

（9）等压热效应和等容热效应。

解：等压热效应：在等温等压条件下，化学反应的热效应叫等压热效应，用Q p表示；

等容热效应：在等温等容条件下，化学反应的热效应叫等容热效应，用Q v表示。

（10）生成焓、燃烧焓和反应焓。

解：生成焓：在标准压力和指定温度下，由各种元素的最稳定单质生成标准状态下单位物质的量（1mol）某纯物质的等压热效应叫标准摩尔生成焓，简称生成焓，用“Δf H mθ”表示；

燃烧焓：在100KPa的压强下，1mol物质完全燃烧时的热效应叫做该物质的标准摩尔燃烧焓，简称燃烧焓，用“Δc H mθ”表示；

反应焓：全称标准摩尔反应焓变，指当生成物和反应物的温度相同时，化学反应过程中吸收或放出的热量，用“Δr H mθ”表示。

（11）过程和状态。

解：过程：体系的状态发生变化，从始态变到终态，我们说体系经历了一个热力学过程，简称“过程”。

状态：由一系列表示体系性质的物理量，如温度、压力、体积、物态、物质的量、相、个种能量等所确定下来的体系的存在形式称为体系的状态；

（12）状态函数和非状态函数。

解：状态函数：由物质系统的状态决定的物理量称为“状态函数”，状态函数的变化量只与终态和始态两种状态有关，与其具体路径无关。

非状态函数：不由物质系统的状态决定的物理量。

（13）过程的自发性和可逆性。

解：过程的自发性：在一定条件下，该过程的发生不需外力作用就能自动进行；

过程的可逆性：在一个过程中，无限接近平衡态。

（14）理想气体和非理想气体。

解：理想气体：假设一种气体，它的分子只有位置而不占有体积（分子本身体积小或接近于没有体积），是一个没有质量的几何点，并且分子之间没有相互吸引力，分子之间以及分子与器壁之间发生的碰撞不造成动能损失，这种气体称为理想气体；

非理想气体：指不具备理想气体条件的气体。

（15）标准自由能和非标准自由能。

解：标准自由能：在标准状态和恒定温度下，各种元素的最稳定单质生成1mol某纯物

质的吉布斯自由能改变量，用“Δr G mθ”表示；

非标准自由能：在非标准状态下，各种元素的最稳定单质生成1mol某纯物质的吉布斯自由能改变量。

（16）吸热化合物和放热化合物。

解：吸热化合物：由对应的单质“生成”化合物的反应，生成焓为正值，叫吸热化合物；

放热化合物：由对应的单质“生成”化合物的反应，生成焓为负值，叫放热化合物。

（17）标准熵和反应熵。

解：标准熵：在标准压力下，1mol纯物质的熵值叫标准熵，用“S mθ”表示；

反应熵：在标准压力下，化学反应的熵变称为标准摩尔反应熵，简称反应熵，

用“Δr S mθ”表示。

（18）熵增大原理的适用系统。

解：

（19）热力学分解温度与实际分解温度。

解：热力学分解温度：某反应在标态下，在温度达到某零界点之前Δr G mθ＞0，反应自发；

高于零界点时，Δr G mθ＜0，反应自发；

正处于零界点温度时，Δr G mθ=0，该零界点温度称为热力学分解温度。

实际分解温度：

（20）热力学与动力学。

解：热力学：是专门研究能量相互转化过程中所遵循的法则的一门科学，即不需要知道物质的内部结构，只从能量观点出发便可得到一系列规律的一门科学。

动力学: 是研究化学反应的快慢（即速率）和微观历程（或称机理），它的主要研究领域可分为：表观动力学、分子反应、分子反应动力学和宏观动力学等。

5-41 判断以下说法的正确与错误，尽量用一句话给出你作出的判断的根据。

（1）温度高的物体比温度低的物体有更多的热。

解：错误,因为热不是状态函数,只是内能变化的一个量度,并不代表温度的高低.

或：热不是系统的性质，不能说系统有多少热。

（2）氢氧爆鸣气反应产生的热使气体体积急剧膨胀引起爆炸。

解：错误,因为这应该是氢氧充分接触后发生反应产生的热量使气体产生爆炸.

（3）加热向碳酸钙提供了能量导致了碳酸钙分解。

解：错误,因为是加热使温度上后升高而自由能降低.其为熵增反应。

（4）醋酸溶于水自发电离产生氢离子和醋酸根离子，这是由于醋酸电离反应的标准摩尔自由能的数符是负值。

解：错误,因为该电离是在非标准态进行的。

（5）碳酸钙的生成焓等于CaO（s）+CO2（g）=CaCO3（s）的反应焓。

解：错误,因为生成焓是由稳定单质变成化合物的焓变.

或：一物质的标准摩尔生成焓是指：在标准压力和指定温度下，有最稳定单质生成一摩尔该物质时的等压热效应。

（6）高锰酸钾不稳定，加热分解放出氧气，是由于高锰酸钾是吸热化合物。

解：错误,因为不是吸热反应,加热只是加快反应速度.

（7）高锰酸钾在常温下能够稳是由于它在常温下的标准生成自由能大于零。

解：错误,因为也可能是由于动力学因素.

（8）氮气的生成焓等于零，所以它的解离焓也等于零。

解：错误,因为其解离焓不为零，状态不同.

（9）单质的生成焓等于零，所以它的标准熵也等于零。×

解：错误，因为它的标准不同。

或：在0K时，任何完整晶体中的原子或分子中只有一种排列形式，其熵值为零。

（10）单质的生成焓都等于零。

解：错误，标准状态下稳定的单质的生成焓才等于零。

或:稳定单质的生成焓为零，金刚石虽然是单质，但不是最稳定单质，其生成焓为·mol–1.

（11）水合氢离子的标准熵等于零。

解：错误，因为只是为了计算方便而规定的。

或：根据热力学第三定律：在0K时，任何物质完美晶体的熵值为零。水溶液中单个离子的标准熵是相对于水合氢离子的标准熵为零而求得的。

（12）水合离子的生成焓是以单质的生成焓为零为基础求得的。

解：错误，因为水合离子的生成焓是以水合氢离子的为零为基础求得的。

:或：水合离子的生成焓是以H+&aq为基础而指定起生成焓为零。

（13）*生命体生长发育和生物进化熵减小却自发，因此，是违背热力学第二定律的。

解：错误，因为单从机体长生新的复杂结构看，是熵减，而细胞的死亡及新陈代谢将结构复杂的化合物转化为简单小分子则是熵增，同时该过程非绝热体系。

或：根据热力学第二定律：在孤立体系的任何自发过程中，体系的熵是增加的，而生命体生长发育和生物进化的体系却不是孤立的体系，因而不适合该定律。

相似三角形经典大题(含答案)

相似三角形经典大题解析 1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，B C 边的长为8，B C 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为A B 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作M N B C ∥，交A C 于点N ，在A M N △中，设M N 的长为x ，M N 上的高为h ．（1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿M N 折叠，使A M N △落在四边形B C N M 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A M N △与四边形B C N M 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？【答案】解：（1）M N B C ∥ A M N A B C ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= （2）1AM N A M N △≌△ 1A M N ∴△的边M N 上的高为h ， ①当点1A 落在四边形B C N M 内或B C 边上时， 1A M N y S =△= 2 11332 2 4 8 M N h x x x = = ·· （04x <≤） ②当1A 落在四边形B C N M 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边E F 上的高为1h ，则132662h h x =-= - 11EF M N A EF A M N ∴ ∥△∽△ 11A M N ABC A EF ABC ∴ △∽△△∽△

初三数学相似三角形典型例题(含问题详解)

初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。（二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质： ±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF ===

(完整版)初三数学相似三角形典型例题(附含答案解析)

2 初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在 10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。（二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念：在比例式 a b c (a ： bc ：d )中， a 、 d 叫外项， d b 、 c 叫内项， a 、c 叫前项， b 、 d 叫后项， d 叫第四比例项，如果 b=c ，那么 b 叫做 a 、 d 的比例中项。把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，使 AC=AB BC ，叫做把线段 AB 黄金分割， C 叫做线段 AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a c b d ②合比性质： a c b d ad bc a b c d b d ③等比性质： a c ? b d m (b d ? n n ≠ 0) a c ? m a b d ? n b 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图： l 1∥ l 2∥ l 3 。 AB 则 BC DE ， AB EF AC DE ， BC DF AC EF ，? DF

初中数学相似三角形练习题附参考答案

经典练习题相似三角形一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD 的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．

求证：△ABC∽△FDE． 4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．

8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB 方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．

相似三角形压轴经典大题(含答案)

相似三角形压轴经典大题解析 1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ．（1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ， 1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？【答案】解：（1） MN BC ∥ AMN ABC ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= （2）1AMN A MN △≌△ 1A MN ∴△的边MN 上的高为h ， ①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时， 1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤） ②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<，设1A EF △的边EF 上的高为1h ，则13 2662 h h x =-= - 11EF MN A EF A MN ∴∥△∽△ 11A MN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△

12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 1 68242 ABC S =??=△ 2 2 363224122 462EF x S x x ??- ?∴==?=-+ ? ? ?? 1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ?? =-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224(48)8 y x x x =- +-<< 综上所述：当04x <≤时，2 38 y x =，取4x =，6y =最大当48x <<时，2 912248 y x x =-+-，取16 3x = ，8y =最大 86> ∴当16 3 x =时，y 最大，8y =最大 2．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； M N C B E F A A 1

相似三角形经典模型总结与例题分类(超全)

相似三角形经典模型总结经典模型【精选例题】“平行型” 【例1】如图，111EE FF MM ∥∥，若AE EF FM MB ===，则1 11 1 1 1 :::_________AEE EE F F FF M M MM CB S S S S ?=四边形四边形四边形【例2】如图，AD EF MN BC ∥∥∥，若9AD =， 18BC =，::2:3:4AE EM MB =,则 _____EF =，_____MN = 【例3】已知，P 为平行四边形ABCD 对角线，AC 上一点，过点P 的直线与AD ，BC ，CD 的延长线，AB 的延长线分别相交于点E ，F ，G ，H 求证： PE PH PF PG = M 1F 1E 1M E F A B C M N A B C D E F P H G F E D C B A

【例4】已知：在ABC ?中，D 为AB 中点，E 为AC 上一点，且 2AE EC =,BE 、CD 相交于点F ，求BF EF 的值【例5】已知：在ABC ?中，12AD AB = ，延长BC 到F ,使1 3 CF BC =,连接FD 交AC 于点E 求证：①DE EF = ②2AE CE = 【例6】已知：D ，E 为三角形ABC 中AB 、BC 边上的点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ，::BD DE AB AC = 求证：CEF ?为等腰三角形【例7】如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证： 111c a b =+. F E D C B A 【例8】如图，找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系，并证明你的结论. F E D C B A 【例9】如图，四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=?，M 是AC 上一点，ME AD ⊥于点E ，MF BC ⊥于点F 求证： 1MF ME AB CD += F E D C B A A B C D F E F E D C B A

初中数学相似三角形例题解析

相似三角形例题解析编辑：启慧为了帮助同学们复习，天之骄学习研究部的老师参考多种学习资料精心选编了这套相似三角形总结专题，供同学们查漏补缺。若有疑问，请速与我们联系。相似三角形是初中几何的重要内容，包括相似三角形的性质、判定定理及其应用，是中考必考内容，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型，所以掌握好相似三角形的基础知识至关重要，本讲就如何判定三角形相似，以及应用相似三角形的判定、性质来解决与比例线段有关的计算和证明的问题进行探索。一、如何证明三角形相似例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽△EGC ∽△EAB 。分析：关键在找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。本例除公共角∠G 外,由BC ∥AD 可得∠1=∠2，所以 △AGD ∽△EGC 。再∠1=∠2（对顶角），由AB ∥DG 可得∠4=∠G ，所以△EGC ∽△EAB 。评注：（1）证明三角形相似的首选方法是“两个角对应相等的两个三角形相似”。（2）找到两个三角形中有两对角对应相等，便可按对应顶点的顺序准确地把这一对相似三角形记下来。例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD 分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计 A B C D E F G 12 3 4A D

算也是一种常用的方法。证明：∵∠A=36°，△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠C=72° 又BD平分∠ABC，则∠DBC=36° 在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36° ∴△ABC∽△BCD 例3：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABC 分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用。所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。证明：在△CBE和△ABD中， ∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD ∴△CBE∽△ABD

经典相似三角形练习题(附参考答案)

相似三角形一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证：△ADE ∽△EFC ． 2．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G ．（1）求证：△CDF ∽△BGF ；（2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF ∥CD 交AD 于点E ，若AB=6cm ，EF=4cm ，求CD 的长． 3．如图，点D ，E 在BC 上，且FD ∥AB ，FE ∥AC ．求证：△ABC ∽△FDE ． 4．如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于F ，试说明：△ABF ∽△EAD ． 5．已知：如图①所示，在△ABC 和△ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE ，且点B ，A ，D 在一条直线上，连接BE ，CD ，M ，N 分别为BE ，CD 的中点．（1）求证：①BE=CD ；②△AMN 是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P ．求证：△PBD ∽△AMN ． 6．如图，E 是?ABCD 的边BA 延长线上一点，连接EC ，交AD 于点F ．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC 与△DEC 是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD 的边长AB=3cm ，BC=6cm ．某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的？（2）是否存在时刻t ，使以A ，M ，N 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在梯形ABCD 中，若AB ∥DC ，AD=BC ，对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明． 10．如图△ABC 中，D 为AC 上一点，CD=2DA ，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE ⊥BD 于E ，连接AE ．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC 与△BEA 的面积之比．

相似三角形典型模型及例题

1：相似三角形模型一：相似三角形判定的基本模型（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型） A B C D E C B A D E （平行）（不平行）（二）8字型、反8字型 J O A D B C A B C D （蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型 A B C D C A D （四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：

（五）一线三直角型：三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。（六）双垂型： C A D 二：相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到8字型拓展 C B E D A 共享性一线三等角的变形 G A B C E F

一线三直角的变形 2：相似三角形典型例题（1）母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：OE OA OC ?=2 ．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ?=2 ；（2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ?=2 ． 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． 2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延 A C D E B

相似三角形-基本知识点+经典例题(完美打印版)

相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为： a d c b =．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有2 b ad =。（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2 1 5-= ≈0.618AB ．即 12AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1）基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2 ::a b b c b a c =?=?．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2）更比性质(交换比例的项或外项)：()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=．（4）合、分比性质： a c a b c d b d b d ±±=?=．

相似三角形经典题型

相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是 n m b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =． ②()a c a b c d b d ==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、 d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有2b ad =。（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2 1 5-=≈0.618AB ．即 512AC BC AB AC -== 简记为：51 2 -长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1）基本性质： ①bc ad d c b a =?=::；②2::a b b c b a c =?=?．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2）更比性质(交换比例的内项或外项)：()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=?? ，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =?=．

初三数学相似三角形典型例题(含标准答案)

初三数学相似三角形典型例题(含答案)

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初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。（二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质：a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0

相似三角形基本知识点及典型例题

相似三角形一、知识点梳理 ★知识点一：比例线段 1、比例：如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例，通常我们把 a, b,c,d 四 a c 个实数成比例表示成：或者a : b=c ： d ,期中b ， c 称为比例内项，a ，d 称为比例外项。 b d a c a c 等式两边同乘以 bd ，可得ad=bc ，反过来等式 ad=bc 同除以bd ，可得 =一 b d b d 2、比例线段：在四条线段 a,b,c,d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比, a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段。 a b 3、比例中项：如果三个数a, b, c 满足比例式，那么b 叫做a 、c 的比例中项，此时有b = ac 。 b c 那么这四条线段 4、黄金分割：如果点 P 把线段AB 分成两条线段 AP 和 PB,使 AP AP 帀，那么称线段AB 被点P 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点，比值叫做黄金比。全二长二 ? 0.618 2 5、比例式变形: a c a_ b c_d b d - b 或旦亠 b b d a c ” ■ * * b _d 一 =b ，（交换内项） c -交换外项） b a d 聖?（同时交换内外项） c a 3，那么a r e a 仁如果b = 3 a + b 卄 a 3 “a + b“,+ 0 2、若，贝U 的值是 b 5 b 8 3 3 B C 、- D 5 5 2 3、若 4x=5y,则 x : y = 例 4、 x —yz yz_x 5、已知g = y ，则j 的值为 13 7 y 例6、如果x : y :z = 1 : 3 : 5,那么 x 3y z x_3y z

相似三角形经典习题

相似三角形一．选择题 1．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（） A．∠B=∠C B．∠ADC=∠AEB C．BE=CD，AB=AC D．AD：AC=AE：AB 2．如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（） A． B． C．AC2=AD?AB D．CD2=AD?BD 3．如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，，则和△AED（不包含△AED）相似的三角形有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，已知点P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与△ABC相似，那么D点的位置最多有（） A．2处 B．3处 C．4处 D．5处 5．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点．若∠AEF=90°，则一定有（） A．△ADE∽△ECF B．△BCF∽△AEF C．△ADE∽△AEF D．△AEF∽△ABF 6．在△ABC中，∠ACB=90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）

A． B． C． D． 7．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED=∠B，②∠ADE=∠C，③，④，⑤AC2=AD?AE，使△ADE与△ACB一定相似的有（） A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（） A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1 9．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（） A．18 B．C． D． 10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论： ①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH?PC 其中正确的是（） A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④ ：S 11．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S △DEF =4：25，则DE：EC=（） △ABF

相似形与相似三角形专题复习(精编题目)精编版

第一节：相似形与相似三角形基本概念： 1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。 2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。 1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理）（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB = ====或或或或等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. （3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b a ＝d c ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。 2．比例的有关性质 ①比例的基本性质：如果 d c b a =，那么ad=bc 。如果ad=bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），那么d c b a =。 ②合比性质：如果d c b a =，那么d d c b b a ±=±。 ③等比性质：如果d c b a ==???=n m (b+d+???+n ≠0)，那么 b a n d b m c a =+???+++???++ ④b 是线段a 、d 的比例中项，则b 2＝ad.

经典相似三角形练习的题目(附参考答案详解)

实用标准文案相似三角形一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．

6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明． 10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．

相似三角形典型例题精选

相似三角形的判定与性质综合运用经典题型考点一：相似三角形的判定与性质：例1、如图，△PCD是等边三角形，A、C、D、B在同一直线上，且∠APB=120°. 求证：⑴△PAC∽△BPD；⑵ CD2 =AC·BD. 例2、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C 重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45° （1）求证：△ ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x函数关系式及自变量x值范围，并求出当x为何值时AE 取得最小值？（3）在AC上是否存在点E，使得△ADE为等腰三角形若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由例3、如图所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B： 1）求证：△ADF∽△DEC； 2）若AB=4，3 3 AD,AE=3，求AF的长。 A B C D F

考点二：射影定理：例4、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D，CD=4cm,AD=8cm,求AC、BC及BD的长。例5、如图，已知正方形ABCD，E是AB的中点，F是AD上的一点，且AF= 1 4 AD，EG⊥CF于点G，（1）求证：△AEF∽△BCE；（2）试说明：EG2=CG·FG. 例6、已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合,再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连结AF和CE．（１）求证：四边形AFCE是菱形；（２）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长；（３）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2＝AC·AP若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由． A B C D E F G

九年级相似三角形知识点总结及例题讲解22573解析

知识点一：放缩与相似 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ： n （或n m b a = ） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例 d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a = （或 a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质

相似三角形经典题(含答案)

相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图， ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ?与CDF ?的周长的比，如果2cm 6=?AEF S ，求CDF S ?．例3 如图，已知ABD ?∽ACE ?，求证：ABC ?∽ADE ?．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似．（2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似．（4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ?的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ?的边上，并且点D 、点E 和ABC ?的一个顶点组成的小三角形与ABC ?相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．

例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ?和C B A '''?是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．（2）?='∠?='∠?=∠?=∠35,44,104,35A C B A ．（3）?='∠=''=''?=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ?中，BD A AC AB ,36,?=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ?=2 ．