《点集拓扑学》§4.4 局部连通空间

§4.4 局部连通空间

本节重点:

掌握局部连通的定义与性质(定理4.4.1-4.4.3)；

掌握连通与局部连通的关系.

引进新的概念之前，我们先来考察一个例子．

例4.4.1在欧氏平面中令S={(x,sin(1/x))|x∈(0,1]}．

T={0}×[-1,1],其中S被称作拓扑学家的正弦曲线，它是区间（0，1]在一个连续映射下的象，因此是连通的．此外，也容易验证

＝S∪T，因此＝S∪T也是连通的．尽管如此，倘若我们查看中的点，容易发现它们明显地分为两类：S中的每一个点的任何一个“较小的”邻域中都包含着一个连通的邻域，而T中的每一个点的任何一个邻域都是不连通的.我们用以下的术语将这两个类型的点区别开来．

定义4.4.1 设X是一个拓扑空间，x∈X．如果x的每一个邻域U中都包含着x的某一个连通的邻域V，则称拓扑空间X在点x处是局部连通的．

如果拓扑空间X在它的每一个点处都是局部连通的，则称X是一个局部连通空间．

回到例4.4.1中所定义的拓扑空间．容易证明，在其属于S的每一个点处是局部连通的，而在其属于T的每一个点处都不是局部连通的．也因此，尽管是一个连通空间，但它却不是一个局部连通的空间．

局部连通的拓扑空间也不必是连通的．

例如，每一个离散空间都是局部连通空间，但包含着多于两个点的离散空间却不是连通空间．

又例如，n维欧氏空间的任何一个开子空间都是局部连通的（这是因为

每一个球形邻域都同胚于整个欧氏空间，因而是连通的），特别，欧氏空间

本身是局部连通的．另一方面，欧氏空间中由两个无交的非空开集的并作为子空间就一定不是连通的（请读者自己证明）．

此外根据定义立即可见：

拓扑空间X在点x∈X处是局部连通的当且仅当x的所有连通邻域构成点x 处的一个邻域基，

定理4.4.1 设X是一个拓扑空间．则以下条件等价：

（1）X是一个局部连通空间；

（2）X的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集；

（3）X有一个基，它的每一个元素都是连通的．

证明（1）蕴涵（2）．设C是X的一个连通分支,．如果x∈C，由于U是x的一个邻域，所以当（1）成立时x有一个连通邻域V包含于U．又

由于V∩C包含着点x,所以不是空集，根据定理4．3．1可见．因此C∈．这证明C是属于它的任何一个点x的邻域，因此C是一个开集．

条件（2）蕴涵（3）．若（2）成立，则X的所有开集的所有连通分支（它们都是开集）构成的集族，由于每一个集合是它的所有连通分支之并，恰是X 的一个基．

条件（3）蕴涵(1)．显然．

我们常用到定理4.4.1的一个推论：局部连通空间的每一个连通分支都是开集．

定理4.4.2 设X和Y都是拓扑空间，其中X是局部连通的．又设f:X→Y 是一个连续开映射．则 f（X）是一个局部连通空间．

证明根据定理4.4.1，可设B是X的一个基，其中的每一个元素都是连通的．对于每一个B∈B，集合f(B)是连通的，并且由于f是一个开映射，f（B）是Y中的一个开集，因此也是f（X）的一个开集．这证明集族B1={f（B）|B∈B}}是一个由f（X）的连通开集构成的族．我们指出B1是f(X)的一个基，这是因为，如果U是f(X)中的一个开集，则（U）是X中的一个开集，因此

是B1中某些元素之并．于是根据定理4.4.l可知f（X）是局部连通的．根据定理4.4.2易见，拓扑空间的局部连通性是一个拓扑不变性质.

定理 4.4.3设是n≥1个局部连通空间．则积空间

也是局部连通空间．

证明(略)

应用这些定理，有些事情说起来就会简单得多．例如，实数空间R由于所有的开区间构成它的一个基，所以它是局部连通的；n维欧氏空间是n个R的积空间，所以它也是局部连通的．当然这些事情我们早就知道了．

作业:

P127 1.2.3.

《点集拓扑讲义》第四章 连通性 学习笔记

第4章连通性 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4.1连通空间 本节重点: 掌握连通与不连通的定义； 掌握如何证明一个集合的连通与否； 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性． 我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R中的两个区间（0，l）和［1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）∪［l，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）∪（1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形． 定义4.1.1 设A和B是拓扑空间X中的两个子集．如果 则称子集A和B是隔离的．

明显地，定义中的条件等价于和同时成立，也就是说，A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，而子集（0，l）和[1，2)不是隔离的． 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的． 定义4.1.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A∪B，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间．显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4.1.1 设X是一个拓扑空间．则下列条件等价： （l）X是一个不连通空间； （2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立； （3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立； （4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集． 证明条件（l）蕴涵（2）:设（1）成立．令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得A∪B＝X，显然A∩B=，并且这时我们有 因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集．这证明了集合A和B满足条件（2）中的要求． 条件（2）蕴涵（3）．如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所以A、B为闭集，则由于这时有A＝和B=，因此A、B也是开集，所以A 和B也满足条件（3）中的要求．

道路连通空间

定义4.5.1 定义4.5.3 作业 本节重点：掌握道路连通的概念、性质。 掌握连通、局部连通、道路连通之间的联系与区别。 掌握道路连通分支的概念。 掌握Rn 子集的连通性质。 §4.5 道路连通空间 较之于连通空间的概念，道路连通空间这个概念似觉更符合我们的直觉因而易于理解些．我们先定义“道路”． 定义4.5.1 设X 是一个拓扑空间．从单位闭区间[0，1]→X 的每一个连续映射f:[0，1]→X 叫做X 中的一条道路，并且此时f(0)和f(1)分别称为道路f 的起点和终点．当x ＝f （0）和y ＝f （1）时，称f 是X 中从x 到y 的一条道路．起点和终点相同的道路称为闭路，并且这时，它的起点（也是它的终点）称为闭路的基点． 如果f 是X 中的一条道路，则道路f 的象集f([0，l])称为X 中的一条曲线或弧，并且这时道路f 的起点和终点也分别称为曲线f([0,1])的起点和终点． 或许应当提醒读者，“道路”这个词在这里所表达的意思已经与我们对它原有的理解颇有不同，希望读者不要因此而混淆了我们在这里严格定义的道路和曲线这两个不同的概念． 定义4.5.2 设X 是一个拓扑空间．如果对于任何x ，y ，存在着X 中的一条从x 到y 的道路（或曲线），我们则称X 是一个道路连通空间．X 中的一个子集Y 称为X 中的一个道路连通子集，如果它作为X 的子空间是一个道路连通空间．(Y 是否道路连通与X 是否道路连通没有关系) 实数空间R 是道路连通的．这是因为如果x ，y∈R，则连续映射f:[0，1]→R 定义为对于任何t∈[0,1]有f(t)=x+t(y-x)，便是R 中的一条以x 为起点以y 为终点的道路、也容易验证任何一个区间都是道路连通的． 定理4.5.1 如果拓扑空间X 是一个道路连通空间，则X 必然是一个连通空间． 中子集的连通性质 n R

关于拓扑空间连通性的研究【文献综述】

毕业论文文献综述 数学与应用数学 关于拓扑空间连通性的研究 一、前言部分 拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分支又有统一的趋势。 拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛的应用。 本文主要着重阐述了L-拓扑空间的δ-连通性这一新内容。到目前为止，L-拓扑学已成为较为成熟且完整的学科(国内外已有这方面的多部著作)。 二、主题部分 一般拓扑学从19世纪成为一个独立的科学分支至今已经历了一百多年的发展历史．虽然它的独立与发展相对于其他一些古老的数学学科如分析学、代数学，欧氏几何学和数论要晚了许多，但经过一百多年，特别是20世纪40年代到70年代的蓬勃发展，一般拓扑学已日趋成熟与完善(参见[1]及其参考文献)． “什么是拓扑学？”这是许多初学者都会提到的问题。拓扑学是一种几何学，它是研究几何图形的。但是拓扑学所研究的并不是大家最熟悉的普通的几何性质，而是图形的一种特殊性质，即所谓“拓扑性质”。尽管拓扑性质是图形的一种很基本的性质，它也是具有很强的几何直观，却很难用简单的语言来准确地描述，它的确切定义可以用抽象的语言来描述，也可以从几个例子来直观地反映。最具特色的问题就是一笔画问题、七桥问题、地图着色问题及Euler多面体定理。这些问题定理所涉及到图形在整体结构上的特性，就是“拓扑性质”。它们与几何图形的大小、形状，以及所包含线段的曲直等等都无关，也就不能用普通的几何方法来处理，需要有一种新的几何学来研究它们，这个学科就是拓扑学，也有人形象地称它为橡皮几何学，因为它研究的性质在图形做弹性形变时是不会改变的。而我们把这种变形称为图形的“拓扑变换”,它也可以用集合和映射的语言来确切的描述。 由于许多数学分支的活动范围早已突破了欧氏空间的限制，甚至也超出了度量空间的领

关于拓扑空间连通性的研究【开题报告】

毕业论文开题报告 数学与应用数学 关于拓扑空间连通性的研究 一、选题的背景、意义 一般拓扑学从19世纪成为一个独立的科学分支至今已经历了一百多年的发展历史．虽然它的独立与发展相对于其他一些古老的数学学科如分析学、代数学，欧氏几何学和数论要晚了许多，但经过一百多年，特别是20世纪40年代到70年代的蓬勃发展，一般拓扑学已日趋成熟与完善。 从序结构出发，我们可构造若干有趣的拓扑空间，很典型的就是L-拓扑空间，并应用序论的技巧和成果对这些空间的拓扑性进行研究，获得拓扑学中有普遍意义的成果。 格上拓扑学将拓扑结构、序结构融为一体，它有两个比较成熟的研究分支： Local理论和L一拓扑学．L0cal理论的特点是无点式的，其论证常常是构造性的而不是诉诸于选择公里，具有很浓的构造性色彩．L-拓扑空间的研究从1968年C．L．Chang[2]提出Fuzzy拓扑空间概念的第一篇论文算起，至今已有30多年．在这30多年中，它的研究已从初始的模仿性研究逐渐走上了创新的道路，层次结构的特点使它具有了不同于一般拓扑学的特点、风格，与完备格代数结构的紧密联系又赋予了它以新的生命力． 在L-拓扑学发展的初期，一部分学者沿用无点式方法，也曾获得过许多漂亮而有创造性的结果，其中以C．K．Wong[3]的局部化及B．button[4，5]一致化研究尤为突出．但是，由于其研究工作不涉及点，不可避免的会有许多局限性．如对局部性质的讨论、对Moore-Smith收敛理论的建立以及嵌入理论的研究等都难以展开． 事实上，在X L中自然存在一种“点”，即所谓的fuzzy点．因此在L-拓扑 学发展的初期，许多学者都力图沿着有点式方向工作，他们沿用一般拓扑学中的 邻域方法来研究L-拓扑，但在相当长的时间内无大的进展．1977年刘应明院士 在分析了C．K．Wong的Fuzzy点及其邻域系理论的弊端以后，修改了Fuzzy点及其对一个Fuzzy集的从属关系，首次打破传统的属于关系和邻域方法，引入了“重于”这一新的Fuzzy 点和Fuzzy集之间的从属关系，这样的“重于”关系满足一条基本原则一择一原则，相应地，

拓扑学第五章 连通性

第五章 连通性 普通几何中的图形“连通”性是一个非常直观的概念，似乎无需给出数学的定义。然而，对于一些复杂的图形，单凭直观是不行的，例如： 例： 设2E 的一个子集（曲线）有,A B 两部分构成，其中 1{(,sin )(0,1)}A x x x =∈ {(0,)11}B y y =-≤≤ 如右图，细线为A ，粗线为B ，我们很难判断它们是否连通的。 ▲有两种描述图形连通的方法： 1）、利用集合是否相交来判定； 2）、利用任何亮点是否有图形内的线段相连。 前者称为“连通性”，后者称为“道路连通性”。 在上例中，X 是连通的，但是，不是道路连通的。 §5-1 连通空间 先看一个例子： 考虑R 上的两个子集(0,1)与[1,2)。它们是不交的，（即交为空集）。但是，它们的并为(0,2)却构成了一个“整体”； 而(0,1)与(1,2)也是不相交的，但它们的并仍是两个部分。 原因是：(0,1)的一个聚点1，属于[1,2)，而不属于(1,2)。 为此，给出一个“分离”的概念。 定义1 设A 和B 是拓扑空间X 的两个非空子集，如果A B ?=?与A B ?=?，则称A 与B 是分离的。 定义2 称拓扑空间X 是连通的，如果X 不能表示为两个非空分离集合的并。 ●显然，连通与下面几种说法是等价的。 ① X 不能分解为两个非空不相交开集的并； ② X 不能分解为两个非空不相交闭集的并； ③ X 没有既开又闭的非空真子集；

④ X 中只有X 和?是既开又闭的。 上述的四种说法与连通是等价的，可以作为习题，有同学们自己去证明。 例1 （1）(,)f R τ是连通的，因为它的任意两个非空开集一定相交。 （2）双曲线不连通，它的两支是互不相交的的非空闭集。 （3）1E 空间是连通的。 结论（3）是明显的。但是，人们常常里利用已知连通空间论证其它空间的连通性，所以，1E 常常被作为论证一维流形连通的出发点。因此，有必要去证明一下。 证明的思路：1E 中任何非空真子集不可能既是闭的又是开的，则1E 是连通的。 以下是证明： 不妨设A 是1E 的非空真闭集，于是只要证明A 不会是开集。 设A 的下确界为a ，上确界为b 。因为A 是闭集，则有,a A b A ∈∈。 又设x A ?，不妨假定x a <（对于x b >情形可作类似的讨论），由于(,)x a A ?=?，即a 不是A 的内点，从而A 不是开集。证毕。 下面讨论连通空间的性质。 定理1 连通空间在连续映射下的象也是连通的。 证明： 设X 连通，:f X Y →连续，我们要证明()f X 也连通。 不妨设()f X Y =（否则也可以考虑:()f X f X →）。又设B 是Y 的既开又闭的非空子集，则 1()f B -是X 的既开又闭的子集（这是根据连续映射的性质）。 又由于1 ()f B -非空，并且X 是连通的，故只要1()f B -X =（不可能为?），因为映射是满射， 从而B Y =，这说明Y 的既开又闭的非空子集只能有Y 。于是，Y 是连通的。 例2 单位圆1 S 是连通的。 因为1 E 是连通的，且有映射1 1 2:,()i x f E S f x e π→=，有11 ()f E S =。 例3 设1 A E ?，则A 连通 ? A 是区间。 例3可作为定理1的推论。 推论1 连通空间上的连续函数取到一切中间值（即，象集是区间）。 事实上，这个推论适于R 上的映射，而对于其他的拓扑空间，应该有“序”的概念。所以只作理解即可。 即，设X 连通，1 :f X E →，根据例3。推论立证。 引理1 若B 是X 的既开又闭子集，A 是X 的连通子集，则或者A B ?=?，或者A B ?。 证明：显然A B A ??。由于A 是连通的，则A 不可能存在既开又闭的子集A B ?，则要么 A B ?=?，要么A B A ?=，即A B ?。

《点集拓扑学》§45 道路连通空间

§4.5 道路连通空间 较之于连通空间的概念，道路连通空间这个概念似觉更符合我们的直觉因而易于理解些． 我们先定义“道路”． 定义4.5.1 设X是一个拓扑空间．从单位闭区间[0，1]→X的每一个连续映射f:[0，1]→X叫做X中的一条道路，并且此时f(0)和f(1)分别称为道路f 的起点和终点．当x＝f（0）和y＝f（1）时，称f是X中从x到y的一条道路．起点和终点相同的道路称为闭路，并且这时，它的起点（也是它的终点）称为闭路的基点． 如果f是X中的一条道路，则道路f的象集f([0，l])称为X中的一条曲线或弧，并且这时道路f的起点和终点也分别称为曲线f([0,1])的起点和终点． 或许应当提醒读者，“道路”这个词在这里所表达的意思已经与我们对它原有的理解颇有不同，希望读者不要因此而混淆了我们在这里严格定义的道路和曲线这两个不同的概念． 定义4.5.2 设X是一个拓扑空间．如果对于任何x，y，存在着X中的一条从x到y的道路（或曲线），我们则称X是一个道路连通空间．X中的一个子集Y称为X中的一个道路连通子集，如果它作为X的子空间是一个道路连通空间．(Y是否道路连通与X是否道路连通没有关系) 实数空间R是道路连通的．这是因为如果x，y∈R，则连续映射f:[0，1]→R 定义为对于任何t∈[0,1]有f(t)=x+t(y-x)，便是R中的一条以x为起点以y 为终点的道路、也容易验证任何一个区间都是道路连通的． 定理4.5.1 如果拓扑空间X是一个道路连通空间，则X必然是一个连通空间．

证明对于任何x，y∈X，由于X道路连通，故存在从x到y的一条道路f:[0，l]→X这时曲线f（[0,1]），作为连通空间[0，l]在连续映射下的象，是X中的一个连通子集，并且我们有x，y∈f（[0，1]）．因此根据定理4.1.7可见X是一个连通空间． 连通空间可以不是道路连通的．我们已经指出例4．4．l中的是一个连通空间．不难证明（留作习题，见习题第3题）它不是道路连通的．道路连通与局部连通之间更没有必然的蕴涵关系、例如离散空间都是局部连通的，然而包含着多于两个点的离散空间不是连通空间，当然也就不是道路连通空间了． 定理4.5.2 设X和Y是两个拓扑空间，其中X是道路连通的，f:X→Y是一个连续映射．则 f（X）是道路连通的． 证明设．由于X是道路连通的，故X中有从到的一条道路g：[0，1]→X．易见，映射h：[0，1]→f(X)，定义为对于任意t∈[0，1]有h（t）=f g（t），是f（X）中从到的一条道路．这证明f（X）是道路连通的． 根据定理4.5.2可见，空间的道路连通性是一个拓扑不变性质，也是一个可商性质. 定理 4.5.3设是n≥1个道路连通空间．则积空间 也是道路连通空间． 证明我们只需要对n＝2的情形加以证明． 设对于i=l，2，由于是道路连通空间，故在中有从到的一条道路：[0，1]→．定义映射f：[0，1]→，

第3章-1：度量连通性

第3章 几类重要的拓扑性质 3.1 可度量性 绝对值、距离的推广, 一、度量拓扑, 二、连续与收敛. 定义3.1.1 设X 是一个集合. 如果存在函数d: X ?X →R , 使得对任意x,y,z ∈X 满足 (M1) 非负性: d(x,y)≥0, 且d(x,y)=0当且仅当x=y; (M2) 对称性: d(x,y)= d(y,x); (M3) 三角不等式: d(x,z)≤d(x,y)+ d(y,z). 则称d 是X 上的度量, d(x,y)称为点x 与点y 之间的距离. (X, d)称为度量空间. 球形邻域B d (x,ε)={ y ∈X: d(x,y)<ε} 定理3.1.1 若(X, d)是度量空间, 则集族B={B(x,ε): x ∈X, ε>0}是X 的某个拓扑的基. 定义3.1.2 设(X, d)是度量空间. 由基B={B(x,ε): x ∈X, ε>0}生成的X 上的拓扑称为由度量d 诱导的度量拓扑, 记为T d . 注(1) 度量空间是拓扑空间, (2) B(x,ε)∈T d , x 的开邻域 (3) y ∈ B(x,ε), ?δ>0使 B(y,δ)?B(x,ε). (4) U ∈T d y U,0ε??∈?>使B(y,ε)?U. 例3.1.1 离散度量空间. 设X 是非空集合. d: X ?X →R 定义为 0, x y,d(x, y)1, x y. =?=?≠? d 是X 上的度量, 由它诱导的X 上的拓扑是离散拓扑. 例3.1.2 R 的通常度量. 实数集R 上的通常度量d: R ?R →R 定义为 d (x,y)=|x-y|, x,y ∈R d 是R 上的度量, 由它诱导的R 上的拓扑T d 是通常拓扑. 定理3.1.2 设X 是一个集合. 如果d, d ’是X 上的两个度量, 则诱导拓扑T d ‘细于T 当且仅当对每个x ∈X 及每个ε>0, 存在δ>0, 使得B d ’(x,δ) ? B d (x,ε). 定义3.1.3 对于n ∈Z +, 设x=(x 1,x 2,...,x n )∈R n , 非负数

《点集拓扑学》§4.4 局部连通空间

§4.4 局部连通空间 本节重点: 掌握局部连通的定义与性质(定理4.4.1-4.4.3)； 掌握连通与局部连通的关系. 引进新的概念之前，我们先来考察一个例子． 例4.4.1在欧氏平面中令S={(x,sin(1/x))|x∈(0,1]}． T={0}×[-1,1],其中S被称作拓扑学家的正弦曲线，它是区间（0，1]在一个连续映射下的象，因此是连通的．此外，也容易验证 ＝S∪T，因此＝S∪T也是连通的．尽管如此，倘若我们查看中的点，容易发现它们明显地分为两类：S中的每一个点的任何一个“较小的”邻域中都包含着一个连通的邻域，而T中的每一个点的任何一个邻域都是不连通的.我们用以下的术语将这两个类型的点区别开来． 定义4.4.1 设X是一个拓扑空间，x∈X．如果x的每一个邻域U中都包含着x的某一个连通的邻域V，则称拓扑空间X在点x处是局部连通的． 如果拓扑空间X在它的每一个点处都是局部连通的，则称X是一个局部连通空间． 回到例4.4.1中所定义的拓扑空间．容易证明，在其属于S的每一个点处是局部连通的，而在其属于T的每一个点处都不是局部连通的．也因此，尽管是一个连通空间，但它却不是一个局部连通的空间． 局部连通的拓扑空间也不必是连通的．

例如，每一个离散空间都是局部连通空间，但包含着多于两个点的离散空间却不是连通空间． 又例如，n维欧氏空间的任何一个开子空间都是局部连通的（这是因为 每一个球形邻域都同胚于整个欧氏空间，因而是连通的），特别，欧氏空间 本身是局部连通的．另一方面，欧氏空间中由两个无交的非空开集的并作为子空间就一定不是连通的（请读者自己证明）． 此外根据定义立即可见： 拓扑空间X在点x∈X处是局部连通的当且仅当x的所有连通邻域构成点x 处的一个邻域基， 定理4.4.1 设X是一个拓扑空间．则以下条件等价： （1）X是一个局部连通空间； （2）X的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集； （3）X有一个基，它的每一个元素都是连通的． 证明（1）蕴涵（2）．设C是X的一个连通分支,．如果x∈C，由于U是x的一个邻域，所以当（1）成立时x有一个连通邻域V包含于U．又 由于V∩C包含着点x,所以不是空集，根据定理4．3．1可见．因此C∈．这证明C是属于它的任何一个点x的邻域，因此C是一个开集． 条件（2）蕴涵（3）．若（2）成立，则X的所有开集的所有连通分支（它们都是开集）构成的集族，由于每一个集合是它的所有连通分支之并，恰是X 的一个基．

《点集拓扑讲义》第四章-连通性-学习笔记

！！！！！！！！！！！！ 第4章连通性 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4.1连通空间 本节重点: 掌握连通与不连通的定义； 掌握如何证明一个集合的连通与否； 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性． 我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R中的两个区间（0，l）和［1，2），尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）∪［l，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）∪（1，2）是明显的两个“部分”．产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用术语来区别这两种情形． 定义4.1.1 设A和B是拓扑空间X中的两个子集．如果 则称子集A和B是隔离的．

明显地，定义中的条件等价于和同时成立，也就是说，A与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点．应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的，而子集（0，l）和[1，2)不是隔离的． 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的． 定义4.1.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A∪B，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间．显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4.1.1 设X是一个拓扑空间．则下列条件等价： （l）X是一个不连通空间； （2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立； （3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A∩B=和A∪B＝X成立； （4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集． 证明条件（l）蕴涵（2）:设（1）成立．令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得A∪B＝X，显然A∩B=，并且这时我们有 因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集．这证明了集合A和B满足条件（2）中的要求． 条件（2）蕴涵（3）．如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所以A、B为闭集，则由于这时有A＝和B=，因此A、B也是开集，所以A 和B也满足条件（3）中的要求．

教案15道路连通性

1 5.1 道路 定义2.9 设X 是拓扑空间，从单位闭区间0,1I ??=??到X 的一 个连续映射:I X α→称为X 上的一条道路，把点()0α和 ()1α分别称为α的起点和终点，统称端点 定义2.10 一条道路:I X α→的逆也是X 上的道路，记作α，规定()()1t t αα=?，t I ?∈。 5.2 道路连通空间 定义2.11 拓扑空间X 称为道路连通的， 如果,x y X ?∈，存在X 中分别以x 和 y 为起点和终点的道路。 命题2.27 道路连通空间一定连通。 命题2.28 道路连通空间的连续映像是道路连通的。 5.3 道路连通分支 定义 2.12 拓扑空间在等价关系～下分成的等价类称为X 的 道路连通分支，简称道路分支。 命题2.29 拓扑空间的道路分支是它的极大道路连通子集。 5.4 局部道路连通 定义2.13 拓扑空间X 称为局部道路连通的，如果x X ?∈，x 的道路连通邻域构成x 的邻域基。 引理 如果拓扑空间X 的每一点x 有邻域x U ，使得x 与x U 中每一点都可用X 上道路连接，则 （1） X 的道路分支都是既开又闭； （2） X 的连通分支就是道路分支。 定理2.9 局部道路连通空间X 的道路分支就是连通分支，它 们是既开又闭的；当X 连通时，它一定道路连通。 例题1：证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的。 证 设X 是2 R 除去可数个点后所得到的空间, X y x ∈?,，若,y x ≠设L 是线段xy 的中垂线。

2 设z L ∈,用(x,z,y) 表示连接x,z,y 的折线, 由于这样的折线有不 可数多条, 而X 的余集Y 是可数集, 所以至少有一条折线(x, z, y)不含Y 中的点, 这表明X 是道路连通的。 例题2：证明至少有两个点的连通的T 4空间一定是不可数集。 证 设X 是至少有两个点的连通的T 4空间，设y x ,是X 中的两个不同点，令}{x A =，}{y B =，则A 和B 是X 中的两个非空不相交的闭集，故由乌里松引理知，存在连续函数[]1,0:→X f 使得0)(=x f ，1)(=y f ，又因X 是连通的，故)(X f 是[]1,0中的连通集，而)(1,0X f ∈，因此[]1,0)(=X f ，于是X 一定是不可数集。 例题3：举例说明连通空间不一定为道路连通空间。 []解2R 的子空间 =X }x 0|x 1sin ,x {(<{∪1y 1,0x |)y ,x (≤≤?=} 是连通空间但不是道路连通空间。 事实上，设=A }x 0|x 1sin ,x {(<，则A 与),0(+∞同胚，从而由),0(+∞连通得到A 连通。而A 的闭包为X , 因此X 连通。 下面用反证法证明X 不是道路连通空间。假如X 是道路连通空间，则存在连续映射[]X 1,0:f →使)0,0()0(f =，)0,1()1(f = 令=B )}0,0{(f 1?,下证在[]1,0中是既开又闭的,由于B 显然是闭的,所以只需证明B 是开集. B t 0∈?,令 X }21y x |)y ,x {(U 2 2∩<+=