2015年考研数学真题(数三)
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1.设{k x }是数列，下列命题中不正确的是（） (A)若lim k k x a →∞
=，则221lim lim k k k k x x a +→∞
→∞
==.
(B)若221lim lim k k k k x x a +→∞
→∞
==，则lim k k x a →∞
=
(C) 若lim k k x a →∞
=，则321lim lim k k k k x x a +→∞
→∞
==
(D)若331lim lim k k k k x x a +→∞
→∞
==，则lim k k x a →∞
=
2.设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）
（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3
3.设{}
2222
(,)2,2D x y x y x x y y =+≤+≤，函数(,)f x y D 上连续， 则
(,)D
f x y dxdy ??=（）
2cos 2sin 420
004
2sin 2cos 42000
4
10
110
()(cos ,sin )(cos ,sin )()(cos ,sin )(cos ,sin )()2(,)()2(,)x
X
A d f r r rdr d f r r rdr
B d f r r rdr d f r r rdr
C dx f x y dy
D dx f x y dy
π
π
θ
θ
πππ
θ
θ
πθθθθθθθθθθθθ++??
??
??
??
??
?
4.下列级数中发散的是（）
（A ）13n n n ∞
=∑
(B)1)n n ∞=+ (C)2
(1)1ln n n n ∞=-+∑
(D)1!
n n n n ∞
=∑ 5.设矩阵22111112,,14A a b d a d ????
? ?
== ? ? ? ?????
若集合(1,2)Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分
必要条件为（）
(),A a d ?Ω?Ω (),B a d ?Ω∈Ω (),C a d ∈Ω?Ω (),D a d ∈Ω∈Ω
6.设二次型1,23(,)f x x x 在正交变换x py =下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)p e e e =，若132(,,),Q e e e =-则123(,,)x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（）
（A ）2221232y y y -+ (B)2221232y y y +- (C)2221232y y y -- (D)2221232y y y ++ 7.设A,B 为任意两个随机事件，则（）
（A ）()()()P AB P A P B ≤ (B)()()()P AB P A P B ≥
(C) ()()()2P A P B P AB +≤
(D)()()
()2
P A P B P AB +≥
8.设总体(,)X
B m θ，12,,n x x x 为来自该总体的简单随机样本，X 为样本均值，则
21()n i i E x X =??
-=????
∑（） （A ）(1)(1)m n θθ-- (B) (1)(1)m n θθ-- (C) (1)(1)(1)m n θθ--- (D) (1)mn θθ-
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 92
ln(cos )
lim
x x x →∞=
10设函数()f x 连续，2
()()x x xf t ?=
?
，若(1)?1=，'(1)5?=，则(1)f =
11若函数z = (,)z x y 由方程
2+3z
1x y e xyz ++=确定，则(0,0)dz =
12设函数()y y x =是微分方程'''
20y y y +-=的解，且在x =0处()y x 取得极值3，则()y x = 13设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2
B A A E =-+,其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B = 14设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布(1,0;1,1;0)N ,则(0)P XY Y -＜=
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）
设函数3
()ln(1)sin ,(),f x x x bx x g x kx α=+++?=若()f x 与()g x 在0x →时 是等价无穷小，求a,b,k 的值。 16、（本题满分10分） 计算二重积分
()D
x x y dxdy +??
，其中{}222
(,)2,D x y x y y x =+≤≥ 17、（本题满分10分）
为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，p 为价格，MC 为边际成本，η为需求弹性（η＞0） （i ）证明定价模型为11MC p η
=
-
（ii ）若该商品的成本函数为2
()1600C Q Q =+，需求函数为40Q p =-，试由（1）中的定价模型确定此商品的价格。 18、（本题满分10分）
设函数()f x 在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线()y f x =在点()00,()x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且(0)2f =，求()f x 的表达式。 19、（本题满分10分）
（i ）设函数()u x ，()v x 可导，利用导数定义证明[]'
'
'
()()()()()()u x v x u x v x u x v x =+
（ii ）设函数12*(),(),,()u x u x K u x 可导，12*()()()()f x u x u x Ku x =，写出()f x 的求导公式。 20（本题满分11分）
设矩阵101101a A a a ?? ?=- ? ???
,且3
0A =.
（i ）求a 的值；
（ii ）若矩阵X 满足2
2
X XA AX AXA E --+=,其中E 为3阶单位矩阵，求X .
21（本题满分11分）
设矩阵02313312A a -?? ?=-- ? ?-??，相似于矩阵12000031B b -?? ?
= ? ???
，
（i ）求a,b 的值（ii ）求可逆矩阵P ，使1
P AP -为对角矩阵。 22（本题满分11分）
设随机变量X 的概率密度为2ln 2,0,
()0,0
x x f x x -?=?≤?＞
对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为观测次数。 （1） 求Y 的概率分布； （2） 求EY 。 23（本题满分11分） 设总体X 的概率密度为
1
1(:)10,x f x θθθ
?≤≤?
=-???，其他
其中θ为未知参数，12,,R X X L X ，为来自该总体的简单随机样本。、 （1） 求θ的矩估计量；
（2） 求θ的最大似然估计量