计算流体力学作业习题
2014级西安理工大学计算流体力学作业
1.写出通用方程，并说明其如何代表各类守恒定律。
由守恒型对流-扩散方程：
()()()
div U div T grad S t φφρφρφφ?+=+? 其中φ为通用变量；T φ为广义扩散系数；S φ为广义原项。
若令1;1;0T S φφφ===时，则得到质量守恒方程（mass conservation equation ）
()()()()
0u v w t x y z
ρρρρ????+++=???? 若令;i u φ=时，则得动量守恒方程（momentum conservation equation ） 以x 方向为例分析，设;u P
u S S x φφ?==-
?，通用方程可化为：
()()()()(2)u uu vu wu P u
divU t x y z x x x ρρρρλη???????+++=-++???????
z v u u w F y x y z z x ηηρ????????????
??+++++?? ? ?????????????????
同理可证明y 、z 方向的动量守恒方程式 若令;;T p
T T S S C φφλ
φ===时，则得到能量守恒方程(energy conservation
equation)
()()()
()h
h div Uh div U div gradT S t ρρρλφ?+=-+++?
()()()T
p h div Uh div gradT S t C ρλ
ρ?+=+?
证毕
2.用控制体积法离散
0)(=+++s dx
dT k dx d dx dT u dt dT ，要求对S 线性化，据你的理解，谈谈网格如何划分？交界面传热系数何如何计算？边界条件如何处理？
根据守恒型对流-扩散方程： ()()()u T S t x x x ρφρ?φ
????'+=+????，对一维模型
进行分析，则有：
0)(=+++s dx dT
k dx d dx dT u dt dT
将该一维模型的守恒形式在图A 所示的控制容积P 在△t 时间内做积分。
图A
[]()()
()()()e
t t
t t
e
t t
t
e
w e w w
t
t
w
T
T T
T dx uT uT dt K
dt Sdsdt x x +?+?+?????-+
-=--+?????????
? （1）非稳态项
选定T 随x 变化且为阶梯式，既有：
()()e
t t t t t t P P w
T T dx T T x +?+?-=-??
（2）对流项
选定T 随t 的变化规律符合阶梯显示，既有：
[]()
()()()t t
t t
e
w e w t
uT uT dt uT uT t
+???-=-????
（3）扩散项
()()()()t t
t t e w e w t
T T T T dt t x x x
x +?????????-=-??????????????
(
)()E P e e T T T
x x δ-?=? ()()P w w T T T w x
x δ-?=?
（4）原项
令S 对t 和x 呈阶梯式变化，既有：
t t
e
t
t
w
Sdsdt S x t
+?=???
?
综上所述，可以推导出下式：
2()()22t t t t t
t t t t E w
E P w P P u u T T T T T K S t x x φφ+?--+-+=-+???
由图A 可知，本次网格划分采用的是外节点法结构化网格划分。对于交界面的传热系数的数值确定，可根据算术平均法（arithmetic mean ），在图B 中在P 、E 两点间的λ与x 构成线性关系，则可由P,E 两点的λ值，确定在e 点的传热系数λ值的大小。即：
()()()()e e e P E e e x x x x δδλλλδδ++
--????
=+????????
在计算求解是，若边界为第一边界则可以直接进行迭代计算，若边界为第二、
三边界（边界节点的数据为未知数），则采用附加原项计算法进行求解。 3.用幂函数格式离散三维通用方程。
在直角坐标系下，三维通用方程的离散方程可表述为：
P P E E w w
a a a φφφ=+
4.采用有限体积法离散对流——扩散方程中的对流项时，根据你的理解写出格式的进化过程。
由《数值传热学》知，对流-扩散方程表达式：
2j j j j u
u S t u x x φφφλ???+=+????
其中j j u u φ??为对流项；2j j
u
x x λ???为扩散项。
现以一维对流-扩散方程问题模型方程来阐述对流项格式演变进化过程。
()()d d d u dx dx dx φρφ=Γ
为了分析数值传热问题，人们最早先提出了控制体积中心差分法，即在P 点控制容积处做积分，取分段线性型线，最终可演化得：
p P E E W W
a a a φφφ=+
12E e a D Fe =- 1
2W w a D Fw =- ()
P E W a a a Fe Fw =++-
该类方程的优点在于，连续性方程在数值计算过程中始终得到满足，系数E a 、
W a 包括了扩散和对流作用对热传导问题的影响；与流量有关的部分则是界面上分段线型在均匀网格下的表现，很好地体现了对流作用。但是当P ?>2后，中心差分所解得的解将会失去物理意义，因为当P ?>2时，则E a <2，又因为E a W a P a 三个系数的值都应当大于零，故在这种情况下使用中心差分格式将会使得计算存
在问题。
为了克服由于对流项因为采用中心差分算法引起的问题，进一步提出了对流项的迎风格式算法，在该格式中对流项的一二阶导数均为线性的型线，同时一阶迎风格式离散方程系数E a 、W a 永远大于零，因而无论在何种条件下计算都不会引起解得震荡，其解永远具有物理 意义。并且在迎风格式的使用实践，也能为构造更优良的结构网格提供了启示和指导。
5.简述压力校正法的基本思想及过程（用详细的方程离散说明）。
压力校正法的基本思想：
在对于Navier-Stokes 方程的离散形式迭代求解的任一上层次，可以给定一个压力场，它可以给是假定的或是上一层次计算所得出的。一个给定的正确的压力场应该使得计算得到速度场满足连续性方程。但是根据这样的给定的压力场计算而得到的速度场，未必能满足连续性方程，因此要对给定的压力场进行修正。
图A
在时间间隔△t 内对主控制体（如上图A 所示）做积分，且以0
P P
t
ρρ-?代替t ρ??，
采用全隐格式，可得：
[][]0
()()()()0
P P
e w n s x y u u y v v x t
ρρρρρρ-??+-?+-?=?
将改进后的速度式
*//
*//()()
e e e P E n n n P E u u d p p u u d p p =+-=+- 代入整理得关于P 一阶导数的代数方程：
/////
P P E E W W N N S S a p a P a P a P a P b =++++
其中：
,,,E e e W w w N n n S s s a d y a d y a d y a d y ρρρρ=?=?=?=?
P E W N s a a a a a =+++
****
()()()()()P P w e s n b u u y v v x t
ρρρρρρ-????=+-?+-?????? 即压力修正算法可以归纳为以下4个基本步骤：
（1）假定一个压力场，记为
*
P ；
（2）利用*
P ，求解动量离散方程，得出相关的速度
**
u v ；
（3）利用质量守恒方程来改进压力场，并要求改进后的压力场对应的速度场能满足连续性方程要求； （4）以*/()P P +以及*/()u u +，
*/()v v +作为本层次的解并据此开始下层次的计算迭代。
6以具体方程式为例详细说明离散方程的迁移特性的概念。
我们将中心差分应用于一维非稳态纯对流方程的非守恒形式：
0u t x
φφ??+=?? 有：
其中流速u 为常数。
采用类似的分析方法，对于节点位于111
2n n
n n
i i i i u
t
x
φφφφ++---=-??（i+1）在（n+1）
时层有：
111
22n n
n n
i i i i
u
t
x
φφφφ++++--=-??
其中：
120,n n
i i φφ++== 所以 11(),
2n i u t x εφ++?=? 而在i-1点处则有：
111
2
2n n n n i i i i u
t
x
φφφφ+-----=-??
因为120,n n
i i φφ--==于是得到11(
),2n i u t x ε
φ+-?=?。
可见在i 点的扰动同时沿着相反的两个方向传递，所以对流项的中心差分不具有迁移性。
下面对u>0的情况来进行分析。对节点i+1，在n 时层产生在节点i 的扰动对i+1点的影响由下式确定：
111
11
1,(0)2n n n n
n i i i i i u
t
x
φφφφφ++++-+--=-=??
由此可得 1
1(),n i u t
x φε++?=? 而在i-1处则有
111
22n n n n
i i i i
u
t
x
φφφφ++++--=-??
得 1
10n i φ+-=
可见采用一阶迎风格式时，扰动仅仅向着流动的方向传递，故一阶迎风格式
具有迁移性。
7．以具体方程式为例详细说明离散方程的守恒性的概念。
为了便于分析现将一维对流-扩散方程简化为纯对流方程：
()0
u t t
φφ??+=?? 再将方程离散为显式格式，然后在一定大小范围内求和。为了讨论书写简便故将对流项中的时间标记删去。
11111
(
)2n n
i i i i i i u u t
x
φφφφ+++----=-??
在如下图所示的均匀网格系统中，任取一段有限区间进行分析，得：
2
21
1
()l l l l u dx dx
t t
φ
φ??=-???
? 2
2
1
1
111
()()2n n
I I i i i i i I i I u u t
x φφφφ++-==--=-??∑
∑
或 2
2
1
1
111
()()(){}2I I n n i i i
i
i I
i I u u x t φφφφ+-+==--?=?∑∑
进一步分析可得：
2
1
1
0()[()()]I n n i
i in ut i I x u u t φ
φφφ+=-?=-?∑
上式表明在△t 时间内流入与流出某区域中的通量之差等于改时间间隔内该区域中
φ的增量，又由守恒性质可得：
2
11
1[()
()]()()I iu i in out i I u u u u φφφφ-+=-=-∑
8．详细说明差分格式的相容性和收敛性的概念。
以一维稳态对流-扩散方程为例，用符号,()i n L φ表示对函数φ在点（I,n ）作
某些微分运算的算子。
2,,2()()i n
i n L u S t x x
φφφφρρ???=+--???Γ
其中,()0i n L φ=是节点（I,n ）处的一维模型方程。
用符号,()n
x t i L φ??表示对n i φ作某些差分运算的算子，例如：
111
11
,2
2()2n n
n n
n n n
n
n i i i i i i i x t i
i L u
S t
x
x φφφφφφφφρρ++-+-??---+=+--???Γ
于是,()0i n L φ=就代表了一维模型方程的显式格式。
所谓一个离散方程的截断误差是指其差分方程算子与相应的微分算子的差，
记为TE,即：
,()()n x t i i n TE L L φφ??=-
在通过Talor 级数展开得：
2,()()(,)n x t i i n TE L L O t x φφ??=-=??
由此可见，当时间空间的网格步长趋于零时，如果离散方程的截断误差趋于零，则称该离散方程与微分方程相容。
同样在点（I,n ）处也存在离散误差：
(,)n n i i i n ρφφ=-
当时间空间的网格步长趋于零时，如果离散方程的离散误差趋于零，则称该离散方程是收敛的。
9．就计算流体力学的内容与应用问题，谈谈自己的一些想法。
流体力学大作业
《计算流体力学》课程大作业 作业内容：3-4人为小组完成数值模拟，在第8次课上每组进行成果展示，并在课程结束后每组上交一份纸质版报告。 数值模拟实现形式：自编程或者使用任意的开源、商业模型。 成果展示要求：口头讲述和幻灯片结合的方式，每组限时10分钟（8分钟讲述，2分钟提问和讨论）。 报告要求：按照期刊论文的思路和格式进行撰写（包括但不限于如下内容：摘要、绪论\引言、数值模型简介、数值结果分析\讨论、结论、参考文献）。 （以下题目二选一） 题目一：固定单方柱扰流问题 根据文章《Interactions of tandem square cylinders at low Reynolds numbers》中的实验进行数值模拟，完成但不局限于如下工作： （1）根据Fig. 2 中的雷诺数和方柱排列形式，进行相同雷诺数不同间距比情况下的方柱绕流数值模拟，并做出流线图和Fig.2中的结果对比。 （2）根据Fig. 3 中的雷诺数和方柱排列形式，进行相同雷诺数后柱不同转角情况下的方柱绕流数值模拟，并做出流线图和Fig.3中的结果对比。 （3）根据Fig. 12, 13 中的雷诺数和方柱间距比的设置进行数值模拟，作出频率、斯特劳哈尔数、阻力系数随雷诺数变化的折线并与图中对应的折线画在同一坐标系下比较。 （中共有4条折线，对应4种不同的方柱排列形式下的物理参数随雷诺数变化的规律，仅需选取单柱模型和其中一种双柱模型进行数值模拟，共计16个工况）。 题目二：溃坝问题 根据文章《Experimental investigation of dynamic pressure loads during dam break》中的实验进行数值模拟，完成但不局限于如下工作： （1）分别完成二维、三维的溃坝的数值建模，讨论二维、三维模型的区别。 （2）分别将二维、三维溃坝的数值模拟结果和Fig. 7,10中各时刻的自由面形态进行对比，并分别观测溃坝前端水舌的位置随时间的变化，其结果和Fig. 12 种的各试验结果放在同一坐标系下进行对比。 （3）根据实验设置数值观测点，分别观测与实验测点相对应的数值观测点上的水体高度、压力随时间的变化曲线，并和Fig.16, 18,21,30,31,32,33,35中的实验结果进行对比。
弹塑性力学试题
考试科目：弹塑性力学试题 班号 研 班 姓名 成绩 一、概念题 （1） 最小势能原理等价于弹性力学平衡微分方程和静力边界条件，用最小势能原理求解弹性力学近似解时，仅要求位移函数满足已知位移边界条件。 （2） 最小余能原理等价于 应变协调 方程和 位移 边界条件，用最小余能原理求解弹性力学近似解时，所设的应力分量应预先满足平衡微分方程 和静力边界条件。 （3） 弹性力学问题有位移法和应力法两种基本解法，前者以位移为基本未知量，后者以 应力为基本未知量。 二、已知轴对称的平面应变问题，应力和位移分量的一般解为： ,)11(2)11(10,2,222 2=?? ????--+-+--==+-=+= θθθμμμμμτσσu Cr r A E u C r A C r A r r r 利用上述解答求厚壁圆筒外面套以绝对刚性的外管，厚壁圆筒承受内压p 作用，试求该问题的应力和位移分量的解。 解：边界条件为： a r =时：p r -=σ；0=θτr b r =时：0=r u ；0=θu 。 将上述边界条件代入公式得： ??? ? ???=?????--+-+--=-=+=0)11(2)11(122 2μμμμb C b A E u p C a A b r r 解上述方程组得： ()()()??? ? ???+-- =+---=]21[22121222 2222a b pa C a b b pa A μμμ 则该问题的应力和位移分量的解分别为：
()()()()()()??? ???? ? ? ??? ???=?? ???????? ??---+-???? ??-+-+--==+--+--=+--+---=??011)]21([11)]21([)21(10 21121212112121222222 222 22 222222 22 22222θθθμμμμμμμμτμμμσμμμσu b a pra b a r b pa E u a b pa r a b b pa a b pa r a b b pa r r r 三、已知弹性半平面的o 点受集中力 2 2222 222 2 223 )(2)(2)(2y x y x P y x xy P y x x P xy y x +- =+-=+- =πτπσπσ 利用上述解答求在弹性半平面上作用着n 个集中力i p 构成的力系， 这些力到所设原点的距离分别为i y ,试求应力xy y x τσσ,,的一般表达式。 解：由题设条件知，第i 个力i p 在点（x ，y ）处产生的应力将为： y y
流体力学实验报告
流体力学 实验指导书与报告 静力学实验 雷诺实验 中国矿业大学能源与动力实验中心
学生实验守则 一、学生进入实验室必须遵守实验室规章制度，遵守课堂纪律，衣着整洁，保持安静，不得迟到早退，严禁喧哗、吸烟、吃零食和随地吐痰。如有违犯，指导教师有权停止基实验。 二、实验课前，要认真阅读教材，作好实验预习，根据不同科目要求写出预习报告，明确实验目的、要求和注意事项。 三、实验课上必须专心听讲，服从指导教师的安排和指导，遵守操作规程，认真操作，正确读数，不得草率敷衍，拼凑数据。 四、预习报告和实验报告必须独自完成，不得互相抄袭。 五、因故缺课的学生，可向指导教师申请一次补做机会，不补做的，该试验以零分计算，作为总成绩的一部分，累计三次者，该课实验以不及格论处，不能参加该门课程的考试。 六、在使用大型精密仪器设备前，必须接受技术培训，经考核合格后方可使用，使用中要严格遵守操作规程，并详细填写使用记录。 七、爱护仪器设备，不准动用与本实验无关的仪器设备。要节约水、电、试剂药品、元器件、材料等。如发生仪器、设备损坏要及时向指导教师报告，属责任事故的，应按有关文件规定赔偿。 八、注意实验安全，遵守安全规定，防止人身和仪器设备事故发生。一旦发生事故，要立即向指导教师报告，采取正确的应急措施，防止事故扩大，保护人身安全和财产安全。重大事故要同时保护好现场，迅速向有关部门报告，事故后尽快写出书面报告交上级有关部门，不得隐瞒事实真相。 九、试验完毕要做好整理工作，将试剂、药品、工具、材料及公用仪器等放回原处。洗刷器皿，清扫试验场地，切断电源、气源、水源，经指导教师检查合格后方可离开。 十、各类实验室可根据自身特点，制定出切实可行的实验守则，报经系(院)主管领导同意后执行，并送实验室管理科备案。 1984年5月制定 2014年4月再修订 中国矿业大学能源与动力实验中心
流体力学 大作业
一.选择题 1.牛顿内摩擦定律适用于（）。 A．任何流体B．牛顿流体C．非牛顿流体 2.液体不具有的性质是（）。 A．易流动性B．压缩性C．抗拉性D．粘滞性 3连续介质假定认为流体（）连续。 A．在宏观上B．在微观上C．分子间D．原子间 4.在国际单位制中流体力学基本量纲不包括（）。 A．时间B．质量C．长度D．力． 5.在静水中取一六面体，作用在该六面体上的力有（） A．切向力、正压力B．正压力C．正压力、重力D．正压力、切向力、重力 6．下述哪些力属于质量力( ) A．惯性力B．粘性力C．弹性力D．表面张力E．重力 7．某点存在真空时，（）（） A．该点的绝对压强为正值B．该点的相对压强为正值c.该点的绝对压强为负值D．该点的相对压强为负值 8.流体静压强的（）。 A．方向与受压面有关B．大小与受压面积有关B．大小与受压面方位无关 9.流体静压强的全微分式为（）。 A．B．C． 10.压强单位为时，采用了哪种表示法（）。 A．应力单位B．大气压倍数C．液柱高度 11.密封容器内液面压强小于大气压强，其任一点的测压管液面（）。A．高于容器内液面B．低于容器内液面C．等于容器内液面 12.流体运动的连续性方程是根据（）原理导出的。 A.动量守恒 B. 质量守恒 C.能量守恒 D. 力的平衡 13. 流线和迹线重合的条件为（）。
A.恒定流 B.非恒定流 C.非恒定均匀流 14.总流伯努利方程适用于（）。 A.恒定流 B.非恒定流 C.可压缩流体 15. 总水头线与测压管水头线的基本规律是：（）、（） A.总水头线总是沿程下降的。 B.总水头线总是在测压管水头线的上方。 C.测压管水头线沿程可升可降。 D.测压管水头线总是沿程下降的。 16 管道中液体的雷诺数与（）无关。 A. 温度 B. 管径 C. 流速 D. 管长 17.. 某圆管直径d=30mm，其中液体平均流速为20cm/s。液体粘滞系数为0.0114cm3/s，则此管中液体流态为（）。 A. 层流 B. 层流向紊流过渡 C.紊流 18.等直径圆管中紊流的过流断面流速分布是（）A呈抛物线分布B. 呈对数线分布 C.呈椭圆曲线分布 D. 呈双曲线分布 19.等直径圆管中的层流，其过流断面平均流速是圆管中最大流速的（） A 1.0倍B.1/3倍C. 1/4倍D. 1/2倍 20.圆管中的层流的沿程损失与管中平均流速的（）成正比. A. 一次方 B. 二次方 C. 三次方 D. 四次方 21..圆管的水力半径是( ) A. d/2 B. d/3 C. d/4 D. d/5. 22谢才公式中谢才系数的单位是（）A. 无量纲B. C. D. . 23. 判断层流和紊流的临界雷诺数是（） A.上临界雷诺数 B.下临界雷诺数 C.上下临界雷诺数代数平均 D.上下临界雷诺数几何平均 24.. 对于管道无压流，当充满度分别为（）时，其流量和速度分别达到最大。 A. 0.5, 0.5 B. 0.95, 0.81 C. 0.81, 081 D. 1.0, 1.0 25.对于a, b, c三种水面线，下列哪些说法是错误（）（） A．所有a、c型曲线都是壅水曲线，即，水深沿程增大。B．所有b型曲线都是壅水曲线，即，水深沿程增大。C．所有a、c型曲线都是降水曲线，即，水深沿程减小。C．所有b型曲线都是降水曲线，即，水深沿程减
应用弹塑性力学习题解答[精选.]
应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 (2) 第三章习题答案 (6) 第四章习题答案 (9) 第五章习题答案 (26) 第六章习题答案 (37) 第七章习题答案 (49) 第八章习题答案 (54) 第九章习题答案 (57) 第十章习题答案 (59) 第十一章习题答案 (62)
第二章习题答案 2.6设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 2.7利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。 解求出后，可求出及，再利用关系 可求得。 最终的结果为
2.8已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系 代入数据得，， 2.9已知应力分量中，求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记
2.10已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解先求平均应力，再求应力偏张量，， ，，，。由此求得 然后求得，，解出 然后按大小次序排列得到 ，， 2.11已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记，则其解为，，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系 （a） （b） （c） 由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得 ，由此求得
第二章计算流体力学的基本知识
第二章计算流体力学的基本知识 流体流动现象大量存在于自然界及多种工程领域中，所有这些工程都受质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律的支配。这章将首先介绍流体动力学的发展和流体力学中几个重要守恒定律及其数学表达式，最后介绍几种常用的商业软件。 2.1计算流体力学简介 2.1.1计算流体力学的发展 流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N-S方程进行计算。20 世纪30～40 年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943 年一直算到1947 年。 数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了"计算流体力学" 。 从20 世纪60 年代起，在飞行器和其他涉及流体运动的课题中，经常采用电子计算机做数值模拟，这可以和物理实验相辅相成。数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加快，并节省开支。数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。 自然界存在着大量复杂的流动现象，随着人类认识的深入，人们开始利用流动规律来改造自然界。最典型的例子是人类利用空气对运动中的机翼产生升力的机理发明了飞机。航空技术的发展强烈推动了流体力学的迅速发展。 流体运动的规律由一组控制方程描述。计算机没有发明前，流体力学家们在对方程经过大量简化后能够得到一些线形问题解读解。但实际的流动问题大都是复杂的强非线形问题，无法求得精确的解读解。计算机的出现以及计算技术的迅速发展使人们直接求解控制方程组的梦想逐步得到实现，从而催生了计算流体力
计算流体力学大作业
1 提出问题 [问题描述] Sod 激波管问题是典型的一类Riemann 问题。如图所示，一管道左侧为高温高压气体，右侧为低温低压气体，中间用薄膜隔开。t=0 时刻，突然撤去薄膜，试分析其他的运动。 Sod 模型问题：在一维激波管的左侧初始分布为：0 ,1 ,1111===u p ρ，右侧分布为：0 ,1.0 ,125.0222===u p ρ，两种状态之间有一隔膜位于5.0=x 处。隔膜突然去掉，试给出在14.0=t 时刻Euler 方程的准确解，并给出在区间10≤≤x 这一时刻u p , ,ρ的分布图。 2 一维Euler 方程组 分析可知，一维激波管流体流动符合一维Euler 方程，具体方程如下： 矢量方程： 0U f t x ??+=?? (0.1) 分量方程： 连续性方程、动量方程和能量方程分别是： 2 22,,p u ρ
() ()()()2 000u t x u u p t x x u E p E t x ρρρρ???+ =?????????++=? ??????+?????+ =????? (0.2) 其中 22v u E c T ρ?? =+ ?? ? 对于完全气体，在量纲为一的形式下，状态方程为： ()2 p T Ma ργ∞ = (0.3) 在量纲为一的定义下，定容热容v c 为： () 21 1v c Ma γγ∞= - (0.4) 联立(1.2)，(1.3)，(1.4)消去温度T 和定容比热v c ，得到气体压力公式为： ()2112p E u γρ??=-- ??? (0.5) 上式中γ为气体常数，对于理想气体4.1=γ。 3 Euler 方程组的离散 3.1 Jacibian 矩阵特征值的分裂 Jacibian 矩阵A 的三个特征值分别是123;;u u c u c λλλ==+=-，依据如下算法将其分裂成正负特征值： () 12 222 k k k λλελ±±+= (0.6) 3.2 流通矢量的分裂 这里对流通矢量的分裂选用Steger-Warming 分裂法，分裂后的流通矢量为 ()()()()()()()12312322232121212122f u u c u c u u c u c w γλλλργλλλγλλγλ?? ? -++ ?=-+-++ ? ? ? -+-+++ ??? ＋＋＋＋＋＋＋ ＋＋ ＋＋ (0.7)
计算流体力学过渡到编程的傻瓜入门教程
借宝地写几个小短文，介绍CFD的一些实际的入门知识。主要是因为这里支持Latex，写起来比较方便。 CFD，计算流体力学，是一个挺难的学科，涉及流体力学、数值分析和计算机算法，还有计算机图形学的一些知识。尤其是有关偏微分方程数值分析的东西，不是那么容易入门。大多数图书，片中数学原理而不重实际动手，因为作者都把读者当做已经掌握基础知识的科班学生了。所以数学基础不那么好的读者往往看得很吃力，看了还不知道怎么实现。本人当年虽说是学航天工程的，但是那时本科教育已经退步，基础的流体力学课被砍得只剩下一维气体动力学了，因此自学CFD的时候也是头晕眼花。不知道怎么实现，也很难找到教学代码——那时候网络还不发达，只在教研室的故纸堆里搜罗到一些完全没有注释，编程风格也不好的冗长代码，硬着头皮分析。后来网上淘到一些代码研读，结合书籍论文才慢慢入门。可以说中间没有老师教，后来赌博士为了混学分上过CFD专门课程，不过那时候我已经都掌握课堂上那些了。 回想自己入门艰辛，不免有一个想法——写点通俗易懂的CFD入门短文给师弟师妹们。本人不打算搞得很系统，而是希望能结合实际，阐明一些最基本的概念和手段，其中一些复杂的道理只是点到为止。目前也没有具体的计划，想到哪里写到哪里，因此可能会很零散。但是我争取让初学CFD 的人能够了解一些基本的东西，看过之后，会知道一个CFD代码怎么炼成的（这“炼”字好像很流行啊）。欢迎大家提出意见，这样我尽可能的可以追加一些修改和解释。
言归正传，第一部分，我打算介绍一个最基本的算例，一维激波管问题。说白了就是一根两端封闭的管子，中间有个隔板，隔板左边和右边的气体状态（密度、速度、压力）不一样，突然把隔板抽去，管子内面的气体怎么运动。这是个一维问题，被称作黎曼间断问题，好像是黎曼最初研究双曲微分方程的时候提出的一个问题，用一维无粘可压缩Euler方程就可以描述了。 这里 这个方程就是描述的气体密度、动量和能量随时间的变化（）与它们各自的流量（密度流量，动量流量，能量流量 ）随空间变化（）的关系。 在CFD中通常把这个方程写成矢量形式 这里 进一步可以写成散度形式
计算流体力学课程大作业
《计算流体力学》课程大作业 ——基于涡量-流函数法的不可压缩方腔驱动流问题数值模拟 张伊哲 航博101 1、 引言和综述 2、 问题的提出，怎样使用涡量-流函数方法建立差分格式 3、 程序说明 4、 计算结果和讨论 5、 结论 1引言 虽然不可压缩流动的控制方程从形式上看更为简单，但实际上，目前不可压缩流动的数值方法远远不如可压缩流动的数值方法成熟。 考虑不可压缩流动的N-S 方程： 01()P t νρ??=? ? ??+??=-?+???? U U UU f U (1.1) 其中ν是运动粘性系数，认为是常数。将方程组写成无量纲的形式： 01()Re P t ??=?? ??+??=-?+????U U UU f U (1.2) 其中Re 是雷诺数。 从数学角度看，不可压缩流动的控制方程中不含有密度对时间的偏导数项，方程表现出椭圆-抛物组合型的特点；从物理意义上看，在不可压缩流动中，压力这一物理量的波动具有无穷大的传播速度，它瞬间传遍全场，以使不可压缩条件在任何时间、任何位置满足，这就是椭圆型方程的物理意义。这就造成不可压缩的N-S 方程不能使用比较成熟的发展型．．．偏微分方程的数值求解理论和方法。 如果将动量方程和连续性方程完全耦合求解，即使使用显示的离散格式，也将会得到一个刚性很强的、庞大的稀疏线性方程组，计算量巨大，更重要的问题是不易收敛。因此，实际应用中，通常都必须将连续方程和动量方程在一定程度上解耦。 目前，求解不可压缩流动的方法主要有涡量-流函数法，SIMPLE 法及其衍生的改进方法，有限元法，谱方法等，这些方法各有优缺点。其中涡量-流函数法是解决二维不可压缩流动的有效方法。作者本学期学习了研究生计算流体课程，为了熟悉计算流体的基本方法，选择使用涡量-流函数法计算不可压缩方腔驱动流问题，并且对于不同雷诺数下的解进行比较和分析，得出一些结论。 本文接下来的内容安排为：第2节提出不可压缩方腔驱动流问题，并分析该问题怎样使用涡量-流函数方法建立差分格式、选择边界条件。第3节介绍程序的结构。第4节对于不同雷诺数下的计算结果进行分析，并且与U.GHIA 等人【1】的经典结论进行对比，评述本
弹塑性力学试题及标准答案(2015、16级工程硕士)
工程硕士研究生弹塑性力学试题 一、简述题（每题5分，共２0分） 1．简述弹性力学与塑性力学之间的主要差异。 固体力学是研究固体材料及其构成的物体结构在外部干扰（荷载、温度变化等）下的力学响应的科学，按其研究对象区分为不同的科学分支。塑性力学、弹性力学正是固体力学中的两个重要分支。 弹性力学是研究固体材料及由其构成的物体结构在弹性变形阶段的力学行为，包括在外部干扰下弹性物体的内力(应力)、变形(应变)和位移的分布，以及与之相关的原理、理论和方法；塑性力学则研究它们在塑性变形阶段的力学响应。 大多数材料都同时具有弹性和塑性性质，当外载较小时，材料呈现为弹性的或基本上是弹性的；当载荷渐增时，材料将进入塑性变形阶段，即材料的行为呈现为塑性的。所谓弹性和塑性，只是材料力学性质的流变学分类法中两个典型性质或理想模型；同一种材料在不同条件下可以主要表现为弹性的或塑性的。因此，所谓弹性材料或弹性物体是指在—定条件下主要呈现弹性性态的材料或物体。塑性材料或塑性物体的含义与此相类。如上所述。大多数材料往往都同时具有弹性和塑性性质，特别是在塑性变形阶段，变形中既有可恢复的弹性变形，又有不可恢复的塑性变形，因此有时又称为弹塑性材料。本书主要介绍分析弹塑性材料和结构在外部干扰下力学响应的基本原理、理论和方法。以及相应的“破坏”准则或失效难则。 塑性力学和弹性力学的区别在于，塑性力学考虑物体内产生的永久变形，而弹性力学不考虑；和流变学的区别在于，塑性力学考虑的永久变形只与应力和应变的历史有关，而不随时间变化，而流变学考虑的永久变形则与时间有关。 2．简述弹性力学中圣维南原理的基本内容。 3．简述薄板弯曲的基本假定。
流体力学大作业
流体力学-大作业
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一．选择题 1．牛顿内摩擦定律适用于()。 A.任何流体B．牛顿流体 C.非牛顿流体 2．液体不具有的性质是()。 A．易流动性Ｂ.压缩性Ｃ.抗拉性 D.粘滞性 3连续介质假定认为流体（)连续。 A．在宏观上 B.在微观上 C.分子间Ｄ．原子间 4.在国际单位制中流体力学基本量纲不包括（）。 A．时间 B.质量 C.长度D．力． 5.在静水中取一六面体，作用在该六面体上的力有（) Ａ．切向力、正压力Ｂ．正压力C．正压力、重力D．正压力、切向力、重力 ６. 下述哪些力属于质量力（) A．惯性力Ｂ.粘性力 C.弹性力Ｄ.表面张力Ｅ．重力 7.某点存在真空时,( ）(） A.该点的绝对压强为正值 B.该点的相对压强为正值c.该点的绝对压强为负值 D.该点的相对压强为负值 ８．流体静压强的( )。 A.方向与受压面有关Ｂ.大小与受压面积有关B．大小与受压面方位无关 9．流体静压强的全微分式为（)。 A. B. C． １0．压强单位为时，采用了哪种表示法（)。 A．应力单位Ｂ.大气压倍数C．液柱高度 11.密封容器内液面压强小于大气压强，其任一点的测压管液面( ）。 A.高于容器内液面B．低于容器内液面 C.等于容器内液面 12．流体运动的连续性方程是根据( ）原理导出的。 A.动量守恒 B. 质量守恒 C.能量守恒 D. 力的平衡 13．流线和迹线重合的条件为（)。
A．恒定流B.非恒定流C.非恒定均匀流 １４．总流伯努利方程适用于（）。 A.恒定流 B.非恒定流Ｃ.可压缩流体 15. 总水头线与测压管水头线的基本规律是：( ）、( ） A.总水头线总是沿程下降的。B．总水头线总是在测压管水头线的上方。 C.测压管水头线沿程可升可降。 D.测压管水头线总是沿程下降的。 １6 管道中液体的雷诺数与（)无关。 A.温度B．管径Ｃ. 流速D．管长 １7．. 某圆管直径d=3０mｍ，其中液体平均流速为20ｃｍ/s。液体粘滞系数为0.0１14cm3/s，则此管中液体流态为( )。 A. 层流 B. 层流向紊流过渡C．紊流 1８．等直径圆管中紊流的过流断面流速分布是（)A呈抛物线分布B．呈对数线分布 C.呈椭圆曲线分布D．呈双曲线分布19．等直径圆管中的层流,其过流断面平均流速是圆管中最大流速的（） A １．０倍 B.1/３倍Ｃ.1/４倍D. 1/2倍 20.圆管中的层流的沿程损失与管中平均流速的（）成正比. A. 一次方 B.二次方 C. 三次方Ｄ. 四次方 ２1..圆管的水力半径是（) A. d/2Ｂ.d/3 C. d/４D. d／5. 2２谢才公式中谢才系数的单位是（）A.无量纲B．Ｃ.D．. 23．判断层流和紊流的临界雷诺数是（） Ａ.上临界雷诺数 B.下临界雷诺数 C.上下临界雷诺数代数平均 D.上下临界雷诺数几何平均 24..对于管道无压流,当充满度分别为( )时，其流量和速度分别达到最大。Ａ．0.５,0.５B．0.95,0．８1 C.0.８1, ０8１ D. １.0，1.０ 25.对于ａ, ｂ，c三种水面线，下列哪些说法是错误( ）（) A．所有a、ｃ型曲线都是壅水曲线，即，水深沿程增大。B．所有
计算流体力学大作业报告(翼型空气动力分析)
课程综合作业课程名称：计算流体力学 专业班级：研究方向： 学生姓名：学号： 完成日期：
计算流体力学课程综合报告 1.简介 计算流体动力学（Computational Fluid Dynamics，简称CFD）是通过计算机数值计算和图像显示，对包含有流体流动和热传导等相关物理现象的系统所做的分析。其基本思想为:把原来在时间域及空间域上连续的物理量的场，如速度场和压力场，用一系列有限个离散点上的变量值的集合来代替，通过一定的原则和方式建立起关于这些离散点上场变量之间关系的代数方程组，然后求解代数方程组获得场变量的近似值。 CFD可以看作是在流动基本方程（质量守恒方程、动量守恒方程、能量守恒方程）控制下对流动的数值模拟。通过这种数值模拟，我们可以得到极其复杂问题的流场内各个位置上的基本物理量（速度、压力、温度、浓度等）的分布，以及这些物理量随时间的变化情况，确定旋涡分布特性、空化特性及脱流区等。还可据此算出相关的其他物理星，如旋转式流体机械的转矩、水力损失和效率等。此外，与CAD联合，还可进行结构优化设计等。 2.计算流体动学的特点: ①流动问题的控制方程一般是非线性的，自变量多，计算域的几何形状和边界条件复杂，很难求得解析解，而用CFD方法则有可能找出满足工程需要的数值解。 ②可利用计算机进行各种数值试验，例如，选择不同流动参数进行物理方程中各项有效性和敏感性试验，从而进行方案比较。 ③它不受物理模型和实验模型的限制，省钱省时，有较多的灵活性，能给出详细和完整的资料，很容易模拟特殊尺寸、高温、有毒、易燃等真实条件和实验中只能接近而无法达到的理想条件。 ④数值解法是一种离散近似的计算方法，依赖于物理上合理、数学上适用、适合于在计算机上进行计算的离散的有限数学模型，且最终结果不能提供任何形式的解析表达式，只是有限个离散点上的数值解，并有一定的计算误差。 ⑤它不像物理模型实验一开始就能给出流动现象并定性地描述，往往需要由原体观测或物理模型试验提供某些流动参数，并需要对建立的数学模型进行验证。
流体力学试验
流體力學實驗 老師：Ａ1班→李宗翰老師；Ｂ1班→楊龍杰老師 Ａ2班→蔡欣正老師；Ｂ2班→邵德文老師 時間：Ａ1班→星期五12、13、14節；Ｂ1班→星期三11、12、13節Ａ2班→星期二11、12、13節；Ｂ2班→星期四12、13、14節 上課進度：
成績計算： 1.作業（30﹪）：上課後10分鐘未交報告者扣總分3分！ 當日無故未交者扣總分10分！ 1.課堂（20﹪）：分組合作精神，數據結果及隨堂口試小考。 2.口試（25﹪）：於考前一週公告口試方式。 3.筆試（25﹪）：於考前一週公告考場。 4.上課遲到10分鐘內扣總分3分！ 無故缺課扣總分10分！缺課3次下學期再見！ ※實驗前每組須備有空白數據表格一份，以方便記錄實驗數據※ 規定事項： 一、預習報告：（限用Ａ4大小的紙書寫，不可用打字） 1.封面：包含實驗名稱、組別、班級、姓名、學號、座號。 2.內容：包含實驗目的、實驗原理、實驗步驟及空白數據表格。 3.每人一份，於實驗前由組長收齊交給助教簽章，並於批閱後取回。 二、結論報告：（限用Ａ4大小的紙書寫） 1.個人結報：每人一份，含實驗心得和討論（心得須300字以上）。上課前將 個人結報及前一次實驗領回的預報合訂在一起，交給組長。 2.整組結報：每組一份，含數據、回歸分析結果，回歸分析圖表。 3.回歸分析須有電腦分析報表結果和座標曲線圖，圖可用手畫或電腦處理，若 用手畫請用方格紙，不可用工學院作業紙的背面。 4.未能及時繳交之作業，也一定要儘快繳交，不可缺交。 三、上課期間： 1.在實驗室內不可抽煙、進食及喝水，並注意安全。 2.不可無故離開實驗室，如有需要請先報備，助教會不定時的抽點。 3.組長負責整組的實驗操作、秩序及做完實驗後的清潔。 4.實驗後的數據表格，須在下課前交給助教檢查才算完成，嚴禁抄襲。
计算流体力学与传热学大作业
########学院 计算流体力学与传热学 学号： 专业： 学生姓名： 任课教师：教授 2013年12月
目录 第一章验证显式格式的稳定性 (4) 1.1 概述 (4) 1.2 数学推导 (4) 1.3 问题描述 (4) 1.4 数值模拟 (4) 1.5 结果及分析 (5) 第二章判断肋片可以按一维问题处理的主要依据 (6) 2.1 概述 (6) 2.2 问题描述及算法 (6) 2.3 数值模拟 (7) 2.4 结果及分析 (8) 第三章三层墙导热 (9) 3.1 概述 (9) 3.2 问题描述 (9) 3.3 TDMA算法 (9) 3.4 结果 (10) 第四章一维无源稳态对流扩散问题 (11) 4.1 公式及初值 (11) 4.2 情况一 (11) 4.3 情况二 (12) 4.4 情况三 (13)
第五章用ADI算法计算长方肋内的温度分布 (14) 5.1 问题描述 (14) 5.2 初始参数 (14) 5.3 情况一，一列列扫 (14) 5.4 情况二，一行行扫 (14) 5.5 情况三，采用ADI算法 (15) 5.6 结果分析 (15) 参考文献 (16)
第一章 验证显式格式的稳定性 1.1 概述 将一维非稳态热传导方程用显式格式差分化为代数方程，在求解的迭代过程中必须满足一定的条件，才能使方程收敛且结果正确。此处即验证β≤?。 1.2 数学推导 方程： 22T t T x α??=?? （1） 显式离散格式： 此处时间向前差分，空间中心差分 111 22n n n n n i i i i i T T T T T t x α+-+--+=?? 1112(2)n n n n n i i i i i t T T T T T x α +-+?-=-+? 令β=2 t x α ??则： 111(2)n n n n n i i i i i T T T T T β+-+-=-+ （2） 误差也应该满足上式，故： ()()1()()()2()()i i i i i Ikx Ikx Ik x x Ikx Ik x x n n n n n T e T e T e T e T e ψψβψψψ----?--+?+??-=-+?? ()()()1()12()()()i i i i Ikx Ikx Ik x x Ik x x n n n n T e T e T e T e ψβψβψψ----?-+?+??=-++?? ()()1()12()()i i i Ikx Ikx Ikx n n Ik x Ik x n T e T e e e T e ψβψβψ---+-??=-++ ()()1() 121() n Ik x Ik x n T e e T ψββψ+-??=-++≤ 因此 β≤?。即当β≤? 时方程（2）才会有收敛的解。 1.3 问题描述 在验证过程中同时可模拟一个实际问题，即冬季里墙壁中的温度分布。此时室内壁温设为Tl=30.0℃，室外壁温Tr=-25.0℃，墙壁以11号楼为例，L=1m ，热扩散系数ɑ=alfa=1.33e-6m 2/s 然后分别取β=0.4，n=10和β=0.6，n=10两种情况，看最后的结果是否收敛和正确。 1.4 数值模拟
弹塑性力学习题及答案
1 本教材习题和参考答案及部分习题解答 第二章 2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。 答案 (1)pi iq qj jk pk δδδδδ=; 答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-; 解：(3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。 2.2证明：若ij ji a a =，则0ijk jk e a =。 （需证明） 2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明： 2[,,]??????=???a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 证：因为1 231 111232221 2 33 3 3i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ?? ???? ??????=?????????????????? ， 所以 1 231111232221 2 33 3 3 1 231 1112322212 333 3det det()i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ?? ??????????==??? ??????????????? 即得 123111 2 123222123333 [,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ??????=???==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。 2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明： ()()()()()()???=??-??a b c d a c b d a d b c 证明：()()??=a b c d ?
计算流体力学实验报告
计算流体力学实验报告——热传导方程求解 姓名：梁庆 学号：0808320126 指导老师：江坤 日期：2010/12/30
基于FTCS格式热传导方程求解程序设计 摘要 计算流体力学是通过数值方法求解流体力学控制方程，得到流场的定量描述，并以预测流体运动规律的学科。在CFD中，我们将流体控制方程中积分微分项，近似的表示为离散的代数形式，使得积分或微分形式的控制方程转化为离散的代数方程组；然后通过计算机求解这些代数方程，从而得到流场在空间和时间点上的数值解。 基于以上思路，我们利用FTCS格式差分，工程上常用的热传导方程，并编制计算机求解程序，解出其数值解。并通过Matlab绘制，求解结果，分别以二维，三维的形式，给出求解结果，本实验通过求解的数值解，制作了1秒内长度为1的距离内，热传导情况动画，以备分析所用。 关键词FTCS 有限差分热传导方程
一、 问题重述 编制一个可以有限差分程序，实现求解热传导方程。 非定常热传导方程： 22(0) u u t t γγ??=>?? 初边值问题的有限差分求解。初始条件和边界条件为： (,0)() (0,)()0(1,)()0 u x f x u t a t u t b t =?? ==??==? 其中1γ=，初值条件为：000.3()1 0.30.71010 0.7 1.0 3 3x f x x x ? <
中科大计算流体力学CFD之大作业一
CFD 实验报告一 姓名： 学号： 一、题目： 利用中心差分格式近似导数22/dx y d ，数值求解常微分方程 x dx y d 2sin 2 2= （10≤≤x ） 00==x y 4 2 s i n 11- ==x y 步长分别取x ?＝0.05, 0.01, 0.001，0.0001。 二、报告要求： 1）列出全部计算公式和步骤； 2）表列出程序中各主要符号和数组意义； 3）绘出数值计算结果的函数曲线，并与精确解比较； 4）比较不同差分格式和不同网格步长计算结果的精度和代价； 5）附源程序。 三、相关差分格式 二阶导数22/dx y d 的三点差分格式有向前差分、向后差分和中心差分，表达 式分别如下： ()()()22122 22122 211 222 222j j j j j j j j j u u u u O x x x u u u u O x x x u u u u O x x x ++--+--+?=+???-+?=+???-+?=+???一阶向前差分：一阶向后差分：二阶中心差分： 代入微分方程可以得到差分方程，表达式分别如下： 212 212 11 2 2=sin 22=sin 22=sin 2j j j j j j j j j j j j u u u x x u u u x x u u u x x ++--+--+?-+?-+?一阶向前差分：一阶向后差分：二阶中心差分： 对于三种差分格式，差分格式可以改写成AY b =的形式，其中A 是相同的，
非齐次项b 不同，如下所示： 2112112112A -????-?? ??=?? -?? ??-?? 系数矩阵 ()()()02112 3221sin 2sin 2sin 2k k y x x b x x x x y ---???? ??? ? ?=????? ?? ?-?? 一阶向前差分 ()()()()2202 322121sin 2sin 2sin 2sin 2k k x x y x x b x x x x y -???-????? ??=????? ???-?? 一阶向后差分 ()()()()2102 232 2211sin 2sin 2sin 2sin 2k k x x y x x b x x x x y --?? ?-????? ??=??????? ?-? ? 二阶中心差分 求解AY b =可以得到各节点y 的值[]T 1 22 1k k Y y y y y --= 。 四、计算公式和步骤； 1.关于精确解的推导： 已知22sin 2d y x dx =，对 x 进行两次积分，得到121 sin 24 y x C x C =-++，再结合 边界条件00 ==x y 和4 2 sin 11-==x y 得到相对应的1C 和2C ，确定最后精确解为： 1 sin 24y x x =-+。 2.关于数值求解方法： 对于方程组AY b =可直接求解，也可以使用追赶法求解，下面介绍简单追赶法求解三对角方程组的过程。
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第二章 应力理论和应变理论 2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为： σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ； 试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。 解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件： OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0 代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0； OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0 则：cos sin 0 cos sin 0x xy yx y σβτβτβσβ+=??+=?……………………………… （a ） 将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得： ()()()1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=?? ? --+-=?? L L L L L L L L L L L L L L L L L L 化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β； 化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β 2—17.己知一点处的应力张量为3 1260610010000Pa ??????????? 试求该点的最大主应力及其主方向。 解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12× 103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得： (()() 3 1.2333 3 121010 2217.0831******* 6.082810 4.9172410x y Pa σσσ?++?=±=????=?=±?=? 则显然： 3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=?=?= σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算） ()22612 sin 226 12102 cos 2xy x y tg τθθσσθ--?-++ = = ==+=--+ 显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376° 题图 1-3
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第二章 应力理论和应变理论 2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及 30106.768 6.77() 104sin 2cos 2sin 602cos 60 221 32 3.598 3.60() 22 x y xy MPa MPa σστατα= --=----+=?+=?-=-?-?=-- 代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +2 3030( )cos 2sin 22 2 1041041cos 602sin 607322226.768 6.77()104 sin 2cos 2sin 602cos 60 22132 3.598 3.60() 22 x y x y xy x y xy MPa MPa σσσσσατα σστατα+-= ++---+= ++=--?+=----+=-?+=-?+=?+?= 由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。 2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。 解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得： c 截面的内力：N z =γ·A ·z ； 题图 1-3
c 截面上的应力：z z N A z z A A γσγ??= ==?； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为： z z z E E σγε= = ； 则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为： ()2 2z z z z z z z z y z z l d l d d zd E E E γγ γε=???=??=? = ?= ； 显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）： ()2 222l l A l l W l l d l E EA EA γγ?????=??= = = ；（W=γAl ） 2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =5003008003000 3008003001100-???? +-?? ??-- ?? 应力单位为kg ／cm 2 。 试确定外法线为n i （也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力n P 、正应力σn 及剪应力τn 。 解：首先求出该斜截面上全应力n P 在x 、y 、z 三个方向的三个分量：n ＇=n x =n y =n z 题—图 16