吉林省长春市普通高中2021届高三质量监测一模数学试题理 含解析

吉林省长春市普通高中 2021 届高三质量监测（一模）

数学试题 理

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合2

{|||3,},{|20},A x x x B x x x =<∈=->Z 则集合A B 的元素个数有

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个 2.函数sin 22y x π??

=+

??

?

是 A.周期为2π的奇函数 B.周期为2π的偶函数 C.周期为π的奇函数 D.周期为π的偶函数 3.在ABC ?中, A B >是sin sin A B >的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

4.张老师居住的一条街上,行驶着甲、乙两路公交车,这两路公交车的数目相同,并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到学校,这两条公交线路对他是一样的,都可以到达学校,甲路公交车的到站时间是6:09,

6:19，6:29,6:39，…,乙路公交车的到站时间是6:00,6:10,6:20,6:30,…，则张老师乘坐上甲路公交车的概率是

A. 10%

B. 50%

C. 60%

D. 90% 5.长江流域内某地南北两岸平行,如图所示已知游船在静水中的 航行速度1v 的大小1||10km/h v =,水流的速度2v 的大小

2||4km/h v =,设1v 和2v 所成角为 (0)θθπ<<，若游船

要从A 航行到正北方向上位于北岸的码头B 处,则cos θ等于

A.

5- B. 25- C. 35- D. 4

5

-

6.已知函数()()()1sin ,f x x x π=-则函数在[]1,3-上的大致图象为

A B C D

河流两岸示意图

7.

和1的长方形ABCD 沿对角线BD 折起,得到四面体-A BCD , 则四面体-A BCD 的外接球体积为 A.

43π B. 83π C. 4π D. 323

π 8.已知抛物线()220y px p =>，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在第一象限)，且4,AB FB =则直线l 的倾斜角为 A.

6π B. 4π C. 3π D. 23

π 9.对于函数()||1,f x x x x =++下列结论中正确的是

()A.f x 为奇函数 ()B.f x 在定义域上是单调递减函数 ()C.f x 的图象关于点()0,1对称 ()D.f x 在区间()0,+∞上存在零点

10.如图,在面积为1的正方形1111,A B C D 内做四边形2222,A B C D 使12212,A A A B =

1221122122112,2,2,B B B C C C C D D D D A ===以此类推,在四边形2222A B C D 内再

做四边形3333A B C D ……，记四边形i i i i A B C D 的面积为

1,2,3,,)(i a i n =，则123n a a a a +++

+=

]4. [1995n

A ??- ??? ]95. [149n

B ??

- ???

]1. [1233n

C ??- ??? ]. 3[132n

D ??- ???

11.双曲线()22

22:10,0x y E a b a b

-=>>被斜率为4的直线截得的弦AB 的中点为()2,1,则双曲线E 的离

心率为

A

B . 2C

D

12.已知偶函数()f x 满足()()2,f x f x =-当()0,1x ∈时(),31,x

f x =+则13

log 84f ?? ??

?

的值为

165.

81A . 8184B 165. 84C . 84

81C 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若tan 2,α=则sin 2α= .

1

C 1

D 1

A 1

B 2

A 2

B 2

C 2

D 3

A 3

B 3

C 3

D

14.若复数z 满足3,z z ?=则||z = .

15.如图,一块边长10cm 的正方形铁片上有四块阴影部分,将这些阴影部分裁下来,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,

把容器的容积V (单位:3

cm )表示为x (单位:cm )的函数 为 .

16.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,满足213

22

n S n n =+,

则n a = ;数列131

{

}2n

n n n a a ++?的前n 项和n T = . 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分

17.(12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,PA ⊥底面ABCD ,PA AB =,E 为PB 的中点,F 为线段BC 上的动点. (I)求证:平面AEF ⊥平面PBC ; (Ⅱ)求二面角P DC E --的余弦值.

18.(12分)在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足1

cos 2

a b

c B +=?. (I)求角C ;

(Ⅱ)若2,3a b ==,求()cos 2A C -. 19.(12分)某小区超市采取有力措施保障居民 正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的 甲类物资的供应,超市对社区居民户每天对甲 类物资的购买量进行了调查,得到了以下频率 分布直方图(如图),现从小区超市某天购买甲

类物资的居民户中任意选取5户.

(I)若将频率视为概率,求至少有两户 购买量在[)3,4(单位:kg )的概率;

(Ⅱ)若抽取的5户中购买量在[]3,6(单位:kg )的户数为2户,从这5户中选出3户进行生活情况调查,记3户中需求量在[]3,6(单位:kg )的户数为ξ,求ξ的分布列和期望. 20.(12分)

已知椭圆2

2

14

y x +=,直线1l y kx =+：分别与x 轴y 轴交于,M N 两点,与椭圆交于,A B 两点. (I)若,AM NB =求直线l 的方程;

(Ⅱ)若点P 的坐标为()0,2,-求PAB △面积的最大值. 21.(12分)

设函数()()1ln x

f x e a x a =+∈R . (I)当a e =时,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)当0a >时,求证:()()2ln .f x a a -

(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4坐标系与参数方程](10分)

已知直线l 的参数方程为12x t

y t =+??=?

(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标

系,圆C 的极坐标方程为2cos 4sin .ρθθ=+ (I)求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线l 与圆C 相交于,A B 两点,求||.AB 23.[选修4-5不等式选讲](10分) 已知0,0, 4.a b a b >>+=

(I)求证22; (Ⅱ)求证:12

1222a b +++.

吉林省长春市普通高中 2021 届高三质量监测（一模）

数学试题 理参考答案及评分参考

一,选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1. B.【解题思路】{2,1,0,1,2},{|0,2},A B x x x =--=<>或所以{2,1},A B =--故选B.

2.D 【解想思路】sin 2cos 2.2y x x π??

=+

= ??

?

故T=π且为偶函数,故选D 3．C 【解题思路】易知在三角形中，A B >是sin sin A B >的充要条件,故选C

4.D 【解思路】张老师到达车站在6：00-6:10中是等可能的,故张老师在6:00-6:09到达车站 的概率为90%,故有90%的可能乘坐甲路公交车，故选D

5．B 【解题思路】由题意知()2120,v v v +?=有22

12||co ,||s 0v v v θ+=所以2

cos 5

θ=-

选B. 6．A 【解题思路】由()()1sin f x x x π=-可得()y f x =的图象关于直线1x =对称,排除BC, 当(1,2)x ∈时(),0,f x <排除D,数选A.

7. A 【解题思路】2,BD BD =中点到A,B,C,D 的距离均为1,故球的体积为43

π

,故选A. 8．C 【解题思路】如图,过A,B 作AA ’,BB ’垂直准线2

p

x =-

,垂足为A ’,B’，过B 作AA’垂 线,垂足为C,由抛物线定义知|||,||,3|||||||BF BB AA A F F BF A '

'

===2|||,|F B AC =所以

1cos 2BAC ∠=

,3BAC π∠=,所以直线l 倾斜角为3

π

,故选C. 9.C 【解题思路】()2

21,0

1,0

x x x f x x x x ?-++?=?++>??由图象可知,图象关于点()0,1对称,因此不是奇函数,在定义域内

函数为增函数,在(),0-∞上有零点,故选C.

10.B 【解题思路】由图可知1

1232

555,1,,,

,,999n n a a a a -??

??

==== ? ?

??

??

所以其前n 项和为]95[149n

??

- ???

,故

选B.

11.B 【解题思路】设()()2121,,,y B x x A y 代入双曲线方程作差有

()()()()

11121212

2

2x x x x y y y y a

b

-+-+=,

有2121221212()()

2

()()

y y y y b a x x x x -+==-+,所以223c a =，

e =故选B.

12. A 【解题思路】由题意可知函数()f x 的周期为4,又()13

3log 84log 845,4=-∈--当

()0,1x ∈时(),31,x f x =+则当()1,0x ∈-时(),31,x f x -=+则

13

(4log 84)

113384165log 84(4log 84)3118181f f -+??=+=+=+=

???

故选A 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分) 13. 45【解题思路】2222sin cos 2tan 4

sin 2sin cos 1tan 5

ααααααα===++

14.

(),R ,z a bi a b =+∈

有223,||z z a b z ?=+==

15. 10)V x =<<【解题思路】由题意可知,正四棱锥的高

为,所以容

积

21(010)36

x V x x =?=<<

16. 1n a n =+，11

22(2)

n n T n =

-+【解题思路】112,1n n n a a S S n -=-==+,所以 111132(3)2(2)2(1)

2()(1)(2)22(1)2(2)2(1)2(2)

n n n n n n n n n n n n n n n n n n ---++++-+==++++++

()()111

22122n n n n +??=- ? ?++??

,故131{}2n n n n a a ++?的前n 项和1122(2)n n T n =-+. 三，简答题

17.【答案】(1)因为PA AB =,E 为PB 中点,所以,AE PB ⊥ 因为PA ⊥平面ABCD,所以,PA BC ⊥

由,BC AB ⊥所以BC ⊥平面PAB,所以BC AE ⊥又,BC PB B =

所以AE ⊥平面PAB,所以平面AEF ⊥平面PAB.

(2)法1:取PA 中点G ,连结GE,GD,由,////AB GE AB CD ,

所以//,GE CD 故GE ?平面EDC,因为PA ⊥平面ABCD,所以,PA CD ⊥由

,AD CD ⊥所以CD ⊥平面PAD,所以,,CD PD GD CD ⊥⊥所以∠PDG 为二面角

的平面角,在PAD ?

中,1,PG PD GD ===

所以cos PDG ∠=

(12分)

法2:以A 为原点,AB,AD,AP 为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,有()0,0,2,P

()()()0,2,0,2,2,0,1,0,1,D C E 设平面PCD 的一个法向量为()111,,,x y z =n 平面

ECD 的一个法向量为()222,,x y z =m 有00PC CD ??=???=??n n ，11110

0x y z x +-=?

?=?，()0,1,1=n

又00CE CD ??=???=??m m ，222220

0x y z x +-=??=?

，()0,1,2,2=m ,所以||310cos |||10m n m n θ?==

? 即二面角 P-DC-E 的余弦值为

310

10

(12分) 18. 【答案】(1)由正弦定理知sin si c 1

n sin os 2

A B C B += 有sin cos cos s i 1in sin s n cos 2B C B C B C B ++

=,所以cos 21C =-2,3

C π

=

（6分） 222(2)2cos 19,19,c a b ab C c =+==-

所以222cos 219b c a A bc +-==，3sin 19

A =

83sin 2A =

，13

cos 219

A =,所以()11383311cos 221938A C -=-?+?=(12分) 19．【答案】5

4

153147(1)1(444128P C ????=--= ? ?

????

分) (2) ξ的可能值为0,1,2

()33351010C P C ξ===；()2133256110C C P C ξ===；()12

323

53

210

C C P C ξ=== ξ的分布列为

20．【答案】(1)设()()1122,,,A x y B x y 联立直线方程与椭圆方程有

2

2141

y x y kx ?+=???=+?

有()

22

4230,k x kx ++-=有12224x x k k +=-+，122

424y y k +=+ 所以AB 中点坐标为22

4,44k k k ?

?

-

?++??

,(0)k ≠

由1,0M k ??-

???(),0,1,N MN 中点坐标为11,22k ??

- ???

因为,AM NB =所以线段MN 的中点与AB 的中点重合,有2

2

1

241424k k k k ?-=-??+??=?+?

解得2k =±(6分) (2)由(1)

可知1216

3|62|1 PAB

S

x x =??-==

3,

43

3

所以633

1PAB S ?=

当k=0时PAB ?面积最大.(12分) 21.【答案】(1)a e =时，令

1

t x

=(),f x 可化为(),g t 即()ln ,t g t e e t =-(0)t > ()t e

g t e t

'=-易知()g t '为增函数,且()10g '=

所以当()0,1t ∈时()(),0,g t g t '

<单调递减,当()1,t ∈+∞时()(),0,g t g t '

>单调递增

又

1

t x

=, 所以当()1,x ∈+∞时()(),0,1,t f x ∈单调递增,当()0,1x ∈时()(),1,,t f x ∈+∞单调递减.(4分) (2)令

)1

0( t t x

=>(),f x 可化为()ln t g t e a t =- ()t a

g t e t

'=-,当0a >时,易知()g t '为()0,+∞上增函数,

当a e >时(),01g e a '=-<；当 a e =时(),10g e a '=-=；当a e <时,0a

e a g e e e ??'=-< ??? 而()10,a

g a e '=->

所以存在()00,,t ∈+∞()000

0t

a

g t e t '=-

=即00ln ln t a t =- 当t ∈()00,t 时()(),0,g t g t '<单调递减, 当t ∈()0,t +∞时()(),0,g t g t '>单调递增:

所以()()00000

ln ln 2ln t

a

g t g t e a t at a a a a a t =-=

+--.(12分) 22.【答案】(1)直线l 的普通方程是210x y --=,圆的直角坐标方程是

22240x y x y +--=（5分）

(2)圆心(1,2)到直线l 的距离

d =

圆半径r =所以||AB ==（10分） 23.【答案】(1)证明:因为0,0a b >>,

22

2222

4

a b a b ab

+++

()2

2

a b +=当且仅当2a b ==时取等号)(5分) (2)因为4a b +=,所以26,a b ++=

所以

()221111*********a a b b

a b a b a b ??+++????+=+=+++ ? ???+++??????

(11

32623

+=+,)2a b +=时取等号(10分)