不等式复习课 -数学教案
不等式一章回眸
知识梳理
1、不等式、不等式组的有关概念（不等式的解和解集、不等式组的解集）；
2、不等式的基本性质；
3、一元一次不等式、一元一次不等式组的解法及其解集在数轴上的表示和确定。双基训练
一、填空题（每题4分，计32分）
1、如果a＜b，－3a_____－3b；；a－b_______0.
2、如果a＜b＜0，则4a_______4b； |a|________|b|.
3、不等式－2x＞－11的正整数解是__________________.
4、当x________时，代数式的值是正数
5、不等式组的解集是_____________.
6、若代数式的值不小于代数式的值，那么x的取值范围是___.
7、当a ____时，不等式(a－3)x＞1的解集是
8、已知x是内整数，满足不等式2x＋3＜5的x应为_______.
二、选择题（每题4分，计32分）
9、.如果a＜b，那么下列不等式中共有（）个正确的。
（1）a－3＜b－3 (2)a－b＞b－b (3)a－a＜b－a (4)a＋7＞b－7 A．1 B．2 C．3 D．4
10、如果不等式(a－1)x＞a－1的解集是x＜1，那么a的取值范围（）
A. B.a＞1 C.a＜1 D.a＜0
11、要使代数式与的和小于，则m的取值范围（）
A．不存在 B．一切有理数 C． D．
12、使不等式成立的最小整数解是（）
A．0 B．－1 C．1 D．2
13、如果方程（2－）＝1的解是正数，那么（）
A．k＞0 B．k＜0 C．k＜2 D．k＞2
14、不等式组的解集在数轴上表示为（）
15、不等式式组整数解的和是（）
A．1 B．0 C．－1 D．－2
16、满足不等式组的整数m的值是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、解答题
17、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
（1）（2）
18、解下列不等式组并把解集在数轴上表示出来
(1) (2)
19、已知关于x的不等式2x－a＞2与不等式3x＞4的解集相同，求a的值.
20、求同时满足不等式的整数解
21、某校住校生若干人，住若干间宿舍，，若每间住4人，则余20人无宿舍若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求该班住宿生人数和宿舍间数。
22、解关于x的不等式组
能力训练
一、填空题（每题4分，计32分）
1、若a＞－a，则a________；若|a|＞a，则a______________.
2、如果1＜x＜2，则(x－1)(x－2)______0；若x＜1或x＞2，则(x－1)(x－
2)____.
3、若a＋b＞b，a－b＞a，则a_________b. 9－10
4、不等式mx－2＜3x＋4的解集是，则m的取值范围是____.
5、若a＞0，b＜0，c＜0，则|ab|－c______0.
6、已知x＝3是方程的解，那么不等式的解集是______
7、若不等式组的解集为，那么的值等于（2001重庆）
8、不等组的非负整数解是____________。
二、选择题（每题4分，计32分）
9、如果a＞b＞0，那么下列结论正确的是（）
A.ac＞bc
B.
C.b2＞ab
D.a－b＞b
10、若2－3a是正数，那么不等式的解集是（）
A． B． C． D．
11、如果(m－1)x＜m－1的解集是，那么m满足（）
A.m＜－1
B.m＞－1
C.m＜1
D.m＞1
12、如果代数式的值不大于1，则下列结论中正确的是（）
A． B．x＜4 C． D． 13－7
13、已知实数、同时满足三个条件：①3 －2 ＝4－，②4 －3 ＝2＋，③ ＞，那么实数的取值范围使（）。
A．＞－1 B．＜1 C．＜－1 D．＞1 2002徐州14、如果不等式组有解，那么m的取值范围是（）
A．m＞8 B． C．m＜8 D．m 8
15、如果方程组，则a的取值范围是（）
A．a＞－3 B．－6＜a＜3 C．－3＜a＜6 D．不同于以上答案
16、若m＜n＜0，则不等式组，的解集为（）
A．x＞2m B．x＞－2n C．2m，x＜2n D．空集
三、解答题
17、解不等式 14－18
18、解关于x的不等式
19、设方程组的解满足y＞－1且x＜1，求整数k的值。
20．关于x的不等式组的解集为－3＜x＜3，求a，b的值。
21、一人10点10分离家去赶11点整的火车，已知他家离车站10千米，他离家后先以3千米/小时的速度走了5分钟，然后乘公共汽车去车站，问公共汽车每小时至少走多少千米才能不误当次火车？
22、某城市平均每天产生垃圾700吨，由于甲、乙两个处理厂处理。已知甲厂每小时可处理55吨，需费用550元；乙厂每小时可处理垃圾45吨，需费用495元。
(1)甲、乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需几小时完成？
(2)如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不得超过7370元，甲厂每天处理垃圾至少需要多少小时？
职高数学第二章不等式习题集与答案.doc
WORD 格式 2.1 不等式的基本性质习题 练习 2.1 不等式的基本性质 1、用符号“ >”或“ <”填空： 6 7 7 7 （1） 7 8 6 8 4 1 4 1 （2） 31 7 31 7 （3）设 a b, 则 a 2 b 2,a 1 b 1,a1 b1； （4） 设 a b, 则 2a 2b, 2a 2b,3a1 3b1 。 、比较两式的大小： x 2 x1 与 x 2 1(x 0) 2 参考答案： 1、（ 1） <,< （2）<,> （3） <,<,< （4）<,>,> 2、x 2 x 1 x 2 1 2.2 区间习题 练习 2.2.1 有限区间 1、已知集合 A 2,7,B 1,9 , 则 A B 2、已知集合 A 2,3,B 5,1, 则 A B 3、已知全集 I 1,1 ，集合 A= 1,1 ，则 CA I 参考答案： 1,7 、 -5,3 - 1、 2 、 ， 3 1 ,1 练习 2.2.2 无限区间 1、已知集合 A ,6,B 2,+ , 则 A B
2、不等式3x78 的解集是 3、已知A{xx13} ，用区间可以表示 A 为 参考答案： 1、2,6 2、,5 3、, 13 2.3 一元二次不等式习题练习 2.3一元二次不等式 1、不等式x 2 3x 2 0的解集是 专业资料整理
WORD格式 2、不等式x25x 60 的解集是 3、不等式(x1)(x 3)0 的解集是 4、不等式3x2x 40 的解集是 参考答案： 1、 ,12,2、3、1,34、6,1 4 1, 3 2.4 含绝对值的不等式习题练习 2.4.1不等式x a 或 x a 1 2 x 的解集为 、不等式 2、不等式2x 3 5 的解集为 3、不等式3x9 的解集为 参考答案： 1、 , 2 2, 、, 44, 3 、 3,3 2 练习 2.4.2不等式axbc或ax b c 1、不等 式 2、不等式 3、不等式 4、不等式
均值不等式练习题.doc
利用均值不等式求最值的方法 均值不等式a b ab a b +≥>>2 00(，，当且仅当a ＝b 时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。 一、配凑 1. 凑系数 例1. 当04<
一元一次不等式复习课教案
分一元一次不等式与不等式组复习 教学目标同步教学知识内 容 一元一次不等式与不等式组复习 个性化学习问题 解决 1、理解不等式的解，一元一次不等式的概念，学会 解一元一次不等式．毛 2、解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类 似，不等式的变形要注意与方程的变形相对照， 特别是注意不等式的性质3?：当不等式两边都乘 以同一个负数时，不等号要改变方向． 3、会解一元一次不等式组． 4、能根据简单的实际问题中的数量关系，列出一元 一次不等式组并求解，并能根据实际意义检验解的 合理性． 重点难点重点：解一元一次不等式（组）难点：一元一次不等式(组)应用 一、要点梳理： 1、不等关系：用符号“＞、≥、＜、≤、≠”连接；关键字眼：如“大于”“小于”“不大于”“不小于”“至少”“不低于”“至多”等 2、不等式的基本性质： 序号语言叙述符号表示 基本性质 1 不等式的传递性如果a＜＜c。那么a＜c。 基本性质2不等式的两边都加上(或减 去)同一个整式，不等号的 方向不变； 如果a＞b,那么a±c＞b±c 不等式的两边都乘以(或除如果a＞b, c＞0，那么＞；＞
基本性质3以) 同一个正数，不等号的 方向不变； 不等式的两边都乘以(或除 以)，同一个负数，不等号 的方向改变 如果a＞b, c＜0，那么＞；＜ 3、解一元一次不等式一般步骤： (1)去分母；(运用不等式性质3，注意不要漏乘不含分母的项) (2)去括号； (3)移项；(运用不等式性质2，注意：被移的项要变为原来的相反数) (4)合并同类项； (5)系数化1. (运用不等式性质3，注意何时需要改变不等号方向) (6)把解表示在数轴上；把解集表示在数轴上时，需注意：(1)空心、实心小圆圈的区别；(2)“＞、≥”向右拐，“＜、≤”向左拐. 不 等 式 的 用数轴表示
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
2020高考理科数学不等式问题的题型与方法
专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络
其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时，
中职数学第二章不等式测验试卷
中职数学第二章不等式单元测验试卷 班级 姓名 学号 得分 一、选择题：（每题3分，共30分） 1、设,a b c d >>，则下列不等式中正确的是 （ ） A ．a c b d ->- B ．a c b d +>+ C ．ac bd > D ．a d b c +>+ 2、290x ->的解集是 （ ） A ．(3,)±+∞ B ．(3,)+∞ C ．(,3)(3,)-∞-?+∞ D ．(3,)-+∞ 3、不等式2210x x ++≤的解集是 （ ） A ．{}1x x ≤- B ．R C ．? D ．{}1x x =- 4、不等式22x +<的解集是 （ ） A ．(,1)-∞- B ．(1,3)- C ．51(,)22-- D ．5(,)2-+∞ 5、已知0,0a b b +><则 （ ） A ．a b a b >>->- B ．a a b b >->>- C ．a b b a >->>- D ．a b a b ->->> 6、若二次函数223y x x =--，则使0y <的自变量x 的取值范围是 （ ） A ．{}13x x -<< B ．{}13x x x =-=或 C ．{}13x x x <->或 D ．R 7、不等式(1)(31)0x x ++≤的解集是 （ ） A ．1,3??-∞- ??? B ．1,3??-+∞???? C ．11,3??--???? D ．(]1,1,3??-∞-?-+∞???? 8、若不等式2104 x mx ++≤的解集是?，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．1m < B ．11m m >-<或 C ．11m -<< D ．11m m ><-或 9、已知{} 23,A x x x Z =-<≤∈，12 a =，则下列关系正确的是 （ ） A ．a A ∈ B ．a A ? C ．a A ≥ D ．a A ≤ 10、不等式226101 x x x --<+的解集为 （ ）
高中数学基本不等式题型总结
专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 .
【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 .
【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 .
最新职高数学第二章不等式习题集及答案.docx
2.1 不等式的基本性质习题 练习 2.1 不等式的基本性质 1、用符号“ >”或“ <”填空： （1） 6 7 7 7 7 8 6 8 （2） 4 1 4 1 31 7 31 7 （3） 设 a b, 则a 2 b 2, a 1 b 1,a 1 b 1 ； （4） 设 a b, 则 2a 2b, 2a 2b,3 a 1 3b 1。 2、比较两式的大小： x 2 x 1与 x 2 1( x 0) 参考答案： 1、（ 1） <,<（ 2） <,>（3） <,<,< （ 4） <,>,> 2、 x 2 x 1 x 2 1 2.2 区间习题 练习 2.2.1 有限区间 1、已知集合 A 2,7 , B 1,9 ,则 A B 2、已知集合 A 2,3 , B 5,1 , 则A B 3、已知全集 I 1,1 ，集合 A= 1,1 ，则 C I A 参考答案： 1、 1,7 2、 -5,3 3、 -1，,1 练习 2.2.2 无限区间 1、 已知集合 A ,6 , B 2,+ ,则 A B 2、不等式 3x 7 8 的解集是 3、已知 A { x x 13} ，用区间可以表示 A 为 参考答案：
1、2,6 2、,5 3、, 13 2.3 一元二次不等式习题练习 2.3一元二次不等式 1、不等式x23x 20 的解集是 2、不等式x25x 60 的解集是 3、不等式(x1)(x 3)0 的解集是 4、不等式3x2x 4 0 的解集是 参考答案： 1、3、 ,12,2、6,1 1,34、1, 4 3 2.4 含绝对值的不等式习题 练习 2.4.1不等式 x a或 x a 1、不等式2x 的解集为 2、不等式 2 x 3 5 的解集为 3、不等式3 x9 的解集为 参考答案： 1、, 22, 2、, 44, 3、3,3
2014届高考数学一轮复习方案 第36讲 均值不等式课时作业 新人教B版
课时作业(三十六) [第36讲 均值不等式] (时间：45分钟 分值：100分) 基础热身 1．[教材改编试题] 函数y ＝x ＋1 x (x <0)的值域为( ) A ．(－∞，－2] B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．若M ＝a 2＋4 a (a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( ) A ． (－∞，－4]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4] C ．[4，＋∞) D ．[－4，4] 3．[2012·济南外国语学校质检] 已知x >0，y >0，x ＋3y ＝1，则1x ＋1 3y 的最小值是( ) A ．2 2 B ．2 C ．4 D ．4 2 4．已知a >0，b >0，且a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值是( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 能力提升 5．[2012·锦州月考] 已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则（a ＋b ）2 cd 的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 6．[2012·郑州预测] 若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 3 C ．3 2 D ．6 7．[2012·黄冈中学调研] 已知二次不等式ax 2 ＋2x ＋b >0的解集为?????? x ? ??x ≠－1a 且a >b ，则a 2＋b 2 a －b 的最小值为( )
A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2 8．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2 ＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4)∪[2，＋∞) C ．(－2，4) D ．(－4，2) 9．[2012·浙江卷] 若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A. 245 B.285 C ．5 D ．6 10．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________． 11．[2012·天津一中月考] 若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________． 12．设a ＞0，b ＞0，且不等式1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于________． 13．[2012·武汉部分重点中学联考] 一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达 B 市，已知两地铁路路线长400 km ，为了安全，两列货车间距离不得小于? ?? ??v 202 km ，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________ h(不计货车的车身长)． 14．(10分)若x ，y ∈R ，且满足(x 2 ＋y 2 ＋2)(x 2 ＋y 2 －1)－18≤0. (1)求x 2 ＋y 2 的取值范围； (2)求证：xy ≤2. 15．(13分)(1)已知a ，b 是正常数， a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，求证：a 2x ＋b 2y ≥（a ＋b ）2 x ＋y ， 并指出等号成立的条件； (2)利用(1)的结论求函数f (x )＝2x ＋91－2x ? ???? x ∈? ????0，12的最小值，并指出取最小值时x 的值．
高三数学不等式选讲 知识点和练习
不等式选讲 一、绝对值不等式 1．绝对值三角不等式 定理1：如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时，等号成立。 注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当a，b不共线时，|a+b|≤|a|+|b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。 （2）不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，在侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0，左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|。 定理2：如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。 2．绝对值不等式的解法 （1）含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集 注：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义（|x|表示数轴上的点x到原点O的距离；| x-a |±|x-b|）表示数轴上的点x到点a,b的距离之和（差） （2）|ax+b|≤c(c＞0)和|ax+b|≥c(c＞0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c; ②| ax+b|≥c? ax+b≥c或ax+b≤-c. （3）|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。
【经典】高三数学基本不等式题型精讲精练
基本不等式 基本不等式知识 1．（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ （2）若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2．（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） （3）若*,R b a ∈，则2 2??? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3．若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 4．若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 5．若,,,+∈R c b a a b c c b a 3333≥++， 33abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取等） 应用一 直接求最值 例1 求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x （3）（理科）已知+∈R y x ,，且满足232x y =，则x y +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．6 D ．4 （4）已知+∈R c b a ,,且满足132=++c b a ，则c b a 31211++的最小值为 （5）若b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2 ，则y x ,的大小关系是 （6）若,0,0>>b a 且,72=++b a ab 则b a +的最小值是 技巧一 凑项 例1 已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值 1．函数y ＝log 2(x ＋1x －1 ＋5)(x >1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－4 技巧二 凑系数 例2 当40< VIP 免费 欢迎下载 学生姓名： 任课教师： 试卷审查教师： 测试科目： 涉及章节： 教师评语： 不等是知识点 ★ 知 识 梳理 ★ 1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>,则2a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立. 2求最值:当ab 为定值时,22,a b a b ++有最小值;当a b +或22a b +为定值时,ab 有最大值(0,0a b >>). 3.拓展：若0,0a b >>时,22 2 1122a b a b ab a b ++≤≤≤+,当且仅当a b =时等号成立. ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：理解基本不等式2 a b ab +≤ 等号成立条件，掌握用基本不等式证明不等式 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 2.难点：利用基本不等式2a b ab +≤求最大值、最小值 3.重难点：正确运用基本不等式证明不等式，会用基本不等式求某些函数的最值 二 方法技巧讲解 (1) 灵活运用基本不等式处理不等关系 问题1. 已知正数x 、y 满足x +2y =1，求 x 1+y 1的最小值. 点拨：∵x 、y 为正数，且x +2y =1， 日期： 2012- 时间： ∴x 1+y 1=（x +2y ）（x 1+y 1） =3+x y 2+y x ≥3+22， 当且仅当 x y 2=y x ，即当x =2－1，y =1－22时等号成立. ∴x 1+y 1的最小值为3+22. （2）注意取等号的条件 问题2. 已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11()()x y x y ++ 的最小值为 。 点拨： 错解1、因为对a>0,恒有12a a +≥,从而z=11()()x y x y ++≥4,所以z 的最小值是4。 错解2、222222()22x y xy z xy xy xy xy xy +-==+-≥22(21)-=-，所以z 的最小值是2(21)-。 错因分析：解一等号成立的条件是11,11,1x y x y x y x y ====+=且即且与相矛盾。解二等号成立的条件是2,2xy xy xy ==即，与104 xy <≤相矛盾。 解析：z=11()()x y x y ++=1y x xy xy x y +++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++=+-，令t=xy, 则210( )24x y t xy +<=≤=，由2()f t t t =+在10,4?? ???上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值254 。 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围) 题型1. 当积ab 为定值时,求和a b +最小值 不等式的解题归纳第一部分含参数不等式的解法 例1解关于x的不等式2x2? kx _ k岂0 例2 .解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0. 2x2+2k x +k 例3、若不等式2x 2 2kx 1 :::1对于x取任何实数均成立，求k的取值范围. 4x +6x +3 例4若不等式ax2+bx+1>0的解集为｛x | -3 1. (2010年高考福建卷)已知函数f(x) = |x —a|. (1)若不等式f(x)w 3的解集为｛x|—K x< 5｝，求实数a的值； ⑵在(1)的条件下，若f(x) + f(x+ 5)> m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围. 2. 设函数f (x) =|x-1| |x-a|, (1 )若a = -1，解不等式f(x)_3 ；(2)如果- x R , f(x) —2，求a的取值范围 3. 设有关于x的不等式lg(j x + 3+|x-7?a 2014届高三数学第二轮复习 第3讲 不等式 一、本章知识结构： 实数的性质 二、高考要求 （1）理解不等式的性质及其证明。 （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用。 （3）分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 （4）掌握某些简单不等式的解法。 （5）理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。 三、热点分析 1.重视对基础知识的考查，设问方式不断创新.重点考查四种题型：解不等式，证明不等式，涉及不等式应用题，涉及不等式的综合题，所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查，常考常新，创意不断，设问方式不断创新，图表信息题，多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯，值得引起我们的关注. 2.突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点. 3.加大推理、论证能力的考查力度，充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托，因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高，有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能体现出高观点、低设问、深入浅出的特点，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的热点. 4.突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识. 不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点,考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。高考试题中有以下几个明显的特点： （1）不等式与函数、数列、几何、导数,实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的试题题量很少。 高三复习专题：不等式证明 [设计思路] 从近几年的高考试题来看，有关不等式的试题基本上都是一道选择题或填空题和一道解答题，解答题一般是解不等式和证明不等式，纯粹本单元的试题分值逐渐减少，但在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中常涉及不等式的知识，在综合题的解题过程中处处分布着不等式的知识、方法和技巧，理科平均约9%，文科约7%。 证明不等式是理科考查的重点，不等式证明题历来难度大，区分度高，综合性强，创新不断，学生平时练习题与试题差距较大，所以教学时一方面要重视对基础知识、基本方法的复习，另一方面更要注重证明方法中蕴含的思想方法、技巧、技能在其他章节知识中的应用，强调知识的综合和知识的内在联系。 [历年高考试题回顾] [重点] 不等式证明方法的基本思想方法。 [难点] 不等式证明方法的综合应用。 [课时安排] 第一课时重在复习巩固几种常见的证明方法 第二课时重在培养学生的综合应用能力 [例题设计] 第一课时 揭示主题:这节课我们一起来复习不等式的证明方法, 不等式证明的常用方法有哪些? 不等式证明的方法有比较法,分析法,综合法,放缩法,反证法,换元法等等. 提出问题： 例1 已知在a，b，c∈R+，求证a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2≥6abc 学生活动：学生自主思考、分析、回忆、后讨论，最终解决问题。 解法1：比较法 a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2-6abc =a2b-2abc+bc2+ab2-2abc+ac2+a2c-2abc+b2c =b(a-c) 2+a(b-c) 2+c(a-b) 2 a，b，c∈R+ 且(a-c) 2≥0，(b-c) 2≥0，(a-b) 2≥0}→b(a-c) 2+a(b-c) 2+c(a-b) 2≥0 从而a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2≥6abc [知识总结] 比较法包括作差比较法和作商比较法两种,作差比较法是重中之重. 不等式的解题归纳 第一部分 含参数不等式的解法 例1解关于x 的不等式022 ≤-+k kx x 例2．解关于x 的不等式：(x-2 x +12)(x+a)<0. 例3、若不等式13 64222 2<++++x x k kx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围. 例4若不等式ax 2+bx+1>0的解集为{x ︱-3 【课堂练习】 1、已知(2a -1) 2 x -(a-1)x-1<0的解集为R ，求实数a 的取值范围. 2、解关于x 的不等式：.0)2(2 >+-+a x a x 3、解关于x 的不等式：.012 <-+ax ax 【课后练习】 1．如果不等式x 2－2ax ＋1≥2 1 (x －1)2对一切实数x 都成立，a 的取值范围是 2．如果对于任何实数x ，不等式kx 2－kx ＋1>0 (k>0)都成立，那么k 的取值范围是 3．对于任意实数x ，代数式 (5－4a －2a )2 x －2(a －1)x －3的值恒为负值，求a 的取值范围 4．设α、β是关于方程 2x －2(k －1)x ＋k ＋1=0的两个实根，求 y=2α ＋2 β关于k 的解析式，并求y 的取值范围 第二部分 绝对值不等式 1．(2010年高考福建卷)已知函数f (x )＝|x －a |. (1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值； (2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 不等式应试技巧总结 1、不等式的性质： （1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则 a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； （2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若 0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则 a b c d >）； （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b > >（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b >。 【例】（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0< <<则若；⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______（答：12,2? ?-- ?? ?） 2. 不等式大小比较的常用方法： （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 【例】（1）设0,10>≠>t a a 且，比较 21log log 21+t t a a 和的大小（答：当1a >时，11log log 22 a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11 log log 22 a a t t +≥（1t =时取等号））； （2）设2a >，1 2 p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：p q >）； （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小（答：当01x <<或4 3 x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当 413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当4 3 x =时，1+3log x ＝2log 2x ） 3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方 针。 【例】（1）下列命题中正确的是A 、1y x x =+的最小值是 2 B 、2y =的最小值是 2 C 、 423(0)y x x x =--> 的最大值是2- D 、4 23(0)y x x x =--> 的最小值是2-（答：C ）； （2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______ （答：； （3）正数,x y 满足21x y +=，则y x 1 1+的最小值为______ （答：3+； 4.常用不等式有：（1 2211 a b a b +≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a 、b 、c ∈R ，222 a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； （3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m +<+（糖水的浓度问题）。 【例】如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞） 高三数学第二轮专题复习系列(6)——不等式 一、本章知识结构： 二、高考要求 （1）理解不等式的性质及其证明。 （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用。 （3）分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。 （4）掌握某些简单不等式的解法。 （5）理解不等式|a|﹣|b| ≤|a+b|≤|a| +|b|。 三、热点分析 1.重视对基础知识的考查，设问方式不断创新.重点考查四种题型：解不等式，证明不等式，涉及不等式应用题，涉及不等式的综合题，所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查，常考常新，创意不断，设问方式不断创新，图表信息题，多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯，值得引起我们的关注. 2.突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重要的工具，不等式与函数既是知识的结合点，又是数学知识与数学方法的交汇点，因而在历年高考题中始终是重中之重.在全面考查函数与不等式基础知识的同时，将不等式的重点知识以及其他知识有机结合，进行综合考查，强调知识的综合和知识的内在联系，加大数学思想方法的考查力度，是高考对不等式考查的又一新特点. 3.加大推理、论证能力的考查力度，充分体现由知识立意向能力立意转变的命题方向.由于代数推理没有几何图形作依托，因而更能检测出学生抽象思维能力的层次.这类代数推理问题常以高中代数的主体内容——函数、方程、不等式、数列及其交叉综合部分为知识背景，并与高等数学知识及思想方法相衔接，立意新颖，抽象程度高，有利于高考选拔功能的充分发挥.对不等式的考查更能体现出高观点、低设问、深入浅出的特点，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的 高三数学一轮复习——10.4 基本不等式 一、 课标要求： 1.解基本不等式及成立条件. 2.能应用基本不等式判断大小求最值. 3.应用基本不等式解决实际问题和综合问题. 二、 重难点: 1. 重点:正确应用基本不等式进行判断和计算. 2. 难点:基本不等式的变形应用. 三、 教学方法: 以启发引导,探索发现为主导.讲解练习为主线.用一题多解,一题多变突出重点,突破难点.以综合应用提高分析解 决问题的能力,培养创新能力. 四、 教学过程: (一)、学情评估,导入新课: 1.下列不等式中不一定成立的是( ) A . 222a b ab +≥ B.222()a b a b +≥- C.12a a +≥ D.2212a a +≥ 2.0,0,2m n m n >>+=，则mn 的最大值为 。 3.0,0x y >>，且191x y +=，则x y +最小值是 。 (二)、探求、归纳知识体系： 1. 基本不等式：① 222a b ab +≥（,a b R ∈x y =） ②a b +≥(0,0)a b >> ③2b a a b +≥ (0)ab > 变形：①222()22a b a b ab ++≤≤ 2a b +≤≤(,)a b R ∈ 2.基本不等式与最值：若,x y R +∈ ①和定积最大：若x y s +=，则2 4 s xy ≤ （当且仅当x y =时“=”成立） ②积定和最小：若xy p =，则x y +≥（当且仅当x y =时“=”成立） 注意一：要用此结论需满足三个条件：① ② ③ 简称：一正二定三相等 注意二：条件不足时可通过拆分与配凑创设条件。 （三）基本不等式的应用： 例一：设0,0x y >>，且440x y +=，求lg lg x y +的最值 变式训练①.若221x y +=，求(1)(1)xy xy -+的最小值。 （变形应用）②.函数y =的最大值为 。 例二：①若0x >，求12()3f x x x = +的最小值。 ②若0x <，求12()3f x x x = +的最大值。 归纳：1(0)y x x x =+≠的值域是什么？ 变式训练二:①求4()3lg lg f x x x =++ ，(1)x >的最小值。 （变形应用）②求14245y x x =-+ -，5()4 x <的最小值。 （对比应用）③若12x ≤≤，则1x x - 的最大值为 。基本(均值不等式)不等式知识点基础练习
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