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量子力学讲义第五章

第五章中心力场

§5.1 中心力场中粒子运动的一般性质

一、角动量守恒与径向方程

设质量为μ的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：

2??()2p H V r μ=+ 22

()2V r μ

=-?+ ，

与经典力学中一样，角动量 l r p =? 也是守恒量，即

?0l t

?=?

??[,]0l H = 2

22221?()22l H r V r r r r r

μμ????=-++ ????? 2,0z l l ??=????

； 2?,0l H ??=???? ； (

)

2?,,z H l l

构成力学量完全集，存在共同本征态；定态薛定谔(能量本征方程)：2

1()22l r V r E r r r r ψψμμ????????-++= ?????????

上式左边第二项称为离心势能，第一项称为径向动能算符。

取ψ为 ()

2,,z H l l 共同本征态，即：()()(),,,l lm

r R r Y ψθ?θ?= (),lm Y θ?是()

,z l l

共同本征态：0,1,2,...l =，0,1,2,...,m l =±±± 分离变量：()()2222

2120l l l E V l l d d R R R r dr dr r μ-+??

++-= ???

径向方程可写为：()()2222

2()120l l l E V r l l dR d R R dr r dr r μ-+??

++-=????

，0,1,2,...l = (1) 为求解径向方程，引入变换：()

()l l r R r r

χ=

；

径向方程简化为：()()2

222

2()10l l E V r l l d dr r μχχ-+??+-=???

? (2) 不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数R l (r )或χl (r )，它们由中心势V (r )的性质决定。一般而言，中心力场中粒子的能级是2l +1重简并的。

在一定边条件下求解径向方程(1)或(2)，即可得出能量本征值E 。对于非束缚态，E 是连续变化的。对于束缚态，则E 取离散值。在求解径向方程时，由于束缚态边条件，将出现径向量子数n r ，

二、径向波函数在r →0邻域的渐近行为：

()()2

222222()120l l l r E V r l l dR d R R dr r dr r r μ??-+++-=????

假定V (r )满足：2

lim ()0r r V r →=

薛定谔方程在0r →邻域表示为：

()222120l l l l l dR d R R dr r dr r

++-=； (3) 在正则奇点r =0邻域，设()s l R r r ∝，代入(3)式，得：

222(1)2(1)0s s s s s r sr l l r ----+-+=；

?(1)(1)s s l l +=+

解出：1s l =，或2(1)s l =-+，即当r →0时,1l R r ∝或(1)2l R r -+∝

根据波函数平方可积条件，因此要求：r →0时，l l R r ∝的解才是物理上可以接受的。或等价地，要求径向方程(2)的解()()l r rR r χ=满足 0

lim ()0l r r χ→=

三、两体问题化为单体问题

两个质量分别为m 1和m 2的粒子，相互作用12()V r r -

只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程为：

22221212121212

[()](,)(,)22T V r r r r E r r m m -?-?+-ψ=ψ (5) E T 为体系的总能量。引入质心坐标R 和相对坐标r

1122

m r m r R m m +=+

12r r r =-

可以证明

2222

12121111R m m M μ

?+?=?+? 其中12M m m =+——体系的总质量，12

m m m m μ=

+——约化质量或折合质量

22222

22R

X Y Z ????=++???，2222

222x y z

????=++???（对两个粒子坐标的微商变换成对相对坐标和质心坐标的微商）

二粒子体系的能量本征方程(5)化为：

2222[()]22R T V r E M μ

-?-?+ψ=ψ (6) 此方程可分离变量，令

()()R r φψψ=

代入(6)式，得

22()()2R C R E R M

φφ-?=

(7) 22[()]()()2V r r E r ψψμ

-?+= T C E E E =- (8) 式(7)描述质心运动，是能量为E C 的自由粒子的能量本征方程，E C 是质心运动能量。即质心按能量为E C 的自由粒子的方式运动，),,(Z Y X φ就是平面波。这没有提供与体系内部状态有关的任何信息。式(8)描述相对运动，E 是相对运动能量。可以看出式(8)与单粒子能量本征方程(4)形式上相同，只不过应把m 理解为约化质量，E 理解为相对运动能量。

§5.4 氢原子

氢原子的原子核是一个质子，带电+e ，在它的周围有一个电子绕着它运动)10~(8cm r -。它与电子的库仑吸引能为（取无穷远为势能零点）

()e V r r

这是一个两体问题。

按5.1节(8)式，具有一定角动量的氢原子的径向波函数()()l l r rR r χ=满足下列方程：

()22222120l l l l d e E dr r r μχχ??+??++-=?? ?????

(1) 及边条件 (0)0l χ= 式中μ为电子的约化质量，e p e p

m m m m μ=

+，m e 和m p 分别为电子和质子的质量。书本采用自然单位，即在

计算过程中令1e μ=== ，而在计算所得的最后结果中按各物理量的量纲添上相应的单位。

()22222

120l l l l d e E dr r r μχχ??

+??++-=?? ?????

(1) r =0,∞是微分方程的两个奇点。

r →0时，()2

10l l l l d dr r

χχ+-=；1()l l r r χ+∝，或()l l r r χ-∝ 只有()()l r rR r χ=→0是满足要求的，所以r →0，1()l l r r χ+∝

r →∞时，22220l l d E

dr μχχ+=

，考虑束缚态，E <0

()r l r e βχ±∝，β=

，考虑到平方可积性，()r l r e βχ-∝；

试探解为：1()()l r l l r r e u r βχ+-=，代入径向薛定谔方程，并化简：

()()22()212()21()0l l l me ru r l r u r l u r ββ??'''++--+-=????????

变量变换：2r ξβ=，

得到：[]222

22(1)10d u du me l l u d d ξξξξβ??

++--+-=????

（合流超几何方程）即径向薛定谔方程化为合流超几何方程，合流超几何方程的一般形式：

()220d u du

u d d ξγξαξξ

+--=，参数：2(1)2l γ=+≥，2

1me l αβ=+- ；

解的一般形式：(),,u F αγξ=()()211...12!ααα

ξξγγγ+=++++b ννν

ξ=∑，

()()()()()()1111121!

b ναααανγγγγνν++???+-=

++???+-， ν→∞时，11b b ννν+→，无穷级数解：(),,F e ξ

αγξ→发散

（2r ξβ=可以趋于无穷大）；为获得收敛解，级数必须中断为有限项；由解的一般形式，

0,1,2,...α=--即可满足中断条件；即：2

1me l αβ=+-

r n =-，0,1,2,...r n = 2

1r me l n β=++

n =， 0,1,2,...l =，0,1,2,...r n =，1,2,...n = 即：2

222me n β??= ???

，2

2n m E β= 2424m e n = ；一、氢原子的能级

氢原子的能量本征值：4221

2n e E n μ=- 22

12e a n

=-， (2) 玻尔半径：2

a e

μ= 0.53o

A =，主量子数：n ，二、氢原子的波函数

与E n 相应的径向波函数()

()l l r R r r

χ=

可表示为

/2(,22,)l nl r R e F n l ξξξ-∝-+ 归一化的径向波函数为

()/2()1,22,2l nl nl R r N e F n l l ξξξ-=-+++，2r na

ξ=

)3/2

3/202l nl n N a β+=

[]

20()1nl R r r dr ∞

氢原子的束缚态能量本征函数为

),()(),,(?θ?θψlm nl nlm Y r R r =

,3,2,1=n ；1,,2,1,0-=n l ；l m ±±±=,,2,1,0 。

定态波函数),()(),,(?θ?θψlm nl nlm Y r R r =是氢原子体系H ?、2?

l 和?z

l 的共同本征函数。 22??(,,)(1)(,,)?n nlm nlm z H E l r l l r m l ψθ?ψθ??????=+???????

能级简并度

电子的能级n E 只与主量子数n 有关，而波函数nlm ψ却与三个量子数n ，l ，m 有关，因此能级n E 是简并的（1=n 除外）。给定n ，l 可能1,,2,1,0-n 共n 个；给定l ，m 可取l ±±±,,2,1,0 共

)12(+l 个。因此，对应于第n 个能级n E 的波函数就有

]

1)1(2[1)12(n n n l n l =+-+=

+∑-=

个，也就是说，电子的第n 个能级是2

n 度简并的。例1、设氢原子处于状态 1232112100101322111006

1),,(--+

Y R Y R Y R r ψψψ?θψ

求氢原子能量、角动量平方、角动量z 分量的可能值及其几率，并求其平均值。三、氢原子核外电子的几率分布

当氢原子处于ψnlm 态时，在),,(?θr 点周围的体积元?θθτd drd r d sin 2

=内发现电子的几率为

(,,)(,,)nlm nlm nlm nlm dW r d r d d ρθ?τψθ?τψψτ===

人们常常形象地把这个几率分布叫做“几率云”或“电子云” 1、在(r , r +d r )球壳中找到电子的几率——径向分布

()()sin nl dW r r dr r drd d ππ

ρψθθ?==

==π

?θθ?θθ0

sin sin d d Y dr r R d drd r Y R lm nl lm nl

dr r r R nl 22)(=2()nl r dr χ=

即，2

2()()nl nl r R r r ρ=称为径向几率密度或径向分布函数。

使()nl r ρ取最大值的半径称为最可几半径。

例子：氢原子处于基态0010100Y R =ψ，求最可几半径。解： 0222

1010

a r R r e a ρ-==

令

0d dr

ρ= 000222210333

00000

8248(1)0r

a a a d r r r r

e e e dr a a a a a ρ---=-=-= ?∞=,,00a r

经检验0a r =时)(r nl ω为最大值所以0a r =是最可几半径讨论：

<1>、旧量子论与量子力学（关于描述氢原子核外电子分布问题的区别和联系）

不同之处：电子在核外作轨道运动由于电子的波粒二象性使轨道概念失去了意义，氢原子核外电子是以几率分布的形式出现。

联系之处：当氢原子处于1s ,2p ,3d ,? 态时，旧量子论认为电子运动的轨道半径分别为,4,9a a a ，而量子力学计算的结果表明，当r 分别为a , 4a , 9a 时找到电子的几率最大。对于l ≠n -1态很难找到相似之处。

<2>、氢原子的第一玻尔轨道半径2

a e

μ= ，从量子力学几率分布的观点解释a 的物理意义，并与玻尔的旧量子论的解释相比较：

当氢原子处于1s 态时，在r =a 处找到电子的几率最大，在r a 的区域仍有电子分布，只不过几率较小而已。而玻尔的旧量子论却认为当氢原子处于1s 态时，核外电子绕原子核作轨道运动，其轨道半径为a 。显然这两种图象是截然不同的。

2、在(,)θ?方向的立体角?θθd d d sin =Ω中找到电子的几率——角向分布 2

(,)()(,)lm nl lm r dW d R r Y r drd ρθ?θ?∞

()(,)lm lm Y ρθθ?= ——角向几率分布 ?θ?θim m

l lm lm e P N Y )(cos ),(=

)(cos θm

l lm

P N

可见，角分布与?无关，即几率分布对z 轴是旋转对称的。四、类氢离子

以上结果对于类氢离子（He +，Li ++，Be +++等，这些离子的原子核外，只有一个电子）也都适用。但需把核电荷+e 换为+Ze （Z 是核所带正电荷数），而μ换为相应的约化质量。特别是类氢离子的能级公式为

2n e Z E n

μ=- ，1,2,3,n =

量子力学第五章习题

第五章微扰理论 5.1 如果类氢原子的核不是点电荷,而是半径为0r ,电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。解: 这种分布只对0r r <的区域有影响, 对0r r ≥的区域无影响. 根据题意知 ()()0 ?H U r U r '=- 其中()0U r 是不考虑这种效应的势能分布, 即 ()2004ze U r r πε=- ()U r 为考虑这种效应后的势能分布, 在0r r ≥的区域为 ()2 04ze U r r πε=- 在0r r <的区域, ()U r 可由下式 ()r U r e Edr ∞ =-? 其中电场为 () () 3023300000201 4,443434Ze Ze r r r r r r r E Ze r r r ππεπεππε?=≤?? =? ?>? ? 则有: ()()()() 2 2 3 2 000 22222 2200 033000000 1443848r r r r r r U r e Edr e Edr Ze Ze rdr dr r r Ze Ze Ze r r r r r r r r r πεπεπεπεπε∞ ∞ =--=- - =---=--≤??? ? 因此有微扰哈密顿量为 ()()()() 222 200300 031?220s s Ze r Ze r r r r r H U r U r r r ???--+ ≤? ?'=-=????>? 其中s e =类氢原子基态的一级波函数为 ()( 32 10010000032 02exp 2Zr a R Y Z a Zr a Z e a ψ-==-?=?? 按定态微扰论公式,基态的一级能量修正值为 ()()()0 0*0011 11 100100 3 2222222000000?1 31sin 4422Zr r a s s E H H d Z e Ze Z r d d e r dr a r r r ππψψτ?θθπ -''==??????=--+?? ? ????????? ? ???

量子力学知识点小结(良心出品必属精品)

第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说：表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=hν。表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。 ⒑爱因斯坦光量子假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出

现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理：当光射到金属表面上时，能量为 E= h ν 的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v 0：由上式明显看出，当h ν- W 0 ≤0时，即ν≤ν0 = W 0 / h 时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X 光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h 在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性 ⒘与运动粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。 ???? ? ???? ======n k h k n h P h E λππλων2 ,2

高等量子力学习题汇总

第一章 1、简述量子力学基本原理。答：QM 原理一描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为：求证：答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2

量子力学周世勋习题解答第五章范文

第五章习题解 5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 r ze r U 02 4πε- =）（ )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 02 4)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r Edr e r U )( ??? ????≥≤=??=)( 4 )( ,4344102 00300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 由于0r 很小，所以)(2??022)0(r U H H +?-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Z e a Z 02/130 3) 0(1)(-=πψ）

量子力学讲义第五章

第五章中心力场 §5.1 中心力场中粒子运动的一般性质一、角动量守恒与径向方程设质量为μ的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为： 2??()2p H V r μ=+ 22 ()2V r μ =-?+ ，与经典力学中一样，角动量 l r p =? 也是守恒量，即 ?0l t ?=? ??[,]0l H = 2 22221?()22l H r V r r r r r μμ????=-++ ????? 2,0z l l ??=???? ； 2?,0l H ??=???? ； ( ) 2?,,z H l l 构成力学量完全集，存在共同本征态；定态薛定谔(能量本征方程)：2 22 22 1()22l r V r E r r r r ψψμμ????????-++= ????????? 上式左边第二项称为离心势能，第一项称为径向动能算符。取ψ为 () 2,,z H l l 共同本征态，即：()()(),,,l lm r R r Y ψθ?θ?= (),lm Y θ?是() 2 ,z l l 共同本征态：0,1,2,...l =，0,1,2,...,m l =±±± 分离变量：()()2222 2120l l l E V l l d d R R R r dr dr r μ-+?? ++-= ??? 径向方程可写为：()()2222 2()120l l l E V r l l dR d R R dr r dr r μ-+?? ++-=???? ，0,1,2,...l = (1) 为求解径向方程，引入变换：() ()l l r R r r χ= ；径向方程简化为：()()2 222 2()10l l E V r l l d dr r μχχ-+??+-=??? ? (2) 不同的中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数R l (r )或χl (r )，它们由中心势V (r )的性质决定。一般而言，中心力场中粒子的能级是2l +1重简并的。在一定边条件下求解径向方程(1)或(2)，即可得出能量本征值E 。对于非束缚态，E 是连续变化的。对于束缚态，则E 取离散值。在求解径向方程时，由于束缚态边条件，将出现径向量子数n r ，

量子力学习题解答-第5章

第五章全同粒子本章主要内容概要 1. 全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子称为全同粒子。在一个量子体系中全同粒子是不可区分的，两全同粒子相互交换不会引起物理性质的改变（全同性原理）。所有的微观粒子可以分为两类：波色子和费米子。所有自旋为整数倍的粒子称为波色子，而所有自旋为/2 奇数倍的粒子称为费米子。由费米子组成的量子体系，不能有两个或两个以上的费米子处于同一个状态（泡利不相容原理），体系的波函数在交换任意两个费米子时是反对称的。对由波色子组成的量子体系，则不受泡利不相容原理的限制，两个或两个以上的波色子可以处于同一个状态，体系的波函数在交换任意两个波色子时是对称的。如果体系的波函数可以由归一化的单粒子波函数()i q αφ的积表示，其中i 表示不同的单粒子态，q α表示第α个粒子的量子数（包括空间与自旋），则由N 个费米子组成体系的反对称波函数可以用N 阶行列式表示为 12121212() ()()()()()(,,...,,...,)()()() i i i N j j j N A N k k k N q q q q q q q q q q q q q αφφφφφφΦ= 交换任何两个粒子就是交换行列式中的两列，这使行列式改变符号，即波函数A Φ在交换两粒子时是反对称的。当任两粒子处于相同状态，即行列式中两行相同，行列式为零，表示不能有两个或两个以上的费米子处于同一个状态。对由N 个波色子组成的体系，体系的对称波函数可以表示为 1212(,,...,,...,)()()...()A N i j k N P q q q q C P q q q αφφφΦ=∑ 其中P 表示N 个粒子在波函数中的某一种排列，P ∑表示对所有可能排列求和，由于波色子可以处于相同的状态，,,...,i j k 可以相等，C 是归一化常数为求和的项数，,,...,i j k 完全相等时为1 ，全不相等时为1/ 2.交换力：以两粒子体系为例，若体系的波函数可以表示为空间部分和自旋部分之积，对称和反对称的空间波函数为 121212(,)()()()()]a b b a x x x x x x ψψψψψ±=± 这种波函数对称化的要求会使两粒子间出现一种力的作用，称为交换力。对对称空间波函数这个力是吸引力，倾向于把两粒子拉近；对反对称空间波函数，这个力是排斥力，倾向于让两粒子相互远离。固体中属于不同原子的两个电子组成的共价键可以由这种力解释，两电子体系的波函数是反对称的，当两个电子的自旋波函数为反对称的自旋单态时，空间波函数必是对称的，所以这种状态下的两个电子倾向于相互靠近，形成共价键。 3. 元素周期表：原子中一个单粒子态(),,n l m 称之为轨道，因为电子是费米子，受到泡利不相容原理的制约，一个轨道上只能有两个电子（一个自旋向上，一个自旋向下）。当原子处于基态时，电子将从最低能态开始依据洪特定则依次填充。1n =这个壳层能容纳两个电子，2n =壳层能容纳8个，3n =容纳18个，第n 个壳层可以容纳2 2n 个电子。（洪特第一定则：在其它量都相同时，总自旋（S ）取最大值的状态的能量最低。第二定则：当

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研究生课程教学大纲高等量子力学一、课程编码：21-070200-B01-17 课内学时： 64 学分： 4 二、适用学科专业：理学，工学三、先修课程：数理方法，理论力学，电动力学，量子力学，热力学统计物理四、教学目标通过本课程的学习，使研究生掌握希尔伯特空间，量子力学基本理论框架，了解狄拉克方程，量子力学中的对称性与守恒定律，二次量子化等理论知识，提升在微观体系中运用量子力学的基本能力。五、教学方式：课堂讲授六、主要内容及学时分配 1 希尔伯特空间10学时 1.1 矢量空间 1.2 算符 1.3 本征矢量和本征值 1.4 表象理论 1.5 矢量空间的直和与直积 2 量子力学基本理论框架20学时 2.1 量子力学基本原理 2.2 位置表象和动量表象 2.3 角动量算符和角动量表象 2.4 运动方程 2.5 谐振子的相干态 2.6 密度算符 3 狄拉克方程 6学时 4 量子力学中的对称性 5学时 5 角动量理论简介 5学时 6 二次量子化方法16学时 6.1 二次量子化 6.2 费米子 6.3 玻色子复习 2学时七、考核与成绩评定：以百分制衡量。成绩评定依据: 平时作业成绩占30%，期末笔试成绩占70%。八、参考书及学生必读参考资料 1. 喀兴林，《高等量子力学》，.[M]北京：高等教育出版社，2001 2. Franz Schwabl,《Advanced Quantum Mechanics》，.[M]北京：世界图书出版公司：2012 3. 曾谨言，《量子力学》，.[M]北京：科学出版社：第五版2014或第四版2007 4. https://www.wendangku.net/doc/8a16308718.html,ndau, M.E.Lifshitz，《Quantum Mechanics (Non-reativistic Theory)》，.[M]北京：世界图书出版公司：1999 5. 倪光炯，《高等量子力学》，. [M]上海：复旦大学出版社：2005 九、大纲撰写人：曾天海

量子力学(周世勋)课后答案-第五章

量子力学课后习题详解第五章微扰理论 5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。解：类氢原子如果核是点电荷，核外电子运动的哈密顿量为 00 ??()H T U r =+ 其中，)(0r U 为点电荷库伦势的势能，即 2004ze U r r πε=-（）在小球核电荷分布情况下，核外电子运动的哈密顿量为 ??()H T U r =+ 球对称核电荷分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响，即在0r r ≥区域， 2 00()()4Ze U r U r r πε=-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r Edr e r U )( ??? ????≥≤=??=)( 4 )( ,4344102003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82203 020022 203002r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ 将哈密顿算符形式改写为 0???H H H '=+

得 ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 由于通常0r 相对于电子的典型（平均）运动半径（玻尔半径）很小，所以，可以认为(0)??H H '<<，视为一种微扰。对于基态r a Z e a Z 02/1303) 0(1)(-=πψ，2422(0)12 22e s s m Z e Z e E a =-=-由?H '引起的一级修正为 ?∞ '=τψψd H E )0(1 * )0(1)1(1? ? -+--=0 00 2 2022203 023 3 4]4)3(8[r r a Z dr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ 由于 00r r a ≤<<，故10 2≈-r a Z e 。 ∴ ? ? +--=0 3 02 40 4 2 20 3 3002 4)1(1 )3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z E πεπε 20 30024505 030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 2 3002410r a e Z πε= 2 03 2452r a e Z s = 422222(1)(0)201 1 032 000 22//1525s s Z e Z e Z r E E r a a a == # 5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε 中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。解：取ε 的方向为Z 轴建立坐标系，则转子的能量包括转动动能和电偶极矩在电场中的势能，哈密顿算符为 θεεcos ?212??22D L I D I L H -=?-= 取θεcos ? ,?21?2)0(D H L I H -='=，则 H H H '+=???)0(

量子力学-第四版-卷一-(曾谨言-著)习题答案第5章-1

第五章：对称性及守恒定律 P248设粒子的哈密顿量为 )(2??2r V p H +=μ 。（１）证明 V r p p r dt d ??-=? μ/)(2。（２）证明：对于定态 V r T ??=2 （证明）（１）z y x p z p y p x p r ??????++=? ，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]?,??[1)??(H p r i p r dt d ?=? ]?,??[H p r =? =)],z y （２） ?[r ? x x x x p x p p x p p x ?????]?,??[23 2-= x x x x x x p x p p x p p x p p x ???????????22 23-+-= x x x x x p p x p p p x ?]?,?[??]?,?[2+= 222?2??x x x p i p i p i =+= （４） ],?[?????????????],??[V p x p V x V p x p x V V p x V p x x x x x x x =-=-=

x V x i ??=?? （５）将（４）（５）代入（３），得： }{)???(]?,??[222z V z y V y x V x i p p p i H p r z y x ??+??+??+++=? μ }?{2V r p i ??+= μ 代入（１），证得题给公式： V r p p r dt d ??-=? μ 2?)( （６）的平均值，按前述习题２的结论，其则=?p r dt d 由前式 P249 ）（２）库仑场 T V 2-= （３）T V n Cr V n 2,== （解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场用直角坐标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）： ∑=ijk k j i ijk z y x C z y x V ),,( （１）

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量子计算机中的量子力学 ——量子力学理论在现代科技中的应用 06级物理学2班张洪（40606085）从1946年第一台计算机诞生以来，其在冯·诺依曼体系结构上已经走过了60余年，其采用Alan Turing 于1936年提出的图灵机模型为计算模型。但随着科学的不断发展，以及计算机制造工艺的不断进步，计算机的尺寸也越来越小，其集成度也越来越高。按照摩尔定律，计算机芯片的集成度不久将达到原子分子量级，但是当电子器件小到原子分子量级的时候，这便受到了量子效应的干扰，这便把量子力学引入了计算机。物理学家Feynman 于1982年提出量子计算机的概念，并指出量子计算机在速度上对于传统计算机可能有本质的超越。所谓量子计算机，是指利用处于多现实态下的原子进行运算的计算机。某种条件下，原子世界存在着多现实态，即原子和亚原子粒子可以同时存在于此处和彼处，可以同时表现出高速和低速，可以同时向上和向下运动。如果用这些不同原子状态分别代表不同的数字或数据，就可以利用一组具有不同潜在状态组合的原子，在同一时间对某一问题的所有答案进行探寻，就可以使代表正确答案的组合快速脱颖而出。量子计算机的存储原理传统计算机信息系统采用物理上最容易实现的二进制数据位存储数据或程序，每一个二进制数据位由0或1表示，成为一个比特（bit ）或位，以其作为最小的信息单元。在传统计算机中，每一个数据位要么是0，要么是1，二者必取其一。而量子计算机是根据物理系统的量子力学性质和规律执行计算任务的装置，其计算方式是量子计算。在量子计算机中，量子位（量子计算机的数据位）可以是0或者1，也可以是0和1的任何线性叠加它以一定的概率存在于0和1之间。为了便于量子系统的表示和运算，狄拉克提出用符号|x>来表示量子态，|x>是一个列向量，称为右矢；其共轭转置用ψ |描述，可表示为↓>+↑>>=|||b a ψ，式中↑>|和↓>|表示量子位的基向量，在量子计算中一般表示为>0 |和>1|；它们相互正交，a 和b 称为概率幅, 皆为复数；2a 和2b 分别表示>ψ|为>0|和>1|的概率，且1a 22=+b 。在传统计算机中, 一个数据位的值是确定性的, 而在量子计算机中, 量子位的叠加态不是确定性的, 而是概率性的。从另一个角度讲，在传统计算机里，一个二进制位只能存储一个数据，；而在量子计算机里，一个量子位可以同时存储两个数据。从而大大提高了计算机的存储能力。

量子力学习题钱

量子力学习题第一章绪论 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长λm 与温度T 成反比，即 λm T=b (常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 1.2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 1.3 氦原子的动能是E=3kT/2（k 为玻耳兹曼常数），求T =1K 时，氦原子的德布罗意波长。 1.4 利用玻尔－索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场H =10特斯拉，玻尔磁子M B =9×10-24焦耳/特斯拉，试计算动能的量子化间隔?E ，并与T =4K 及T =100K 的热运动能量相比较。 1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？第二章波函数和薛定谔方程 2.1 由下列两定态波函数计算几率流密度： (1) ψ1=e ikr /r , (2) ψ2=e -ikr /r . 从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波，ψ2表示向内（即向原点）传播的球面波。 2.2 一粒子在一维势场 a x a x x x U >≤≤?? ?>=, 0, 0)(0 中运动，求束缚态(0

《高等量子力学》课程教学大纲

《高等量子力学》课程教学大纲课程编号: 1352001-04 课程名称：高等量子力学英文名称：Advanced Quantum Mechanics 课程类型: 课程群（平台课、模块课、课程群）开课学期：第一学期课内学时：80学时讲课学时：72 实验学时：学分：4 教学方式：课堂讲授及课外作业练习适用对象: 凝聚态物理、理论物理、粒子与原子核、光学、生物物理考核方式：闭卷考试预修课程：大学物理、热力学与统计物理、数学物理方法、理论力学、电动力学、（初等）量子力学后续课程：量子场论开课单位：郑州大学物理工程学院一、课程性质和教学目标课程性质：本课程为凝聚态物理、理论物理、粒子与原子核等专业硕士研究生必修课。教学目标：本课程的目的是通过《高等量子力学》课堂授课、课外作业练习及考试，能够使有关学科的研究生系统了解该课程的基本概念、发展历史，掌握其主要内容与研究方法，为学生以后的学习和研究奠定坚实的理论基础，以及学生毕业后应能胜任高等院校、科研机构等部门与物理相关专业的教学、科研、技术等工作，或者为学生继续深造、攻读博士学位等奠定理论知识基础。本课程的目标主要为凝聚态物理、理论物理、粒子与原子核等专业的深入研究进行理论准备。凝聚态物理是研究由大量微观粒子组成的凝聚态物质的宏观、微观结构和粒子运动规律、动力学过程、彼此间的相互作用及其与材料的物理性质之间关系的一门学科，是一门以物理学各个分支学科、数学

量子力学第五章对称性及守恒定律

第五章：对称性及守恒定律［１］证明力学量A ?（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]?],?,?[[2 2 2 H H A A dt d -= （H ?是哈密顿量）（解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量A ? 不显含t ，有 ]? ,?[1H A i dt A d = （１）将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量 ]? ,?[1H A i 的平均值，则有： ]? ],?,?[[1]?],?,?[1[12 22H H A H H A i i dt A d -== （２）此式遍乘2 即得待证式。［２］证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。（证明）设A ?是个不含t 的物理量，ψ是能量H ?的公立的本征态之一，求A ?在ψ态中的平均值，有： ???=τ τψψd A A ?* 将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1）（１）今ψ代表H ?的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H =? （E 为本征值）（２）又因为H ?是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积公存在） τψψτψψτ d A H d A H ??????=)?(*)?()~ (?* （３）（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量）（２）（３）代入（１）得：

τψψτψψd A H i d H A i dt A d )?(*)?(1)?(?*1??????-= ??????-= τψψτψψd A i E d A i E ?**?* 因*E E =，而0=dt A d ［３］设粒子的哈密顿量为 )(2??2r V p H +=μ 。（１）证明 V r p p r dt d ??-=? μ/)(2。（２）证明：对于定态 V r T ??=2 （证明）（１）z y x p z p y p x p r ??????++=? ，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]?,??[1)??(H p r i p r dt d ?=? )],,(?21,??????[]?,??[2z y x V p p z p y p x H p r z y x +++=?μ )],,()???(21 ,??????[222z y x V p p p p z p y p x z y x z y x +++++=μ )],,(,[21 ],??????[2 2 2 z y x V zp yp xp p p p p z p y p x z y x z y x z y x +++++++=μ （２）分动量算符仅与一个座标有关，例如x i p x ?? = ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成： ]?,??[21]?,??[21]?,??[21]?,??[222z z y y x x p p z p p y p p x H p r μ μ μ ++=? )],,(,??????[z y x V p z p y p x z y x +++ ],??[],??[],??[]?,??[21]?,??[21]?,??[212 22V p z V p y V p x p p z p p y p p x z y x z z y y x x +++++= μμμ （３）

量子力学第五章习题

第五章表象理论 5-1 试证明算符)?,?(?,?,?x x p x F p x （1）在x 表象中的表示为：x x =? ，x i p x ??-= ? ，),()?,?(?x i x F p x F x ??-= ；（2）在P 表象中的表示为：p i x ??= ? ，x x p p =? ，),()?,?(?x x p p i F p x F ??= 5-2 求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。 5-3 求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。 5-4 求连续性方程0),(=??+??j t x t ρ的矩阵表示。其中),(),(),(*t x t x t x ψψρ= ，)(2**ψψψψ?-?=m i j 5-5 设厄米算符B A ?,?满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求：（1）在A 表象中，算符B A ?,?的矩阵表示。（2）在B 表象中，算符B A ?,?的矩阵表示。（3）在A 表象中，算符B ?的本征值和本征函数。（4）在B 表象中算符A ?的本征值和本征函数。（5）由A 表象到B 表象的么正变换矩阵S 。 5-6 已知二阶矩阵A,B 满足下列关系：A A B A A AA A +==+=+ ++,1,02，试证明B B =2，并且在B 表象中求矩阵A ，B 。 5-7 证明：A AS S det )det(1=- )()(BA Tr AB Tr = )()()(B C A Tr CAB Tr ABC Tr ==，由此说明矩阵的det 及Tr 不因表象而异，或者说矩阵的本征值之和以及本征值之积不因表象而异。 5-8 设矩阵A 的本征值为),2,1(' =i A i ，令A e B =，其本征值为)2,1(' =i B i ，证明' ' i A i e B =，由此证明TrA e B =det 。 5-9 设任何一个厄米矩阵能用一个么正变换对角化。由此证明，两个厄米矩阵能用同一个么正变换对角化的充要条件是它们彼此对易。 5-10 证明若三个厄米矩阵A ，B 和C 有如下对易关系，AB=BA ，AC=CA ，BC ≠CB ，则A 的本征值必有简并。

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3.1 （做题人：韩丽芳校对人：胡相英） (好) 幺正算符也有本征矢量。证明幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数；幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。证明：设算符U 为幺正算符，ψ为其任意本征矢量，u 为对应的本征值。即 ψψu U = 则 ψψψψψψψψu u U U U U *+=== 因0≠ψψ，所以1=* u u 即 1=u 即证得幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数。设算符U 为幺正算符的两个本征值为1u 、2u ，对应的矢量分别为1ψ、2ψ，且 21u u ≠。则 111ψψu U = 11 111 ψψu U = - 222ψψu U = 22 211 ψψu U = - 因为幺正算符1-+ =U U 则有 21212121ψψψψψψu u U U *+== 212 1211ψψψψu u UU * + = = 所以 01212121=??? ? ? ?-**ψψu u u u 因为012 121≠- * * u u u u ，故021=ψψ，即 1ψ 和2ψ正交。即证得幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。 3.2 投影于某一子空间的投影算符P ，既然是厄米算符，它的本征值是什么？有无简并？本证子空间是什么？(好)

解：投影于某一子空间的投影算符∑==m i i i P 1，设全空间是n 维的，且n m <。则本征值方程 ψλψψ==∑=m i i i P 1 ⑴ 其中λ为本征值， ψ为相应的本征态。则 ψλψλψ2 2==P P ⑵ 由幺正算符等幂性P P =2 得 ψψP P =2 ⑶ 由⑴、⑵和⑶式得λλ=2 ，所以1=λ或0=λ。即求得投影算符的本征值是1或0。当1=λ时，本征失量是i ，其中m i ,2,1=。所以是简并的，本征子空间S 是由这m 个基矢构成的矢量空间。当0=λ时，本征矢量是与i 正交的矢量。所以也是简并的，本征子空间是S 空间的补空间。 # 练习3.3 证明若算符的本征值谱中有零本征值，则这个算符肯定没有逆。证明：假设算符A 有逆，则在值域中取一任意|φ>，则定义域有|ψ>存在即ψφφ- ==AA 1 已知A 的全部本征值和相应的本征矢量：i i i a A ψφ= i=1，2，3…， ∴( )ψ ψφ- - ==A a AA 算符A 存在零本征值，即00=?=φa a ∴对于任意本征矢量()ψ φa A - ≠与()ψφ -=A a 矛盾 ∴假设不成立，即算符的本征值谱中有零本征值，这个算符肯定没有逆。 # 练习3.4 根据完全性和封闭性的定义，分别证明：在n 维空间中的一个完全矢量集｛i ψ｝，（i ψ归一化但彼此不一定正交，i=1,2,3…,n ）,若从其中去掉一个矢量，例如

量子力学导论第5章答案

第五章力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 22 = - 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则[][]H C H C i dt C d i dt A d ,1,112 22 - = = = , [][]H H A A dt d ,, 2 22 = -∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态， 0=dt dA 证：束缚定态为:：()() t iE n n n e r t r -=ψψ,。在束缚定态()t r n ,ψ ，有()()()t r E t r t i t r H n n n n ,,,ψψψ=??= 。其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,**** ψ ψψ =??-= 。 ??? ? ? =n n dt dA dt dA ψψ,()?? ? ?? -??? ??-=? ?n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ? ? -??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1,1,1 - + + ??= []()()n n HA AH i H A i ψ ψ-- = ,1,1 [][]()0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ? ?? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。

高等量子力学知识总结

高等量子力学总结理论物理张四平学号：２２０１２０９２２０６１第一章希尔伯特空间 1、矢量空间，同类的许多数学对象（实数，复数，数组）在满足一定的要求下构成的系统. 三种运算：加法，数乘，内积。例：θ+ψ=ψ+θ； ψ+θ=0 即：ψ=-θ（存在逆元）（ψa ）b=ψ（ab ） ψ（a+b ）=ψa+ψb （ψ，θ）=（θ，ψ）* （ψ，θa ）=（ψ，θ）a 矢量的空间性质：零矢量唯一；逆元唯一；ψ（-1）=-ψ；（θ+ψx ）=θx+ψx ； 2、正交矢量：（ψ，θ）=0；模方：|ψ||ψ|=（ψ，ψ）； schwarts 不等式：|（ψ，ψ）|≤|ψ||ψ|；三角不等式：|ψ+θ|≤|ψ|+|θ|； 3、基矢 n 维空间中有限个矢量集合；一个线性无关的矢量的集合（完全集）；正交归一的完全集；对于同一矢量，左右因子不同，dirac 符号：<ψ|θ>=（ψ，θ）右矢量满足：|ψ>+|θ>=|θ>+|ψ>；|ψ>+|0>=|ψ>;|ψ>*1=|ψ>；（|ψ>+|θ>）*a=|ψ>a+|θ>a <ψ|θ>≥0； 4、算符：|ψ>=A|ψ>； A （|ψ>+|θ>）=A|ψ>+A|θ>；线性算符的性质：定义域是个右矢空间，值域也是个右矢空间；定义域是有限维，值域也是小于等于这个维数；零算符：0|ψ>=|0>；单位算符：I |ψ>=|ψ>；算符：A|ψ>=|θ>；逆算符：A -1 |θ>=|ψ>；<θ|==<θ|ψ> ； |U ψ|=|ψ|； 6、幺正算符：定义：U+U=UU+=I 或U+=U-1；投影算符：|ψ><ψ|（厄米算符）； 7、本证矢和本证值：A|ψi>=a|ψi> （i=1，...s ）{|ψi>}(本证子空间，s 重简并)；厄米算符A 的本证矢量：不简并的正交，S 重简并的本证矢量构成一个s 维的子空间，与其他的本证矢量正交；完全性；正交性；定理：有限维空间中，厄米算符的全部本证矢量构成一个完全集；定理：当且仅当两个厄米算符对易时，他们有一组共同的本证矢量完全集； 8、表象理论：基矢：厄米算符完备组K={P ，H ，...，}.基矢选他们共同的本证矢，K|i>=ki|i>；相似变换：存在幺正矩阵U ：B=U -1AU ，A ，B 相似.trA=trB ，detB=detU+detA ，detA=detB ；任何厄米矩阵都可以通过相似变换变成对角矩阵； L 表象：{|εi>} ∑|εi><εi|=1 K 表象：{|να>} ∑|να><να|=1 |να>= ∑|εi>Ui α |εi>= ∑|να>U αi -1 Ψα = ∑U αi -1ψi Ψi = ∑Ui α ψα A αβ=∑∑U αi -1AijUj β