高尔顿钉板试验模拟(程序)
高尔顿钉板试验模拟（程序）
...这是我2005年12的课程设计中程序的核心部分，写完后自己非常得意，等着老师表扬。等啊等，等待现在也没等到:em16:
现将它献给大家...（若有版权那遵守BSD吧）
注1：程序以前是用Matlab写的现用Java重写
注2：原程序中galton返回值为int[] grid 、没有“输出结果”部分
public void galton(int sumOfGrid, int sumOfBall){
int[] grid = new int[sumOfGrid];
int number = 0; //一个小球从顶端落下过程中向右偏移的总次数
int rand ; //随机数，取值范围为{0,1}，为0、为1的概率相等
for( int counter_ball = 1; counter_ball <= sumOfBall; counter_ball++ ){
//<核心>
// (sumOfGrid - 1)为钉板的层数
for( int times = 1; times <= ( sumOfGrid - 1 ); times++ ){
rand = (int)( Math.random()*2 );
number += rand;
}
grid[number]++;
number = 0;
//
}
//输出结果
System.out.println( "小球的总数为"+sumOfBall+"\t格子的个数为"+sumOfGrid );
for( int index = 0; index < grid.length; index++ )
System.out.println( (index+1)+"号格子中的小球数为：\t"+grid[index] );
}
}//end of metod galton
补充：(谢谢2楼提醒:-D )
高尔顿钉板试验：自板上端放入一小球, 任其自由落下.在下落过程中, 当小球碰到钉子时, 从左边落下与从右边落下的机会相等.碰到下一排钉子也是如此.自板上端放入n(n自行输入)个小球, 观察小球落下后呈现曲线并统计小球落入各个格子的频率.
高尔顿钉板试验可见《概率论》（复旦大学李贤平）
当小球数量少时分布无明显特征，当小球数量多时（>100）分布近似正态分布。（即两边对称:-D）当时为了证明服从正态分布投1千万个小球（计算机模拟:-D）
Galton Board
The Galton board, also known as a quincunx or bean machine, is a device for statistical experiments named after English scientist Sir Francis Galton. It consists of an upright board with evenly spaced nails (or pegs) driven into its upper half, where the nails are arranged in staggered order, and a lower half divided into a number of evenly-spaced rectangular slots. The front of the device is covered with a glass cover to allow viewing of both nails and slots. In the middle of the upper edge, there is a funnel into which balls can be poured, where the diameter of the balls must be much smaller than the distance between the nails. The funnel is located precisely above the central nail of the second row so that each ball, if perfectly centered, would fall vertically and directly onto the uppermost point of this nail's surface (Kozlov and Mitrofanova 2002). The figure above shows a variant of the board in which only the nails that can potentially be hit by a ball dropped from the funnel are included, leading to a triangular array instead of a rectangular one.
Each time a ball hits one of the nails, it can bounce right (or left) with some probability p（and p
q-
=1）. For symmetrically placed nails, balls will bounce left or right with equal probability, so 2/1
=q
p. If the
=
rows are numbered from 0 to 1
N, he path of each falling ball is a Bernoulli trial consisting of N steps.
-
Each ball crosses the bottom row hitting the n th peg from the left (where1
n) if it has taken
≤N
≤
0-
exactly right turns, which occurs with probability
This process therefore gives rise to a binomial distribution of in the heights of heaps of balls in the lower slots.
If the number of balls is sufficiently large and, then according to the weak law of large numbers, the distribution of the heights of the ball heaps will approximate a normal distribution.
Some care is needed to obtain these idealized results, however, as the actual distribution of balls depends on physical properties of the setup, including the elasticity of the balls (as characterized by their coefficient of restitution), the radius of the nails, and the offsets of the balls over the funnel's opening when they are dropped (Kozlov and Mitrofanova 2002).
高尔顿板与二项分布的关系的证明
高尔顿（钉）板与二项分布的关系的证明 “（人教版）选修2—3 57页探索与研究 高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子下好对准上面一排两上相邻铁钉的正中央。从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁休。如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内。 有兴趣的同学可以通过以下的问题研究高尔顿板与二项分布的关系。 1．通过高尔顿板实验课件，做1000个小球的高尔顿板试验，看一看小球在格子中的分布形状是怎样的？ 2．计算小球落入各个格子所有可能路线的数目。（提示：考虑它与杨辉三角的关系） 3．计算小球落入各个格子的概率。” 设（如图）高尔顿（钉）板有n 行钉，第n 行铁钉共有（n+2）个，两个铁钉之间一个空，则有（n+1）个空。把这（n+1）个空由左到右依次编号为i=0，1，2，…，n 共（n+1）个空。 观察i=0这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后必须连续向左落下，即连续n 次选择向左落下，所以落入第i=0个空的概率为P （i=0）=C 0n （21）n (2 1)0。 观察i=1这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n 次碰撞落下过程中，有且只有一次选择向右落下，其余都只能是向左落下，所以落入第i=1个空的概率为P （i=1）=C 1n （21）n —1(2 1)1。 猜想第i 个空，小球从这个空落下的结论是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n 次碰撞落下过程中，有i 次选择向右落下，其余都选择向左落下，所以落入第i 个空的概率为 P （i ）= C i n （21）n —i (2 1)i 。（i=0，1，2，…，n ） 现对上猜想给出证明：a n ，i = P （i ）= C i n （ 21）n —i (21)i 。（i=0，1，2，…，n ） 规定：a i ，j 表示第i 行第j （0≤j ≤n ）个空球落下的概率。 由高尔顿（钉）板可知：a 1，0=21，a 1，1=2 1 ???? ?????+===-----i 1,n 1i 1,n i n,1n 0,n 0,1,0n n,0a 21a 21a a 21a a 21a （1≤i ≤n －1，n ≥2） 用数学归纳法证明： 1． 当n=1时，已如上证。 当n=2时，a 2，0= 21 a 1，0=（21）2=C 02（21）2—0(21)0 a 2，1=21 a 1，0+21 a 1，1=21 =C 12（21）2—1(2 1)1
高尔顿钉板
高尔顿（Galton）钉板实验 一、问题描述 Galton钉板试验是英国生物统计学家Galton设计的。 在一板上钉有n排钉子，如图示，其中n=5。右图中15个圆 点表示15颗钉子，在钉子的下方有n+1个各子，分别编号为 0，1，2，…，n。从Galton钉板的上方扔进一个小球任其自 由下落，在下落的过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从 右边落下的机会相等。碰到下一排钉子时又是如此。最后落入 底板中的某一个格子，图中用一条折线显示小球下落的一条轨迹。 二、高尔顿钉板试验中的相关问题 1、小球落入各个格子中的概率与频数 做一个小球的高尔顿钉板试验，其落入第i个格子的概率正好满足二项分布。 设高尔顿钉板有n行钉，第n行铁钉共有n个，有（n+1）个空。把这（n+1）个空由左到右依次编号为i=0，1，2，…，n共（n+1）个空。 观察i=0这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后必须连续向 左落下，即连续n次选择向左落下，所以落入第i=0个空的概率为P（i=0）=C0 n （ 2 1 ）n( 2 1 )0。 观察i=1这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n次碰撞落下过程中，有且只有一次选择向右落下，其余都只能是向左落下，所以落入第i=1个空 的概率为P（i=1）=C1 n （ 2 1 ）n-1( 2 1 )1。 小球从第一次与铁钉碰撞后连续n次碰撞落下过程中，有i次选择向右落下，其余都选择向左落下，所以落入第i个空的概率为 P（i）= C i n （ 1 2 ）n-i( 2 1 )i（i=0，1，2，…，n）。 故，当一个一个从顶部放入k个小球，低槽中各格的理论频数为： h(i)=k×P(i),(i=0,1,2,…，n). 2、程序运行 基本功能 ①输入小球数k、概率p; ②计算高尔顿钉板n=4时，放入k个小球后，落入底槽各格中的实验小球数；
5-Galton钉板实验
实验五 Galton钉板实验 一、实验目的与要求 1.复习概率论中随机变量、概率分布、二项分布、均值和分布函数等概念。 2.理解Galton钉板实验中小球落入格子所服从的规律。 3.了解Matlab软件中进行动画演示的命令。 4.了解Matlab软件中计算二项分布概率、产生二项分布随机数的命令，了 解计算离散型随机变量数学期望的方式。 5.了解Matlab软件中进行随机模拟的方法。 二、问题描述 所有现象的“因”和“果”，即“条件”和“结果”之间在客观上都存在着一定的规律，这种规律通常可以分成两类：一是确定性的规律，另一类是非确定性规律。对于确定性的系统，当已知条件是充分时，那么实验的结果也是确定的，即在每一次试验进行以前，可以预见试验产生的结果。但若条件不充分时，就无法预测试验的结果，这就产生了“因果律的缺失”的随机现象。随机现象在实践中是大量遇到的，如掷骰子。虽然无法由“因”预测“果”，但是当进行大量重复试验时，因果之间仍会呈现一种统计规律。概率方法建立在“重复试验”的基础上，统计规律只有在大量重复后才会呈现出来，诸如随机变量。分布、均值、方差等概念无一不体现了重复的思想。 以下围绕着Galton钉板模型来讨论。 Galton钉板试验是由英国生物统计学家Galton设计的。在一板上有n排钉子，图1-1所示的是n＝5的情况。图中15个圆点表示15颗钉子，在钉子的下方有6个格子，分别编号为0，1，2，3，4，5。自Galton钉板的上方扔进一个小球任其自由下落，在下落的过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从右边落下的机会相等、碰到下一排钉子时又是如此。最后落入底板中的某一个格子。图中用一条折线显示小球下落的一条轨迹。 图1-1 Galton钉板模型（n＝5）
基于Matlab的Galton钉板问题
基于Matlab的Galton钉板问题 黄自力高鹏黄安康 摘要在概率论的发展过程中，最早出现的研究对象是一种计算概率的数学模型，称为古典概型。一般的说，若随机试验满足下列两个条件：（1）它的样本空间只有有限多个样本点;（2）每个样本点出现的可能性相同，称这种实验为有限等可能实验或古典概型，galton钉板实验就是其中之一。 关键词galton顶板二项分布 poisson分布 正文 在概率论的发展过程中，最早出现的研究对象 是一种计算概率的数学模型，称为古典概型。一般 的说，若随机试验满足下列两个条件：（1）它的样 本空间只有有限多个样本点;（2）每个样本点出现 的可能性相同，称这种实验为有限等可能实验或古 典概型，galton钉板实验就是其中之一。Galton 钉板试验是英国生物统计学家Galton设计的。在一板上钉有n排钉子，如图示，其中n=5。右图中15个圆点表示15颗钉子，在钉子的下方有n+1个各子，分别编号为0，1，2，…，n。从Galton钉板的上方扔进一个小球任其自由下落，在下落的过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从右边落下的机会相等。碰到下一排钉子时又是如此。最后落入底板中的某一个格子，图中用一条折线显示小球下落的一条轨迹。向Galton钉板扔进一个小球，显然不能预测小球回落到哪一个格子，如果不断重复扔进过程，将会发生什么结果呢? 关于Galton “高尔顿等人关于回归分析的先驱性的工作，以及时间序列分析方面的一些工作，…是数理统计学发展史中的重要事件.”──摘自《中国大百科全书》（数学卷）高尔顿是英国人类学家、生物统计学家.1822年2月6日生于伯明翰,1911年1月17日卒于萨里郡黑斯尔米尔. 高尔顿是生物学家达尔文的表弟.他早年在剑桥学习数学，后到伦敦攻读医学.1860年当选为皇家学会会员，1909年被封为爵士.1845—1852年深入到非
9.2-随机变量的模拟
随机变量模拟
回顾： 高尔顿钉板试验中，小球最终的位置 1n k k X =∑n Y ＝ 其中－1 1 X k p 1/2 1/2 要模拟小球的运动轨迹，首先要模拟随机变量X k ，那么如何模拟随机变量呢？
一、随机数的生成 函数名解释 rand生成（0,1）区间上均匀分布的随机数 unifrnd生成指定区间内均匀分布的随机数 randn生成服从标准正态分布的随机数 normrnd生成指定均值、标准差的正态分布随机数 exprnd生成服从指数分布的随机数 注：rand是采用线性同余法得到的，具有周期性，所以上述命令常被称为伪随机数生成器。
基本语法如下： rand(m) 生成m*m维的随机数 rand(m,n) 生成m*n维的随机数 rand([m,n,p ...]) 生成排列成m*n*p... 多维向量的随机数问题如何模拟在区间[a, b]内均匀分布随机数？ 1. a+(b-a)*rand(m, n) 2. unifrnd(a, b, m, n)
二、离散型随机变量 思考：如何利用rand 生成下列离散型随机变量? 分析：rand 是生成（0,1）上均匀分布随机数，生成数落在(0,0.5)和[0.5,1)上概率均为0.5，故可令 －1 1 X k p 1/2 1/2 ???≥<=5 .015.01rand ,rand ,-X k
参考程序：N=1000; X=rand(1,N); for i=1:N if X(i)<0.5 Y(i)=-1; else Y(i)=1; end end Y 思考：一般的离散随机变量如何模拟？
正态分布教案
正态分布教案 学院数学与计算机科学学院专业数学与计算机年级 2008级 执教者王黎玲学号 105062008020 指导老师袁智强老师 教材：人民教育出版社A版选修2-3第二章第四节 一、教学目标 二、教学重点与难点
三、教学的方法与手段 四、教学过程 【环节一：创设情境，导入新知】通过对高尔顿这位伟大的统计学家的介绍，引出高尔顿钉板实验。 教师活动：今天上新课之前我们要先来做一个实验——高尔顿顶板实验，那么实验之前老师想问同学们有谁认识高尔顿呢？ 学生预案：高尔顿？ 教师活动：看来同学们对高尔顿不是很熟悉。那么同学们认识达尔文吗？ 学生预案：知道。 教师活动：达尔文他出版的《物种起源》这一划时代的著作，提出了生物进化论学说，被恩格斯列为19世纪自然科学的三大发现之一。而高尔顿是英国著名的人类学家、 生物统计学家，他是生物统计学派的奠基人，也是著名生物学家达尔文的表弟， 正是因为达尔文《物种起源》的问世，才触动了高尔顿对生物统计学的研究，而 等等我们要进行的高尔顿钉板实验，就是高尔顿在收集统计数据时进行的的实 验。 教师活动：那么高尔顿钉板的实验原理是什么呢？首先在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面当有一块 玻璃，让一个小球从高尔顿钉板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层 小木块碰撞，最后掉入高尔顿钉板下方的某一个球槽内。 教师活动：那么小球下落后，我们就要观察每个球槽内小球的个数，因此在这之前要把球槽进行编号，以方便我们观察，然后多次重复这个实验，就可以发现掉入各个球槽 内的小球的个数，小球堆积的高度越来越高。为了更好的研究实验结果呈现的现 象，我们将结果化成频率直方图，请同学们也仔细观察频率直方图，总之整个实 验过程分三个步骤，小球下落——观察小球个数——观察频率直方图。现在我们 开始做实验。 老师演示：打开实验flash，进行演示。最后将实验300次、600次、1500次、3000次得频率直方图同时显示，让学生更好的观察。 300次 600次
高尔顿钉板
高尔顿（Galton ）钉板实验 一、问题描述 Galton 钉板试验是英国生物统计学家Galton 设计的。 在一板上钉有n 排钉子，如图示，其中n=5。右图中15个圆 点表示15颗钉子，在钉子的下方有n+1个各子，分别编号为 0，1，2，…，n 。从Galton 钉板的上方扔进一个小球任其自 由下落，在下落的过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从 右边落下的机会相等。碰到下一排钉子时又是如此。最后落入 底板中的某一个格子，图中用一条折线显示小球下落的一条轨迹。 二、高尔顿钉板试验中的相关问题 1、小球落入各个格子中的概率与频数 做一个小球的高尔顿钉板试验，其落入第i 个格子的概率正好满足二项分布。 设高尔顿钉板有n 行钉，第n 行铁钉共有n 个，有（n+1）个空。把这（n+1）个空由左到右依次编号为i=0，1，2，…，n 共（n+1）个空。 观察i=0这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后必须连续向左落下，即连续n 次选择向左落下，所以落入第i=0个空的概率为P （i=0）=C 0n （21）n (21)0。 观察i=1这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n 次碰撞落下过程中，有且只有一次选择向右落下，其余都只能是向左落下，所以落入第i=1个空的概率为P （i=1）=C 1n （21）n-1(2 1)1。 小球从第一次与铁钉碰撞后连续n 次碰撞落下过程中，有i 次选择向右落下，其余都选择向左落下，所以落入第i 个空的概率为 P （i ）= C i n （12 ）n-i (21)i （i=0，1，2，…，n ）。 故，当一个一个从顶部放入k 个小球，低槽中各格的理论频数为： h(i)=k ×P(i),(i=0,1,2,…，n). 2、程序运行 2.1 基本功能 ①输入小球数k 、概率p; ②计算高尔顿钉板n=4时，放入k 个小球后，落入底槽各格中的实验小球数；
概率实验题目
概率论第二章实验 一、验证性实验 实验一 二项分布 【实验目的】 1、通过图形来直观理解二项分布及其概率分布特点，利用图形进一步理解不同参数对二项分布的影响。 2、掌握利用随机数进行随机模拟的方法 【实验要求】 1、掌握R 中二项分布相关的命令 2、掌握R 中绘图相关命令 【实验内容】 （1）取p=0.2，绘出二项分布B(20,p)的概率分布与分布函数图，观察二项分布的概率分布与分布函数图形，理解k p 与()F x 的性质; （2）固定p=0.2，分别取n=10,20,50,在同一坐标系内绘出二项分布B(n,p)的概率分布图。观察二项分布的概率分布曲线随参数n 的变化。 实验二 泊松分布 【实验目的】 1、掌握泊松分布的一些性质，并且通过图形的对比更加形象的说明性质的特点。 2、掌握泊松分布随机数产生和相关函数。 【实验要求】 掌握泊松分布相关的R 命令，以及R 的绘图命令。 【实验内容】
分别取λ=1,2,3,6，在同一坐标系下绘出泊松分布π（λ）的概率密度曲线，观察曲线特点。你能得到什么结论？ 实验三 正态分布 【实验目的】 通过实验模拟正态分布的图形，了解正态分布中平均值、方差的直观意义，及正态分布的分布规律。 【实验要求】 掌握正态分布相关的R 命令，以及R 的绘图命令。 【实验内容】 分别单独改变平均值μ及方差σ的大小观察对图形的影响。 （1）首先改变平均值μ： 固定方差1σ=，取0,2,2μμμ==-=，分别在同一坐标系下绘出正态分布(,)N a μ的概率密度曲线以及分布函数曲线，观察参数μ对图形的影响； （2）其次改变方差σ： 固定平均值0μ=，取0.5,1,2σσσ===，分别在同一坐标系下绘出正态分布(,)N a μ的概率密度曲线以及分布函数曲线，观察参数σ对图形的影响。 实验四 二项分布的泊松逼近 【实验目的】 1、掌握二项分布和泊松分布随机数产生方法 2、通过作图理解二项分布和泊松分布之间的关系 【实验要求】 掌握R 画图的基本方法 【实验内容】 用泊松分布逼近给出二项分布B （k ；40,0.2），（k=1,2，···，40）的近似值，并与它的精确值比较。
概率论实验报告
概率论试验报告 试验一：随机掷硬币 1、模拟掷一枚硬币的随机试验（可用0——1随机数来模拟试验结果），取 n=100，模拟掷n次硬币的随机试验。记录试验结果，观察样本空间的确定性及每次试验结果的偶然性，统计正面出现的次数，并计算正面的出现的频率；试验结果如下： 测试中出现零代表正面，出现一代表反面，其中共计50次正面50次反面。 2、取试验次数n=1000，将过程（1）重复三次，比较三次试验结果 试验结果如下
3、三次结果分别是0.501,0.503,0.521 。这充分说明模拟情况接近真实情况，频率接近概率0.5。 试验二：高尔顿钉板试验 1、自高尔顿钉板上端放一个小球, 任其自由下落. 在其下落过程中，当小球碰到钉子时从左边落下的概率为p , 从右边落下的概率为,1p -碰到下一排钉子又是如此, 最后落到底板中的某一格子. 因此任意放入一球, 则此球落入哪个格子事先难以确定. 设横排共有20=m 排钉子, 下面进行模拟实验: (1) 取,5.0=p 自板上端放入一个小球, 观察小球落下的位置; 将该实验重复作5次, 观察5次实验结果的共性及每次实验结果的偶然性; (2) 分别取,85.0,5.0,15.0=p 自板上端放入n 个小球, 取,5000=n 观察n 个小球落下后呈现的曲线 我们分析可知，这是一个经典的古典概型试验问题 2、具体程序：
3、我们分析实验结果可知，若小球碰钉子后从两边落下的概率发生变化, 则高尔顿钉板实验中小球落入各个格子的频数发生变化, 从而频率也相应地发生变化. 而且, 当,5.0 p曲线峰值的格子位置向右偏; 当 > p曲线峰值的格子位置向左偏。 ,5.0 < 试验三：抽签试验 1、我们做模拟实验，用1-10的随机整数来模拟实验结果。在1-10十个随机数中，假设10代表抽到大王，将这十个数进行全排，10出现在哪个位置，就代表该位置上的人摸到大王。 每次随机排列1-10共10个数，10所在的位置随机变化，分别输出模拟实验10次, 100次,1000次的结果, 将实验结果进行统计分析, 给出分析结果。
Galton钉板实验
Galton钉板实验 一、实验内容 某车间有200台车床互相独立的工作，由于经常需要检修、测量、调换刀具等种种原因需要停车，这使每台车床的开工率只有60％。而每台车床在开动时需耗电1kW，显然向该车间供电 200kW可以保证有足够电力供这些车床使用，但是在电力比较紧张的情况下，给这个车间供给电力太多将造成浪费，太少又影响生产。如何解决这一矛盾？ 一种解决方案是保证有基本足够的电力供应该车间，比如要求在8小时的生产过程中允许有半分钟的电力不足，半分钟约占8小时的0.1％，用概率论的语言就是：应供应多少电力才能以99.9％的概率保证不会因为电力不足而影响生产？ 问题： （1）计算分布函数在某些点的取值F(m)， m＝0，1，2，…，200，并将它绘于图上，辅助某些必要的计算，求出问题中所需要的供电功率数。 （2）将8小时按半分钟分成若干时间段，共有8*60*2＝960个时间段。用二项分布模拟8小时车床运行的情况。观察已算得的供电功率数是否能基本满足车间正常工作，写出你的结论。 二、实验过程 问题（1） 编写程序如下： function bin() %200台车床正常工作的台数满足二项分布
p=0.6; %正常工作概率 n=200; %200次事件 x=[0:5:n]; f=binocdf(x,n,p); bar(x,f); axis([-1 201 0 1]); %坐标分配end 运行结果：
将上述程序的取样间隔改为一时，即x=[0:5:n]; 改为x=[0:1:n]; 结果如下： 通过观察上面两幅结果，得出大约在m=140KW时电力才能以99.9％的概率保证不会因为电力不足而影响生产。 问题（2） 模拟车床运行情况的函数代码为： function bin1
正态分布教案
正态分布教案学院数学与计算机科学学院专业数学与计算机年级2008级 执教者王黎玲学号指导老师袁智强老师 教?材：人民教育出版社A版选修2-3第二章第四节 一、教学目标 二、教学重点与难点 三、教学的方法与手段
四、教学过程 【环节一：创设情境，导入新知】通过对高尔顿这位伟大的统计学家的介绍，引出高尔顿钉板实验。 教师活动：今天上新课之前我们要先来做一个实验——高尔顿顶板实验，那么实验之前老师 想问同学们有谁认识高尔顿呢？ 学生预案：高尔顿？ 教师活动：看来同学们对高尔顿不是很熟悉。那么同学们认识达尔文吗？ 学生预案：知道。 教师活动：达尔文他出版的《物种起源》这一划时代的着作，提出了生物进化论学说，被恩 格斯列为19世纪自然科学的三大发现之一。而高尔顿是英国着名的人类学家、 生物统计学家，他是生物统计学派的奠基人，也是着名生物学家达尔文的表弟， 正是因为达尔文《物种起源》的问世，才触动了高尔顿对生物统计学的研究，而 等等我们要进行的高尔顿钉板实验，就是高尔顿在收集统计数据时进行的的实 验。 教师活动：那么高尔顿钉板的实验原理是什么呢？首先在一块木板上钉着若干排相互平行但 相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面当有一块 玻璃，让一个小球从高尔顿钉板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层 小木块碰撞，最后掉入高尔顿钉板下方的某一个球槽内。 教师活动：那么小球下落后，我们就要观察每个球槽内小球的个数，因此在这之前要把球槽 进行编号，以方便我们观察，然后多次重复这个实验，就可以发现掉入各个球槽 内的小球的个数，小球堆积的高度越来越高。为了更好的研究实验结果呈现的现 象，我们将结果化成频率直方图，请同学们也仔细观察频率直方图，总之整个实 验过程分三个步骤，小球下落——观察小球个数——观察频率直方图。现在我们 开始做实验。 ?老师演示：打开实验flash ，进行演示。最后将实验300次、600次、1500次、3000次得频 率直方图同时显示，让学生更好的观察。 300次 600次 1500次 3000次 我们发现随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状越来越像是一条曲线，它的形状像我们寺庙里面的钟，我们也把它叫钟型曲线。 这条曲线就是我们今天要研究的正态分布密度曲线，简称正态曲线。它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，正态曲线可用下面函数的图象来表示或近似表示： 这个函数是： 式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσ?的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．有些同学有疑问了，这个函数解析式是怎么来的呢？这个问题以同学现在的知识还无法推导出来，等同学到了大学进一步学习概率论等统计数学时，就可以通过大数定律正确的推导出来，但是现在我们不做要求，有兴趣的同学可以回去查阅书籍，现在同学们只要牢牢记住这个函数式就行了。 【环节二：动手练习，巩固概念】及时用习题巩固概念，有利于学生对正态函数的掌握。
优生学之父——高尔顿
优生学之父——弗朗西斯·高尔顿 优生学的奠基人——高尔顿弗朗西斯·高尔顿（Sir Francis Galton）于1822年2月16日出生于英国伯明翰市斯帕克布洛附近的拉杰斯的一一个显赫的银行家家庭，他的父亲是银行家，父亲和祖父都是热爱自然的科学家。他的母亲和达尔文的父亲是同父异母的兄妹，他的外祖父正是达尔文的祖父，所以高尔顿是达尔文的表弟。高尔顿是家中9个孩子里最小的一个孩子。比他大12岁的姐姐阿黛尔是幼年高尔顿的启蒙老师，他从小智力超常、聪颖过人，出生12个月后，他便能认识所有的大写字母，18个月后则能辨别大写和小写两种字母。在他咿呀学语的时候就能背拉丁文。到了两岁半左右，高尔顿已能阅读《蛛网捕蝇》之类的儿童读物。3岁时他学会签名，4岁时他能写诗，5岁时已能背诵并理解苏格兰叙事诗《马米翁》，6岁时，他已精熟荷马史诗中的《伊利亚特》和《奥德赛》，7岁时就能欣赏莎士比亚名著，对博物学产生兴趣，并按自己的方法对昆虫、矿物标本进行分类。显然是一位神童。美国心理学家特尔曼曾根据有关文献的记载，用他自己设计的斯坦福——比纳标准对幼年的高尔顿的智力进行了估算，他认为高尔顿3－8岁间的智力年龄几乎等于实际年龄的2倍，其智商约为200。 8岁时他被送进寄宿学校正式接受教育后，情况就不那么妙了。极具自然好奇心和独立创造能力的小高尔顿被那里的布道、鞭打和所强调的死记硬背所困扰和压抑，行为突然变坏，常与同学打斗，频遭学校惩戒。所以高尔顿对他这段学生生涯一点儿也不怀念。不过他对发现新事物的热情还是不减，虽然正规的学校教育让他很失望，但他对自己的学习和奋斗目标还是很有规划。13岁时就打算从事一项“高尔顿飞行计划”。15岁时他的父亲希望他学医，因此安排他随一家英国医学机构到欧洲大陆作巡回医疗活动，回来之后开始在伯明翰市立医院做了两年内科见习医生，这里使他积累了许多解剖学和生理学知识。 1839年，17岁的高尔顿来到伦敦国王学院学习医学、生理学、植物学和化学，并且成绩优秀。但不久，他的兴趣就转移到数学和自然哲学上，于是1840 年他考入剑桥大学三一学院，也就是牛顿的母校，希望学到更多的数学知识，但成绩并不理想。1843 年他患上了神经衰弱，而在此时他父亲也生病了，1844 年获得剑桥大学学士学位后曾继续研习医学，但不久后父亲病逝。他也辍学而完全停止了医学研究，决定过一种无拘无束的学者生活，这使他成为在自己书斋里完成科学创造的“绅士科学家”。与童年时代的“神童”相比，高尔顿的高等教育杂乱无章也不太成功，有人认为正是这样为他日后成为维多利亚时代最博学的学者奠定了基础。 高尔顿的才能在他毕业之后很快显露了出来。他虽然从未担任大学教授或其他专门职业，但爱好发明，多才多艺，学术兴趣超过同年代的许多学者，包括人类学、地理学、数学、力学、气象学、心理学和统计学等。他热衷于旅行与探险，先到欧洲、埃及和中东旅行，回国后接受一位骨相学友人建议，从1846－1850
高尔顿钉板试验模拟(程序)
高尔顿钉板试验模拟（程序） ...这是我2005年12的课程设计中程序的核心部分，写完后自己非常得意，等着老师表扬。等啊等，等待现在也没等到:em16: 现将它献给大家...（若有版权那遵守BSD吧） 注1：程序以前是用Matlab写的现用Java重写 注2：原程序中galton返回值为int[] grid 、没有“输出结果”部分 public void galton(int sumOfGrid, int sumOfBall){ int[] grid = new int[sumOfGrid]; int number = 0; //一个小球从顶端落下过程中向右偏移的总次数 int rand ; //随机数，取值范围为{0,1}，为0、为1的概率相等 for( int counter_ball = 1; counter_ball <= sumOfBall; counter_ball++ ){ //<核心> // (sumOfGrid - 1)为钉板的层数 for( int times = 1; times <= ( sumOfGrid - 1 ); times++ ){ rand = (int)( Math.random()*2 ); number += rand; } grid[number]++; number = 0; // } //输出结果 System.out.println( "小球的总数为"+sumOfBall+"\t格子的个数为"+sumOfGrid ); for( int index = 0; index < grid.length; index++ ) System.out.println( (index+1)+"号格子中的小球数为：\t"+grid[index] ); } }//end of metod galton
高尔顿钉板
高尔顿（G a l t o n ）钉板实验 一、问题描述 Galton 钉板试验是英国生物统计学家Galton 设计的。在 一板上钉有n 排钉子，如图示，其中n=5。右图中15个圆点表示 15颗钉子，在钉子的下方有n+1个各子，分别编号为0，1， 2，…，n 。从Galton 钉板的上方扔进一个小球任其自由下落， 在下落的过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从右边落下 的机会相等。碰到下一排钉子时又是如此。最后落入底板中的 某一个格子，图中用一条折线显示小球下落的一条轨迹。 二、高尔顿钉板试验中的相关问题 1、小球落入各个格子中的概率与频数 做一个小球的高尔顿钉板试验，其落入第i 个格子的概率正好满足二项分布。 设高尔顿钉板有n 行钉，第n 行铁钉共有n 个，有（n+1）个空。把这（n+1）个空由左到右依次编号为i=0，1，2，…，n 共（n+1）个空。 观察i=0这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后必须连续向左落下，即连续n 次选择向左落下，所以落入第i=0个空的概率为P （i=0）=C 0n （21）n (2 1)0。 观察i=1这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n 次碰撞落下过程中，有且只有一次选择向右落下，其余都只能是向左落下，所以落入第i=1个空的概率为P （i=1）=C 1n （21）n-1(2 1)1。 小球从第一次与铁钉碰撞后连续n 次碰撞落下过程中，有i 次选择向右落下，其余都选择向左落下，所以落入第i 个空的概率为 P （i ）= C i n （12 ）n-i (21)i （i=0，1，2，…，n ）。 故，当一个一个从顶部放入k 个小球，低槽中各格的理论频数为： h(i)=k ×P(i),(i=0,1,2,…，n). 2、程序运行 2.1 基本功能
概率统计02高尔顿钉板的理论解释及仿真
二、高尔顿钉板的理论解释及仿真 高尔顿钉板中（见教材第一章图1—2）每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗中间．从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的小圆玻璃球，当小圆球向下降落过程中，碰到钉子后均以2 1的概率向左或右滚下，于是又碰到下一层钉子．如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止．把许许多多同样大小的小球不断从入口处放下，只要球的数目相当大，它们在底板将堆成近似于正态),0(n N 的密度函数图形，其中n 为钉子层数。 解释如下： 令k X 表示某个小球在第k 次碰钉子后向左或向右落下这一随机现象联系的 随机变量，k X 的概率分布为（...,2,1=k ）k X 1-1 k p 2121令∑==n i k n X Y 1，其中 )...21(n k X k ，，=相互独立，则n Y 表示这个小球第n 次 碰钉后的位置。 由中心极限定理，有?∞--∞→=? ?????
end count=0; for j=-m:2:m count=count+1; for i=1:n if x(i)==j yy(count)=yy(count)+1; end end end yy bar(yy) 运行结果： 试请输入球数n=2000 请输入层数m=16 yy =00517581362453374133342531225420600 图2-19 验证表明∑==n k k n X Y 1近似地服从正态分布。 二、人力资源管理 如果车间有300台仪器相互独立地工作，且每台仪器发生故障的概率均为0.01。通常一台仪器的故障只需且仅需一人来排除。在配备维修人员时，既要保证仪器出现故障而不能及时排除的概率小于0.01，又要考虑节约人力。试问以下两个方案哪个好?
高尔顿钉板与二项分布的关系的证明
高尔顿钉板与二项分布的关系的证明 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
高尔顿（钉）板与二项分布的关系的证明 “（人教版）选修2—3 57页探索与研究 高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排 排互相平行、水平间隔相等的铁钉（如图），并且每 一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子下 好对准上面一排两上相邻铁钉的正中央。从入口处放 入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两 钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以 相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁休。如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内。 有兴趣的同学可以通过以下的问题研究高尔顿板与二项分布的关系。 1．通过高尔顿板实验课件，做1000个小球的高尔顿板试验，看一看小球在格子中的分布形状是怎样的 2．计算小球落入各个格子所有可能路线的数目。（提示：考虑它与杨辉三角的关系） 3．计算小球落入各个格子的概率。” 设（如图）高尔顿（钉）板有n行钉，第n行铁钉共有（n+2）个，两个铁钉之间一个空，则有（n+1）个空。把这（n+1）个空由左到右依次编号为i=0，1，2，…，n共（n+1）个空。
观察i=0这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后必须连续向左落下，即连续n 次选择向左落下，所以落入第i=0个空的概率为P （i=0）=C 0n （ 2 1）n (2 1)0 。 观察i=1这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n 次碰撞落下过程中，有且只有一次选择向右落下，其余都只能是向左落下，所以落入第i=1个空的概率为P （i=1）=C 1n （2 1）n —1(2 1)1。 猜想第i 个空，小球从这个空落下的结论是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n 次碰撞落下过程中，有i 次选择向右落下，其余都选择向左落下，所以落入第i 个空的概率为 P （i ）= C i n （2 1）n —i (2 1)i 。（i=0，1，2，…，n ） 现对上猜想给出证明：a n ，i = P （i ）= C i n （2 1）n —i (2 1)i 。（i=0，1，2，…，n ） 规定：a i ，j 表示第i 行第j （0≤j ≤n ）个空球落下的概率。 由高尔顿（钉）板可知：a 1，0=2 1，a 1，1=2 1 ?? ? ? ?? ???+===-----i 1,n 1i 1,n i n,1n 0,n 0,1,0n n,0a 21a 21a a 21a a 21a （1≤i ≤n －1，n ≥2） 用数学归纳法证明： 1．当n=1时，已如上证。 当n=2时，a 2，0=21 a 1，0=（21）2=C 02（21）2—0(2 1)0 a 2，1=2 1 a 1，0+2 1 a 1，1=2 1 =C 12（2 1）2—1(2 1)1
高尔顿发明回归
Galton, Pearson, and the Peas: A Brief History of Linear Regression for Statistics Instructors Jeffrey M. Stanton Syracuse University Journal of Statistics Education Volume 9, Number 3 (2001) Copyright ? 2001 by Jeffrey M. Stanton, all rights reserved. This text may be freely shared among individuals, but it may not be republished in any medium without express written consent from the author and advance notification of the editor. Key Words: Correlation; Francis Galton; History of statistics; Karl Pearson. Abstract An examination of publications of Sir Francis Galton and Karl Pearson revealed that Galton's work on inherited characteristics of sweet peas led to the initial conceptualization of linear regression. Subsequent efforts by Galton and Pearson brought about the more general techniques of multiple regression and the product-moment correlation coefficient. Modern 1
MatLab的Galton钉板问题训练报告 终极版
Matlab工程实训报告 题目 Galton钉板模型 学院名称 专业班级 姓名 学号 日期 2014.9.9 一、问题描述 Galton 钉板模型 Galton 钉板模型是由英国生物统计学家Galton 设计的。其原理是： 在一块板上钉有n 排钉子，设n=5，在钉子的下方有6 个格子，分别 编号为0、1、2、3、4、5，自上方扔进小球任其自由下落，在下落过 程中让小球碰到钉子时，从左边落下和从右边落下的机会相等。碰到 下一排钉子时又是如此。最后落入底板中的某一格子。 二、训练目的 ·熟悉随机函数的使用 ·了解基本动画的设计 三、训练内容 编程实现该模型的动画，输入扔球次数m。提示：注意确定钉子的位置， 将钉子的横、纵坐标保存在两个矩阵中，确定小球碰到钉子的可能性， 小球碰到钉子后往左或往右各占50%，可设定当生成的随机数<0.5 往 左，否则往右。 训练要求： 计算落入第i 个格子中的球数及概率 模拟小球堆积的情况 编制实训报告。 四、设计思路
【No.1】：动画模拟Galton 钉板试验 1) 确定钉子的位置。将钉子的横、纵坐标存储在一个矩阵中； 2) 模拟了小球从顶端随机地落入某一格子的过程。设向右的概率为p ，向左的概率为q=1-p ；将[0,1]分成两段，区间[0,p]和(p,1]。利用rand[]产生一个介于0和1之间的随机数u ，如果随机数u p [0,]∈，让小球落向左边，否则落向右边；将这一过程重复n 次，并用直线连接小球落下时所经过的点。 3) 模拟小球堆积的形状。输入扔球次数m ，计算落在第i 个格子的小球数i m 在总球数m 中所占的比例，这样当模拟结束时，就得到了频率i m i m f i n ,0,1,2,...,==， 用频率反映小球堆积的形状。 4) 利用movie 完成动画。 5）程序代码： clear; clc; clf; m=input('请输入小球的个数:'); n=5; y0=2; ballnum=zeros(1,n+1); %生成1*（n+1）全零阵 p=input('请输入概率P 的值（0.5最佳）:'); %设置向左的概率 q=1-p; for i=n+1:-1:1 %创建钉子的坐标 x(i,1)=0.5*(n-i+1); y(i,1)=(n-i+1)+y0; for j=2:i x(i,j)=x(i,1)+(j-1)*1; y(i,j)=y(i,1); end end mm=moviein(m); %开始模拟小球下落 for i=1:m s=rand(1,n); %产生n 个随机数
高尔顿板实验动态演示
高尔顿板实验动态演示 篇一:《高尔顿钉板试验模拟(程序)》 高尔顿钉板试验模拟（程序） ...这是我2005年12的课程设计中程序的核心部分，写完后自己非常得意，等着老师表扬。等啊等，等待现在也没等到 :em16: 现将它献给大家...（若有版权那遵守BSD吧）注1：程序以前是用Matlab写的现用Java重写 注2：原程序中 galton返回值为 int[] grid 、没有“输出结果”部分 public void galton(int sumOfGrid, int sumOfBall){ int[] grid = new int[sumOfGrid]; int number = 0; //一个小球从顶端落下过程中向右偏移的总次数 int rand ; //随机数，取值范围为{0,1}，为0、为1的概
率相等 for( int counter_ball = 1; counter_ball // (sumOfGrid - 1)为钉板的层数 for( int times = 1; times grid[number]++; number = 0; // } //输出结果 System.out.println( "小球的总数为"+sumOfBall+"\t格子的个数 为"+sumOfGrid ); for( int index = 0; index System.out.println( (index+1)+"号 格子中的小球数为：\t"+grid[index] ); } }//end of metod galton 补充：(谢谢2楼提醒 :-D ) 高尔顿钉板试验：自板上端放入一小球, 任其自由落下.在下落过程