二重积分变量代换推广至三重积分的证明及应用
二重积分变量代换推广至三重积分的证明及应用
作者：丁月明 指导老师：浦和平
关键词：变量代换 三重积分
摘要：由课本上对二重积分变量代换的简介，我们可以看出此方法在某些情况下简化了积分运算，而在三重积分中是否也存在此类变量代换呢，本文将把变量代换推广至三重积分，并给出其存在性的证明，和具体应用。
一·对存在性的证明
记(),,((,,),(,,),(,,))F u v w f x u v w y u v w z u v w =F 于有界集Duv 连续，F 必一致连续， 即0,0εδ?>?>对()()1122,,,uv u v u v D ∈, 有当222(12)(12)(12)u u v v c c δ-----<时，()()1,1,12,2,2F u v w F u v w ε-<成立。 由积分中值定理，得
()()()()()()()11
1
,,,,,,,,(,,,,)m
i di Di m i m i F u v w Jdudvdw f x y z dxdydz
FJdudvdw fdxdydz F i i i Jdudvdw f i i i Di
F i i i f i i i Di
τσωξηλτσωξηλ===?=-??=- ?
??=-=-??????∑??????∑???∑
di Di Jdudvdw =???，由于Di 是di 的值域，()
,,i i i di τσω?∈，使得
()()(),,,,,,,,i x i i i i y i i i i z i i i ξτσωητσωλτσω===存在，
()()
()(),,,,1,1,12,2,2F i i i f i i i Di F u v w F u v w τσωτσωε-=-< 有
()(),,,,f x y z dxdydz F u v w Jdudvdw =??????
二·变换方法的推导
1·从几何角度的证明
存在三个交线互不平行的曲面f （x ，y ，z ）=u0，g （x ，y ，z ）=v0，q （x ，y ，z ）=w0，三个曲面簇f （x ，y ，z ）=u ，g （x ，y ，z ）=v ，q （x ，y ，z ）=w 交成空间曲面网构成新的坐标，而体积元为一个交点处，三条交线弧微元构成的空间的体积。
以u 方向为例求弧微元， ,0,0Di Dxyz εεε?<=?>?=∑022*********(,,)(,0,0)(,0,0)(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0).u u u u u u u u u u u s x u vo wo y u v w z u v w du
u x u u v w y u u v w z u u v w u x u v w y u v w z u v w u r u
θθθ+?++=+?++?++??≈++?=?? 01u u s =
由此可得 01u u u ds du r =
，类似的可以得出v,w 方向的弧微元
于是体积微元为 [][]()(),,,,u v w u
v w x y z dV ds ds ds r r r dudvdw dudvdw u v w ?===? 2·用代数方法证明
在坐标x ，y ，z 下有向量[][][]
000000000x x y y z z === ，体积微元为向量偏导数微元的混合积 []dx dy dz ，
又，有u ，v ，w 为x ，y ，z 的参数，于是
111213212223313233x c c c u y c c c v z c c c w ????????????=?????????????????? 在 1112
13212223313233
0c c c c c c c c c ≠的情况下，定u ，v ，w 为一组基
体积微元为 []000000x
x x u v w dx y y y dx dy dz dy dudvdw u v w dz z
z z u v w
?????????==????????? ()()
,,,,x y z dudvdw J dudvdw u v w ?==? 证毕
如，常见坐标系——柱坐标的变换
12
tan cos sin x y u x y p z v
z v y wx
y w x
x p y p tg w
z z
dxdydz pdpd dz
θθ
θθθ-+=+==?=========?????? 三·应用举例
1，求曲面2222222x y z ax a
b c ??++= ???（a>1，b>1，c>1）所围区域体积， 令sin cos sin cos cos x ap y b z cp ?θ
?θ
?=== 又2sin J abcp d d dp ?θ?=，可得
2sin cos 22
002sin a V abc d d p dp π
π?θπθ??-=???
2，求又曲面2301422x y z x y z x y z ++=++=++=-和233
4420
x y z x y z x y z ++=++=++=所围区域体积
设曲面簇2342x y z u
x y z v x y z w
++=++=++=
J=()(),,1,,5
x y z u v w ?=?≠0 可做变换 04
32101118332555V dxdxydz dudvdw δ-===???=??????
3，求曲面2222
22,,,,,x y x y z z xy a xy b y x y x m n
αβ++======所围区域体积。
令22,,z y u v xy w x y x
===+ 32
210
220221111v vw w
w v J v w
v w u w uv w w w -=??????++- ? ? ???????
12v w w w ??=+ ??? ()()221313842222221212111114ln 32b m a n V xyzdxdydz udu v dv w dw w w b a m n βαββααβα??∴=++ ?????????=---++?? ? ??????
??????? 4，求积分
2x dxdydz ???，受曲面22
,,,,z ay z by z x z x z h αβ=====限制 令， 2,,,,z z u v w z y x w w x y z w v u
=
===
== 2
32
332221010
222001w
v v w w J uw u v u --=-= 7
2
2340243311122111127h b a v V x dxdydz w dv du v u h h a b βααβ==????=-- ? ???????????,5,55
5，求受曲面222222,2(),,2,2,2z x y z x y xy a xy a x y x y =+=+====限制的体积V 令22,,z x u v xy w x y y ===+,,()v v x vw y z u vw w w
===+
2
2222241
212229()224a a v v J w
v v V du dw a w =+=+=???
6，求受曲面ln x y z x y z a b c x y a b c a b
++++=+，x=0，z=0，0,1y z x y z b c a b c +=++=限制的体积V 。 令w v we -=则曲面的变换为
11,0,00,0x y z x y w u w x u z v w a b c a b
++=?=+=?==?==?= 0≤u ≤w ，w we
v w -≤≤，0≤w ≤1
故体积为 1001153w w w
we V dw du abcdv abc e -??==- ??????
参考文献《工科数学分析》马知恩
《吉米多维奇习题集》
变量代换在求解微分方程问题中的应用
摘要 变量代换的思想在解微分方程中有着广泛的应用.通过对原方程的变量( 自变量或因变量) 用新的变量代换，使原方程化为相对易解的方程类型，从而达到求解的目的.本文阐述了变量代换在求解一阶及高阶微分方程中的应用. 关键词：变量代换微分方程一阶高阶
Abstract Variable substitution has a wide range of applications in solving differential equations. The original equation by the variable (the independent variable or dependent variable) with the new variable substitution, so that the original equation is reduced to a relatively easy solution of the equation type, so as to achieve solve the purpose. In this paper, the variable transformation in solving the first order and higher order differential equation. Key words: variable substitution differential equation the first order the higher order
目录 前言 (1) 第一章变量代换在求解一阶微分方程中的应用 (2) 第二章变量代换方法在求解某些类型高阶微分方程中的应用 (8) 致谢辞 (15) 参考文献 (16)
线性变换在多变量函数积分学中的应用
线性变换在多变量函数积分学中的应用 在多变量函数积分学中,合理进行变量代换,能起到化繁为简的作用,常用的变量代换,有球坐标,极坐标代换,或类似此类的代换。而事实上，线性代数为我们看问题提供了一个非常好的视角。线性变换用于多重积分，曲面，曲线积分中，往往更为灵活，并不是如球坐标等代换较易看出。下作讨论。 在O-XYZ 坐标系中，将一组基（X ，Y ，Z ）乘一个矩阵M 3×3，转化为另一组基（U ，V ，W ），这时Jacob 行列式为 ) ,,() ,,(w v u z y x ??=detM 1-= M det 1 ，特别地,当M 为正交矩阵， 即进行正交变换，Jacob 行列式为1，在进行线性变换时，要合理选择M 。 1． 合理选择M ，化复杂区域为简单区域。 如计算由平行六面体 1111h z c y b x a ±=++2222h z c y b x a ±=++, 3333h z c y b x a ±=++围成的体积, 线性变换后,此空间不规则区域可化为标准长方体, 只需另u z c y b x a =++111，v z c by x a =++22,w z c y b x a =++333, 易确定-h1≤u ≤h1, -h2≤v ≤h2, -h3≤w ≤h3, ) ,,(),,(w v u z y x ??= 3 3 3 2221111c b a c b a c b a 。 于是V= ??? v dxdydz= ? ?? ---1 1 22 3 3 h h h h h h dv du 3 3 3 2221111c b a c b a c b a dw=。 3 3 3 2221113218c b a c b a c b a h h h 。 这样看问题，避免了为确定积分限而进行的复杂计算，而且x,y,z 地位等价，化为累次积分，往往计算量很大。 2． 合理选择M ，将复杂的空间曲线转化为某个平面上的规则曲线。 在曲线积分中，若易找出r(t),则计算简便，但若曲线由很一般的曲面交线给出，如果曲线在“倾斜”的平面上，线性变换可化到O-XYZ 平面上，便于研究。 如计算dl x l ? 2 ，l :球面2 222a z y x =++与 0=++z y x 交线。 分析此问题，由于x,y,z 对称，可考虑??? =++= l l l dl a dl z y x dl x ,3 1)(3122 222 本文不再讨论，事实上，观察知，l 是0=++z y x 平面上的圆，半径为,a 圆心在原点，考虑变换到O UVW -坐标系中，使此圆落在ouv 平面内，圆方程为 0,122==+w v u 。
探究定积分的定义,实现积分变量的替代
探究定积分的定义，实现积分变量的替代 山东省莱州市第一中学 赵 凯 学生为主体，教师为指导的新的教学理念逐步的被广大教师应用于教学实践中，提倡学生积极主动，勇于探索的学习这也是新的课程改革的要求。适时地提出问题，为学生创设探究思维的学习环境，是我们教育工作者面临的具有挑战性的任务。通过对定积分的教学使我有了更深的体会。 定积分的有关内容是课程改革后新增加的，定义的理解又是学习掌握着部分内容的基础。通过研究求曲边梯形的面积以及求变速直线运动路程，归纳出了定积分定义，得到： ? b a f dx x )(=∞ →n lim ∑ =-n i n a b 1 )(i f ξ。 借助定义求定积分，通过“四步曲”：分割，近似代替，求和，取极限显然比较麻烦，当然应用微积分基本定理是最好的方法。 如何把一个和式的极限转化成定积分的形式，是我们在教学过程中不得不向学生提出的问题，解决这个问题的关键就是对定积分定义的理解，引导学生对定义的再认识。 定义：如果函数)(x f 在区间[a , b]上连续，用分点 b a x x x x x n i i =
利用简单的变量代换求解微分方程
利用简单的变量代换求解微分方程
通过变量代换将给定的微分方程转换为我们熟悉的微分方程再求解，是解微分方程的一种重要方法.例如我们前面学习的齐 次方程、贝努利方程等的求解过程中都用到了变量代换的方法.
2(41.1)dy x y dx =++求微分方程的通解例41x y u ++=解令 化简并两边积分41,y u x =--即代入方程得 24.du u dx -=21+4 du dx u =??，1arctan 22u x C =+即，141arctan().22x y x C ++=+故通解 ().dy f ax by c u ax by c dx =++=++形如的方程，都可以尝试令注
2 1tan .222dy y y dx x y x =+求微分方程的通解例2y u x =令分离变量并两边积分2,y xu =即代入方程得tan du u x u u dx +=+，1cot udu dx x =??，lnsin ln ln u x C =+即，2sin .y Cx x =故通解 222tan dy y y y dx x x =+解 原方程可化为，tan du u dx x =整理得，
c 3os (0)x t t π=<<利用变量代换化例简微分方程 x 等式两边再对求导得1()sin dy dy dt dy dx dt dx dt t =?=?-解 ，2 (1)0x y xy y '''--+=(0)1,(0)2. y y '==并求其满足的特解22d y dx =代入方程2 22231cos 1(1cos )[()]cos ()0.sin sin sin d y dy t dy t t y dt t dt t dt t -?-?-??-+=2221cos [()+()]sin sin d y dy t dt t dt t ?-?1().sin t ?-
变量代换方法在求解微分方程中的应用
变量代换方法在求解微分方程中的应用 1 引 言 在微分方程的理论中，变量代换方法有着广泛的应用。通过对原方程的变量或因变量用新的变量代换，使原方程化为相对容易解的方程类型，从而达到快捷求解的目的。然而，值得注意的是，不同的类型的方程, 其采用的变量代换可能不尽相同，本文对各种变量代换方法在求解微分方程中应用进行讨论和总结。 2 变量代换方法在几类微分方程求解中的应用 定义1 如果一阶微分方程具有形式)()(y g x f dx dy =，则该方程称为可分离变量微分方程.若设0)(≠y g ，则可将方程化为 dx x f y g dy )() (=.即将两个变量分离在等式两端. 其特点是：方程的一端只含有y 的函数与dy ，另一端只含有x 的函数与dx .对于该类程，我们通常采用分离变量的方法来处理。 例1 求微分方程xy y 2='的通解. 解 因为 xy dx dy 2=， 分离变量，xdx dx dy 2=，两端积分，C x y +=2||ln ， 12||c x e y +=， 所以1 2 c x e y +±=.令1C e C ±=，于是2 x Ce y =为所求. 注：以后为了方便，可将||ln y 就写成y ln ，注意结果中C 可正可负. 对于上面的例子，我们可以采用分离变量的方法来求解，而有些方程虽然不是变量分离方程，但是可以通过适当的变量代换，转换为分离变量方程。对于新方程应用分离变量的方法，求出通解后再带回原变量就可以得到其通解。如何寻求恰当的变量代换将给定的方程化为分离变量方程，没有一般的方法，但是对于一些特殊类型的方程，这种变量代换却有固定的形式。下面介绍几类这样的方程。 2.1 一阶齐次方程 1. 形如 )(by ax f dx dy +=的齐次方程（其中b a ,()0≠b )为常数） 作变量代换，by ax u +=可将方程化为分离变量方程，将by ax u +=和 dx dy b a dx du +=代入方程，整理后可得：)(u bf a dx du +=
§3二重积分的变量代换
§3 二重积分的变量代换 也有一种情形，函数f 在D 上可积，但无论采用哪种积分次序都“算不出来”。 例：2 2() x y D I e dxdy -+= ??，D={}222(,)|x y x y a +≤ 分析：∵f(x,y)=22() x y e -+在D 上几乎处处连续，有界函数{} 222(,)|x y x y a +≤=?D 是零测度集，∴f ∈R （D ） 22 2222 () a a x x y a a x I dx e dy --+---=?? =22 2 2 22 a a x x y a a x e dx e dy ------?? or 22 2222 () a a x x y a a x I dy e dx --+---= ? ? =22 2 2 22 a a x y x a a x e dy e dx ------?? 计算不出来！f ∈R （D ），但化为二次积分后算不出来。说明我们的计算方法有问题。因此，我们有必要寻找 更有效的计算二重积分的方法。联想到定积分的计算方法，换元法、分部积分法、N-L 公式等，特别是换元法，是一种化难为易的有效方法。在二重积分中能否利用这种化难为易的思想呢？是可以的。这就是我们今天给大家要讲解的，二重积分的变量代换，利用这种方法，就可以解决上面的计算问题。在定积分中，换元积分法对简化定积分计算起着重要的作用。对于二重积分也有相应的换元公式，用于简化积分区域或被积函数。 1． 极坐标交换 先介绍极坐标变换：cos ,sin x r y r θθ== (0,02)r θπ≤<+∞≤≤。 设D 是2 R 中的有界闭区域，且D ?是2 R 中的零测度集；再设f 在D 上几乎处处连续的有界函数，根据上节内容可知：f ∈R （D ）∴ (,)D f x y dxdy ??有意义的；它的值不因对区域D 的分割方式不同而变化。 在直角坐标系中，我们是以平行于x 轴和y 轴的两族直线来分划区域D 为一系列小矩形的，在极坐标系中，若用极坐标网分割，即用r=常数的一族同心圆以及θ=常数的一族过极点的射线来分划D （如左图示），得出若干个小块ij σ，这时小块的面积若极为ij σ?，（,i j i j x y σ∈）则Rieman 和为 1 1 (,)n m i j ij i j f x y σ ==?∑∑ ， 注意到 ij σ?=221[()]2j j i j i r r r θθ+??-?=1(2)2j j j i r r r θ+???=21 2 j j i j i r r r θθ??+?? 易见,当i θ?，j r ?充分小时，ij σ可近似地看成一个矩形，边长分割为：j r ?和j i r θ?，即 ij σ?≈j j i r r θ??，若有Rieman 和 1 1 (,)n m i j ij i j f x y σ ==?∑∑中以 j j i r r θ??代替ij σ，并按极坐标交换：cos ,sin x r y r θθ== c o s ,s i n i j i j j i x r y r θθ==，1 1(,)n m i j ij i j f x y σ ==?∑∑≈ 1 1 (cos ,sin )n m j i j i j j i i j f r r r r θθθ==??∑∑。当分割的精度→ 0是，由上面分析知： 1 1 (,)n m i j ij i j f x y σ ==?∑∑→ (,)D f x y dxdy ??。
变量代换在求极限中的应用
变量代换在求极限中的应用 1 引言 数学分析的理论与方法越来越被广泛地用于工业、农业、军事和科学技术等领域．极限尤其是函数极限是数学分析中非常重要的内容．求极限的方法是微积分学中的基本方法，它是人们从有限认识无限、从近似认识准确、从量变认识质变的一种数学方法，也是教学中的一个难点．求出已知数列或函数的极限是学习数学分析必须掌握的基本技能，掌握了极限的求法就为学好数学分析打下了扎实的基础．数学分析中讲了多种求极限的方法，在众多的求极限方法中变量代换法在解决那些复杂、繁琐的极限问题时显得尤为重要．而现在的教材、参考书虽然对此有所涉及，但其介绍的不够详细，也有些零散，不太系统，不便于初学者的学习和掌握．鉴于此，现对变量代换法求极限作进一步的探讨，并进行归纳总结，使其更系统，更便于了解和掌握． 2 变量代换在求极限中的应用 2．1 “变量代换法”在数列极限计算中的应用 [])4746(11-P 例 设{}n a 为Fibonacci 数列，即：1a =1，2a =1，n n n a a a +=++12（n=1，2，…） 记n n n a a x 1 += ，求. lim n n x ∞→ 解 由已知条件知 1 121++++=n n n n a a a a ，即n n x x 111+=+．作变换n n x y 1=，此即n n y y +=+11 1 且112 1 11=== a a x y ．故618.0lim =∞→n n y … ()Λ618.11lim 1 lim lim =+==∞ →∞ →∞ →n n n n n n y y x [])47(12P 例 证明数列 2，2 1 2+ ，2 1212+ +，… 收敛，并求其极限 解 从数列特征可以看出，相邻两项的关系是 n n x x 1 21+ =+ （１）
变量代换求解常微分方程
题目：变量代换求解常微分方程 院（系）：理学院 专业：信息与计算科学 学生：郝腾宇 摘要 本问总结了变量代换在常微分方程中的应用，借助恰当的变量代换简化为可解类型，求出其通解或特解，同时举出实例加以证明。 变量代换法不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法。常微分方 程通解的求法具有多样性,不同类型的微分方程有不同的解。其中变量代换法是求解常 微分方程行之有效的方法,我们如果能通过适当的变量代换法将复杂的微分方程化为可 解类型,这样能使求解问题大为简化,进而求出通解。本文就变量代换法在常微分方程课 程中的应用展开探讨,给出各种类型常微分方程恰当的变量代换求其通解或者特解。 关键词：常微分方程、变量代换法、通解、特解 目录 一、变量代换法求解一阶微分方程 (3) 二、变量代换法求解二阶微分方程 (6) 三、变量代换法求解三阶微分方程 (7) 四、变量代换法求解n阶微分方程 (7) 五、变量代换法求解Euler阶微分方程 (9) 六、变量代换法在研究解或轨线性态中的应用 (10) 七、函数变换法求解常微分方程 (11) 八、三角变换法求解常微分方程 (13) 九、拉普拉斯变换求解常微分方程.................................................................. (14) 1变量代换法求解一阶微分方程
1）对于齐次微分方程y x d y g d x ?? = ??? ，这里1 11222y x d a x b y c d a x b y c ++=++ 是u 的连续 函数，做变量代换y u x = ，使方程化为变量分离方程()u x g u u d d x -=，可求解。 2)对于准齐次微分方程111 222 y x d a x b y c d a x b y c ++= ++，这里1a ，1b ，1c ，2a ，2b ，2c 均为常 数。 ①当 111 222=a b c k a b c ==（常数）时，方程直接化为y x d k d =，有通解： ②当 111222 a b c k a b c ==≠时，做变量代换22u a x b y =+，将方程化为变量分离方程 由上式可求解。 ③当1122a b a b ≠时，做变换X x Y y αβ=-??=-? ，其中(),αβ为直线1110a x b y c ++= 和直线2220a x b y c ++=在xoy 平面的交点，将方程转化为齐次方程 由上式可求解。 3）对于更一般的类型 111222y x d a x b y c d a x b y c ?? ++= ?++?? ?，这里1a ，1b ，1c ，2a ，2b ， 2c 均为常数 ①当111 222=a b c k a b c ==（常数）时，方程直接转化为()y x d f k d =，有通解 ()y f k x c =+； ②当111222 a b c k a b c ==≠时，做变量代换22u a b y =+，将方程化为变量分离方 程 由上式可求解。
高等数学中常见的变量替换
目 录 引言………………………………………………………………(1) 一 极限运算中变量替换的应用………………………………………(1) (一) 对于 0(或 ∞ ∞)型极限 (2) (二)对于∞－∞型极限…………………………………………………(2) (三) 隐函数中不易或不可能化为显函数形式，极限x y n +∞ →lim 的求法 (3) (四) 求数列的极限………………………………………………………(4) 二 不定积分运算中常用的变量替换 …………………………………(6) (一) 三角函数代换……………………………………………………(6) (二) 倒数代换…………………………………………………………(7) (三) 指数代换…………………………………………………………(8) (四) 不定积分? dx y f )(的计算，其中y 是由方程0),(=y x F 所确定的x 的函 数.................................................................................(8) 三 定积分运算中常用的变量替换.......................................(9) (一) 被积函数或其主要部分为复合函数的积分的微分法...............(9) (二) 被积函数或其主要部分为复合函数的定积分的计算...............(10) (三) 由三角有理式与其他初等函数通过四则运算或有限次复合而成的被积函数定积分的计算。...................................................(11) (四) 定积分等式的证明中所作的变量替换..............................(12) 四 解微分方程中变量替换的应用技巧.................................(14) (一) 在求解可分离变量方程中变量替换的应用........................(14) (二) 求解齐次方程 中变量替换的应用 (15)
变量代换法在数学中的应用
变量代换在数学中的应用 摘要 变量代换法是研究和解决数学问题的方法之一，属于数学变换方法的一种，就是把将要解决而不易解决的问题先进行变量代换，使之转化。它在高等数学的学习过程中是一项非常重要的实用方法，不仅是一种重要的解题技巧，还是一种重要的数学思维方法，这种方法几乎贯穿了高等数学的全部内容，具有灵活性和多样性的特点。本文通过对变量代换法在高等数学各个章节中的运算中的应用进行了总结，对变量代换法在高等数学中某些方面的应用进行深入探讨，分析其特点和技巧，以求科学、准确地应用此方法来解决数学问题，同时使得学生能够在学习高等数学时充分把握并能够熟练、灵活运用好这种方法，提高学生的解题能力。 关键词：变量代换法；数学；运用 Abstract Variable substitution method is one way to study and solve math problems, a mathematical transformation method belongs, that is going to solve the problem is not easy to be the first variable substitution to make the conversion. It's in the process of learning mathematics is a very important practical methods, not only is an important problem-solving skills, mathematical thinking is an important approach that has permeated the entire contents of the higher mathematics, with flexible Features and diversity. Based on the method of calculation of variable substitution in various sections of higher mathematics are summarized in the application of variable substitution method in the application of certain aspects of higher mathematics in-depth discussion, analysis of the characteristics and skills, in order to science, accurately apply this method to solve math problems, while allowing students to fully grasp in learning mathematics and proficient, flexible use of this method is good to improve students' problem-solving abilities. Keywords: Variable substitution method; Mathematics; Use
变量替换法应用
“变量替换法”在各类计算中的应用 下面通过各类计算中的典型例子加以具体阐述“变量替换法”在高等数学教学中适用的各种运算问题类型。 1 在极限运算中的应用 例1 求111 1 0lim x x x x x e e e e +-→- +-． 分析：该极限看上去形式比较复杂，需要作化简处理，将函数中的一个单元(子函数1x e )作为一个整体进行变量替换，令1x e u =，该极限就变成为容易求解的等价极限形式，可使问题迎刃而解。 解：令1 x e u =，则1 1x e u -=，且当0x +→时，x →+∞，于是 2211=lim lim 111u u u u u u u u →+∞→+∞+ +==--原式 例2 求 01lim x x a x →-． 分析：该极限看起来形式简单，但没有直接可利用的公式套用，需要进行变 量替换，若令1x a u -=，可转化为对数形式的函数极限101lim log (1)u u a u →+，即可联系到第二个重要极限的结果来计算。 例3 求2222(,)(0,0)sin()lim (3)() x y x y xy x y →+++. 解：令22x y u +=，则(,)(0,0)x y =时，即0u →，于是 (,)(0,0)01sin 11=lim lim (3)033 x y u u xy u =→==++原式 这里，所引入的变量表示了一个二元函数。 2 在导数运算中的应用 在导数运算中变量替换法主要用于复合函数(包括隐函数)的求导问题，根据链式法则，通过对复合函数复合关系的分析，引入中间变量，将复合函数拆成几
个简单函数，使求导运算得以顺利进行。这里所引入的变量表示的都是函数，且它们只起中间变量的作用，即在求导过程中，需要时引进来，求导完之后要回代，需要注意的是清楚地分析复合函数的复合关系、恰当地引入中间变量且弄清每个中间变量所表示的函数是运用该方法熟练进行求导的关健所在。 例4 求ln cos(1)y x =+的导数 解：令cos(1)u x =+,1v x = +,则ln y u =，cos u y =，1v x =+ 于是''1sin(1)'(ln )(cos )(sin )tan(1)cos(1) u v x y u v v x u x -+==-==++ 注意：复合函数中间变量换元要分层次，引入不同的中间变量。 例5 设22 (,sin )z f x y x y =+，且f 具有一阶连续偏导数，求z x ??. 解：令22u x y =+，sin v x y =，则(,)z z x y =，于是 2sin 2sin u v u v z z u z v f x f y xf yf x u x v x ?????=+=+=+????? 该例子表明多元复合函数求偏导时，也必须对函数的复合结构做出正确分析，通过引入中间变量进行替换，才能使运算得以进行，这里两个中间变量都各自表示了一个相应的二元函数。 例6 设1z e xyz -=，求z y ?? ． 解：视(,)z z x y =，对方程两边的y 求导，得 ()0x z z e xz xy y y ??-+=?? 所以2z xz y e xy ?=?- 这里z 视为,x y 的二元隐函数(,)z x y ，则z 相当于链式法则中的中 间变量。 例7 设()f x 可导，10()()x n n n F x t f x t dt -=-?，求'()F x ． 解：该变限函数是无法直接进行求导的，只有通过变量替换，令 n n x t u -=,即可转化为可求解的形式。
积分变量变换的应用
积分变量变换的应用 嘉应大学 数学学院083班 廖礼敏 专业：数学与应用数学 学号：2080111322 中文摘要：首先总结了已有的不定积分和定积分的换元积分法的应用， 并对所获得的结果进行了应用。 关键词：不定积分；定积分；换元积分法； 正文： 一、不定积分换元积分法：求解不定积分，能应用直接积分法的函数不多， 因此，有必要进一步研究不定积分的求解方法。 1、换元积分法的基本思想 应用换元积分法进行积分是常见的积分方法。其实，换元积分法就是复合函数微分法的逆运算。 回顾复合函数的微分手法，是将复合函数[()]f x ?的复合变量替换为简单变量()x u ?=，然后应用简单函数的微分方法得()'()df u f u du =， 应用替换法，同样可以将复合函数的积分转化为简单函数的积分： [()]() () ()f x d x x u f u du ???=?? 于是，得到复合函数的积分法，称为换元积分法。 换元积分法通常分两类：第一类换元法和第二类换元法。 第一类换元法是将复杂变量替换为简单变量：()x u ?=，从而将复合函数的积分转化为简单函数的积分； 第二类换元法是将简单变量替换为复杂变量：()x u ?=，从而将复杂的被积函数转化为可积分的函数。 下面分别进行分析。 一、第一类换元法 1、第一类换元法的积分思路 第一类换元法并非一种独立存在的积分方法，它建立在直接积分法的基础
上，依赖直接积分法去最终完成积分。或者说，它以换元法为主要手段，以直接积分法为解决积分的最终方法。 换言之，第一类换元法的积分思路，就是将含复合函数的积分转换为简单函数的积分，从而应用直接积分法解决问题。 2、第一类换元法的基本公式 定理1 设()f u 具有原函数，()u x ?=可导，则有换元公式 [()]() () ()f x d x x u f u du ???=?? 或为 [()]'() () () f x x d x x u f u d u ?? ?=?? 公式的要点： ①可以应用第一换元积分法的积分式必须具有结构： [()]()f x d x ??? 或 [()] '()f x x d x ??? ②换元时必须对两个位置的复合变量进行一致替换：一个是复合函数 [()]f x ?的第一中间变量()x ?，一个是微分函数()d x ?中的待微分函数()x ?。 ③换元后得到的积分式()f u du ?必须是简单函数的积分，如果仍含有复合函数，那么换元失败或复合变量认定错误。 3、第一类换元积分法的步骤分解 第一类换元法的基本公式在具体运用时，有许多技巧性手法，一下子不容易掌握，但万变不离其宗，根本的是掌握好基本公式的上述三个要点。 为准确理解和掌握第一类换元法的基本公式，下面进行分解说明。 第一类换元法的积分过程分为五个步骤：特征判断，凑微分，变量代换，直接积分，变量回代。 下面分别对五个步骤进行详细的分解分析。 第一步骤：特征判断——检查被积函数是否适合应用第一换元法 第一换元法要求被积函数具有结构特征： [()]()f x d x ??? 或 [()] '()f x x d x ??? 亦即被积式可分解为具有乘积关系的两个部分： ①复合函数[()]f x ?；
二重积分的变量代换
§4 二重积分的变量代换 引言 有一种情形，函数f 在D 上可积，但无论采用哪种积分次序都“算不出来”。 例如 2 2() x y D I e dxdy -+=??，D={}222(,)|x y x y a +≤ 分析：∵函数f(x,y)=2 2() x y e -+ 在有界区域D={}222(,)|x y x y a +≤处处连续，∴f ∈R （D ） 22 2222 () a a x x y a a x I dx e dy --+---=?? =22 2 2 22 a a x x y a a x e dx e dy ------?? 或者 22 2222 () a a x x y a a x I dy e dx --+---=?? =22 2 2 22 a a x y x a a x e dy e dx ------?? 计算不出来！f ∈R （D ），但化为二次积分后算不出来，因此，我们有必要寻找更有效的计算二重积分的方法. 联想到定积分的计算方法，换元法、分部积分法、N-L 公式等，特别是换元法，是一种化难为易的有效方法. 在二重积分中能否利用这种化难为易的思想呢？二重积分的变量代换，就是这种方法，。在定积分中，换元积分法对简化定积分计算起着重要的作用. 对于二重积分也有相应的换元公式，用于简化积分区域或被积函数. 1 定积分换元积分法公式的改写 2 一元函数)(x f y =在0x 的导数的绝对值)(0x f '的几何意义 3 函数行列式的几何意义 设变换),( , ),(v u y y v u x x ==的Jacobi 0) ,() ,(≠??v u y x D '是在该变换的逆变换),( , ),(y x v v y x u u ==下XY 平面上的区域D 在UV 平面上的象. 由条件0) ,() ,(≠??v u y x , 这里的逆变换是存在的. 一般先引出变换),( , ),(y x v v y x u u ==,设函数),( , ),(y x v v y x u u ==在XOY 平面上的区域D 内有连续的偏导数 . 在此变换之下,XOY 平面上的区域D 变为UV 平面上的区域D ', 且 设0),(),(≠??=v u y x J .由此求出变换),( , ),(v u y y v u x x ==，并且 1 ),(),(),(),(-??? ? ????=??y x v u v u y x . 引理1( 补充) 设变换T ： ),( , ),(y x v v y x u u ==如上所述, 又设在XOY 平面上有一块包
二第二换元法(变量代换法)
二.第二换元法（变量代换法） 第一换元法是用凑微分的办法，把一个比较复杂的 积分dx x x f )()]([??'??化成)()]([x d x f ???再积分，第二换元法则 是将积分dx x f ?)((看似简单，但是很难积分)用一个适当的变量代换)(t x ?=使dt t t f dx x f )()]([)(??'?=??却容易积分。再将 结果中的t 变回))((1x t -=?x . 例3.20求dx x x ?sin .解令t x =，2t x =，tdt dx 2=，则 dx x x ?sin c x c t dt t tdt t t +-=+-==? =??cos 2cos 2sin 22sin .例3.21计算dx a x ?-221,(0>a ). 解令t a x sec =，2 0π<
（为何不要绝对值？） 例3.22求.)(12 3 22dx x a ?+解令a x t tdt a dx t a x =?=?=tan ,sec ,tan 2.)(1csc ..sin 1cos 1sec sec 1)]tan 1([sec )(12222 32222223222 32222322c x a a x dx x a x x a t x a ctgt c t a tdt a dt t t a dx t a t a dx x a ++=+?+=∴=+===+=+????? 例2.23求?-x x dx 2.解?-x x dx 2?---=4 1)21()21(2x x d （利用例3.20的结果）c x x +--+-=41)21()21(ln 2c x x x +-+-=2)2 1(ln .例3.24计算. 922dx x x ?-.99ln 9393ln sin tan sec ln cos cos 1cos cos 1cos sin ) (cos sin 3sec 9tan 39221222222sec 322c x x x x c x x x x c t t t dt t dt t dt t t dt t t dt t t t t dx x x t x +---+=+---+=+-+=-=-==??-?????=?=画三角形例3.25求 ?-dx x a 22，（)0>a .解∵2 22)(1a x a x a -=-∴可令
反常积分与含参变量的积分
116 第十二章 反常积分与含参变量的积分 一、 反常积分： 内容提要： 1、 反常积分收敛的定义： ● 无穷积分： ():lim ()A a a A f x dx f x dx +∞→+∞=? ? ● 瑕积分： 0 ():lim ()b b a a f x dx f x dx δ δ+-→=?? b 为瑕点 若极限存在，则称反常积分收敛，否则称其发散. ● 绝对收敛与条件收敛： 若|()|a f x dx +∞ ?收敛，则称()a f x dx +∞? 绝对收敛. 若()a f x dx +∞ ? 收敛，但不绝对收敛则称其为条件收敛. 2、 反常积分的敛散性判别： ● 比较判别法： 若0()() [,)f x c x x a ?≤≤?∈+∞ ()a x dx ?+∞ ? 收敛?()a f x dx +∞ ? 收敛 ()a f x dx +∞ ? 发散?()a x dx ?+∞ ?发散 若0()() [,]f x c x x a b ?≤≤?∈ ()b a x dx ??收敛?()b a f x dx ? 收敛 ()b a f x dx ? 发散?()b a x dx ??发散 若()() ()a x f x g x f x dx +∞ →+∞? 收敛()a g x dx +∞ ?? 收敛 ● Dirichlet 判别发： ·若()f x 满足 () ().[,),0A a a f x f x dx M A a dx x λλ+∞ ≤?∈+∞?>? ? 收敛. ·若()f x 满足 ().[,)()(),0x b a a f x dx M x a b x b f x dx λλ≤?∈?->? ?收 敛. ● ·()f x 满足： ().[,)A a f x dx M A a x ≤?∈+∞→+∞? 时()g x 单调趋 于0 ()()a f x g x dx +∞ ?? 收敛.
归纳二重积分的计算方法
归纳二重积分的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 前言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义]1[ 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和 都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作 (),D J f x y d σ=??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??.
1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????. 1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在12D D U 上也可积,且 ()12 ,D D f x y d σ??U ()()1 2 ,,D D f x y d f x y d σσ=±???? 1.3在矩形区域上二重积分的计算定理 设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =?上可积,且对每个[],x a b ∈,积分(),d c f x y dy ?存 在,则累次积分(),b d a c dx f x y dy ? ?也存在,且 (),D f x y d σ?? (),b d a c dx f x y dy =??. 同理若对每个[],y c d ∈,积分(),b a f x y dx ?存在,在上述条件上可得 (),D f x y d σ?? (),d b c a dy f x y dx =?? 2.求的二重积分的几类理论依据 二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算 X -型区域: ()()(){}1 2 ,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ Y -型区域: ()()(){}1 2 ,,D x y x y x x y c y d = ≤≤≤≤ 定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则 (),D f x y d σ??()() () 21,b y x a y x dx f x y dy =?? 即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y -型,有