第09章 习题解
第9章 真空中的静电场
9.1 两个电量都是q +的点电荷分别固定在真空中两点A B 、，相距2a 。在它们连线的中垂线上放一个电量为q '的点电荷，q '到A B 、连线中点的距离为r 。求q '所受的静电力，并讨论q '在A B 、连线的中垂线上哪一点受力最大？若q '在A B 、的中垂线上某一位置由静止释放，它将如何运动？分别就q '与q 同号和异号两种情况进行讨论。
解：()
122201
4qq F F a r πε'==+
()
132
20
2
2cos 2qq r
F F a
r
θπε'
==
+
方向沿两点电荷连线垂直线远离它们方向。 令
0dF
dr
= ()()()1222223220202a r a r dF qq dr a r πε??+-'??==??+????
()2220a r -=
2
r a =±
在q '为正电荷时，在中垂线某位置由静止释放时，q '将沿中垂线远离，作变加速速直线运动；若q '为负电荷，q '以AB 连线的中点为平衡位置作振动；若释放点为AB 连线中点，静止释放时，无论q '为正、负电荷均因受力为0而不运动。
9.2 在正方形的顶点上各放一个点电荷q 。（1）证明放在正方形中心的任意点电荷受力为零。（2）若在正方形中心放一个点电荷q '，使得顶点上每个点电荷受到的合
力恰好为零，求q'与q的关系。
解：⑴设正方形边长为a，正方形上各点电荷对中心放置的点电荷的作用力大小均为：
22
00
11
42
2
qq qq
F
a
a
πεπε
''
==
??
?
??
q'所受到的四个力大小相等且对称，两相对顶点上的点电荷为一对平衡力，即q'受力为0。
⑵设正方形四个顶点上放置的点电荷q为正电荷，由于对称性，则可选一个顶点处理，其它点电荷对其的作用力大小为：
12
1
4
F
a
πε
=
22
1
42
F
a
πε
=
322
00
112
44
qq qq
F
a
πεπε
''
==
?
?
??
各力的方向如图所示，要满足题意，中心点电荷q'应为负电荷。要使顶点上的点电荷所受合力为0，则
321
2cos45o
F F F
=+
q
将各量代入
(1q q '=+ 即
(1q q '=-+
9.3卢瑟福实验证明：当两个原子核之间的距离小到1510m -时，它们之间的排斥力仍然遵从库仑定律。金原子核中有79个质子，氦原子核（即α粒子）中有2个质子。已知质子带电量为191.6010C -?，α粒子质量为276.6810kg -?.当α粒子与金原子核相距156.910m -?时（设这时它们仍然可以看成点电荷），求α粒子所受的力及其加速度的大小。
解：金原子核带电量为：191779 1.6010 1.26410Q C --=??=?，氦原子核带电量为：
19192 1.6010 3.2010q C C --=??=?
氦原子核受的力和加速度分别为：
()
1719
22121501 1.26410 3.210764.344 3.148.8510 6.910Qq F N r πε----???===????? 292
27764.3 1.1410/6.6810
F a m s m -===??
9.4 有一个电偶矩为q =p l 的电偶极子，求在轴线延长线上任一点A 的电场强度。已知A 点到电偶极子中心的距离为r ，并且r l 。
解：电矩为P ql =的电偶极子，由两个带等量异号的点电荷组成。
A E E E +-=+
q -
q +
x
222200011114442222A q q q E l l l l r r r r πεπεπε????
??=-=-??
????????+-+-?? ? ? ? ??????????? 由于r l >>，
()22220032200111144221144A q q E r rl r rl l l r r ql
ql r r r l πεπεπεπε????????=-≈- ???+-??
????+-??
? ??
?????=-
≈-
- 即 3
01
4A P
E r
πε≈-
9.5一根不导电的细塑料棒弯成一个留有缝隙的圆，圆的半径为0.5m ,缝隙宽
2.0cm , 塑料棒均匀带电9
3.1210C -+?。求圆心处电场强度的大小和方向。
解：对于一无缝隙的均匀带电圆，由于带电体具有对称性，由场叠加原理可分析得圆心处的场强为0
本题弯成圆有缝隙，缝隙之处可以视为同时带等量的正电荷和负电荷。则可得圆心处的场强即为缝隙负电荷产生的场强。
9
93.1210110/2 3.140.50.022 3.140.50.02
Q C m λ--?=
==???-??- 缝隙负电荷为
110.02210q C λ-=-=-? 圆心处的电场强度大小为：
11
212122
01
21081044 3.148.85100.5
q E N C r πε----?===??????
9.6 将电荷线密度为λ的无限长均匀带电线分别弯成图中（a ）(b)两种形状，设圆弧半径为R ，求两图中O 点的电场强度。
解：由场的叠加原理，本题问题的求解，可将带电线分段求出各自在考察点处的场强，再叠加求得。
利用教材例9.3的结果，有： ()0sin sin 4x E R
λ
βαπε=
- ()0cos cos 4y E R
λ
αβπε=
- 对于一半无限长的带电线，在其-端垂直距离R 处产生的电场强度为：
(a)
B
(b)
E
即,2
π
αβπ=
=，则有
()00sin sin 44x E R R λλ
βαπεπε=
-=-
()00cos cos 44y E R R
λλ
αβπεπε=
-=
可见，,x y E E 的大小相等，即E 的方向与y 轴成45o ，大小为：
104E R
πε==
对于弧形带电线产生的场：
如图所示，取弧元，所带电量为：dq Rd λθ=，其在圆心处的场强为： 2001
44dq dE d R R λθπεπε=
=
2
000cos cos 44x E dE d R R π
λλθθθπεπε===
?? 2
000sin sin 44y E dE d R R
πλλθθθπεπε===?? 则有
204E R
πε==
方向沿45o θ=
（a ）带电线可视为三段组成，O 点处的场为三部分在该处产生的场的叠加。如图所示，则有：
204O E E R
πε==
方向沿45o θ=对称方向。
（b ）带电线可视为四段组成，O 点处的场为四部分在该处产生的场的叠加。如图所示：
由于12E E =，四部分带电线产生的场有对称性，则有 0O E =
9.7 求半径为R 、带电量为Q 的均匀带电球体内外的场强分布。
解：带电体为均匀带电球内，其所激发的场具有球对称性。利用高斯定理，取同心球面为高斯面
当r R <时，即球内 2
3
30144433
Q
E dS EdS E r r R ππεπ?=
==??
3
014Qr
E R πε=
当r R >时，即球外 2
1
4E dS EdS E r Q πε?===??
2
01
4Q E r πε=
9.8 求半径为R 、面电荷密度为σ的无限长均匀带电圆柱面内外的场强分布。
解：无限长均匀带电圆柱面产生的场具有柱面对称性，利用高斯定理，取同轴圆柱面为高斯面，所取高斯圆柱面的半径为r ，高度为l ? 当r R <时，带电圆柱面内
20E dS EdS E r l π?==?=??
0E =
当r R >时，带电圆柱面外 0
1
22E dS EdS E r l R l πσπε?==?=
???
0R
E r
σε=
9.9 半径分别为1R 和2R （21R R >）的一对无限长共轴圆柱面上均匀带电，沿轴线单位长度的电荷分别为12λλ、。（1）求空间各区域的场强分布。（2）若12λλ=-，情况如何？
解：⑴两个无限长共轴圆柱面带电体所激发的场具有柱对称性，利用高斯定理，取同轴圆柱面为高斯面，所取高斯圆柱面的半径为r ，高度为l ? 当1r R <时：
20E dS EdS E r l π?==?=??
10E = 当12R r R <<时：
10
1
2E dS EdS E r l l πλε?==?=
???
1
2012E r
λπε=
当2r R >时：
120
1
2()E dS EdS E r l l πλλε?=
=?=
+???
12
3012E r
λλπε+=
⑵ 若12λλ=-，则有 10E = 1
2012E r
λπε=
30E =
9.10 1903年，英国物理学家汤姆孙根据实验，提出了汤姆孙原子模型：原子的正电荷均匀分布在半径约为101.010m -?的球体内，电子则在正电荷球内运动。1911年，汤姆孙的学生卢瑟福根据α粒子散射实验的结果，提出了原子的核式结构模型：原子的正电荷集中在很小（约1510－m ）的范围内，电子则在核外运动。在原子范围内，这两种原子模型产生的电场强度是不同的。以金原子为例，它的正电荷量为
1917
79161012610C Ze ..--=??=?，它的原子核半径为156910.?－m 。（1）按照卢瑟福的
原子模型，求金原子核在核的表面上产生的电场强度的大小。（2）按照汤姆孙的原子模型，金原子的正电荷所能产生的电场强度的值最大为多少?(3)根据上面的计算，在
α粒子散射实验中，当α粒子（带电量为2e ＋）射向原子时，它所受的最大静电力各
为多少？
解：⑴由高斯定理，取球面高斯面，球面半径略大于核半径，则有
2
1
4in E dS EdS E r Q πε?=
==??
金原子核表面上场强大小为：
()
17211
22121501
1.2610
2.381044
3.148.8510 6.910Q E N C r πε----?===??????? ⑵由习题9.7的结果
()
()
30
2
1
414Qr
r R R E Q r R r πεπε?
?>??
可见，r R =时，场强最大，即
()
17131
22121001
1.2610 1.131044 3.148.8510 1.010Q E N C R πε----?===??????? ⑶卢瑟福原子模型下，α粒子所受最大静电力为： 19211.610
2.3810380F qE N -==???= 汤姆孙原子模型下，α粒子所受最大静电力为： 191361.610 1.1310 1.8010F qE N --==???=?
9.11 半径分别为1R 和2R （21R R >）的一对无限长共轴圆柱面上均匀带电，沿轴线单位长度的电荷分别为λλ+、-。分别把电势参考点选在无限远处和轴线上，求：（1）离轴线为r 处的电势。（2）两筒间的电势差。
解：⑴根据9.9题的结果,有
()()()
112020,
120r R E R r R r r R λ
πε?
?=<
??>?
电势参考点选在无限远处时, 2r R >时,0U = 12R r R <<时
,
22
2001ln 22R R r
r
r
R U E dl Edr dr r r
λλ
πεπε∞
=?===???
1r R <时,
2
2
1
1
2001
1ln 22R R r
R R R U E dl Edr dr r R λλ
πεπε∞
=?===???
即 ()()()
210
12
120
2ln 2ln 20R r R R R
U R r R r r R λ
πελπε???
电势参考点选在轴线处时:
1r R <时, 00
0r
r
U E dl Edr =?==??
12R r R <<时,
1
1
001
1ln 22R R r
r
r
r
U E dl Edr dr r R λλπεπε=?===-???
2r R >时,
1
1
2
2
2001
1ln 22R R r
R R R U E dl Edr dr r R λλ
πεπε=?===-???
即 ()()()
112012201
0ln
2ln 2r R r U R r R R R
R r R λ
πελπε?
?
ln 2R U R λ
πε?=
电势参考点选在轴线处时,内外圆柱面之间的电势差为:
201
ln 2R U R λ
πε?=
9.12 如图所示，2AB L,OCD =是以B 为圆心、L 为半径的半圆。A 点有正电荷q +，B 点有负电荷q -。
（1）将单位正点电荷从O 点沿OCD 移动到D 点，电场力做了多少功？（2）将单位负点电荷从D 点沿AD 的延长线移动到无穷远处，电场力做了多少功？
解：⑴选取无限远处为0势参考点，根据点电荷产生的电势014q
U r
πε=以及势的叠加原理，可求得： 0O U =
0001
114346D q q q
U L L L πεπεπε-=
+=-
将单位正点电荷从O 点沿OCD 移动到D 点，电场力做功为： 0006O D O D q A q U q U U U L
πε=-=-=
将单位负点电荷从D 点沿AD 的延长线移动到无穷远处，电场力做功为： 0006D D q A q U U L
πε=-=-=
9.13 半径为R 的均匀带电圆盘，电荷面密度为σ。利用例9.13的结果，计算轴线上的电势分布。并由电势求轴线上的电场分布。
解：由例9.13的结果，半径为r 的均匀带电圆环在其轴线上产生的电势为：
()
12
20
2
14Q
U r
x
πε=
+
将带电圆盘分割为若干圆环，半径为r ，宽为dr 圆环带电量为： 2dQ rdr σπ= 运用以上结果，其在轴线上产生的势为： ()
()
()111
2
22
22
20
02
2
2
11212444dQ
rdr
rdr
dU r
x
r
x
r x σπσπεπεε=
=
=
+++ 整个带电圆盘在轴线上产生的电势为：
()
()
(
))
22110
2
22
20
2
2
121
442R
R
rdr
U d r x x r
x
r
x
σσσεεε==
+=
++?
?
轴上各点上的电场强度大小为：
012U E x σε???=-= ??
9.14 轻原子核结合成较重的原子核称为核聚变，核聚变时能释放大量的能量。例如，四个氢原子核（质子）聚变成一个氦原子核（α粒子）时，可释放出28MeV 的能量，这种核聚变就是太阳发光发热的能量来源。多年来，人们一直在研究如何实现受控核聚变，以解决人类的能源问题。实现核聚变的困难在于原子核都带正电荷，相互排斥，在一般情况下不能相互靠近而发生结合。只有在温度非常高时，原子核热运动的速度十分快，才能冲破原子核之间的斥力碰到一起，发生热核聚变。根据统计物
理学可知，温度为T 时，粒子的平均平动动能为3
2
kT ，其中23113810J K k .-=??－，称
为玻尔兹曼常数。已知质子的半径约为r ?-15=110m.试计算两个质子因热运动而达到相互接触时所需的最低温度。
解：质子在其表面附近产生的电势为： 014q
U r
πε=
两个质子要相互接触，则质子的平动能要克服势能，即必需满足
3
2
kT qU ≥
()
2
192
10122315
0 1.610 1.111066 3.148.8510 1.3810110q
T K kr
πε----?==
=????????
9.15 题图是密立根设计的油滴实验装置，可以用来测量小油滴的带电量并因此提出基元电荷的数值。被喷雾器喷入的微小油滴，与空气摩擦而带电，带电的油滴通过小孔进入由两带电平行板产生的匀强电场中，调节电场E 的大小，使作用在油滴上的电场力和重力平衡。若测出油滴的半径416410r .-=?cm ，平衡时场强5119210E .N C -=??，油滴的密度为
330.85110/kg m ?,求油滴所带电荷。
解：油滴的质量
()33361444
0.85110 3.14 1.6410 1.61033
m r kg ρπ--==?????≈?
由平衡条件， qE mg =
14191951.610105 1.6108.0101.9210
mg q C E ---??==≈??=??
第5章习题解答(高频)
第5章习题解答 5-1 若反馈振荡器满足起振和平衡条件，则必然满足稳定条件，这种说法是否正确？为什么？ 解： 不正确。因为满足起振条件和平衡条件后，振荡由小到大并达到平衡。但当外界因素（温度、电源电压等）变化时，平衡条件受到破坏。若不满足稳定条件，振荡器就不会回到平衡状态，最终导致停振。 5-3 题图5-3表示三回路振荡器的交流等效电路，假定有以下六种情况，即： （1）L 1C 1＞L 2C 2＞L 3C 3； （2）L 1C 1＜L 2C 2＜L 3C 3； （3）L 1C 1＝L 2C 2＝L 3C 3； （4）L 1C 1＝L 2C 2＞L 3C 3； （5）L 1C 1＜L 2C 2＝L 3C 3； （6）L 2C 2＜L 3C 3＜L 1C 1。 试问哪几种情况可能振荡？等效为哪种类型的振荡电路？其振荡频率与各回路的固有谐振频率之间有什么关系？ 解： （1）由于 L 1C 1＞L 2C 2＞L 3C 3 因此 1 12 23 3111C L C L C L ＞ ＞ 即 123ωωω＞＞ 当1203ωωωω＞＞＞时，L 2C 2与L 1C 1均呈容性，L 3C 3呈感性，电路成为电容反馈三端电路，可以振荡。 （2）当L 1C 1＜L 2C 2＜L 3C 3时，可取1203ωωωω＜＜＜，电路成为电感反馈三端电路，可以振荡。 （3）L 1C 1＝L 2C 2＝L 3C 3，不能振荡。 （4）L 1C 1＝L 2C 2＞L 3C 3 10ωω＞，ce 为容性； 20ωω＞，be 为容性； 30ωω＜，cb 为感性。 因为123ωωω=＞，0ω可同时满足上述条件，电路成为电容反馈三端电路，可以振荡。 （5）L 1C 1＜L 2C 2＝L 3C 3 若电路为电容反馈三端电路，则应满足下列条件：
五年级解方程练习题180题(有答案)(2)
五年级解方程180题有答案(1) (0.5+x)+x=9.8 - 2 (12) X+8.3=10.7 (2) 2(X+X+0.5)=9.8 (13) 15x = 3 (3) 25000+x=6x (14) 3x -8= 16 (4) 3200=440+5X+X (15) 3x+9=27 (5) X-0.8X=6 (16) 18(x-2)=270 (6)12x-8x=4.8 (17) 12x=300-4x (7) 7.5+2X=15 (18) 7x+5.3=7.4 (8)1.2x=81.6 (19) 3x - 5=4.8 (7) x+5.6=9.4 (25) 0.5x+8=43 (10)x-0.7x=3.6 (26) 6x-3x=18 (11)91 - x = 1.3 (27) 7(6.5+x)=87.5
(28) 0.273 - x=0.35 (40) 20-9x=2 (29) 1.8x=0.972 (41) x+19.8=25.8 (30) x - 0.756=90 (42) 5.6x=33.6 (31) 0.1(x+6)=3.3 X 0.4 (43) 9.8-x=3.8 (32) (27.5-3.5) - x=4 (44) 75.6 - x=12.6 (33) 9x-40=5 (45) 5x+12.5=32.3 (34) x - 5+9=21 (46) 5(x+8)=102 (35) 48-27+5x=31 (47) x+3x+10=70 (36) 10.5+x+21=56 (48) 3(x+3)=50-x+3 (37) x+2x+18=78 (49) 5x+15=60 (38) (200-x) - 5=30 (50) 3.5-5x=2 (39) (x-140) - 70=4 (51) 0.3 X 7+4x=12.5
解三角形典型例题
1．正弦定理和余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 1.在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A 5－1 凸轮以匀角速度ω绕O 轴转动，杆AB 的A 端搁在凸轮上。图示瞬时AB 杆处于水平位置，OA 为铅直。试求该瞬时AB 杆的角速度的大小及转向。 解： r e a v v v += 其中，22e r v e -=ω e v v e a ωφ==tg 所以 l e l v a AB ωω= = （逆时针） 5－2. 平底顶杆凸轮机构如图所示，顶杆AB 可沿导轨上下移动，偏心圆盘绕轴O 转动，轴O 位于顶杆轴线上。工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面。该凸轮半径为R ，偏心距e OC =，凸轮绕轴O 转动的角速度为ω，OC 与水平线成夹角?。求当?=0?时，顶杆的速度。 （1）运动分析 轮心C 为动点，动系固结于AB ；牵连运动为上下直线平移，相对运动为与平底平行直线，绝对运动为绕O 圆周运动。 （2）速度分析，如图b 所示 5－3. 曲柄CE 在图示瞬时以ω0绕轴E 转动，并带动直角曲杆ABD 在图示平面内运动。若d 为已知，试求曲杆ABD 的角速度。 解：1、运动分析：动点：A ，动系：曲杆O 1BC ，牵连运动：定轴转动，相对运动：直线，绝对运动：圆周运动。 2、速度分析：r e a v v v += 0a 2ωl v =；0e a 2ωl v v == 01e 1 ωω== A O v BC O （顺时针） 5－4. 在图示平面机构中，已知：AB OO =1，cm 31===r B O OA ，摇杆D O 2在 D 点与套在A E 杆上的套筒铰接。OA 以匀角速度rad/s 20=ω转动， cm 332==l D O 。试求：当?=30?时，D O 2的角速度和角加速度。 解方程测试题 请使用任意方法解下列方程，带*的必须检验。 9.3x=32.2 32x=73.1 131×x=25 99.3x=85 75.9÷x=20.6 x+68.2=54.6 x×95.6=6.7 119×x=98.3 77x=92.3 x×44.2=130 x÷75.3=94.7 42.2-x=71.7 125+x=102 89x=10 x×90.1=9.5 42.2+x=96 56-x=99.0 115÷x=34.2 54.5+x=50.1 133x=50.2 x+27.7=39.7 28.5-x=52.3 x×31.3=6.8 50.4x=108 49.1x=50.5 x×94.9=79 x+44.2=84.8 x×31.3=148 21.5x=77 35x=26.5 24.5×x=3.9 26.2x=65.4 105x=14.7 x÷17=77.8 x×83.1=19.4 29.0-x=17.6 12.6x=81.1 145x=98.6 7.0x=18.3 x+8=21.5 69.7x=106 20.8+x=20 84.7x=28.5 x-78.5=23 41x=60.3 59.6x=96.6 24.3x=30 54x=96 108x=25.2 68-x=40.5 x÷65.5=148 60x=82.1 x÷60.6=83 2.0+x=76.3 x×2=138 12x=36.0 77.2x=73.1 x-100.2=81.0 67×x=48.1 145+x=20.9 64.9x=96.7 65.2÷x=44.5 35.4+x=67.0 x-98=3.5 34.7+x=60.1 78.6x=49.3 x+14=98.0 x-129=88 x+48=31.9 34x=42.7 75+x=53 72.0x=107 43x=17.9 74.2+x=71 68x=9.8 121x=39.7 x+69.3=25.6 10.5x=45.0 96.7×x=66.6 50.9÷x=79.9 x÷74=68 65+x=148 x÷88.5=27 35.6÷x=39.4 60.0x=92.5 87.1x=24.8 x×72.8=34.2 63.9x=23 x÷23.4=99.6 143x=36.4 98x=61.0 x-31.4=21 x-91.3=18.9 x×66=3.0 39.8×x=16.7 27.0÷x=9.3 7.3×x=32.6 8.8x=17.7 94.5x=28.3 x-10.5=84.8 x×44.8=83 101-x=9.8 74.1x=29.2 7×x=91 79.6÷x=124 51.4-x=43 52.4x=72.6 60.0-x=33 1. 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+= sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+= cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π= 所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bc a c b A 2cos 2 22-+=代入右边 得右边22222222 22()222a c b b c a a b c abc abc ab +-+--=-= 22a b a b ab b a -==-=左边， ∴)cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．证明：∵△AB C 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>-> ∴sin sin()2 A B π >-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A > ∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 4.解：∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=，即2sin cos 4sin cos 2222 A C A C B B +-=， ∴1sin cos 222B A C -==0,22 B π<<∴cos 2B = ∴sin 2sin cos 22244B B B ==?=839 5解：22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B ++===-- cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A A B A B A B A B π===+=或2 ∴等腰或直角三角形 6解：2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ?-?=- 222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=- 习题3 3-1．求下列齐次线性方程组的通解： （1）?? ? ??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??-----?→?????? ??-----=144072021 1873153211A )(000720211阶梯形矩阵B =???? ? ??-?→? ??? ?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =????? ? ???→? ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??? ?=+=+02702 11 z y z x ， 即 ??? ??? ?-=-=z y z x 272 11（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系 T )1,2 7,211(-- =ξ, 所以，方程组的通解为 ,)1,2 7,211(T k k -- =ξk 为任意常数． （2）??? ??=+++=+++=++++0 86530543207224321 432154321x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A )(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→? ???? ? ??-?→?70000141010211201 )(100000101001201行最简形矩阵C =???? ? ???→?， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??==+=++00 025 42431x x x x x x ， 即 ??? ??=-=--=025 4 2431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T ，得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ， 所以，方程组的通解为 五年级解方程练习题 方程：含有未知数的等式叫做方程。 方程的解：使方程成立的未知数的值叫做方程的解。解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 解方程的依据：1. 等式性质（等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； 等式两边同时乘以或除以同一个数，等式仍然成立。） 2. 加减乘除法的变形。 加法：加数1+加数2=和 加数1=和–加数2 加数2=和–加数1 减法：被减数–减数=差 被减数=差+减数 减数=被减数–差 乘法：乘数1×乘数2 =积 乘数1=积÷乘数2 乘数2=积÷乘数1 除法：被除数÷除数= 商 被除数=商×除数 除数=被除数÷商 一、解方程： 20x-50=50 28+6 x =88 32-22 x =10 24-3 x =3 10 x ×（5+1）=60 99 x =100- x 36÷x=18 x÷6=12 56-2 x =20 4y+2=6 x+32=76 3x+6=18 16+8x=40 2x-8=8 4x-3×9=29 二、解方程： 8x-3x=105 x-6×5=42+2x 2x+5=7 ÷ 3 2（x+3）=10 12x-9x=9 6x+18=48 56x-50x=30 5x=15（x-5）78-5x=28 32y-29y=3 5（x+5）=15 89 – 9x =80 100-20x=20+30x 55x-25x=60 76y÷ 75=1 23y÷23=23 4x-20=0 80y+20=100-20y 53x-90=16 2x+9x=11 12（y-1）=24 80÷5x=100 7x÷8=6 65x+35=100 19y+y=40 25-5x=15 一、知识梳理 1．内角和定理：在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 面积公式: 111 sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?= == 在三角形中大边对大角，反之亦然. 2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二： ?? ? ??===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 形式三：::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四： sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = == 3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 2 2 2 2cos b c a ca B =+- 222 2cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具) 形式二： 222cos 2b c a A bc +-= 222cos 2a c b B ac +-= 222 cos 2a b c C ab +-= 二、方法归纳 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b c A B C == ，可求出角C ，再求b 、c . (2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2 -2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C . (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C . (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a b A B = ，求出另一边b 的对角B ，由C =π-(A +B )，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b A B = 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况 a = b sinA 有一解 b >a >b sinA 有两解 a ≥b 有一解 a >b 有一解 三、课堂精讲例题 问题一：利用正弦定理解三角形 第五章练习题参考答案 1、下面表是一张关于短期生产函数),(K L f Q 的产量表: (1) 在表1中填空 (2) 根据(1)。在一张坐标图上作出TPL 曲线,在另一张坐标图上作出APL 曲线和MPL 曲线。 (3) 根据(1),并假定劳动的价格ω=200,完成下面的相应的短期成本表2。 (4) 根据表2,在一张坐标图上作出TVC 曲线,在另一张坐标图上作出AVC 曲线和MC 曲线。 (5) 根据(2)和(4),说明短期生产曲线和短期成本曲线之间的关系。 解:(1)短期生产的产量表(表1) (2) (3)短期生产的成本表(表2) (4)边际产量和边际成本的关系,边际MC和边际产量MPL两者的变动方向是相反的。 总产量和总成本之间也存在着对应关系:当总产量TPL下凸时,总成本TC曲线和总可变成本TVC是下凹的;当总产量曲线存在一个拐点时, 总成本TC曲线和总可变成本TVC也各存在一个拐点。平均可变成本和平均产量两者的变动方向是相反的。MC曲线和AVC曲线的交点与MPL曲线和APL曲线的交点是对应的。 2、下图是一张某厂商的LAC曲线和LMC曲线图。请分别在Q1和Q2的产量上画出代表最优生产规模的SAC曲线和SMC曲线。 解:在产量Q1和Q2上,代表最优生产规模的SAC曲线和SMC曲线是SAC1和SAC2以及SMC1和SMC2。 SAC1和SAC2分别相切于LAC的A和B，SMC1和SMC2则分别相交于LMC的A1和 B 1。 3、假定某企业的短期成本函数是TC(Q)=Q 3 -5Q 2 +15Q+66: (1) 指出该短期成本函数中的可变成本部分和不变成本部分; (2) 写出下列相应的函数:TVC(Q) AC(Q) AVC(Q) AFC(Q)和MC(Q)。 解(1)可变成本部分: Q 3 -5Q 2 +15Q 不可变成本部分:66 (2)TVC(Q)= Q 3 -5Q 2 +15Q AC(Q)=Q 2 -5Q+15+66/Q AVC(Q)= Q 2-5Q+15 AFC(Q)=66/Q MC(Q)= 3Q 2-10Q+15 4、已知某企业的短期总成本函数是STC(Q)=0.04 Q 3 -0.8Q 2 +10Q+5,求最小的平均可变成本值。 解: TVC(Q)=0.04Q 3 -0.8Q 2 +10Q AVC(Q)= 0.04Q 2 -0.8Q+10 令08.008.0=-='Q C AV 得Q=10 又因为008.0>=''C AV 解三角形的必备知识和典型例题及习题一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 2 2 2 （1）三边之间的关系： a ＋ b ＝c 。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A＝cos B＝a c ，cos A＝sin B＝ b c ，tan A＝ a b 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c 分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 a sin A b sin B c sin C 2R （R为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c －2bc cos A； b ＝c ＋a －2ca cos B； c ＝a ＋b －2ab cos C。 3 ．三角形的面积公式： （1）S ＝1 2 ah a＝ 1 2 bh b＝ 1 2 ch c（h a、h b、h c 分别表示a、b、c 上的高）； （2）S ＝1 2 ab sin C＝ 1 2 bc sin A＝ 1 2 ac sin B； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 线性方程组 1. 用消元法解方程组?????? ?=- +-+=-- + - =-+-+ =- -+-5 2522220 21 22325 4 321 53 2 154321 5 4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 解: 方程组的增广矩阵 : ????? ???????---------→????????????---------→????????????---------420200110100112430211321312630202530112430211321512522110112121111211321? ??? ????? ???--------→60000 0110100112430211321,可知,系数矩阵的秩为3,增广矩阵的秩为4,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,从而方程组无解. 2. 讨论λ为何值时,方程组??? ??=++ = + +=++2 3 2 1 3 2 1 321 1 λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解、无解和有无穷多解。 解：将方程组的增广矩阵进行初等行变换，变为行阶梯矩阵。 ()() ()()B A =??? ? ???? ? ?+------→→???? ????? ?→?? ??? ?????=22 2 2211210 1101 111 1 11111 1 1 1 111λλλλλλλ λλλ λλλλλλλ λλ λΛ于是，当2,1-≠λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于3，等于未知量的个数，此 时方程组有唯一解;2 )1(,21,213 321++-=+=++- =λλλλλx x x 当2-=λ时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时方程组无解； 当1=λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于1，小于未知量的个数，此时方程组有无穷多解，即3211x x x --=，其中32,x x 为自由未知量。 解三角形三类经典类型 类型一 判断三角形形状 类型二 求范围与最值 类型三 求值专题 类型一 判断三角形形状 例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2 22sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2B=sin 2 C ，∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 C B A 222sin sin sin += 得 2 22c b a += ∴三角形为等腰直角三角形． 例２：在△ABC 中，若Ｂ=ο 60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状. 解:∵２b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=ο 60得sinA+sinC=3 由三角形内角和定理知sinA+sin(A -ο 120)=3,整理得 sin(A+ο30)=1 ∴A+ο ο ο 60,9030==A 即,所以三角形为等边三角形. 例3：在△ABC 中，已知2 2 tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 解：法1：由题意得 B A A B B A 2 2sin sin cos sin cos sin =，化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或2 π = +B A ，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形． 法2：由已知得22cos sin cos sin b a A B B A =结合正、余弦定理得2 222222222b a bc a c b b a c b c a a =-+? -+? ， 整理得0))((2 2 2 2 2 =-+-c b a b a ∴ 2 2222c b a b a =+=或 即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA= C B C B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状． 解：(1)由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC －cosBsinC=0即sin(B －C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形. (2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得 一、基本练习： x+4=10 x-12=34 8x=96 4x－３０＝０８.3x－２x＝６３x÷10 = 5.2 二、提高练习： 3x+ 7x +10 = 90 3（x - 12）+ 23 = 35 7x－8＝2x＋27 5x -18 = 3–2x （7x - 4）+3（x - 2）= 2x +6 三、列方程解应用题： 1、食堂运来150千克大米，比运来的面粉的3倍少30千克。食堂运来面粉多少千克？ 2、李师傅买来72米布，正好做20件大人衣服和16件儿童衣服。每件大人衣服用2.4米，每件儿童衣服用布多少米？ 综合练习 1、80÷x＝20 2、12x＋8x－12＝28 3、3（2x－1）＋10=37 4、1.6x＋3.4x－x－5＝27 5、2（3x－4）＋（4－x）＝4x 6、3（x+2）÷5=（x+2） 7、（3x＋5）÷2＝（5x－9）÷3 0.7(x＋0.9)=42 1.3x＋2.4×3=12.4x＋(3－0.5)=127.4－(x－2.1)=6 1、果园里有52棵桃树，有6行梨树，梨树比桃树多20棵。平均每行梨树有多少棵？ 2、一块三角形地的面积是840平方米，底是140米，高是多少米？ 能力升级题 1、7（4－x）＝9（x－4） 2、128－5(2x+3)=73 3、1.7x＋4.8＋0.3x＝7.8 4、x÷0.24＝100 5、 3（x +1 ）÷（2x – 4）= 6 1、一辆时速是50千米的汽车，需要多少时间才能追上2小时前开出的一辆时速为40千米汽车？(列方程解答) 2、学校举行书画竞赛,四、五年级共有75人获奖,其中五年级获奖人山数是四年级的1.5倍,四、五年级各有多少同学获奖? (列方程解答) 《解直角三角形》典型例题 例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形． 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ； （2）由a b B =tan ，知 ； （3）由c a B = cos ，知860cos 4cos =?==B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ． 例 2 在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴ 设 ,则 由勾股定理,得 ∴ ． ∴ ． 解法二 133330tan =?=?=b a 说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中， 于D ，若 ，解三 角形ABC ． 分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是的边，所以应先从Rt入手． 解在Rt中，有： ∴ 在Rt中，有 说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如： （2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中 “”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值： 所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具． 例4在中，，求． 分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差； （2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解． 解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有，且有 ； 在中，，且 ， ∴； 于是，有， 则有 说明还可以这样求： 5．1、在自由空间中已知电场3(,)10sin() /y z t t z V m ωβ=-E e ，试求 出磁场强度(,)z t H 。 解：已知自由空间中的波阻抗为：0120 ηπ=Ω， 根据电场强度和磁场强度的关系，可以得到磁场强度为： 300 3 1 1(,)10sin() /10 sin() /120 2.65sin() /y z t t z A m t z A m t z A m ωβηηωβπωβ=-=- -=--=--x x x x H e E e e e 5．5 理想介质中的均匀平面波的电场和磁场分别为 710cos(6100.8) /x t z V m ππ=?-E e ， 7 1cos(6100.8) /6y t z A m πππ=?-H e 试求：相对磁导率r μ和相对介电常数r ε。 解： 本征阻抗10 60 16E H ηππ ===Ω 由60ηπ=== 0.8k ωωπ=== 120 π=Ω 得到：2,8r r με== 5．6在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为 (20)4204210+10 /j z j z x y e e e V m πππ-----= E e 试求： （1） 平面波的传播方向和频率。 （2） 波的计划方式； （3） 磁场强度H ； （4） 流过与传播方向垂直的单位面积的平均功率。 解： （1）传播方向为e z 有题意知20k πω ==，故 9610/rad s ωπ==? 93102f H z ω π==? （2）原电场可表示为 420(+)10j z x y je e π--= E e ，2y x πφφ-= 是左旋圆极化波。 （3）有01z H e E η=? ，得到 420(20)7720210(-)120 2.6510 2.6510j z y x j z j z x y je e e e e e πππππ-------==-?+? H e （4） 线性方程组解的结构（解法） 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r (A )= r 第五章习题解答 5-2-1 如图所示的一块均匀的长方形薄板，边长分别为a 、b ．中心O 取为原点，坐标系如图所示．设薄板的质量为M ，求证薄板对Ox 轴、Oy 轴和Oz 轴的转动惯量分别为 2Ox 121Mb J = 2Oy 121Ma J = () 22Oz 12 1 b a M J += [解] 根据转动惯量的定义 ? =m r J d 2 对ox J 取图示微元，有 ? =m mb J 2ox d 121212 1 mb = 同理可得 2oy 12 1 ma J = 对于 ???? +=+==m y m x m y x m r J d d d )(d 22222oz 22ox oy 12 1 121mb ma J J += += 5-2-2 一个半圆形薄板的质量为m 、半径为R ，当它绕着它的直径边转动时，其转动惯 量是多大 [解] 建立坐标系，取图示面积元 θd d d r r s =，根据转动惯量的定义有 ???==π θπθ0 2 2 2 2 ox d d 2sin d R r r R m r m y J 20 2324 1 d d sin 2mR r r R m R = =?? πθθπ 5-2-3 一半圆形细棒，半径为R ，质量为m ，如图所示．求细棒对轴A A '的转动惯量． [解] 建立图示的坐标系，取图示l d 线元，θλλd d d R l m ==， 根据转动惯量的定义式有 ? ? = ='π θθλ0 2 22 A A d sin d R R m x J 20 22 2 1 d sin mR mR = = ? π θθπ θ d d l θ x θ d d m d r r θR O x y 课程设计阶段性报告 班级：学号：姓名：申报等级： 题目：线性方程组求解 1.题目要求：输入是N（N<256）元线性方程组Ax=B，输出是方程组的解，也可能无解或有多组解。可以用高斯消去法求解，也可以采用其它方法。 2.设计内容描述：将线性方程组做成增广矩阵，对增广矩阵进行变换然后采用高斯消元法消去元素，从而得到上三角矩阵，再对得到的上三角矩阵进行回代操作，即可以得到方程组的解。 3.编译环境及子函数介绍：我使用Dev-C++环境编译的，调用uptrbk() FindMax()和ExchangeRow(),uptrbk是上三角变换函数，FindMax()用于找出列向量中绝对值最大项的标号，ExchangeRow()用于交换两行 4. 程序源代码： #include //交换矩阵中的两行 void ExchangeRow(int p,int j,double *A,int N) { int i=0; double C=0.0; for(i=0;i 四年级解方程典型练习题 练习一 【知识要点】学会解含有三步运算的简易方程。 2、口算下面各题。 3.4a－a= a－0.3a= 3.1x－ 1.7x= 0.3x＋3.5x＋x= 15b－4.7b= 6.7t－t= 32x－4x x－0.5x－0.04x= 3、解方程。 2x＋0.4x=48(并检验) 8x－ x=14.7 35x＋13x=9.6 4、列出方程，并求出方程的解。 ①x的7倍比52多25。②x的9倍减去x的5倍，等于24.4。 ①0.3乘以14的积比x的3倍少0.6。②x的5倍比3个7.2小3.4。 ③一个数的3倍加上它本身 2、苹果：x千克 梨子：比苹果多270千克 求苹果、梨子各多少千克？ 3、两个数的和是144，较小数除较大数，商是3，求这两个数各是多少？ 练习二 1、解方程 0.52×5－4x=0.6 0.7(x＋0.9)=42 1.3x＋2.4×3=12.4 x＋(3－0.5)=12 7.4－(x－2.1)=6 5(x＋3)=35 x＋3.7x＋2=16.1 14x＋3x－1.2x=158 5x＋34=3x ＋54 【拓展训练】 1、在下面□里填上适当的数，使每个方程的解都是x=2。 □＋5x=25 5x－□=7.3 2.3x×□ =92 2.9x÷□=0.58 2、列方程应用题。 ①果园里有苹果树270棵，比梨树的3倍少30棵，梨树有多少棵？ ②王阿姨买空11个暖瓶，付了200元，找回35元，每个暖瓶多少元？ ③一个长方形的周长是35米，长是12.5米，它的宽是多少米？ 练习三 1、①学校有老师x人，学生人数是老师的20倍，20x表 示，20x＋x表示。 ②一本故事书的价钱是x元，一本字典的价钱是一本故事书的2.5倍。一本字典元，3本故事书和2本字典一共 是元。 ③甲数是x，乙数是甲数的3倍，甲乙两数的和是。 ④如果x=2是方程3x＋4a=22的解，则a= 。 2、解方程。 5x＋2x=1.4＋0.07 6x－3x=6÷5 x－13.4＋ 5.2=1.57 0.4×25－3.5x=6.5 7x＋3×1.4x=0.2×56 5×(3－2x)=2.4×5 第五章常用半导体器件（解答） 1、半导体导电和导体导电的主要差别有哪几点？ 答：半导体导电和导体导电的主要差别有三点：①参与导电的载流子不同，半导体中有电子和空穴参与导电，而导体只有电子参与导电；②导电能力不同，在相同温度下，导体的导电能力比半导体的导电能力强得多；③导电能力随温度的变化不同，半导体的导电能力随温度升高而增强，而导体的导电能力随温度升高而降低，且在常温下变化很小。 2、杂质半导体中的多数载流子和少数载流子是如何产生的？杂质半导体中少数载流子的浓度与本征半导体中载流子的浓度相比，哪个大？为什么？ 答：杂质半导体中的多数载流子主要是由杂质提供的，少数载流子是由本征激发产生的，由于掺杂后多数载流子与原本征激发的少数载流子的复合作用，杂质半导体中少数载流子的浓度要较本征半导体中载流子的浓度小一些。 3、什么是二极管的死区电压？它是如何产生的？硅管和锗管的死区电压的典型值是多少？ 答：当加在二极管上的正向电压小于某一数值时，二极管电流非常小，只有当正向电压大于该数值后，电流随所加电压的增大而迅速增大，该电压称为二极管的死区电压，它是由二极管中PN结的内电场引起的。硅管和锗管的死区电压的典型值分别是0.7V和0.3V。 4、为什么二极管的反向饱和电流与外加电压基本无关，而当环境温度升高时又显著增大？ 答：二极管的反向饱和电流是由半导体材料中少数载流子的浓度决定的，当反向电压超过零点几伏后，少数载流子全部参与了导电，此时增大反向电压，二极管电流基本不变；而当温度升高时，本征激发产生的少数载流子浓度会显著增大，二极管的反向饱和电流随之增大。 5、怎样用万用表判断二极管的阳极和阴极以及管子的好坏。 答：万用表在二极管档时，红表笔接内部电池的正极，黑表笔接电池负极（模拟万用表相反），测量时，若万用表有读数，而当表笔反接时万用表无读数，则说明二极管是好的，万用表有读数时，与红表笔连接的一端是阳极；若万用表正接和反接时，均无读数或均有读数，则说明二极管已烧坏或已击穿。 6、试判断图所示电路中的二极管各处于什么工作状态？假设各二极管导通电压为0.7V，求 U。 输出电压 AO 解： ①将二极管从电路中取出，得下图：第5章习题解答
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