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2000年江西省、天津市高考数学试卷(文科)

2000年江西省、天津市高考数学试卷（文科）

一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）

1．（4分）设集合{|A x x Z =∈且101}x --剟，{|B x x Z =∈，且||5}x …，则A B 中的元

素个数是( ) A ．11

B ．10

C ．16

D ．15

2．（4分）设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则( ) ①()()0a b c c a b -=； ②||||||a b a b -<-；

③()()b c a a c b -不与c 垂直； ④22(32)(32)9||4||a b a b a b +-=-．其中的真命题是( ) A ．②④

B ．③④

C ．②③

D ．①②

3．（4，这个长方体对角线的长是( )

A ．

B ．

C ．6

4．（4分）已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( ) A ．若α、β是第一象限角，则cos cos αβ> B ．若α、β是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若α、β是第三象限角，则cos cos αβ>

D ．若α、β是第四象限角，则tan tan αβ> 5．（4分）函数cos y x x =-的部分图象是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

6．（4分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累进计算：

某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于( ) A ．800~900元

B ．900~1200元

C ．1200~1500元

D ．1500~2800元

7．（4分）若1a b >>，P =1()2Q lga lgb =+，2

a b R lg +=，则( )

A ．R P Q <<

B ．P Q R <<

C ．Q P R <<

D ．P R Q <<

8．（4分）已知两条直线1:l y x =，2:0l ax y -=，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在(0,)

内变动时，a 的取值范围是( )

A ．(0,1)

B ．

C ．，1)(1?

D ． 9．（4分）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ) A ．

122π

+ B ．

144π

+ C ．

12π

+ D ．

142π

+ 10．（4分）过原点的直线与圆22430x y x +++=相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )

A ．y =

B ．y =

C ．y =

D ．y = 11．（4分）过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与

FQ 的长分别是p 、q ，则

p q

+等于( )

A ．2a

B ．

12a

C ．4a

D ．

12．（4分）二项式50)的展开式中系数为有理数的项共有( ) A ．6项

B ．7项

C ．8项

D ．9项

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）从含有500个个体的总体中一次性抽取25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，那么总体中每个个体被抽到的概率是．

14．（5分）椭圆22194

x y +=的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P

横坐标的取值范围是．

15．（5分）设{}n a 是首项为1的正项数列，且22

11(1)0(1n n n n n a na a a n +++-+==，

2，3，)?，则它的通项公式是n a = ．

16．（5分）如图，E 、F 分别是正方体的面11ADD A 、面11BCC B 的中心，则四边形1BFD E 在该正方体的面上的射影可能是．（要求：把可能的图的序号都填上）

三、解答题（共7小题，满分82分）

17．（10分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个．甲、乙二人依次各抽一题．

（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？

18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -，底面ABC ?中，1CA CB ==，90BCA ∠=?，棱12AA =，M 、N 分别是11A B 、1A A 的中点．

（1）求BN 的长；（2）求11cos()BA CB 的值；（3）求证11A B C M ⊥．

19．（12分）如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 上菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠，

（1）证明：1C C BD ⊥；（2）当

CC 的值为多少时，能使1A C ⊥平面1C BD ？请给出证明．

20．（12分）设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知77S =，1575S =，n T 为数列n S n ??

????

的前n 项和，求n T ．

21．（12

分）设函数()f x ax =，其中0a >，（1）解不等式()1f x …；

（2）证明：当1a …

时，函数()f x 在区间[0，)+∞上是单调函数． 22．（12分）用总长14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

23．（12分）如图，已知梯形ABCD 中||2||AB CD ，点E 分有向线段AC 所成的比为8

，双曲线过C 、D 、E

三点，且以A 、B 为焦点．求双曲线的离心率．

2000年江西省、天津市高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）

1．（4分）设集合{|A x x Z =∈且101}x --剟，{|B x x Z =∈，且||5}x …，则A B 中的元

素个数是( ) A ．11

B ．10

C ．16

D ．15

【解答】解：由集合A 中的条件可得A 中的元素有：10-，9-，8-，?，1-共10个；集合B 中的不等式||5x …解得55x -剟且x Z ∈，所以B 中的元素有：5-，4-，3-，2-，

1-，0，1，2，3，4，5共11个

所以A

B 中的元素有：10-，9-，8-，?，1-，0，1，2，3，4，5共16个

故选：C ．

2．（4分）设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则( ) ①()()0a b c c a b -=； ②||||||a b a b -<-；

③()()b c a a c b -不与c 垂直； ④22(32)(32)9||4||a b a b a b +-=-．其中的真命题是( ) A ．②④

B ．③④

C ．②③

D ．①②

【解答】解：由于,b c 是不共线的向量，因此()a b c 不一定等于()c a b ，故①错误；由于,a b 不共线，故,,()a b a b -构成三角形，因此②正确；

由于[()()]()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c -=-=，故③中两向量垂直，故③错误；根据向量数量积的运算可以得出④是正确的．故选A ．

3．（4，这个长方体对角线的长是( )

A ．

B ．

C ．6

【解答】解：设长方体三度为x ，y ，z ，

则yz zx xy ==

三式相乘得2226,1x y z xyz x y z ==== 故选：D ．

D ．若α、β是第四象限角，则tan tan αβ> 【解答】解：若α、β同属于第一象限，则02

βα<剟，cos cos αβ<；故A 错．

第二象限，则2π

αβπ<剟，tan tan αβ<；故B 错．

第三象限，则32

παβ<剟，cos cos αβ<；故C 错．第四象限，则

322

πβαπ<剟， tan tan αβ>．（均假定0α…，2βπ…．)故D 正确．故选：D ．

5．（4分）函数cos y x x =-的部分图象是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【解答】解：设()y f x =，则()cos ()f x x x f x -==-，()f x 为奇函数；又02

x π

时()0f x <，此时图象应在x 轴的下方

故选：D ．

某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于( ) A ．800~900元

B ．900~1200元

C ．1200~1500元

D ．1500~2800元

【解答】解：设收入为S 元，税款为M 元，则当800S …时，0M =；

当[800S ∈，1300]时，5005%25M =…；当(1300S ∈，2800]时，25150010%175M +=…．题设26.78M =，

故1300(26.7825)10%1317.8S =+-÷=．故选：C ．

7．（4分）若1a b >>，P =1()2Q lga lgb =+，2

a b R lg +=，则( )

A ．R P Q <<

B ．P Q R <<

C ．Q P R <<

D ．P R Q <<

【解答】,(),22

a b a b

lg Q R ++<． ,2

lga lgb

lga lgb P Q +<<．故选：B ．

8．（4分）已知两条直线1:l y x =，2:0l ax y -=，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在(0,)

内变动时，a 的取值范围是( )

A ．(0,1)

B ．

C ．，1)(1?

D ．【解答】解：直线1:l y x =的倾斜角为4

，令直线2:0l ax y -=的倾斜角为θ，则有tan a θ=

∴过原点的直线1:l y x =，2:0l ax y -=的夹角在(0,

)12

内变动时，可得直线2l 的倾斜角的

范围是(

6π，)(44

ππ?，)3π．

2l ∴的斜率的取值范围是，1)(1?，即a ∈1)(1?，故选：C ．

9．（4分）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ) A ．

122π

+ B ．

144π

+ C ．

12π

+ D ．

142π

+ 【解答】解：设圆柱底面积半径为r ，则高为2r π，全面积：侧面积222[(2)2]:(2)r r r πππ=+ 21

2ππ

．故选：A ．

10．（4分）过原点的直线与圆22430x y x +++=相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )

A ．y =

B ．y =

C ．y =

D ．y = 【解答】解：如图，圆方程为222(2)1x y ++=，圆心为(2,0)A -，半径为1，

1sin ,,26tg πθθθ===

故选：C ．

11．（4分）过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与

FQ 的长分别是p 、q ，则

p q

+等于( ) A ．2a

B ．

12a

C ．4a

D ．

【解答】解：如图：

设PQ 直线方程是1

4y kx a

=，则1x ，2x 是方程21

4ax kx a

=+的两根，

1p x r =-，

其中r =2q x r =．

从而2

211

1212122

()11444x x r x x p q a a p q pq x x r x x r r a -

-++==

====-．故选：C ．

12．（4分）二项式50)的展开式中系数为有理数的项共有( ) A ．6项

B ．7项

C ．8项

D ．9项

【解答】解：50

)展开式的通项253

15023r r

r r r T C x -

+= 项的系数为253

502

3r r r C -

要使系数为有理数，需r 是6的倍数

所以0r =，6，12，18，24，30，36，42，48，故展开式中系数为有理数的项共有9项故选：D ．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）从含有500个个体的总体中一次性抽取25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，那么总体中每个个体被抽到的概率是

．【解答】解：含有500个个体的总体中一次性抽取25个个体，其中每个个体被抽到的概率相等，

∴总体中每个个体被抽到的概率是

251

50020

，故答案为：

120

．

14．（5分）椭圆22

194

x y +=的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P

横坐标的取值范围是

为：( ．【解答】解：如图，

设(,)p x y

，则12(F F ，且12F PF ∠是钝角

22222221212((20PF PF F F x y x y ?+

22510x y ?++<

4(1)59

x x ?+-<

295x x ?<

?<<

．

故答案为：(．

15．（5分）设{}n a 是首项为1的正项数列，且22

11(1)0(1n n n n n a na a a n +++-+==，

2，3，)?，则它的通项公式是n a =

．【解答】解：22

11(1)0n n n n n a na a a +++-+=

∴11

n n n n

a a n +=

=+（另解n a -不合题意舍去），

∴

321211

n n a a a a a a n

-?=，即111,,1,2n n a a n a n n ===，

故答案为：

． 16．（5分）如图，E 、F 分别是正方体的面11ADD A 、面11BCC B 的中心，则四边形1BFD E 在该正方体的面上的射影可能是 ②③ ．（要求：把可能的图的序号都填上）

【解答】解：因为正方体是对称的几何体，

所以四边形1BFD E 在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD 、面11ABB A 、面11ADD A 上的射影．

四边形1BFD E 在面ABCD 和面11ABB A 上的射影相同，如图②所示；

四边形1BFD E 在该正方体对角面的11ABC D 内，它在面11ADD A 上的射影显然是一条线段，如图③所示．故②③正确故答案为 ②③

三、解答题（共7小题，满分82分）

17．（10分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个．甲、乙二人依次各抽一题．

（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，

甲从选择题中抽到一题的可能结果有16C 个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有14C 个，

故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有11

4C C 个；

试验发生包含的所有事件是甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为11109C C 个，

∴甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的概率为11

64111094

C C C C =，

∴所求概率为

415

．（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题，

甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为114311109

C C

C C ，

∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为11431110913

115

C C C C -=，

∴所求概率为

1315

． 18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -，底面ABC ?中，1CA CB ==，90BCA ∠=?，棱12AA =，M 、N 分别是11A B 、1A A 的中点．（1）求BN 的长；（2）求11cos()BA CB 的值；（3）求证11A B C M ⊥．

【解答】解：如图，以C 为原点建立空间直角坐标系O xyz -．（1）依题意得(0B ，1，0)，(1N ，0，1)，

∴||(1BN ==2分）

（2）依题意得1(1A ，0，2)，(0B ，1，0)，(0C ，0，0)，1(0B ，1，2)．

∴1(1,1,2)BA =-，1(0,1,2)CB =，113BA CB =，1||6BA =，1||5CB =（5分）

111111cos 10

||||

BA CB BA CB BA CB ∴<>=

9分）（3）证明：依题意得1(0C ，0，2)，111(,,2)(122M A B =-，1，2)-，111

(,,0)22

C M =，

∴111

0022

A B C M =-+

+=， ∴11A B C M ⊥（12分）

19．（12分）如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 上菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠，

（

1）证明：1C C BD ⊥；（2）当

CC 的值为多少时，能使1A C ⊥平面1C BD ？请给出证明．

【解答】（1）证明：如图，连接11A C 、AC 和BD 交于O ，连接1C O ．

四边形ABCD 是菱形， AC BD ∴⊥，BC CD =．

又11BCC DCC ∠=∠，11C C C C =，

∴△1C BC ?△1C DC ，

11C B C D ∴=，

DO OB =

1C O BD ∴⊥，（3分）又AC BD ⊥，1AC

C O O =，

BD ∴⊥平面1AC ，

又1C C ?平面1AC ， 1C C BD ∴⊥．（6分）（2）当

1CD

CC =时，能使1A C ⊥平面1C BD ． 1

1CD

CC =， 1BC CD C C ∴==，

又11BCD C CB C CD ∠=∠=∠，由此可推得11BD C B C D ==．

∴三棱锥1C C BD -是正三棱锥．（9分）

设1A C 与1C O 相交于G ． 11//AC AC ，且11:2:1AC OC =，

1:2:1C G GO ∴=．

又1C O 是正三角形1C BD 的BD 边上的高和中线，

∴点G 是正三角形1C BD 的中心，

CG ∴⊥平面1C BD ，

即1A C ⊥平面1C BD ．（12分）

20．（12分）设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知77S =，1575S =，n T 为数列n S n ??

????

的前n 项和，求n T ．

【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则 11

(1)2n S na n n d =+-．

77S =，1575S =，

∴1172171510575.a d a d +=??+=? 即11

317 5.a d a d +=??+=?

解得12a =-，1d =．

∴

111

(1)2(1)22n S a n d n n =+-=-+-， 11

n n S S n n +-=+， ∴数列{}n S n 是等差数列，其首项为2-，公差为12

， ∴219

n T n n =

-． 21．（12

分）设函数()f x ax =，其中0a >，（1）解不等式()1f x …；

（2）证明：当1a …

时，函数()f x 在区间[0，)+∞上是单调函数．【解答】（1）解：不等式()1f x …

1ax +，

由此得11ax +…，即0ax …

，其中常数0a >．

所以，原不等式等价于22

1(1)0.x ax x ?++??……

即20(1)20x a x a ??-+?

…

…（3分）

所以，当01a <<时，所给不等式的解集为2

2{|0}1a

x x a

-剟；当1a …时，所给不等式的解集为{|0}x x …．（6分）（2）证明：在区间[0，)+∞上任取1x ，2x

使得121212()()()x x f x f x a x x <--

12()a x x =

(

)()129x x a ???=-??

分

1,1a <且…，

∴

0a <，

又120x x -<， 12()()0f x f x ∴->，

即12()()f x f x >．

所以，当1a …时，函数()f x 在区间[0，)+∞上是单调递减函数．

（12分） 22．（12分）用总长14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．【解答】解：设容器底面短边长为xm ，则另一边长为(0.5)x m +，高为

14.844(0.5)

3.224

x x x --+=-

由3.220x ->和0x >，得0 1.6x <<，

设容器的容积为3ym ，则有(0.5)(3.22)(0 1.6)y x x x x =+-<< 整理，得322 2.2 1.6y x x x =-++，（4分）

26 4.4 1.6y x x '∴=-++（6分）

令0y '=，有26 4.4 1.60x x -++=，即2151140x x --=，解得11x =，24

x =-

（不合题意，舍去）．（8分）从而，在定义域(0,1.6)内只有在1x =处使0y '=．

由题意，若x 过小（接近0)或过大（接近1.6)时，y 值很小（接近0)，

因此，当1x =时y 取得最大值，2 2.2 1.6 1.8y =-++=最大值，这时，高为3.221 1.2-?=．答：容器的高为1.2m 时容积最大，最大容积为31.8m ．（12分）

23．（12分）如图，已知梯形ABCD 中||2||AB CD =，点E 分有向线段AC 所成的比为8

，双曲线过C 、D 、E

三点，且以A 、B 为焦点．求双曲线的离心率．

【解答】解：如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系xOy ，则CD y ⊥轴．

因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称．（2分）

依题意，记(,0)A c -，(2

C ，)h ，(,0)B c ，

其中c 为双曲线的半焦距，1

||2

c AB =

，h 是梯形的高．由定比分点坐标公式，得点E 的坐标为87112819111E c c x c -+

=-+，80811819111

y h +?==+．（5分）

设双曲线的方程为22221x y a b -=，则离心率c

e a

=．

由点C 、E 在双曲线上，得22

1144964 1.361361c h a b c h a b ?-=????-=??（10分）

解得2222

114h c b a =-，化简可得229c a =，

所以，离心率3e ==（14分）