高中数学必修五数列知识点归纳

数列知识点总结

一、等差数列与等比数列

等差数列 等比数列

定义 1+n a -n a =d

n

n a a 1

+=q(q ≠0) 通项公式 n a =1a +（n-1）d

n a =1a 1-n q (q ≠0) 递推公式 n a =1-n a +d, n a =m a +(n-m)d

n a =1-n a q n a =m a m n q -

中项

A=2

b

a + 推广：A=2a k n k n a +-+（n,k

∈N + ;n>k>0）

ab G =2。推广：G=k n k n a a +-±（n,k ∈N + ;n>k>0）。任意两数a 、c 不一定

有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个

前n 项和

n S =2

n

（1a +n a ）

n S =n 1a +2

)

1(n -n d

n S =q q a n --11()1

n S =q

q a a n --11

性质

（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，

232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；

（3）若三个成等差数列，可设为

a d a a d -+，，

（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则

21

21

m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2

n S an bn

?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） （6）d=

n

m a n

m --a (m ≠n)

(7)d>0递增数列d<0递减数列d=0常数数列

（1）若m n p q +=+，则

m

n p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q 二、求数列通项公式的方法

1、通项公式法：等差数列、等比数列

2、涉及前ｎ项和S n 求通项公式，利用a n 与S n 的基本关系式来求。即 例1、在数列｛n a ｝中，n S 表示其前ｎ项和，且2

n n S =,求通项n a .

例2、在数列｛n a ｝中，n S 表示其前ｎ项和，且n n a 32S -=,求通项n a 3、已知递推公式，求通项公式。

（1）叠加法：递推关系式形如()n f a a n 1n =-+型

???≥-===-)

2()

1(111n s s n a s a n n n

例3、已知数列｛n a ｝中，1a 1=，n a a n 1n =-+，求通项n a 练习1、在数列｛n a ｝中，3a 1=，n

n 1n 2a a +=+，求通项n a

（2）叠乘法：递推关系式形如

型 例4、在数列｛n a ｝中，1a 1=， ，求通项n a 练习2、在数列｛n a ｝中，3a 1=，n

n 1n 2a a ?=+，求通项n a （3）构造等比数列：递推关系式形如B Aa a n 1n +=+(A,B 均为常数，A ≠1,B ≠0) 例5、已知数列｛n a ｝满足4a 1=，2a 3a 1n n -=-，求通项n a 练习3、已知数列｛n a ｝满足3a 1=，3a 2a n 1n +=+，求通项n a （4）倒数法

例6、在数列{a n }中，已知1a 1=, ,求数列的通项n a

四、求数列的前n 项和的方法

1、利用常用求和公式求和： 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

等比数列求和公式：?????≠--=--==)

1(11)1()1(111q q q a a q

q a q na S n n

n

2、错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列 .[例1] 求数列

??????,2

2,,26,24,2232n n

前n 项的和. [例2] 求和：1

32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S

3、倒序相加法：数列｛n a ｝的第m 项与倒数第m 项的和相等。即：

1m n m 1n 2n 1a a a a a a +--+==+=+ [例3] 求

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2

2

2

2

2++???+++的值 [例4] 函数()x f 对任R x ∈都有()()2

1

x 1f x f =-+，求： ()()1f n 1n f n 2f n 1f 0f +??

? ??-++??? ??+???

??+ 4、分组求和法：主要用于求数列{a n +b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列 [例5] 求数列： ,2

1

n ,,813,412,211n ++++

的前n 项和 [例6] 求和：()()()()

n a 3a 2a 1a n

3

2

-++-+-+-

()n f a a n

1n =+n 1

n a 1

n n

a +=+2

a a 2a n n

1n +=+

5、裂项相消法：通项分解 （1）111)1(1+-=+=

n n n n a n （2）)k n 1

n 1(k 1)k n (n 1a n +-=+=

（3）n 1n n 1n 1a n -+=++=

（4）)n k n (k

1

n k n 1a n -+=++=

[例7] 在数列{a n }中，1

n n

1n 21n 1a n ++

++++=

，又1n n n a a 2b +?=，求数列{b n }的前n 项的和. [例8] 已知正项数列{a n }满足1a 1=且()

*n 21

n 2N n 1a a ∈=-+

（Ⅰ）求数列{a n }的前n 项的和 （Ⅱ）令1

n n n a a 1

b ++=

，求数列{b n }的前n 项的和n T

五、在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题

：(1)当1a >0,d<0时，满足??

?≤≥+0

1m m a a 的项数m 使得m s 取最大值.

(2)当1a <0,d>0时，满足???≥≤+00

1

m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。

人教版高中历史必修二知识点总结

历史必修二基础知识点 第1课发达的古代农业 一、古代农业耕作方式演变 (1)刀耕火种（原始农业） (2)石器锄耕(耒耜) (3)铁犁牛耕：春秋出现。汉代后，铁犁牛耕成为传统农业的主要耕作方式。 二、农业的精耕细作 生产工具：春秋战国—铁犁；西汉—耦犁、耧车（播种工具）；隋唐—曲辕犁 耕作方法：春秋战国—垄作法（当时世界上最先进的耕作方法）；西汉—代田法 水利工程：都江堰（战国）；漕渠、白渠、龙首渠（汉） 灌溉工具：翻车（三国）、筒车（唐朝）、高转筒车（宋朝）、风力水车（明清） 三、男耕女织的小农经济 时间：春秋战国 原因：错误！未找到引用源。春秋战国时期，铁农具的出现和牛耕的普及，提高了生产力。（根本原因） 错误！未找到引用源。封建土地私有制的确立 特点：错误！未找到引用源。以家庭为生产单位错误！未找到引用源。农业和家庭手工业相结合错误！未找到引用源。是一种自给自足的自然经济 地位：小农经济在中国封建经济中占据主导地位，是中国传统农业社会生产的基本模式。 评价：积极：错误！未找到引用源。提高农民生产的积极性错误！未找到引用源。 为我国农业的精耕细作做出了贡献 消极：错误！未找到引用源。小农经济比较脆弱，容易破产错误！未找到引用源。 是我国封建社会繁荣的原因，也是中国封建社会发展缓慢和长期延续的重要原因。 第2课古代手工业的进步 一、手工业的发展形态 官营手工业、民营手工业、家庭手工业 二、手工业的发展 青铜：商周—鼎盛（青铜时代）代表：司母戊鼎、四羊方尊等 冶铁：西周晚期出现铁器，东汉杜诗发明水排（水利鼓风冶铁工具） 炼钢：南北朝—灌钢法(水排和灌钢法使中国的冶炼技术在16世纪前一直领先于世界) 商朝—原始瓷器；东汉—青瓷；北朝—白瓷唐朝；唐朝—南青北白；宋朝—五大名窑明朝—青花瓷、彩瓷；景德镇成为瓷都（明代有些瓷器带有阿拉伯文和梵文装饰） 清朝—珐琅彩 商朝—出现丝织品；西周—斜花提纹织物；唐代—吸收了波斯的织法和图案风格 宋朝—写实风格，图案生动；明清—丝织业鼎盛时期（苏州和杭州成为全国丝织业中心）三、资本主义萌芽 时间：明朝中后期地区：江南 原因：社会生产力和商品经济的发展 含义：一些手工业部分出现资本主义性质的生产关系（雇佣与被雇佣） 标志：“机户出资，机工出力”这种带有雇佣与被雇佣关系的手工工场的出现。 发展缓慢的原因：封建制度的束缚（根本原因）、重农抑商、闭关锁国 第3课古代商业的发展 一、古代国内商业的发展 “商人”：商朝人善于经商，所以后人把善于经商的人称为商人。 隋唐—柜坊（中国最早银行的雏形）和飞钱（汇票）相继问世 北宋出现了世界上最早的纸币—交子（益州）原因：商业环境相对宽松（宋代城市中市和坊的界限被打破，旧时日中为市的经营时间限制也被打破） 元代：大都成为国家性的城市明清：商帮的出现（徽商和晋商） 二、对外贸易 繁荣唐朝：对外贸易重要港口——广州；外贸易机构——市舶使 两宋：海上丝绸之路异常繁荣，海外贸易税成为南宋政府的重要财源。 元朝：对外贸易的重要港口——泉州（被誉为世界第一大港） 特点：朝贡贸易（目的是为了宣扬国威，而不是获取最大的经济效益） 衰落：明清的海禁与闭关锁国政策打击，仅允许广州十三行与外国通商。 第4课古代的经济政策 一、土地制度的演变 原始社会：土地公有制（氏族公社所有） 奴隶社会（夏商西周）：井田制——奴隶社会的土地国有制 封建社会（秦汉——明清）：封建社会的土地私有制 封建社会自身无法解决的问题：土地兼并（根本原因：封建土地私有制） 二、重农抑商 1、首倡“重农抑商”政策的是：战国时期秦国商鞅变法。 2、目的：维护自然经济，确保赋役征派和地租征收，维护政治稳定，巩固封建统治。 3、积极作用：保护了农业生产和小农经济，促进农业经济发展；封建社会初期巩固新兴地主政权。消极后果：强化自然经济，阻碍工商业发展，阻碍资本主义萌芽的发展。 三、“海禁”与闭关锁国 闭关锁国的含义：严格限制同外国的往来，而非完全禁绝。清朝在广州设立十三行统一管理对外贸易。 冶金 瓷器丝织业演变

高一数学必修1知识点总结

高中高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。

注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集

高中数学必修五知识点详细解答附答案

姓名____________ 20XX 年____月_____日 第___次课 正、余弦定理 一。知识回顾：在初中我们知道：（1）在三角形中，大边对大角、大角对大边的边角关系； （2）在直角三角形中，sinA= a c ,sinB= b c ?c=sin a A ,c=sin b B ? sin a A =sin b B ,又Q sinC=1?sin a A =sin b B =sin c C 二。学习提纲： <一>.正弦定理： （1）概念：在一个三角形中，各边与它所对应角的正弦比相等，即： sin a A =sin b B =sin c C （2）证明： j r C ①几何证明法：（略，同学们自己证明） ②向量证明： 证明：（如图）当?ABC 为锐角三角形时， A B 过A 作单位向量j r ⊥AB u u u r ,则j r 与AB u u u r 的夹角为2π，j r 与BC uuu r 的夹角为2π-B ，j r 与CA u u u r 的夹角为2π +A ； 设AB=a,BC=c,AC=b. Q AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r =0r ,∴j r g (AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r )=j r g 0r ∴j r g AB u u u r +j r g BC uuu r +j r g CA u u u r =0 ∴|j r |g |AB u u u r |g cos 2π+|j r |g |BC uuu r |g cos(2π-B )+|j r |g |CA u u u r |g cos 2 π +A )=0 ∴asinB=bsinA,即：sin a A =sin b B 同理可得：sin b B =sin c C ，故：sin a A =sin b B =sin c C 当?ABC 为钝角三角形或直角三角形时，同样可证明得到：sin a A =sin b B =sin c C （3）正弦定理的变形： ①asinB=bsinA; csinB=bsinC; asinC=csinA; ②a ：b:c=sinA:sinB:sinC ③ sin a A =sin b B =sin c C =2R （R 为?ABC 外接圆的半径） ?a=2RsinA; b=2RsinB; c=2RsinC ? sinA=2a R sinB=2b R sinC=2c R （二）余弦定理： （1）概念：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍，即： 2 a =2 b +2 c -2bccosA; 2 b =2 a +2 c -2accosB; 2 c =2 a +2 b -2abcosC 变形：2 sin A=2 sin B+2 sin C-2sinBsinCcosA 2 sin B=2 sin A+2 sin C-2sinAsinCcosB 2 sin C=2 sin A+2 sin B-2sinAsinBcosC 求角：cosA=2222bc b c a +- , cosB=2222c a c b a +-, cosC=222b 2a c ab +- 变形:cosA=222sin sin sin 2sin sin A B C A B +-,cosB=222sin sin sin 2sin sin A C B A C +-,cosC=222sin sin sin 2sin sin A B C A B +- (2)勾股定理：2 c =2a +2b 推广：A 为锐角→222a b c <+；A 为直角→222a b c =+；A 为钝角→222 a b c >+ （3）三角形的面积公式： ①ABC S ?=12ah ②ABC S ?=12absinC=12bcsinA=1 2 acsinB ③ABC S ?(p=12(a+b+c) ④ABC S ?=4abc R (4)对于任意的三角形，都有：sinA>0

高中数学必修4知识点总结归纳

高中数学必修4知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<

高中历史必修二知识点

必修二经济复习提纲 1、古代中国耕作方式变革： 原始社会刀耕火种，距今七八千年进入耜耕（石器锄耕）阶段。 战国时期，牛耕初步推广，此后，铁犁牛耕逐步成为中国传统农业的主要耕作方式。耕作工具：唐代出现曲辕犁。 2古代中国农业土地制度演变： 最早是原始社会土地共有；夏商周土地国有（井田制）；秦建立封建土地所有制，延续两千多年。 北魏和隋唐前期实行的均田制是也是国有土地的形式。 3、古代中国农业经济的基本特点是：精耕细作、自给自足、小农经济。 4、古代中国手工业的发展： ⑴冶铜技术：青铜器最繁荣时期在商周时代，商代司母戊鼎是代表作。 ⑵冶铁技术：西周晚期有铁器，春秋晚期能制造钢剑，东汉的杜诗发明水排，用水力鼓风冶铁。魏晋南北朝发明灌钢法，16世纪以前中国的炼钢技术保持世界领先地位。 ⑶制瓷业：中国是世界是最早发明瓷器国家，商朝最早烧制出原始瓷器，东汉技术成熟，唐代形成南青北白两大系统，宋代出现一批名窑，元代景德镇成为全国制瓷中心，能制青花瓷。明清景德镇成为瓷都，明烧制五彩瓷，清发明珐琅彩。瓷器从唐代输出国外，明清通过海上丝绸之路输往海外。 ⑷丝织业：中国是世界上最早的养蚕织绸国家，明清时期进入鼎盛时期，苏州、杭州是最著名丝纺业中心。 5、古代中国手工业发展的特征：生产部门不断增多，技术不断进步，规模不断扩大；历史悠久，领先世界。 6、古代中国商业发展概貌：西汉市区和住宅区严格分开，按时开市、闭市。唐代长安城内有坊和市，市分东市和西市。唐后期坊市的界限逐渐被打破。宋元时期商业发展到顶峰，；明清时期商业继续发展，出现了商帮，以晋商徽商为代表。 7、古代中国商业发展的特点：商业产生后不断发展，宋元时期空前繁荣；国内外贸易、边境贸易全面繁荣；唐代出现柜坊飞钱，宋代出现世界上最早纸币—交子；政府对商业的控制逐渐减少。

高一数学必修一知识点整理归纳

高一数学必修一知识点整理归纳 【集合与函数概念】 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法：https://www.wendangku.net/doc/8e1017587.html, 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集：N*或N+ 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 1)列举法：{a,b,c……} 2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{x?R|x-3>2},{x|x-3>2} 3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4)Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。AíA ②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ③如果AíB,BíC,那么AíC ④如果AíB同时BíA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 4.子集个数： 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集 三、集合的运算 运算类型交集并集补集 定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝.

高中数学必修五 知识点总结【经典】

《必修五 知识点总结》 第一章：解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于180°； （2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+=

（3）三角形中大边对大角，小边对小角； （4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换 （1）角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列.

北师大版高一历史必修二知识总结

高一历史必修二知识总结 第一单元 古代中国经济的基本结构与特点 第1课 农业的主要耕作方式和土地制度 一、古代农业耕作方式演变 (1)刀耕火种（原始农业） (2)石器锄耕(耒耜) (3)铁犁牛耕：春秋出现,汉代后，铁犁牛耕成为传统农业的主要耕作方式。 二、土地制度的演变 原始社会：土地公有制（氏族公社所有） 奴隶社会（夏商西周） ：井田制——奴隶社会的土地国有制 封建社会（秦汉——明清）：封建社会的土地私有制 封建社会自身无法解决的问题：土地兼并（根本原因：封建土地私有制） 第2课 精耕细作的传统农业 一、男耕女织的小农经济 时间：春秋战国 原因：①春秋战国时期，铁农具的出现和牛耕的普及，提高了生产力。（根本原因） ②封建土地私有制的确立 特点： ①以家庭为生产单位②农业和家庭手工业相结合③是一种自给自足的自然经济 地位：小农经济在中国封建经济中占据主导地位，是中国传统农业社会生产的基本模式。 评价：积极 ①提高农民生产的积极性 ②为我国农业的精耕细作做出了贡献 消极 ①小农经济比较脆弱，容易破产 ②是我国封建社会繁荣的原因，也是中国封建社会发 展缓慢和长期延续的重要原因 二、农业的精耕细作 生产工具：春秋战国—铁犁；西汉—耦犁、耧车（播种工具）；隋唐—曲辕犁 水利工程：都江堰（战国）；郑国渠 灌溉工具：翻车（三国）、筒车（唐朝） 第3课 享誉世界的手工业 一、手工业的发展形态 古代手工业经营模式 ：官营手工业，私营手工业、家庭手工业三种主要经营形态 二、手工业的发展 青铜：商周—鼎盛（青铜时代） 代表：司母戊鼎、四羊方尊等 冶铁：西周晚期出现铁器 ，东汉杜诗发明水排（水利鼓风冶铁工具） 炼钢：南北朝—灌钢法(水排和灌钢法使中国的冶炼技术在16世纪前一直领先于世界) 商朝—原始瓷器；东汉—青瓷；北朝—白瓷;唐朝—南青北白； 元朝—青花瓷； 明朝—彩瓷 第4课 商业的发展 一、先秦商业产生 商朝时期：“商人”（商朝人善于经商，所以后人把善于经商的人称为商人。）出现、货币为贝壳、商业由官府控制； 二、唐宋元商业品经济的发展与繁荣 唐—柜坊（中国最早银行的雏形）和飞钱（汇票）相继问世 北宋出现了世界上最早的纸币—交子（益州）原因：商业环境相对宽松 宋代城市中市和坊的界限被打破，旧时日中为市的经营时间限制也被打破 演变 冶金 瓷 器

新人教版高中数学必修5知识点总结(详细)

高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C <；③若 222a b c +<，则90C >． 注：正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标

历史必修二知识点汇总

历史必修二复习提纲 第1课 发达的古代农业 一、古代农业耕作方式演变 (1)刀耕火种（原始农业） (2)石器锄耕(耒耜) (3)铁犁牛耕：春秋出现,汉代后，铁犁牛耕成为传统农业的主要耕作方式。 二、农业的精耕细作（A ） 生产工具：春秋战国—铁犁；西汉—耦犁、耧车（播种工具）；隋唐—曲辕犁 耕作方法：春秋战国—垄作法（当时世界上最先进的耕作方法）；西汉—代田法 水利工程：都江堰（战国）；漕渠、白渠、龙首渠（汉） 灌溉工具：翻车（三国）、筒车（唐朝）、高转筒车（宋朝）、风力水车（明清） 三、男耕女织的小农经济（C ） 时间：春秋战国 原因：①春秋战国时期，铁农具的出现和牛耕的普及，提高了生产力。（根本原因） ②封建土地私有制的确立 特点： ①以家庭为生产单位②农业和家庭手工业相结合③是一种自给自足的自然经济 地位：小农经济在中国封建经济中占据主导地位，是中国传统农业社会生产的基本模式。 评价：积极 ①提高农民生产的积极性 ②为我国农业的精耕细作做出了贡献 消极 ①小农经济比较脆弱，容易破产 ②是我国封建社会繁荣的原因，也是中 国封建社会发展缓慢和长期延续的重要原因 第2课 古代手工业的进步 一、手工业的发展形态 官营手工业、 民营手工业 、家庭手工业 二、手工业的发展（A ） 青铜：商周—鼎盛（青铜时代） 代表：司母戊鼎、四羊方尊等 冶铁：西周晚期出现铁器 ，东汉杜诗发明水排（水利鼓风冶铁工具） 炼钢：南北朝—灌钢法(水排和灌钢法使中国的冶炼技术在16世纪前一直领先于世界) 商朝—原始瓷器；东汉—青瓷；北朝—白瓷唐朝；唐朝—南青北白；宋朝—五大名窑 明朝—青花瓷、彩瓷；景德镇成为瓷都（明代有些瓷器带有阿拉伯文和梵文装饰） 清朝—珐琅彩 商朝— 出现丝织品；西周—斜花提纹织物；唐代—吸收了波斯的织法和图案风格 宋朝—写实风格，图案生动；明清—丝织业鼎盛时期（苏州和杭州成为全国丝织业中心） 三、资本主义萌芽（C ） 时间：明朝中后期 地区：江南 原因：社会生产力和商品经济的发展 含义：一些手工业部分出现资本主义性质的生产关系（雇佣与被雇佣） 标志：“机户出资，机工出力”这种带有雇佣与被雇佣关系的手工工场的出现。 发展缓慢的原因：封建制度的束缚（根本原因）、重农抑商、闭关锁国 第3课 古代商业的发展 一、古代国内商业的发展（A ） “商人”：商朝人善于经商，所以后人把善于经商的人称为商人。 冶金 瓷器 丝织 业

高一数学必修一知识点整理

高一数学必修一知识点整理 【导语】高一新生要作好充分思想准备，以自信、宽容的心态，尽快融入集体，适应新同学、适应新校园环境、适应与初中迥异的纪律制度。记住：是你主动地适应环境，而不是环境适应你。因为你走向社会参加工作也得适应社会。以下内容是为你整理的《高一数学必修一知识点整理》，希望你不负时光，努力向前，加油！【篇一】高一数学必修一知识点整理 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋大西洋印度洋北冰洋} 1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}B={12345} 2.集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a:A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2} 4、集合的分类： 1.有限集含有有限个元素的集合 2.无限集含有无限个元素的集合 3.空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝

高中数学必修五数列知识点

一、知识纲要 (1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项． (5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法． 二、方法总结 1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想． 2．等差、等比数列中，1a 、n a 、n 、)(q d 、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法． 3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等． 三、知识内容： 1.数列 数列的通项公式：?? ?≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321 1、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、有穷数列：项数有限的数列． 4、无穷数列：项数无限的数列． 5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 7、常数列：各项相等的数列． 8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列 {}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n -=2 2,求数列{}n a 的通项公式. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适 合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 2.等差数列 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 等差数列的判定方法: （1）定义法：对于数列 {}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。 （2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。 等差数列的通项公式： 如果等差数列 {}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。 说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。 等差数列的前n 项和：①2)(1n n a a n S += ②d n n na S n 2 ) 1(1-+ = 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。 等差中项： 如果a ， A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2 b a A += 或b a A +=2 说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 等差数列的性质： （1）等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有 d m n a a m n )(-+=

新人教版高中数学必修知识点总结

高中数学必修 2 知识点总结 第一章空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这 些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE - A'B'C'D'E'或用对角线的端点字母，如五棱柱AD' 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥P - A'B'C'D'E' 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台P - A'B'C'D'E' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全 等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一 点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 （1）定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 （2）画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 （3）直观图：斜二测画法 （4）斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 （5）用斜二测画法画岀长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3空间几何体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 I （2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，|为母线） 3）柱体、锥体、台体的体积公式

高中历史必修二专题三知识总结(人民版)

人民版高中历史必修二知识点总结 专题三中国社会主义建设道路的探索 专题线索： 党领导全国各族人民从新民主主义转变为社会主义和建设社会主义时期，有重大成就， 一、社会主义制度建立的背景 1、政治上：中华人民共和国成立 2、经济上：国民经济的恢复和发展，为国家开展有计划的经济建设和社会主义改造奠定了基础。 二、★过渡时期总路线 1、内容：一化三改造（一化：实现社会主义工业化；三改造：对农业、手工业、资本主 义工商业的社会主义改造） 2、实质：体现了社会主义建设和社会主义改造并举（即发展生产力和变革生产关系并举） 三、“一五计划”：根据过渡时期总路线制定“一五计划”： 1、基本任务： 一是集中发展重工业，建立社会主义工业化的初步基础。这是从中国工业基础特别是重工业基础薄弱的国情出发做出的必然选择； 二是建立对农业、手工业以及资本主义工商业进行社会主义三改造的基础。 四、第一个五年计划 1、标志着我国大规模的有计划的社会主义建设的开始是：第一个五年计划（1953——1957 年）； 2、第一个五年计划目的：把我国建设成社会主义工业化国家。 3、第一个五年计划中工矿业建设的突出成就有：鞍山钢铁公司三大工厂、长春第一制造 厂、沈阳机床厂和飞机制造厂等。 4、“一五计划”的意义：为社会主义工业化奠定了初步的基础。 五、★三大改造（农业、手工业、资本主义工商业） 1、时间：1953——1956年底，我国基本上完成三大改造， 2、内容：（1）农业——农业生产合作社 （2）手工业——手工业生产合作社 （3）资本主义工商业——公私合营

3、实质：使生产资料由私有制转变为社会主义公有制。 4、意义：标志着社会主义制度在中国基本建立起来。 六、《论十大关系》（1956年9月）：提出了开辟一条与苏联不同的中国社会主义建设道路的重大问 题的是。 七、中共八大 1、时间：1956年9月 2、背景：正确分析了国内形势和国内主要矛盾的变化 （1）国内形势：社会主义改造已经取得决定性的胜利，即三大改造的完成； （2）国内主要矛盾：即阶级矛盾已基本解决， 3、内容： （1）★八大确定的主要矛盾是：人民日益增长的物质需要和落后的生产力之间的矛盾；（先 进的社会制度和落后的生产力之间的矛盾）。 （2）中共八大确定的主要任务是：把我国尽快地从落后的农业国变为先进的工业国。 4、评价：中共八在提出的许多方针和设想富有创造性和正确性，是对我国建设社会主义 道路的一次成功探索。 八、“左”倾错误泛滥--大跃进和人民公社化运动 1、1958年中共八大二次会议提出总路线：“鼓足干劲，力争上游，多快好省地建设社会主 义”。 2、大跃进： （1）表现：大办工业、农业，片面追求经济发展的高速度和高指标——完全违反客观经济 规律。 （2）启示：社会主义建设必须实事求是，尊重客观规律。 3、人民公社化运动： （1）内容：一大二公：公有制程度高；绝对平均主义； （2）启示：生产关系的变革必须与生产力水平相适应。 4、★主要标志：高指标、瞎指挥、浮夸风、共产风 5、后果：是我党在探索中国的社会主义道路过程中一次严重的失误，造成1959—1961三 年经济困难。 6、面对三年经济困难，中共中央开始纠正农村工作中“左”的错误，对国民经济提出“调 整、巩固、充实、提高”的八字方针，其中核心为调整。调整的含义是：调整国民经济的 比例。 7、1966年国民经济呈上升趋势的原因有：1965年国民经济调整任务基本完成，经济建设 进入新的发展时期；“文革”动乱海没有扩展到经济领域。 九、文化大革命（1966—1976） 1、1973年国民经济的发展趋势是：复苏。原因是：周恩来主持中央日常工作，着手恢复 调整国民经济。 2、1975年国民经济的发展趋势是：迅速回升。原因是：邓小平主持中央日常工作，提出 全面整顿的思想。以铁路整顿为突破口。 十、★50－70年代社会主义建设的经验教训？ 1、社会主义建设必须从国情出发，正确分析国内主要矛盾。 2、始终坚持以经济建设为中心，把发展生产力放在首位。 3、从实际出发，实事求是，尊重客观规律，生产关系的变革必须与生产力水平相适应。 不能急于求成，片面追求高速度 4、保持社会安定团结，及时抓住发展机遇。

高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)

高中数学必修五知识点汇总 第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理: 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 步骤1. 证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA 得到b b a a s i n s i n = 同理，在△ABC 中， b b c c sin sin = 步骤2. 证明：2sin sin sin a b c R A B C === 如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以C R c D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C === 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； （4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ?中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算 解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理:

高中数学必修4知识总结(完整版)

高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．