利用几何画板探索轨迹教学

利用几何画板探索轨迹的教学

——研究性学习一得

湖北省通山县第一中学 李雪松

研究性学习是指学生在教师的指导下，从学生生活和社会经验中，选择和确定研究专题，仿照科学研究的方法和过程，主动地获取知识，并应用知识来解决问题的学习活动。研究性学习围绕一个主题或问题，以小组学习为主要形式，学生自主进行的探索性、实践性、开放性课程。研究性学习是以问题的解决为主要形式的学习活动，问题是它的重要载体，整个学习活动以问题的自然形成序列。研究性学习更强调实践，注重体验，关注结果。其特点是内容强调开放性、学习强调主体性、注重学生之间合作学习、讲求体验式、活动化。

下面通过对一个数学问题的探索，谈谈我的一点体会。

教师：求曲线的方程、通过方程研究曲线的性质是解析几何的两大主要问题。今天与同学们讨论一个问题：怎样探索点的轨迹。

问题是数学的心脏，思维从问题开始。我们先看一个具体的例子：

如图1，过椭圆12222=+b

y a x (0>>b a )的左焦点F 1作弦AB 。现在来研究焦点弦AB 有关的问题。

轨迹1 过原点O 作弦AB 的垂线，垂足为M ，求点M 的轨迹方程。

图1 图2

几何画板演示：拖动主动点A 在椭圆上转动或制作点A 在椭圆上运动的动画按钮，跟踪点M ，得到点M 的轨迹是一个小圆。如图2

“怎样求出这个小圆的方程？”

学生：按一般思路，假设弦AB 所在直线的斜率为k ，则AB 的垂线的斜率为k

1-，列出这两条直线的方程，联立这两个方程解出交点(即垂足)M 的坐标，最后消去参数k 就得到点M 的轨迹方程。哇！好复杂。

学生们埋头进行着复杂的运算。其中一个学生望着投影大屏幕，既不动手，也不说话。 教师：“你为什么不动手做？”

学生：“我在想……这个轨迹是一个圆，而且是以OF 1为直径的圆，是不是有什么简单的方法做出来。噢，我知道了。一般的解题思路很容易想出来，但运算也很复杂。我有一个很好也很简单的方法：

因为OM ⊥AB ，所以|OM|2 +|F 1M|2 = |OF 1|2，若设点M 的坐标为(x ，y)，点F 1的坐标为(c ，0)，则

x 2 + y 2 + (x －c)2 + y 2 = c 2，即222)2()2(c y c x =+-。这就是所求的轨迹方程。”

“啊！这么简单？”同学们都惊讶起来。

马上又有一个学生说：“大家都被椭圆这个外表给迷惑住了。其实这个问题只与原点和点F1的坐标有关，而与椭圆的弦无任何联系。就是‘给定两点O 与F 1，过这两点作两条互相垂直的直线，求交点的轨迹方程。’这当然很容易解得。”

教师：“很好。刚才同学们讨论得很不错。在探求点的轨迹时，一定要注意设法找出动点所满足的几何条件，寻找动点与不动点之间的几何关系。平面几何的有关结论对求点的轨迹很有用处。下面我们将问题改变一下： 轨迹2 如图3，求弦AB 中点P 的轨迹方程。”

“猜猜看，点P 的轨迹是什么？”

不少学生已经利用几何画板演示了出来：

几何画板演示：拖动主动点A ，得到点P 的轨迹是

一个小椭圆，并且这个小椭圆的长轴是线段OF 1即

半焦距2

c 。如图4。 “真是椭圆。”学生的兴趣被调动起来。

“怎样求这个小椭圆的方程？”

教师在下面观察学生的解法，却发现不少学生 图3

对这类问题无从下手。

教师：“根据求轨迹方程的一般步骤，求哪一点的轨迹方程，就应该假设该点的坐标为(x ，y)，因此先设P 点坐标为(x ，y)。要建立点P 的坐标(x ，y)满足的方程，观察图形，这里有四个点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、P 、F 1，其中点F 1是定点，A 、B 、P 都是动点，但点A 是主动点，引起点P 运动的原因是由于点A 在椭圆上运动。因此要找到点P 与A 、B 、F 这三个点的坐标之间的关系。这是解决问题的关键。”

“点P 与A 、B 两点的坐标的关系怎样？”

学生：“根据中点坐标公式得到221x x x +=，2

21y y y +=。” “如何将A 、B 、P 、F 1这四点的坐标联系起来？”

“利用直线的斜率。”

“直线AB 的斜率怎样表示？”

“有2

121x x y y k --=，还有c x y k +=。” “如何得到2

121x x y y --？” “……”

“A 、B 两点在哪？满足什么方程？” 图4

“在椭圆上。满足22212212b a y a x b =+，22222222b a y a x b =+。”

“知道怎样求2

121x x y y --了吗？” 学生很快得到下列解法(经过整理)： 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y)，22b a c -=，则221x x x +=

，221y y y +=，

因为点A 、B 都在椭圆上，则 2221221

2b a y a x b =+，22222222b a y a x b =+， 两式相减得 0))(())((2121221212=+-++-y y y y a x x x x b ，

于是有 c x y k y

a x

b y y x x a b x x y y +==-=++?-=--222121222121， 化简得 1)2()2()2(2222=++a

bc y c c x ， 此即为所求的轨迹方程。 教师：“以上解法是很典型的。这里设点A 、B 的坐标，但并不需要求出，只是利用A 、B 的坐标进行过渡。这是解析几何中常用的一种求轨迹方法——设而不求。寻找动点之间的关系是求轨迹问题的关键。还有其它解法没有？”

一学生：“因为直线AB 经过点F 1，可以设直线AB 的方程为y=k(x+c)，与椭圆方程联立解方程组得出A 、B 两点的坐标……”

另一学生：“不必解出A 、B 的坐标，将直线AB 的方程为y=k(x+c)代入椭圆方程得到的一元二次方程的两根就是点A 、B 的横坐标x 1，x 2，正好可以利用韦达定理得到221x x x +=，2

21y y y +=，将点A 、B 的横坐标都表示为直线AB 的斜率k 的函数，消去参数k 就行了。” 教师：“很好。请同学们将解法写出来。”

以下是学生的另一种解法(经整理)：

解法二：假设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y=k(x+c)，代入椭圆方程12222=+b

y a x 得 02)(22222222222=-+++b a k c a x ck a x k a b 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y)，则2222

2212k

a b ck a x x x +-=+=，① )22(2)2(212)()(22

222

2212121c k a b ck a k c x x k c x k c x k y y y ++-=++=+++=+= =2222k a b ck b +，② 由①②得y a x b k 22-=，代入y=k(x+c)得)(22

c x y

a x

b y +-=， 整理得 1)2()2()2(2222=++a b

c y c c x ， 即为所求的方程。 学生：“我改变原椭圆的长轴或短轴的长，所求轨迹的形状也随着改变了，但这两个椭圆的形状仍然十分‘相似’，也不知有没有必然的联系？”

学生：“2)2(c 与2)2(a

bc 的比例正好等于22:b a ，哇！我发现这两个椭圆的离心率是一样的！因此它们的形状相同。”

教师：“很好。看来大家已经掌握了求轨迹的关键——寻找被动点与主动点之间的关系。

刚才所探索的都是弦AB 上特殊点的轨迹。同学们能否利用几何画板探索其它点的轨迹？请大家根据这个椭圆及弦AB ，自行发现问题，提出问题和解决问题。”

学生们立即投入到探索中。

一位学生：

轨迹3 “在弦AB 上任意取一点Q ，跟踪点Q ，动画……哇！怎么点Q 的轨迹是这样的？”

不少学生也发现了同样的问题。教师将这位学生计算机上的画面切换到大屏幕，几何画板演示：在弦AB 上任取一点Q ，跟踪点Q ，拖动主动点A ，取到如下几何图形(如图5～7所示)：

图5 图6 图7

“呀！这是什么图形？”

“怎么会有这样的图形？”

“自学习解析几何以来还从没见过这样的图形。”

“该给这个轨迹起个什么名字呢？”

学生们发出惊叹。

拖动点Q ，发现点Q 的轨迹也发生变化。当点Q 接近中点P 时，点Q 的轨迹图形接近于中点P 的轨迹——小椭圆(如图6)，而当点Q 接近于点A 或B 时，轨迹图形就接近于大椭圆(如图7)。

轨迹4 “老师，我发现，如果将弦AB 的两端A 、B 分别与椭圆长轴两个端点A 1、A 2连起来，则这两条直线A 2A 与A 1B 的交点C 好象在椭圆的准线上。”另一个学生叫起来。

“老师，点Q 的轨迹不是我们所熟悉的圆、椭圆、双曲线或抛物线，其轨迹方程一定很复杂。点C 的轨迹这么简单，那么应该可以求出其方程吧。”

教师：“试试看吧。”

采取常规方法“交轨法”求解：

设直线AA 2、BA 1的方程分别为

y = k 1(x －a)，y = k 2(x+a)，

将AA 2的方程代入椭圆方程整理得

02)(2221421322212=-+-+b a k a x k a x b k a ,

此方程的两根是A 、A2的横坐标x 1与a ，

故可求得A(x 1，y 1)点坐标为 )2,(22121

222122

213b k a k ab b k a ab k a A +-+-, 图8

同理可求得B(x 2，y 2)点坐标为 )2,(22222

222222

223b k a k ab b k a ab k a B ++-。

由A 、F 1、B 三点共线可得11BF AF k k =，即 c x y c x y +=-2211， 将A 、B 两点坐标代入并整理得 a 2(a+c)k 12k 2 + a 2(c-a)k 1k 22 + b 2(a+c)k 1 + b 2(c-a)k 2 = 0，

将a x y k -=1，a

x y k +=2代入上式得 0))()(()())(()()(2222222=-+-+-+++-++a x a x a c b a x a x c a b y a c a y c a a ， 分解因式得 0])][)(())([(222222=-+--+++b a x b y a a x a c a x c a ，

因为直线AA 2、BA 1的交点在椭圆外，所以0222222>-+b a y a x b ，

故 0))(())((=--+++a x a c a x c a ， 即 c

a x 2-=。 即为直线AA 2、BA 1的交点的轨迹方程，

而这就是椭圆的准线方程。

“同样的道理，直线A 2B 与A 1A 的交点

D 也在准线上。”

“老师，不管C 、D 两点在左准线上怎

样运动，∠CF 1D 是一个定值ο90。如图9所

示。”又一个学生发现了一个结论。同学们利

用上个问题的解决方法，很快证明了出来。

教师：“很高兴看到你们能探索出这么多 图9 结论出来。利用几何画板，你们还能探索出什

么结论吗？如果是圆、椭圆等常见轨迹，请同学们课后尽量给出证明。”

轨迹5 “老师，如图10作ΔOAB 的重心G ，其轨迹也是一个椭圆。”一位学生说。 (以下是学生课后提供的解答过程：

设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，G(x ，y)，

AB 中点为M(x 0，y 0)，则

2102x x x +=，2102y y y +=，

321x x x +=，321y y y +=，032x x =，03

2y y =， 由2221221

2b a y a x b =+，22222222b a y a x b =+， 得y a x b y y x x a b x x y y 222

121222121-=++?-=--， 此即为直线AB 的斜率k ， 图10

又 c x y c x y c x y k 32232300+=+=+=， ∴ c x y y a x b 3

222+=-， 整理得 0)32(2222=++y a cx x b . 故ΔOAB 重心G 的轨迹方程为：1)3()3()3(2222=++a bc y c c x 。)