高等数学第六章答案分解

第六章 定积分的应用

第二节 定积分在几何上的应用 1. 求图中各阴影部分的面积: （1） 16

. (2) 1

(3)

323. (4)32

3

.

2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 463

π-. (2)

3

ln 22-. (3)1

2e e

+-.

(4)b a -

3. 94

.

4. （1）.1

213

（2）.4

5. (1) πa 2. (2)

238

a π. (3)2

18a π.

6. （1）423π? ? （2）

54

π

（3）2cos2ρθρθ==及

16

2

π

+

7．求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： （1）2

x x y y x =和轴、向所围图形，绕轴及轴。

（2）22y x y 8x,x y ==和绕及轴。

（3）()2

2

x y 516,x +-=绕轴。

（4）xy=1和y=4x 、x=2、y=0，绕。

（5）摆线()()x=a t-sint ,1cos ,y 0x y a t =-=的一拱，绕轴。

2234824131,;(2),;(3)160;(4);(5)5a .52556

πππππππ（）

8．由y =x 3, x =2, y =0所围成的图形, 分别绕x 轴及y 轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积.

128

7x V π=

. y V =645

π 9．把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.332

105

a π 10．（1）证明 由平面图形0≤a ≤x ≤

b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ?=b

a

dx x xf V )(2π

. 证明略。

（2）利用题（1）结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转

体的体积. 2

2π

11．计算底面是半径为R 的圆, 而垂直于底面上一条固定

直径的所有截面都是等边三角形的立体体积. 3

R .

12．计算曲线3

223

y x =上相应于38x ≤≤的一段弧的弧长。2123

13．计算曲线2

ln(1)y x =-上相应于102x ≤≤

的一段弧的弧长。1ln 32

- 14．求星型线33

cos sin x a t

y a t ?=?=?

的全长。6a

15．求曲线()1cos a ρθ=-的周长。8a

第三节 定积分的应用

第四节

1. 由实验知道, 弹簧在拉伸过程中, 需要的力F (单位: N )与伸长量s (单位: cm)成正比, 即F =ks (k 为比例常数). 如果把弹簧由原长拉伸6cm , 计算所作的功. 18 k(牛?厘米)

解 将弹簧一端固定于A , 另一端在自由长度时的点O 为坐标原点, 建立坐标系. 功元素为dW =ksds , 所求功为 182

16

026

0===?s k ksds W

k(牛?厘米). 2．直径为20cm 、高80cm 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2的蒸汽. 设温度保持不变, 要使蒸

汽体积缩小一半, 问需要作多少功？800ln 2π(J). 解 由玻-马定律知:

ππ80000)8010(102=??==k PV .

设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变, 高度减小x 厘米时压强 为P (x )牛/厘米2, 则

ππ80000)]80)(10[()(2=-?x x P , π

-=80800

)(x P .

功元素为dx x P dW )()10(2?=π, 所求功为 2ln 8008018000080800)10(40040

2

ππππ

π=-=-??=??

dx dx W

(J).

3．设地球的质量为M ，半径为R ，现要将一个质量为m 的物体从地球表面升高到h 处，问需要做多少功（设引力系数为G ）？()

mMh

G

R h +

4．半径为R 的圆柱体沿固定水平面做纯滚动，试分别求圆心C 沿其轨迹移动的距离S 时，作用于其上的静滑动摩擦力和滚动摩阻力偶的功

解 圆柱体做平面运动，由运动学知，点B 为圆柱体的速度瞬心，由式 （11-16）知圆柱体沿固定面做纯滚动时，静滑动摩擦力的功为零。

滚动摩阻力偶的功可利用滚动摩阻力偶矩M=F

N

δ

来计算所以它的元功为 Md W -=δ=-ds R

F n

δ

如

F

N

及R 均为常量，滚动一段路程S 后滚动摩阻力偶的功为

W=

?

0S -ds R F n

δ=-s R

F n δ 可见滚动摩阻力偶的功为负功，且其绝对值W 与圆柱半径成反比

5．设一锥形贮水池, 深15m , 口径20m , 盛满水, 今以唧筒将水吸尽, 问要作多少功？ 解 在水深x 处, 水平截面半径为x r 3

210-

=, 功元素为

dx x x dx r x dW 22)3210(-=?=ππ,

所求功为 ?-=1502)3

210(dx x x W

π

?+-=15

032)9

440100(dx x x x π =1875(吨米)=57785.7(kJ).

6. 有一闸门, 它的形状和尺寸如图, 水面超过门顶2m . 求闸门上所受的水压力.205.

8(kN).

解 建立x 轴, 方向向下, 原点在水面. 水压力元素为

xdx dx x dP 221=??=,

闸门上所受的水压力为

2125

225

2

===?x xdx P (吨)=205. 8(kN).

7. 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体, 尺寸如图所示. 当水箱装满水时, 计算水箱的一个端面所受的压力. 17.3(kN).

解 建立坐标系如图, 则椭圆的方程为

11)4

3()43(2

2

22=+-y x .

压力元素为

dx x x dx x y x dP 22)4

3()43(38)(21--?=??=,

所求压力为

??

-??+=--?=222

3

22cos 4

3cos 43)sin 1(4338)43()43(38π

πtdx t t dx x x P

ππ

16

9cos 49202==?tdx (吨)=17.3(kN).

(提示: 积分中所作的变换为t x sin 4

343=-

)

8. 有一等腰梯形闸门, 它的两条底边各长10m 和6m , 高为20m . 较长的底边与水面相齐. 计算闸门的一侧所受的水压力. 14388(千牛) 解 建立坐标系如图. 直线AB 的方程为

x y 10

15-=,

压力元素为

dx x x dx x y x dP )5

110()(21-?=??=,

所求压力为

1467)5

110(20

0=-?=?dx x x P (吨)=14388(千牛).

9．一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片, 铅直地沉没在水中, 顶在上, 底在下且与水面平

行, 而顶离水面3cm , 试求它每面所受的压力. 解 建立坐标系如图.

腰AC 的方程为x y 3

2=

, 压力元素为

dx x x dx x x dP )3(3

4322)3(+=???+=,

所求压力为

168)2

331(34)3(346

0236

0=+=+=?x x dx x x P (克)=1.65(牛).

10. 设有一长度为l 、线密度为μ的均匀细直棒, 在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M , 试求这细棒对质点M 的引力.

解 建立坐标系如图. 在细直棒上取一小段dy , 引力元素为

dy y

a Gm y a dy m G dF 222

2+=+?

=μ

μ, dF 在x 轴方向和y 轴方向上的分力分别为 dF r a dF x -=, dF r

y dF y =.

2

202222022)(1)(l a a l Gm dy y a y a aGm dy y a Gm r a F l l

x +-

=++-=+?-=??μμμ, )11()(12

2

02222022l a a Gm dy y a y a Gm dy y a Gm r y F l l

y +-=++=+?=??μμμ

总复习题六

1． 填空题：

（1） 曲线2y x =与22y x x =-直线围成所界区域的面积为 13

（2）曲线226y x =+与直线1y x =-所界区域的面积为 18

（3）曲线0

y =

?

上相应于0x π≤≤的一段弧长为 4

(4) 圆盘222a y x ≤+绕x =-b (b >a >0)旋转所成旋转体的体积 . 2

2

2a b π （5）一圆盘的半径为R ，而密度为()ργ，其中γ为圆盘上一点到圆心的距离，则其质量M ()0

2R

d π

γργγ?

(6) 半径为的球沉入水中，它与水面相切，密度与水相同，若将球从水中取出，则做 的功。

2．求抛物线2

23x x y --=与Ox 轴所围成图形的面积。 3．求抛物线x y =2与42

+-=x y 所围成图形的面积。 4．求圆2

22r y x =+的面积、圆周长。 5．求双纽线θ2cos 2

2

a r =的面积。

6．求心脏线)cos 1(θ+=a r 绕极轴旋转所成旋转体体积。

7．求摆线??

?-=-=),

cos 1(),

sin (t a y t t a x )20(π≤≤t 与x 轴围成图形的面积，弧长，绕x 轴旋转体体积。

8．求悬链线)(,)(2a x a

x

ach e e a y a x

a x

≤=+=-下的曲边梯形的面积，弧长，绕x 轴旋转体

体积。

9．抛物线)0(,22

a x px y ≤≤=绕x 轴旋转所得旋转抛物面的体积。

10．证明曲线x y sin =的一个周期的弧长等于椭圆222

2=+y x 的周长。

11．求椭球体122

2222=++c

z b y a x 的体积。

12．设有一半径为R ，长度为l 的圆柱体平放在深度为R 2的水池中（圆柱体的侧面与水面相

切）。设圆柱体的比重为)1(>ρρ，现将圆柱体从水中移出水面，问需做多少功？ 13．一块高为a ，底为b 的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，

试计算薄板每面所受的压力。

14．用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在铁锤

击第一次时能将铁钉击入木板内cm 1，如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问铁锤击第二次时，能将铁钉又击入多少cm ？ 答案：

2．解：),1)(3(232

x x x x y -+=--=令0=y 得13or x -=。

故抛物线与Ox 轴交点为)0,3(-及)0,1(，所求图形为Ox 轴上半部分。 3

32)23()(1

3

21

3

=

--==

??

--dx x x dx x f S 。 3．解：两条抛物线交点为)2,2(),2,2(-。 则23

16

)24(2])4[(2

222

2

2=

-=-+-=

??

-dy y dy y y S 。 4．解：由对称性，只需考虑第一象限，

dx x r S r

?

-=0

2214

22cos 1cos cos sin 2

2

02

20r

dt t r tdt r t r t r x ππ

π

=+=?=??； 故圆面积为2

r S π=。

由圆的参数方程?

??==,sin ,

cos t r y t r x ，求周长只需考虑第一象限，

2

cos sin 20

20

2

2

2

2

1r

dt r dt t r t r l ππ

π

=

=+=??；

圆周长r l l π241==。

5．解：2240240

2042sin 2cos 2)(21

4a a d a d r S ===?=??π

θθθθθπ

π。

6．解：?

??+==+==θθθθ

θθsin )cos 1(sin cos )cos 1(cos a r y a r x

)cos )cos 1((sin )cos 1(220

2θθθθπ

π

++=?

a d a V

θθθθππ

d a 30

23sin )cos 21()cos 1(++=?

32

1

1

23

3

8)1)(21()1(cos a dt t t t a

t ππθ=-++=?-。 7．解：320

2220

20

3)cos 1()cos 1()cos 1()()(a dt t a dt t a t a dt t x t y S ππ

ππ

=+=--='=

???

；

a dt t

a dt t a t a dt t y t x l 82

sin 2sin )cos 1()]([)]([2020

222220

22==+-='+'=??

?

ππ

π

；

3220

33220

220

25)cos 1())sin (()cos 1()()(a dt t a t t a d t a t dx t y V πππππ

π

π

=-=--==???

8．解：12)(2

sh a dx a x ach dx x y S a a a

a ===

??--； 12)(1)]([122ash dx a

x

ch dx a x sh dx x y l a a a

a

a

a

==+='+=??

?

---；

)22

1

1()()(3222

sh a dx a x ch a dx x y V a

a a

a +===??--πππ。

9．解：20

2

2pa pxdx dx y V a

a

πππ

===??

。

10．证：曲线x y sin =的一个周期的弧长为

dx x dx y L ?

?

+='+=π

π

20

220

21cos 11；

对于椭圆222

2

=+y x ，由于其参数方程为???==t

y t

x sin 2cos

故??

+-='+'=π

π

20

2220

222)cos 2()sin ()]([)]([dt t t dt t y t x L

dx x dt t ?

?

+=+=

ππ

20

220

2cos 1cos 1；

可见 21L L =。

11．解：用垂直于x 轴的平面截椭球，交x 轴于],[a a x -∈，所得截面为椭圆

,122

2222a

x c z b y -=+即,1)1()1(2

22

2

2

22

2

=-

+

-

a

x c z a

x b y

于是此椭圆的面积为)()(222x a a bc

x S -=

π，

从而椭球体的体积为abc dx x a a bc V a a ππ3

4)(2

22=-=?-。 12．解：建立如图所示坐标系，把平放的圆柱

体从水中移出，相当把每一个水平薄板提高R 2， 所做的功包括将薄板提升到水面提升力所做的功 及从水面提高到y R +高度提升力所做的功之和； 水下部分提升力xldy F 2)1(1-=ρ， 所以,)(2)1(1dy y R xl dw --=ρ 水上部分提升力xldy F 21ρ=

，

,)(22dy y R xl dw +=ρ

故dy y R y R l dw dw dw ])12[(22

221+--=+=ρ，

因此322)12(])12[(2R l dy y R y R l w R

R

πρρ-=+--=

?

-。

13．解：如图所示，取水平面上的底为x 轴，则AB 直线的方程为

,22,12

y a b b x a y b x -=?=+ 所以dy y a a b xdy ds )(2-==

dy y a a

by

yds dp )(-==ρ， 故此三角形板每面所受压力为

b a dy y ay a b p a

220

6

1

)(=-=?

。 y

14．解：设击入深度为xcm ，则kx F =，击第一次时所做的功为

2

1

1

1k kxdx Fdx w =

==

??

， 设在第二次锤击时，铁钉击入木板内总深度H ，则第二次锤击所做的功为

)1(2

212-=

=?H k

kxdx w H

，

由于),1(222

21-=?=H k k w w 所以,2=H

第二次击入的深度为cm )12(-。