旋转曲面
第4章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
§ 4.1柱面
1、已知柱面的准线为：
??
?=+-+=-+++-0
225
)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程
??
?=+-+=-+++-0
225
)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z
即：02
3
562
2=-
---+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线?
??==c z y
x 的直线方程为：
???
??=-=-=?
??
?
??=+=+=z z t y y t
x x z
z t y y t
x x 0
00000 而0M 在准线上，所以
??
?=+--+=-++-+--0
2225
)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。
2、设柱面的准线为???=+=z x z y x 22
2，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
解：由题意知：母线平行于矢量{
}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：
???
??+==-=?
??
?
??-==+=t z z y
y t
x x t
z z y y t
x x 220
0000
而0M 在准线上，所以：
??
?+=-++=-)
2(2)2(2
2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*********=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。 解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为
())3
4,31,3
1(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为
)15
13
,1511,152(0--
M ，圆的方程为： ?????
=++=
-++++0
7598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。
又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{
}1,1,1的直线方程为： ???
??-=-=-=?
??
?
??+=+=+=t z z t y y t
x x t
z z t y y t x x 1
11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：
013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x
此即为所求的圆柱面的方程。
4、已知柱面的准线为{})(),(),((u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量{}Z Y X ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
S v u Y x +=)(
与
??
?
??+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。
证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，则，
S v M M ='
即v M O ='-
亦即S v u Y Y =-)(，S v u Y Y +=)( 此即为柱面的矢量式参数方程。 又若将上述方程用分量表达，即：
{}{}{}Z Y X v u z u y u x z y x ,,)(),(),(,,+=
??
?
??+=+=+=∴Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 此即为柱面的坐标式参数方程。
§ 4.2锥面
1、求顶点在原点，准线为01,0122=+-=+-z y z x 的锥面方程。 解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：
z
Z y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：
0)()(222=-+--y z y z z x
即：0222=-+z y x 此为所要求的锥面方程。
2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,1222=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。 解：设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：
2
21133++=++=--z Z y Y x X 令它与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使
???
??++-=++-=-+=t z Z t y Y t x X )2(2)!(1)3(30
00 将它们代入准线方程，并消去t 得：
044441026753222=+-+-+--+-z y x xz yz xy z y x
此为要求的锥面方程。
3、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。 解：（这里仅求Ⅰ、Ⅶ卦限内的圆锥面，其余类推）
圆锥的轴l 与k j i ,,等角，故l 的方向数为1:1:1 ∴与l 垂直的平面之一令为1=++z y x
平面1=++z y x 在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(，该圆的圆心为)3
1
,31,
31(，故该圆的方程为： ?????
=++=-+-+-1
)
32()31()31()31(2222z y x z y x 它即为要求圆锥面的准线。
对锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与顶点O 的母线为：
z
Z
y Y x X == 令它与准线的交点为),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去t 得：
0=++zx yz xy
此即为要求的圆锥面的方程。
4、求顶点为)4,2,1(，轴与平面022=++z y x 垂直，且经过点)1,2,3(的圆锥面的方程。 解：轴线的方程为：
1
4
2221-=-=-z y x 过点)1,2,3(且垂直于轴的平面为：
0)1()2(2)3(2=-+-+-z y x
即：01122=-++z y x
该平面与轴的交点为)9
37,920,911(
，它与)1,2,3(的距离为： 3
116
)1937()2920()3911(222=
-+-+-=d ∴要求圆锥面的准线为：
???
??=-++=-+-+-0
11229116)937()920()911(222z y x z y x 对锥面上任一点),,(z y x M ，过该点与顶点的母线为：
4
4
2211--=--=--z Z y Y x X 令它与准线的交点为),,(000Z Y X ，即存在t ，使,)1(10t x X -+=,)2(20t y Y -+=
t z Z )4(40-+=
将它们代入准线方程，并消去t 得：
01299252516518525210412515122=+---+++++z y x zx yz xy z y x
5、已知锥面的准线为{})(),(),((u z u y u x u =γ，顶点A 决定的径矢为{}0000,,z y x =γ，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
0()(1)v u v γγγ=+-
与
000()(1)()(1)()(1)x vx u v x y vy u v y z vz u v z
=+-??
=+-??=+-?
式中，v u ,为参数。
证明：对锥面上任一点),,(z y x M ，令OM γ=
，它与顶点A 的连线交准线于((),(),()M x u y u z u '=，即OM ()u γ'= 。
//AM AM ' ，且0AM '≠
（顶点不在准线上） AM vAM '∴=
即00(())v u γγγγ-=- 亦即0()(1)v u v γγγ=+-
此为锥面的矢量式参数方程。
若将矢量式参数方程用分量表示，即：
000{,,}{(),(),()}(1){,,}x y z v x u y u z u v x y z =+-
??
?
??-+=-+=-+=∴000)1()()1()()1()(z
v u vz z y v u vy y x v u vx x 此为锥面的坐标式参数方程，v u ,为参数。
§ 4.3旋转曲面
1、求下列旋转曲面的方程：
（1）；
111112x y z -+-==-绕1
112x y z -==-旋转 （2）；1211x y z -==-绕1
112x y z -==-旋转
（3）1133
x y z
-==-绕z 轴旋转； （4）空间曲线2
22
1
z x
x y ?=??+=??绕z 轴旋转。 解：（1）设1111(,,)M x y z 是母线
111
112
x y z -+-==-上任一点，过1M 的纬圆为： 111222222111()()2()0
(1)(1)(1)
(2)
x x y y z z x y z x y z ---+-=??++-=++-?
又1M 在母线上。
111111
112
x y z -+-∴
==- 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：
22255224444480x y z xy yz xz x y z ++++-+---=
此为所求的旋转面方程。
（2）对母线上任一点1111(,,)M x y z ，过1M 的纬圆为：
111222222
111()()2()0
(1)(1)(1)
(2)x x y y z z x y z x y z ---+-=??++-=++-? 因1M 在母线上，1111
211
x y z -∴==- (3)
从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：
2225523122424242446230x y z xy yz xz x y z ++--+-+-+=
此为所求的旋转面的方程。
（3）对母线上任一点1111(,,)M x y z ，过该点的纬圆为：
1222222111(1)(2)
z z x y z x y z =??++=++?
又1M 在母线上，所以：111
1133
x y z -==-（3） 从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：
2229()10690x y z z +---=
此为所求的旋转面方程。
（4）对母线上任一点1111(,,)M x y z ，过1M 的纬圆为：
1
222222111
(1)(2)
z z x y z x y z =??++=++?
又1M 在母线上，所以
2
112211(1)1
(2)
z x x y ?=??+=??
从（1）——（3）消去111,,x y z ，得到：
221x y +=
211101z z x z ==≤∴≤≤
即旋转面的方程为：221x y +=(01)z ≤≤ 2、将直线
01
x
y z
βα
-=
=绕z 轴旋转，求这旋转面的方程，并就,αβ可能的值讨论这是什么曲面？
解：先求旋转面的方程式：
任取母线上一点1111(,,)M x y z ，过1M 的纬圆为：
1222222111(1)(2)
z z x y z x y z =??++=++?
又11
1
01
x y z βα-==（3）
从（1）——（3）消去
111
,,
x y z，得到：
222220
x y z
αβ
+--=
此即为所求旋转面的方程。
当0,0
αβ
=≠时，旋转面为圆柱面（以z轴为轴）；
当0,0
αβ
≠=时，旋转面为圆锥面（以z轴为轴，顶点在原点）；
当,0
αβ≠时，旋转面变为z轴；
当0,0
αβ
=≠时，旋转面为单叶旋转双曲面。
3、已知曲线Γ的参数方程为(),(),()
x x u y y u z z u
===，将曲线Γ绕z轴旋转，求旋转曲面的参数方程。
解：如图，设((),(),())
M x u y u z u为Γ上任一点，则对经过M的纬圆上任一点(,,)
p x y z，令p在xoy面上的射影为p'
令(,)
i opθ
'
∠=
，则op op p p
γ''
==+
，
而op'=
op i
θθ
'=??
而()
p p z u k
'=
i j
γθθ
=?+?
此即为旋转面的矢量式参数方程，v
u,为参数。
其坐标式参数方程为：
(02)
()
x
y
z z u
θ
θθπ
?=
?
?
=≤<
?
?=
??
§4.4椭圆面
1、做出平面20
x-=与椭球面
222
2
1
494
x y z
++=的交线的图形。
解：平面20
x-=与椭球面
222
2
1
494
x y z
++=的交线为：
2
2
39
442
y z x ?+=
???=?，即22
134y z ?+=????——椭 图形为
2 解：设动点(,,)M x y z ，要求的轨迹为∑，则
2221
(,,)4344122
M x y z x x y z ∈∑?
-?++=
即：222
1433
x y z ++= 此即为∑的方程。
3、由椭球面222
2221x y z a b c
++=的中心（即原点），沿某一定方向到曲面上的一点的距离为r ，
设定方向的方向余弦分别为,,λμν，试证：
222
22221r a b c
λμν=++ 证明：沿定方向{,,}λμν到曲面上一点，该点的坐标为{,,}r r r λμν
该点在曲面上
222222
2221r r r a b c λμν∴++=
即22222221r a b c
λμν=++
4、由椭球面222
2221x y z a b c
++=的中心，引三条两两相互垂直的射线，分别交曲面123,,p p p ，
设112233,,op r op r op r ===，试证：
222222
123111111
r r r a b c ++=++ 证明：利用上题结果，有222
2222
1(1,2,3)i i i i i r a b c
λμν=++=
其中,,i i i λμν是i op
的方向余弦。
若将(1,2,3)i op i =
所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴，则123,,λλλ是坐标矢量关于
新坐标系的方向余弦，从而2221231λλλ++=，同理，2221231μμμ++=，2221231ννν++= 所以，
222222222
123123123222222123222
111111()()()111
r r r a b c a b c λλλμμμννν++=++++++++=
++
即：
222222
123111111r r r a b c ++=++ 5、一直线分别交坐标面,,yoz zox xoy 于三点,,A B C ，当直线变动时，直线上的三定点
,,A B C 也分别在三个坐标面上变动，另外，直线上有第四点p ，它与三点的距离分别为,,a b c ，当直线按照这样的规定（即保持,,A B C 分别在三坐标面上）变动，试求p 点的轨
迹。
解：设112233(0,,),(,0,),(,,0)A y z B x z C x y ，则知：
2121331221,x z z y
x y z z z z =
=-- 21211221
(
,,0)x z z y
C z z z z ∴-- 又设(,,)p x y z ，,,pA a pB b pC c ===
2222
11
2222222222
21211221()()(1)()()(2)()()(3)
x y y z z a x x y z z b x z z y
x y z c z z z z ?
?+-+-=??-++-=???-+-+=--??
又p 在AB 的连线上，11
1121
y y z z x x y z z --∴
==
--（4） 从（1）——（4）消去1122,,,y z x z ，得到
222
2221x y z a b c
++= 此为点的轨迹方程。
6、已知椭球面222
2221()x y z c a b a b c
++=<<，试求过x 轴并与曲面的交线是圆的平面。
解：设要求的平面为：0y z λ+= 它与椭球面的交线为：
（*）222
22210x y z a b c y z λ?++=???+=?
若（*）为圆，因（*）以原点为对称，故圆心在原点，所以圆的半径为a ，从而交线上的点都在球面：2222x y z a ++=上
即有：2
22
22222
21[1(
)]z a z z a b c
λλ-+
++= 亦即：22
2
2
22
2(1)0a a z b c
λλ-
-+= 22
2
2
2210a a b c
λλ∴-
-+= 即：22
2
22(1)1a a b c
λ-=-
222
2
222
a c
b
c b a λ-=?-
λ∴=满足要求的平面方程为：0y =
§ 4.5双曲面
1、画出以下双曲面的图形：
（1）22211694x y z -+=；（2）222
11649
x y z -+=- 解：图形如下：
2、给定方程
222
1(0)x y z A B C A B C λλλ
++=>>>--- 试问当λ取异于,,A B C 的各种数值时，它表示怎样的曲面？
解：对方程
222
1(0)x y z A B C A B C λλλ
++=>>>---（*） 1o、当A λ>时，（*）不表示任何实图形； 2o、当A B λ>>时，（*）表示双叶双曲面； 3o、当B C λ>>时，（*）表示单叶双曲面； 4o、当C λ<时，（*）表示椭球面。
3、已知单叶双曲面222
1494
x y z +-=，试求平面的方程，使这平面平行于yoz 面（或xoz 面）且与曲面的交线是一对相交直线。
解：设所求的平面为x k =，则该平面与单叶双曲面的交线为：
（*）222
1494
x y z x k ?+-=???=?
亦即2221944y z k x k ?-=-???=?
为使交线（*）为二相交直线，则须：2
104
k -=，即2k =± 所以，要求的平面方程为：2x =±
同理，平行于xoy 的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线，则该平面为：3y =± 4、设动点与(4,0,0)的距离等于这点到平面1x =的距离的两倍，试求这动点的轨迹。 解：设动点(,,)M x y z ，所求轨迹为∑，则
2222(,,)21(4)4(1)M x y z x x y z x ∈∑?
=-?-++=-
亦即：222
141212
x y z -
++= 此为∑的轨迹方程。
5、试求单叶双曲面
222
11645
x y z +-=与平面230x z -+=的交线对xoy 平面的射影柱面。 解：题中所设的交线为：
222
1
1645
230x y z x z ?+-=???-+=?
从此方程中消去z ，得到：
2220241160x y x +--=
此即为要求的射影柱面方程。
6、设直线l 与m 为互不垂直的两条异面直线，C 是l 与m 的公垂线的中点，,A B 两点分别在直线l ，m 上滑动，且90ACB ∠=
，试证直线AB 的轨迹是一个单叶双曲面。
证明：以l ，m 的公垂线作为z 轴，C 作为坐标原点，再令x 轴与l ，m 的夹角均为α，公垂线的长为2c ，若设tg αλ=，则l 0:y x l z c λ+=??=?
0:y x m z c
λ-=??=-?
令11(,,)A x y c ，22(,,)B x y c -，则有：
11220,0y x y x λλ+=-=
又AC CB ⊥，所以：22222222211221212()()(2)x y c x y c x x y y c +++++=-+-+
亦即212120x x y y c +-=（2）
又设(,,)M x y z 为AB 上任一点，则
c
c
z y y y y x x x x 2121121--=
--=-- (3) 从（1）——（3）中消去2211,,,y x y x ，得：
222222222)1()1(c z y x λλλλλ=+---
即：11122
2
22222
2=+---c z c y c x λλλ (4) l 不垂直m ，1≠∴λ
（4）表示单叶双曲面，即AB 的轨迹是一单叶双曲面。 7、试验证单叶双曲面与双叶双曲面的参数方程分别为：
?????===ctgu z v u b y v u a x sin sec cos sec 与??
?
??===u c z v btgu y v atgu x sec sin cos 解：对方程：??
?
??===ctgu z v u b y v
u a x sin sec cos sec
消去参数v u ,，有：122
2222=-+c
z b y a x
此即为单叶双曲面；
又对方程：??
?
??===u c z v btgu y v atgu x sec sin cos
消去参数v u ,，有：122
2222-=-+c
z b y a x
此即为双叶双曲面方程。
§ 4.6抛物面
1、已知椭圆抛物面的顶点在原点，对称面为xoz 面与yoz 面，且过点)6,2,1(和)1,1,3
1(-，求这个椭圆抛物面的方程。
解：据题意可设，要求的椭圆抛物面的方程为：
z b
y a x 222
22=+ 令确定a 与b
)6,2,1( 和)1,1,3
1
(-均在该曲面上。
∴有：
??????
?=+=+219112412
222b a b
a 从而
56
1,536122
==b a 所以要求的椭圆抛物面的方程为：z y x 25
65362
2=+ 即：z y x 531822=+
2、适当选取坐标系，求下列轨迹的方程：
（1）到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹； （2）与两给定的异面直线等距离的点的轨迹，已知两异面直线间的距离为a 2，夹角为α2。 解：（1）取定平面为xoy 面，过定点且垂直于xoy 面的直线作为z 轴，则定点的坐标设为
),0,0(a ，而定平面即为0=z ，设比值常数为c ，并令所求的轨迹为∑，则
点c z
a z y x z y x M =-++?
∑
∈2
22)(),,(
即02)1(22222=+--++a az z c y x
此为的方程。
（2）取二异面直线的公垂线为轴，中点的坐标为原点；再取x 轴，使其与二异面直线的夹角相等，则二异面直线的方程为：
??
?==?+a z x tg y 0α与?
??-==?-a z x tg y 0
α 设所求的轨迹为∑，则
α
α
α
α
α
α22
2
2
22
22111
11100),,(tg tg y
x x a z tg a z y tg tg y
x x a z tg a z y z y x M +-+
-+
--=
+++++?
∑∈
即
：
22222222)()()()()()(y x a z a z tg y xtg a z a z tg ++-+-?=-++++?αααα
经同解化简得：xy a
z ααcos sin =
此即所要求的轨迹方程。
3、画出下列方程所代表的图形：
（1）1942
2=++z y x ；（2）xy z =；（3）???=+=2
22z z y x 4、画出下列各组曲面所围成的立体的图形：
（1）6,1223,63,0,0=++=+=+==z y x y x y x z y （2）;1,22=+=+y ，x z y x 三坐标平面 （3）1,2
1
,
2==-=
y x y z y x
（4）1,12222=+=+z y y x
解：略。
5、试验证椭圆抛物面与双曲抛物面的参数方程可分别写成：
???
????
===221sin cos u
z v bu y v au x 与???
??=-=+=uv z v u b y v u a x 2)()(
式中的v u ,为参数。 解：对方程
???
?
???
===2
21sin cos u z v bu y v au x
消去参数v u ,得：z b
y a x 222
22=+
这正是椭圆抛物面的方程。
对方程
??
?
??=-=+=uv z v u b y v u a x 2)()( 消去参数v u ,得：z b
y a x 222
22=-
这正是双曲抛物面的方程。
§ 4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线
1、 求下列直纹面的直母线族方程： （1）0222=-+z y x （2）axy z = 解：（1）从原方程得：222y z x -=- 即：y y z x z x ?-=-+))((
亦即：
??
?-=-=+?=--=+y
t z x ty z x t z x y
y z x )( 为了避免取极限，将上方程写成：
??
?-=-=+sy
t z x ty
z x s )()(（1） 若将原方程变形为：222x z y -=-，则可得到：?
?
?-=-=+ux z y v vx
z y u )()(（2）
若令)(2
1s t u -=
，)(2
1s t v +=
，则（2）便是（1）
∴原曲面的直母线族是（1）
，其中t s ,不全为零。 （2）原方程变形为：ay x
z
=
亦即：t ay x
z
==
??
?==∴t
ay xt
z （1）
由
ax y
z
= 得：??
?==s
ax sy
z （2）
（1）（2）即这原曲面的两组直母线族方程。 2、 求下列直线族所成的曲面（式中的λ为参数）
（1）0112λ
λ-=-=-z y x ；（2）???=--=++4
42442z y x z y x λλλλ 解：（1）原方程等价于?
??=-=-λλz y
x 2
从此式中消去λ，得：y x z +=2 此即为直母线（1）所形成的曲面。
（2）从原方程中消去λ得：
14
1622
2=-+z y x 此即为（2）的直母线族所形成的曲面。
3、在双曲抛物面
z y x =-4162
2上，求平行于平面0423=-+z y x 的直母线。 解：双曲抛物面
z y x =-4
162
2的两族直母线为： ??????
?=-=+z y x u u
y x )24(24及???????=+=-z y
x v v y
x )2
4(24
第一族直母线的方向矢量为：},1,2{u - 第二族直母线的方向矢量为：},1,2{v 据题意，要求的直母线应满足：
2
04232104232=?=-+?=?=--?v v u u
要求的直母线方程为：
???????=-=+z y
x y x 2412
4及???????=+=-2
242
24z y x y
x
4、试证单叶双曲面122
2222=-+c
z b y a x 的任意一条直母线在xoy 面上的射影，一定是其腰圆
的比线。
证明：单叶双曲面的腰圆为??
???==+
0122
22z b y a x
两直母线为：
??????
?+=--=+)1(1)1(b y v
c z a x b
y v c z
a x 它在xoy 面内的射影为：?????=-++=0
)
1(12z v v
b y v v a x
（2） 将（2）的第一式代入（1）的第一式得：
44)]1(1[222
=+-++b
y v v b y v v
即：0)1()1(2])1(1[
22
2
222=-+-++v v y v v b y v v b
上述方程的判别式为：
0)1()1(4)1(42
22
2222=-+--=
?v v v v b
v v b ∴ （2）与（1）相比，证毕。
5、求与两直线11236-==-z y x 与21
4
283-+=-=z y x 相交，而且与平面0532=-+y x 平行的直线的轨迹。
解：设动直线与二已知直线分别交于),,(),,,(111000z y x z y x ，则
11236000-==-z y x ，21
4
283111-+=-=z y x 又动直线与平面0532=-+y x 平行，所以，0)(3)(21010=-+-y y x x
对动直线上任一点),,(z y x M ，有：
10
010010z z z z y y y y x x x x --=
--=-- 从（1）——（4）消去111000,,,,,z y x z y x ，得到：z y x 44
92
2=- 6、求与下列三条直线
??
?==z y x 1，???-=-=z
y x 1与52
4132+=+=--z y x 都共面的直线所构成的曲面。
解：动直线不可能同时平行于直线???==z y x 1及直线?
??-=-=z y x 1
不妨设其与第一条直线交于),,1(λλp
注),,1(λλp 与第二条直线的平面为：0)()1(=+-+z y x λ 过p 与直线
5
2
4132+=+=--z y x 的平面为0)]()1(3[)](3)1[(=++----+z y x z y x λ 动直线的方程为：??
?=++----+=+-+0
)]()1(3[)](3)1[(0
)()1(z y x z y x z y x λλ
从上式中消去参数λ，得：1222=-+z y x
此为所要求的轨迹方程。 7、试证明经过单叶双曲面的一直母线的每个平面一定经过属于另一族直母线的一条直母线，并举一反例，说明这个命题与双曲抛物面的情况下不一定成立。
证明：单叶双曲面122
2222=-+c
z b y a x 的一族直母线为：
??????
?-=-+=+)1()()1()(b y u c
z a x v b
y v c z
a x u 过该族中一条直母线的平面为：0)]1()([)]1()(
[=---++-+b
y
u c z a x v t b y v c z a x u s 即：0)1()()1()(=---++-+b
y
tu c z a x tv b y sv c z a x su （1）
另一族直母线为：???????+=--=+)1()()1()(b y m c
z a x n b
y n c z a x m
考研高数：常见的旋转曲面求法
考研高数：常见的旋转曲面求法 我们之前给大家介绍过数一、数二和数三的区别主要在于考点的内容范围，而不在考试要求。考数一的考生需要额外掌握空间解析几何和多元函数积分学这两大模块的内容。而空间解析几何是后面我们计算二重积分、三重积分、和曲线、曲面积分的基础。因为计算积分首先需要正确地把积分区域的图像画出来。这就要求我们掌握常见的二次曲面的图像和一般旋转曲面的求法。常见的二次曲面包括圆柱面、旋转抛物面、锥面、椭球面、单叶双曲面和双叶双曲面等，这些曲面都是某条曲线绕着坐标轴旋转形成的。那么我们就来分析一般的旋转曲面的求解方法，这也是后期计算各类积分的基础。 1. 概念 一条曲线绕某一条直线旋转一周所成的曲面就是旋转曲面。这条旋转曲线和直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。 旋转曲面的概念很好理解，这个曲面的形成方式是旋转，而且常用到的是绕着坐标轴旋转，下面我们来看旋转曲面的求法。 2. 旋转曲面求法 求解旋转曲面，一般母线的形式有以下两种：
掌握这两种形式的旋转曲面的求解方法，在计算重积分和曲线曲面积分时也就够用了，这里不要求大家直接记忆公式，只要掌握了旋转过程的两个不变量，理解了求解的方法和思路，在做题过程简单推导就可以求出旋转曲面的表达式，再去画图计算积分即可。 凯程教育： 凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩
教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立10年（2005年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。 有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区，有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力的体现。此外，最好还要看一下他们的营业执照。
旋转曲面的面积
§4 旋转曲面的面积 教学目的与要求： 1. 理解并掌握在直角坐标系、参数方程、极坐标中， 计算旋转曲面的面积的公式. 2. 理解并掌握微元法的思想及应用. 教学重点，难点： 1. 在直角坐标系、参数方程、极坐标中， 计算旋转曲面的面积的公式. 2. 微元法的思想及应用. 教学内容： 定积分的所有应用问题，一般总可按“分割，近似求和，取极限”三个步骤导出所求量的积分形式。但为简便实用起见，也常采用下面介绍的“微元法”。本节和下一节将采用此法来处理。 一 微元法 为了介绍微元法，我们首先回顾一下在讲定积分定义时引入的例子——求曲边梯形的面积问题。 设f 为闭区间[a ，b]上的连续函数，且f （x ）≥0。由曲线y=f (x)，直线x=a,x=b 以及x 轴所围成的平面图形（图9-1），称为曲边梯形，下面讨论曲边梯形的面积 作法：（ｉ）分割 在区间[ a ，b]内任取n-1个分点，它们依次为 a=x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n －１＜x n =b, 这些点把[a,b]分割成n 个小区间[x ｉ－１, x ｉ],I=1,2,…n.再用直线x= x ｉ, ｉ=1,2,…，n-1把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形（图9-2）。 （ii ）近似求和 在每个小区间[x i-1,x i ]上任取一点i ξ，作以f (i ξ)为高，[x i-1,x i ]为底的小矩形.当分割[a,b]的点分点较多,又分割得较细密时,由于f 为连续函数,它在每个小区间上的值变化不大,从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边梯形的面积.于是, n 个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积S 的近似值,即 1()n i i i S f x ξ=≈?∑ ).(1--=?i i i x x x （iii ）取极限 注意到(1)式右边的和式既依赖于对区间[a,b]的分割，又 与所有中间点i ξ（i=1,2,…，n ）的取法有关。可以想象，当分点无限增多， 且对[a,b]无限细分时，如果此和式与某一常数无限接近，而且与分点x i 和中间点i ξ的选取无关，则就把此常数定义作为曲边梯形的面积S.
第三章 常见曲面球面和旋转面
第三章 常 见 曲 面 §3.1 球面和旋转面 1.1球面的普通方程 球面方程的建立 首先建立球心在点()0000,,z y x M ，半径为0R ≥的球面方程。根据以下充分必要条件 (,,)M x y z 在球面上0M M R ?=， 得 ()()()2 2 2 2 000x x y y z z R -+-+-=， （3.1） 展开得 2221232220,x y z b x b y b z c ++++++= （3.2） 其中， 2222102030,000,,b x b y b z c x y z R =-=-=-=++-。 (3.1)或(3.2)就是所求球面方程，它是一个三元二次方程，没有交叉项(yz xz xy ,,项),平方项的系数相同。反之，任一形如（3.2）的方程经过配方后可写成： ()()(),0232221232221=---++++++b b b c b z b y b x 当c b b b >++2 32 22 1时，它表示一个球心在()321,,b b b ---，半径为c b b b -++2 32 22 1的 球面；当c b b b =++2 32221时，它表示一个点() 32,1,b b b ---；当c b b b <++2 32221时，它没有轨迹(或者说它表示一个虚球面）。 1.2球面的参数方程，点的球面坐标 如果球心在原点，半径为R ，在球面上任取一点()z y x M ,,,从M 作xOy 面的垂线，垂
足为N N ，连,O M O N 。设x 轴到ON 的角度为?，ON 到OM 的角度为θ(M 在xOy 面上方时，θ为正，反之为负)，则有 cos cos ,cos sin ,02,.2 2 sin ,x R y R z R θ?π π θ??πθθ=?? =≤<- ≤≤ ??=? （3.3） (3.3)称为球心在原点，半径为R 的球面的参数方程，有两个参数θ?,，其中?称为经度，θ称为纬度。 球面上的每一个点(除去它与z 轴的交点)对应唯一的对实数()?θ,，因此()?θ,称为球面上点的曲纹坐标。 因为空间中任一点()z y x M ,,必在以原点为球心，以R OM =为半径的球面上，而球面上点（除去它与z 轴的交点外）又由它的曲纹坐标()?θ,唯一确定，因此，除去z 轴外，空间中的点M 由有序三元实数组()?θ,,R 唯一确定。我们把()?θ,,R 称为空间中点M 的球面坐标（或空间极坐标），其中0R ≥，,022 2 π π θ?π-≤≤ ≤≤。 点M 的球面坐标()?θ,,R 与M 的直角坐标()z y x ,,的关系为 cos cos , 0,cos sin , - ,22 sin , 02x R R y R z R θ?π π θ?θθ?π =≥??? =≤≤ ??=≤≤?? （3.4） 1.3曲面和曲线的普通方程、参数方程 从球面的方程（3.2）和球面的参数方程（3.3）看到，一般来说，曲面的普通方程是一个三元方程()z y x F ,,=0，曲面的参数方程是含有两个参数的方程： (,),(,), ,,(,),x x u v y y u v a u b c v d z z u v =?? =≤≤≤≤??=? （3.5） 其中，对于()v u ,的每一对值，由（3.5）确定的点()z y x ,,在此曲面上；而此曲面上任一点的坐标都可由()v u ,的某一对值（3.5）表示。于是通过曲面的参数方程（3.5），曲面上的
旋转曲面的参数方程(利用正交变换作旋转)
旋转曲面的参数方程 ---------利用正交变换作旋转 众所周知，yOz 坐标面上的曲线(,)0F y z =绕z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为 ()0F z = （1） （见同济大学《高等数学》（5版上册），313页）。 如果以上曲线的方程能写成显函数()y f z =（a z b ≤≤），则该旋转曲面的方程为 ()f z =或 222[()]x y f z += （2） 这个方程的几何意义是：对曲线上的每一点(0,,)P y z ，这个方程给出圆心在(0,0,)z ，半径为()f z 的一个垂直于z 轴的圆。当z 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。 如果曲线的方程是显函数()y f z =（a z b ≤≤），我们也可以用参数方程来表示这个旋转面： ()c o s ()s i n x f z y f z z z θθ?=?=??=? （02θπ≤≤，a z b ≤≤） （3） 这个方程的几何意义是：对每一个[,]z a b ∈，参数方程给出一个半径为()f z 的垂直于z 轴的圆。当z 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。 如果曲线的方程能写成参数方程() ()y f t z g t =??=?（a t b ≤≤），则旋转曲面的参数方程为： ()cos ()sin ()x f t y f t z g t θ θ?=? =??=? （02θπ≤≤，a t b ≤≤） （4） 这个方程的几何意义是：对每一个[,]t a b ∈，参数方程给出一个半径为()f t 的垂直于z 轴的圆。当t 取遍[,]a b 中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。 推而广之，如果该曲线是空间曲线，其参数方程为() ()()x h t y f t z g t =??=??=? （a t b ≤≤），则此曲线绕z 轴旋转而成的旋转曲面的参数方程为：
定积分的应用4旋转曲面的面积数学分析
§4 旋转曲面的面积 (一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式． (二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式． 基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积． ———————————————————— 一 微元法 用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x )的变化区间 有关的量，且关于区间 具有 可加性. 我们就设想把 分成n 个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到 的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x 处的值， 为小区间的长度),那么就把 称为量 的元素 并记做 ，即 dx x f dU )(= 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式： ?b a dx x f )( 例如求由两条曲线)(,)(21x f y x f y == (其中],[,21b a C f f ∈)及直线 b x a x ==, 所 为成图形的面积A.容易看出面积元素dx x f x f DA |)()(|21-=于是得平面图形 b x a x f y x f ≤≤≤≤,)()(21 的面积为 ?-=b a dx x f x f A |)()(|21
旋转曲面图形绘制
实验名称：旋转曲面图形绘制 --------------谢煜1024 一、问题阐述： 二、问题分析： 该问题应归于三维可视化的范畴，问题中的函数形式已给出，通过计算函数在分段点的函数值和一阶导数值，我们可以知道，该函数曲线是光滑的。如果按照“经典”的绘图方法，我们应该找到对应平面的对应点函数值（正如一幅数码图片那样对应平面上点的函数值），然后使用MATLAB中命令surf或mesh来绘出我们的图形。但是我们注意到，对于特定的操作（旋转），也许这样并不是一个很好的方法。 我们知道，一个旋转曲面的两个要素是截面曲线和旋转轴。我们可以通过这两个步骤得到一个特定的旋转曲面。 1.指定截面曲线； 2.指定旋转轴。 我们同时可以将旋转曲面的形成过程看作是某个具有特定形状的截面曲线对一个圆柱体进行“变形”。基于这样的思想，我们可以用一下两个步骤得到一个特定的旋转曲面： 1.生成一个单位高度单位半径的圆柱体； 2.将截面曲线的形状应用到该矩形截面上； 3.对旋转曲面的高度进行缩放。 三、实验内容（包含程序及其注释，实验输出及其分析） 接下来第一步我们还是先用一个简单的程序看看截面曲线的样子， 绘出如图1所示的曲线，有点像给出的飞机机翼截面的上半部分，也有点像鲸的头 部。 图1 截面曲线 接下来我们按照要求，先计算对应的y和z， 得到如下表1中所列数据， 表1 对应三轴数据 然后，按照我们的思路，应该先生成一个单位高度圆柱体，然后应用截面，再伸缩 长度，在MATLAB里面，有一个命令cylinder可以直接生成圆柱体，并且还可以指定截面函数，这样三步就完成前两步，我们只需要将X轴的数据进行放大即图形上的伸缩即可。唯一需要说明的是，由于问题中X轴是横的，而cylinder命令默认旋转轴是Z轴，我 们可以将返回的数值顺序调换一下，将X的数据放在Z轴数据的位置。如下命令：最后，我们用以下命令绘出图形，图形如图2所示。这个旋转曲面形状像一个陨石在大气层中燃烧产生的焰火，当然，我觉得也像一个望着大家的眼球。 图2 旋转曲面图形 至此，本实验所包含的基本问题就得到解决。 下面我们来生成一个有趣的图形。展示了一个“逃出”的情景。如图3，所用程序一并给出。 图3 多个旋转曲面组成的图形 四、实验结论 通过这个实验我们解决了给出的基本问题，并发展出一种更方便的绘制旋转曲面的方法。这种方法也说明我们采取的解决方法和我们看待事物的角度有密切联系。有意识
旋转曲面、柱面和二次曲面
旋转曲面、柱面和二次曲面 一、旋转曲面 定义 一条曲线C 绕一条直线l 旋转所得的曲面称为旋转曲面。l 称为轴，C 称为母线。 设旋转轴为z 轴，母线C 在yOz 平面上，其方程为? ??==00 ),(x z y f ，则旋转曲 面的方程为0),(2 2=+± z y x f 。 坐标平面上的一条曲线绕该坐标面上的一条坐标轴旋转所得旋转曲面方程的求法：在该曲线在坐标平面上的方程中，保留与旋转轴同名的变量不动，而把另一个变量换成与旋转轴不同名的另两个变量的平方和的平方根。 例1 母线? ??==02:2x pz y C 绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程为 pz y x 222=+，这个曲面称为旋转抛物面。 例 2 母线??? ??==-0 1:2222y c z a x C 绕z 轴旋转所得旋转曲面方程为 122 2 22=-+c z a y x ，这个曲面称为旋转单叶双曲面；绕x 轴旋转所得旋转曲面方程为12 2 222=+-c z y a x 这个曲面称为旋转双叶双曲面。 二、柱面 定义 一条直线l 沿着一条空间曲线C 平行移动所形成的曲面称为柱面。l 称为母线，C 称为准线。 定理 在空间直角坐标系中，只含两个元的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元的同名坐标轴。
椭圆柱面：12222=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 抛物柱面：px y 22= 三、二次曲面 (1) 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ (2) 椭球面：1222222=++c z b y a x (3) 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x (4) 双叶双曲面：122 2222=--c z b y a x (5) 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 (6) 双曲抛物面：z b y a x =-22 22