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九年级数学下册 第2章 圆 2.7 正多边形与圆同步练习 (新版)湘教版

.7 正多边形与圆

知识点 1 正多边形的定义和作正多边形

1.下列命题中,是真命题的有( )

①各边相等的多边形是正多边形;②各内角分别相等的多边形是正多边形;③各边相等,各内角也相等的多边形是正多边形.

A.0个B.1个C.2个D.3个

2.如图2-7-1所示,六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形,且OA=4,则这个正六边形的边长是( )

图2-7-1

A.24 B.6 C.4 D.2 3

3.在图2-7-2中,试分别按要求画出圆的内接正多边形.

图2-7-2

知识点 2 正多边形的性质

4.正六边形的对称轴有( )

A.3条B.6条C.9条D.12条

5.对于一个正多边形,以下说法错误的是( )

A.正多边形是轴对称图形,每条边的垂直平分线是它的对称轴

B.正多边形是中心对称图形,正多边形的中心是它的对称中心

C.正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角

D.正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补

6.如果一个正多边形绕它的中心旋转36°和原来的图形重合,那么这个正多边形可能

是( )

A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正十边形

7.正七边形有________条对称轴.

知识点 3 正多边形的有关计算

8.如图2-7-3,正方形ABCD内接于⊙O,它的边长为4,则⊙O的半径是( )

图2-7-3

A.2 2 B.4 2 C.2 D.4

9.2017·株洲下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是( ) A .正三角形 B .正方形 C .正五边形 D .正六边形 10.正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是( ) A .互余 B .互补 C .互余或互补 D .不能确定

11.2017·玉林如图2-7-4,在边长为2的正八边形中,把其不相邻的四条边均向两边延长相交得到一个四边形ABCD ,则四边形ABCD 的周长是________.

图2-7-4

12.如图2-7-5,六边形ABCDEF 是半径为8的⊙O 的内接正六边形,求它的周长和面积.(结果保留根号)

图2-7-5

13.2017·滨州若正方形的外接圆的半径为2,则其内切圆的半径为( )

A . 2

B .2 2

C .

2

2

D .1 14.如图2-7-6,半径为1的⊙O 与正六边形ABCDEF 相切于点A ,D ,则AD ︵

的长为( )

图2-7-6

A .16

π B .13

π C .23

π D .56

π

15.如图2-7-7,正方形ABCD 内接于⊙O ,其边长为4,则⊙O 的内接正三角形EFG 的边长为________.

图2-7-7

16.如图2-7-8,若干全等正五边形排成环状.图中所示的是前3个正五边形,要完成这一圆环还需________个正五边形.

图2-7-8

17.2017·岳阳我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”,他认为圆内接正多边形的边数越多时,其周长就越接近圆周长,由此求得了圆周率π的近似值.设半径为r 的圆内接正n 边形的周长为L ,圆的直径为d ,如图2-7-9所示,当n =6时,π≈L d =6r

2r =3,那

么当n =12时,π≈L

d

=________.(结果精确到0.01,参考数据:sin 15°=cos 75°≈0.259)

图2-7-9

18.如图2-7-10,在正五边形ABCDE 中,对角线AC ,BD 相交于点F. (1)判断△ABF 的形状,并说明理由; (2)求证:四边形AFDE 为菱形.

图2-7-10

19.(1)已知:如图①,△ABC 是⊙O 的内接正三角形,P 为BC ︵

上一动点,求证:PA =PB +PC ;

(2)如图②,四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形,P 为BC ︵

上一动点,求证:PA =PC +2PB ; (3)如图③,六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形,P 为BC ︵

上一动点,请探究PA ,PB ,

PC 三者之间有何数量关系,并给予证明.

图2-7-11

教师详解详析

1.B 2.C 3.略

4.B [解析] 如图所示,正六边形的对称轴有6条.

5.B

6.D [解析] A 项,正三角形绕它的中心旋转能和原来的图形重合的最小的度数是120°.B 项,正方形绕它的中心旋转能和原来的图形重合的最小的度数是90°.C 项,正六边形绕它的中心旋转能和原来的图形重合的最小的度数是60°.D 项,正十边形绕它的中心旋转能和原来的图形重合的最小的度数是36°.故选D.

7.7

8.A [解析] 过点O 作OE ⊥AD 于点E ,连接OD ,则AE =DE =2,OE =2.在Rt △ODE 中,

OD =ED 2+OE 2=2 2.

9.A [解析] ∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°,正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°,正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°,正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°,∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形.故选A.

10.B [解析] 设正多边形的边数为n ,则正多边形的中心角为360°

n

,正多边形的一个

外角等于360°n

,所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角,而正多边形的一个外角与

该正多边形相邻的内角互补,所以正多边形的中心角与该正多边形的一个内角互补.故选B.

11.8+8 2 [解析] 由题意,可得AD =2+2

2

2

×2=2+2 2,∴四边形ABCD 的周长是4×(2+2 2)=8+8 2.

12.解:连接OB ,OC .

∵六边形ABCDEF 是正六边形,∴∠BOC =60°, ∴△OBC 是等边三角形, ∴BC =OB =8,

∴正六边形ABCDEF 的周长=6×8=48. 过点O 作OG ⊥BC 于点G .

∵△OBC 是等边三角形,OB =8,∴∠OBC =60°,

∴OG =OB ·sin∠OBC =8×

3

2

=4 3, ∴S △OBC =12BC ·OG =1

2

×8×4 3=16 3,

∴S 六边形ABCDEF =6S △OBC =6×16 3=96 3.

13.A [解析] 如图,由“正方形的外接圆半径为2”可得OB =2,∠OBC =45°,由切线的性质可得∠OCB =90°,所以△OBC 为等腰直角三角形,所以OC =

2

2

OB = 2.

14.C [解析] 连接OA ,OD ,

∵⊙O 与正六边形ABCDEF 相切于点A ,D , ∴∠OAF =∠ODE =90°. ∵∠E =∠F =120°,

∴∠AOD =540°-90°-90°-120°-120°=120°,∴AD ︵的长为120π×1180=2π

3.故选

C.

15.2 6 [解析] 连接AC ,OE ,OF ,过点O 作OM ⊥EF 于点M .

∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB =BC =4,∠ABC =90°, ∴AC 是⊙O 的直径,AC =4 2, ∴OE =OF =2 2. ∵OM ⊥EF ,∴EM =MF . ∵△EFG 是等边三角形, ∴∠GEF =60°.

在Rt △OME 中,∵OE =2 2,∠OEM =1

2∠GEF =30°,

∴OM =2,EM =6,∴EF =2 6. 故答案为2 6.

16.7 [解析] ∵多边形是正五边形,∴内角是1

5×(5-2)×180°=108°,∴∠O =180°

-(180°-108°)-(180°-108°)=36°,36°的圆心角所对的弧长为圆周长的1

10,即10

个正五边形能围成这一圆环,所以要完成这一圆环还需7个正五边形.

17.3.11 [解析] 如图,圆的内接正十二边形被半径分成12个如图所示的等腰三角形,其顶角为30°,即∠AOB =30°,过点O 作OH ⊥AB 于点H ,则∠AOH =15°.∵AO =BO =r ,Rt △AOH 中,sin ∠AOH =AH AO ,即sin15°=AH r

,∴AH =r ×sin15°,AB =2AH =2r ×sin15°,∴

L =12×2r ×sin15°=24r ×sin15°.又∵d =2r ,∴π≈L d =24r ×sin15°

2r

≈3.11.

18.解:(1)△ABF 是等腰三角形.

理由:∵在正五边形ABCDE 中,对角线BD ,AC 相交于点F , ∴∠ABC =∠BCD =108°,AB =BC ,BC =CD ,∴∠BAC =∠ACB =36°,∠CDB =∠CBD =36°, ∴∠ABD =∠ABC -∠CBD =108°-36°=72°, ∴∠AFB =180°-36°-72°=72°, ∴∠ABD =∠AFB ,

∴△ABF 为等腰三角形.

(2)证明:∵五边形ABCDE 是正五边形, ∴AB =BC =CD =DE =AE .

∵∠ABD +∠BAE =72°+108°=180°, ∴BD ∥AE ,同理,AC ∥DE , ∴四边形AFDE 是平行四边形. ∵AE =DE ,∴四边形AFDE 是菱形.

19.解:(1)证明:延长BP 至E ,使PE =PC ,连接CE ,如图①. ∵△ABC 是等边三角形, ∴∠BAC =60°.

∵A ,B ,P ,C 四点共圆, ∴∠BAC +∠BPC =180°. ∵∠BPC +∠EPC =180°, ∴∠BAC =∠EPC =60°. 又∵PE =PC ,

∴△PCE 是等边三角形, ∴CE =PC ,∠E =60°.

又∵∠BCE =60°+∠BCP ,∠ACP =60°+∠BCP ,∴∠BCE =∠ACP . ∵△ABC ,△ECP 为等边三角形, ∴CE =PC ,AC =BC , ∴△BEC ≌△APC (SAS), ∴PA =BE =PB +PC .

(2)证明:过点B 作BE ⊥BP 交PA 于点E ,如图②. ∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3. 易知∠APB =45°,∴PB =BE ,∴PE =2PB . 又∵AB =BC ,∴△ABE ≌△CBP , ∴AE =PC .

∴PA =AE +PE =PC +2PB . (3)PA =PC +3PB .

证明:过点B 作BM ⊥AP ,在AP 上截取AQ =PC ,连接BQ ,如图③. ∵∠BAP =∠BCP ,AB =BC ,

∴△ABQ ≌△CBP ,∴BQ =BP ,∴PM =QM . 又易知∠APB =30°,cos ∠APB =PM PB

, ∴PM =

3

2

PB ,∴PQ =3PB , ∴PA =PQ +AQ =3PB +PC .

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