2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域
内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
31i
i
+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -
2.设集合{}1,2,4A =，{}
2
40x x x m B =-+=．若{}1A
B =，则B =（ ）
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）
A ．90π
B ．63π
C ．42π
D ．36π
5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤??
-+≥??+≥?
，则2z x y =+的最小值是（ ）
A ．15-
B ．9-
C ．1
D ．9 6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）
A ．乙可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．
5
9.若双曲线C:22221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2
224x y -+=所截得的
弦长为2，则C 的离心率为（ ）
A ．2
B ．
3 C ．2
D 23 10.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）
A ．
32 B ．15 C ．10 D ．33
11.若2x =-是函数21`
()(1)x f x x ax e
-=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1
12.已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ?+的最小值是（ ）
A.2-
B.32-
C. 4
3
- D.1-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = ． 14.函数(
)23sin 4f x x x =+-
（0,2x π??
∈????
）的最大值是 ． 15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
11
n
k k
S ==∑ ． 16.已知F 是抛物线C:2
8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N = ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分）
ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B A
C +=． (1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b
18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：
（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新
养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；
（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法
（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P （错误!未找到引用
源。）
0.050 0.010 0.001 k
3.841
6.635
10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19.（12分）
如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点. （1）证明：直线//CE 平面P AB （2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为o 45 ，求二面角M -AB -D 的余弦值
20. （12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =
.
(1) 求点P 的轨迹方程；
(2) 设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ?=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 21.（12分）
已知函数3
()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2
30()2e
f x --<<.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为(2,
)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ?面积的最大值．
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题答案
一、选择题
1.D
2.C
3.B
4.B
5.A
6.D
7.D
8.B
9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题
13. 1.96 14. 1 15. 2n
1
n + 16. 6 三、解答题 17.解：
（1）由题设及2
sin 8sin
2
A B C B π
π++==得，故
sin 4-cosB B =（1）
上式两边平方，整理得 2
17cos B-32cosB+15=0 解得 15cosB=cosB 17
1（舍去），= （2）由158cosB sin B 1717==
得，故14a sin 217
ABC S c B ac ?== 又17
=22
ABC S ac ?=，则
由余弦定理及a 6c +=得
2222
b 2cos a 2(1cosB)
1715362(1)
217
4
a c ac B
ac =+-=-+=-??+=（+c ）
所以b=2 18.解：
（1）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ” ，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ”
由题意知 ()()()()P A P BC P B P C == 旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为
0.0400.0340.0240.0140.0125=0.62++++?（）
故()P B 的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为
0.0680.0460.0100.0085=0.66+++?（）
故()P C 的估计值为0.66
因此，事件A 的概率估计值为0.620.660.4092?=
（2
箱产量50kg < 箱产量50kg ≥
旧养殖法 62 38 新养殖法
34
66
()2
22006266343815.705
10010096104
K ??-?=
≈???
由于15.705 6.635>
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关． （3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图面积为
()0.0040.0200.04450.340.5++?=<，
箱产量低于55kg 的直方图面积为
()0.0040.0200.044+0.06850.680.5++?=>
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
0.5-0.34
50+
2.35kg 0.068
（）
≈5． 19.解：
（1）取PA 中点F ，连结EF ，BF ．
因为E 为PD 的中点，所以EF AD ,1
2
EF AD =
,由90BAD ABC ∠=∠=?得BC AD ∥，又1
2
BC AD =
所以EF BC ∥．四边形BCEF 为平行四边形， CE BF ∥． 又BF PAB ?平面，CE PAB ?平面，故CE PAB ∥平面 （2）
由已知得BA AD ⊥,以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则
则(000)A ，，，(100)B ，，，(110)C ，，
，(01P ，，
(10PC =，，,(100)AB =，，则
(x 1),(x 1BM y z PM y z =-=-，，，，
因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而(00)=n ，，1是底面ABCD 的法向量，所以
0cos ,sin 45BM =n
=即（x-1）2+y 2-z 2=0
又M 在棱PC 上，设,PM PC λ=则
x ,1,y z λ===
由
①，②得x x y y ????????????
??=-=
????
=1+=1-22=1(舍去)，=1
z z 22
所以
M 1-,1?
??
，从而1-,1?= ??
AM
设()000,,x y z m =是平面ABM 的法向量，则
(
000020
0即00
??++
==???
?=??=??x y AM AB x m m
所以可取m =（0，
2）.于是cos 10=
=m n
m,n m n
因此二面角M-AB-D
20.解
（1）设P （x,y ）,M （x 0,y 0）,设N （x 0,0）, ()()00,,0,=-=NP x x y NM y
由2=
NP NM 得00=,=
x x y y 因为M （x 0,y 0）在C 上，所以22
122
+=x y
因此点P 的轨迹方程为222+=x y
（2）由题意知F （-1,0）.设Q （-3，t ）,P(m,n),则
()()3,1,,33t =-=---=+-OQ ,PF m n OQ PF m tn ， ()(),3,==---OP m,n PQ m,t n
由1=OP PQ 得22-31-+-=m m tn n ，又由（1）知22+=2m n ，故 3+3m-tn=0
所以0=OQ PF ，即⊥OQ PF .又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.解：
（1）()f x 的定义域为()0，
+∞ 设()g x =ax -a -lnx ，则()()()≥f x =xg x ,f x 0等价于()0≥g x 因为()()()()()1
1=0，0,故1=0,而,1=1,得1≥=--=g g x g'g'x a g'a a x
若a =1，则()1
1-
g'x =x
.当0＜x ＜1时，()()＜0,g'x g x 单调递减；当x ＞1时，()g'x ＞0，()g x 单调递增.所以x=1是()g x 的极小值点，故()()1=0≥g x g
综上，a=1
（2）由（1）知()2ln ,'()22ln f x x x x x f x x x =--=-- 设()1
22ln ,则'()2h x x x h x x
=--=-
当10,2x ??∈ ??
?
时，()'＜0h x ；当1,+2
x ??∈∞ ???
时，()'＞0h x ，所以()h x 在10,2?? ??
?
单调递减，在1,+2
??
∞ ???
单调递增
又()
()21＞0,＜0,102h e h h -??= ???
，所以()h x 在10,2?
? ??
?有唯一零点x 0，在1,+2
??
∞????
有唯一零
点1，且当()00,x x ∈时，()＞0h x ；当()0,1x x ∈时，()＜0h x ，当()1,+x ∈∞时，
()＞0h x . 因为()()'f x h x =，所以x=x 0是f(x)的唯一极大值点 由()()000000'0得ln 2(1),故=(1)f x x x f x x x ==-- 由()00,1x ∈得()01'＜
4
f x 因为x=x 0是f(x)在（0,1）的最大值点，由()()
110,1,'0e f e --∈≠得
()()
120＞f x f e e --=
所以()2-20＜＜2e f x - 22.解：
（1）设P 的极坐标为()()，＞0ρθ
ρ，M 的极坐标为()()1
1
，＞0ρθρ，由题设知
cos 14
=，=
ρρθ
OP OM = 由16OM OP =得2C 的极坐标方程()
cos =4＞0ρθρ 因此2C 的直角坐标方程为
()()2
2240x y x -+=≠
（2）设点B 的极坐标为()()，＞0B B
ρα
ρ,由题设知
cos =2，=4B ραOA ,于是△OAB 面积
1
=
sin 2
4cos sin 32sin 232B S OA AOB ρπ
ααπα∠??
=- ?
????=--
???≤+
当=-12
π
α时，S 取得最大值
所以△OAB 面积的最大值为