2013年全国大学生数学竞赛河南赛区复赛(数学类)参考答案与评分标准
第五届全国大学生数学竞赛河南赛区复赛试卷 （数学类，2013）参考答案与评分标准
一、填空题（每小题5分，共25分） 1、()0,0,0；
解：设12,l l 公垂线l 的方向数为(),,αβγ=τ，则由题意可得：
()1,1,00-?=τ，即0αβ-=和()1,1,00?=τ，即0.αβ+=由上述两个方程可得
0.αβ==故l 的方向数为()0,0,γ=τ，其中γ为非零常数. 由此可知，12,l l 的公垂线l 就是z 轴，因此它在xoy 平面的投影为()0,0,0. 2、449e -；
解：当 0x →时，有
()()()()()()
()()
()()()()()1112345
5223442233345322
455e
e e
1111e 112!13!14!15!11
e 11121111111624120e x x
x
f x x x x x x o x x x x x x x x x x x o x x x x x o x x x x o x x x o x x o o x -
++==?????????????=+-+-+-+-+-+??
? ? ? ? ?+++++??????????????
?=--+-+++-+-+??--+++-+-++?=()()5555111216120499e ,120x o x x o x ????+----++ ?
??????
?
?
=-
+ ??
?
所以 ()()549905!499e.120f ??
=?-=- ???
3、a ；
解：由 ()lim x f x a →∞=知，0,0X ε?>?>，当x X >，有().2
f x a ε
-<
而
()()()()()()()()()()1
1
00
01d d d 11d d .n
X n
X
f nx x a f nx a x f x a x
n f x a x f x a x n X n n -=-=-=-+->?
????
注意到()f x 在[]0,X 上有界，设为()f x M ≤，则
()()()()()1
011d d d 12.2
X n
X f nx x a f x a x f x a x
n n X X M a n n X M a n εε-≤-+-??≤++-? ???≤++?
?? 固定X ，对上述0ε>，0N ?>，当n N >时，有
()2
X M a n ε
+<，所以 0ε?>，0N ?>，当n N >时，有
()10
d .f nx x a ε-
4、1；
解：一方面，()()1352135
2111
246224
2222n n n x n n n n
??--=
=??
?
?>
??-. 另一方面，135
21246
22462357
21
n n n
x n n -=???
?
1352124621
.246
235
72121
n n n x n n n -????
?
????
?< ? ?
++???? 综上，有
1
2n x n <<
，即
<< 从而 1.n =
5、11a n
=
. 解：由*T A A =和1*
1A A A
-=
可得：
1*111T T I AA A A A A AA A A A
-==?
=?=， 其中A 是A 的行列式，I 是n 阶单位阵
.比较上式两端左上角的元素，并注意到已知条件，得：11a =
又由1
*n T A A A A
-===，可得1A =，故11a n
=
. 二、解：第一方程与a 的数量积减去第二方程与b 的数量积得：
()()()(),,,,,,0-=+=a c b d a b y b a y ；
第一方程与b 的数量积加上第二方程与a 的数量积得:
()()()(),,,,,,0,+=+=b c a d b a x a b x
其中(),表示两向量的内积，(),,表示三个向量的混合积. 上面两个等式给出了方程组有解的必要条件，即
()(),,0-=a c b d ，()(),,0.+=b c a d ---------------------------（1）
（5分） 下面证明条件（1）也是方程组有解的充分条件，并来解这个方程组.
以a 左乘第一方程的向量积与以左b 乘第二方程的向量积相加得：
()()()()()22,,,,-++?+?+?-?=?+?x a b a a x b a x b a y a b y a c b d .
令()()()()()()222212,,,,,,C C +=-+=+a b a x b y a b b x a y 得
1222
;C C ?+?=-
+++a c b d
x a b a b ---------------------------（2）
再以b 左乘第一方程的向量积与以a 左乘第二方程的向量积相减得：
()()()()()22,,,,,-++-+-=?-?y a b b b y a a y a b x b a x b c a d
由此得：
2122
.C C ?-?=-
+-+a d b c
y a b a b --------------------------（3）（8分）
把（2）、（3）两式代入原方程组，并利用（1）式可知，对任意的12,C C ，由（2）、（3）两式所给出的解就是方程组的通解.这说明了（1）也是方程组有解的充分条件. （10分）
三、解（1）用[]n P x 表示次数不超过n 的多项式全体.对任意()[]n f x P x ∈，令()()()D f x f x '=，则D 的值域为[]1n P x -，而D 的核为域F .由此可见，两者的交为F 而非{}0，所以它们的直和不等于整个空间[]n P x .（5分）
证明 （2）先证明：(){}100.W A -?=事实上，任取()10x W A -∈?，有0Ax =，且 1
.s
i i i x b λ==∑ 两边作用A 可得：1
.s
i i i Ax a λ==∑由于12,,
,s a a a 线性无关，所以
()01,2,,i i s λ==，即0.x =
再证：对任意n y V ∈，必有12y y y =+，且()112,0.y W y A -∈∈
事实上，当n Ay z AV =∈，则1
.s
i i i z a β==∑ 令11
s
i i i y b W β==∈∑，则1Ay z =.
再令21y y y =-，则显然有12y y y =+，而且210Ay Ay Ay z z =-=-=，
即()120.y A -∈（10分）
四、证明：令 ()2211sin f x x x =-，则 ()33
22cos .sin x
f x x x
'=- 于是 (
)331cos 00,0,.sin 2x f x x x x x π??'>?
>?->∈ ???
（5分）
令 (
),g x x =
- 则 ()2423
31cos sin cos 1,3g x x x x -'=+- ()73
34sin cos 0,0,.92g x x x x π-??''=>∈ ???
由此知()g x '在0,2π?? ???上单调递增，故()()00.g x g ''>=于是知()g x 在0,2π??
???
上
单调递增，故()()00g x g >=，从而()0f x '>.这样就有： ()()20
4l i m 1.2x f
x f x f ππ→??
≤<
=- ?
??
（8分）
注意到
()()()2
2
342240002244401113!lim lim lim
sin 113lim
.3x x x x x x x o x f x x x x x x x o x x →→→→??
--+ ?
????=-= ?????
--+ ?
??== （10分）
综上就完成了不等式的证明.
五、证明：用数学归纳法证明之.当1n =时命题为真，事实上，由题设，总
能找到[]1,a a b ∈，使得()10.f a ≠假设当n k =时命题为真，即
[]()()
()1,,,,..det 0,
1,.k i j a a a b s t f a i j k ?∈≠≤≤L （3分）
当1n k =+时，考察矩阵
()()
()()()()()()()111111111,k k k k k k k k k f a f a f x f a f a f x f a f a f x +++?? ? ? ? ? ?
??
L L L L L L L L L L L
记该矩阵为(),F x 将()det F x 按最后一列展开，注意到
()()
det 0,i j f a ≠
可得形如 ()()1111k k f x f x λλ++++L 的展开式，其中()1,2,,i i n λ=是
()()1,2,,i f x i n =L 相应的k 阶代数余子式.由归纳假设，10k λ+≠.注意到，()()()121,,
,k f x f x f x +线性无关，因此，上面的展开式在[],a b 上不恒为零.
（10分）
六、证明：若0c =，则由条件（1）可知()0,0.f x x '=?>进而有，().f x K ≡再由条件（2）知，0.K =此时结论成立.（2分）
设0.c >对00x >及0x x ≥，由微积分基本定理，有
()()()()()0
0000
d d d ,x
x
x x x
x f x f x f t t f t t
c c
t x x t x ''-=
≤≤≤-?
??
即
()()()()0000
,,.c
f x f x x x x x x x ≥-
-?∈（i ）
下面证明：0X ?>，当x X >时，成立().f x c < （ii ） 用反证法.假设使得（ii ）的X 不存在，则对n ?∈+N ，n x n ?>，使得().n f x c ≥由（i ）知，
()()()()()11,,
n n n
n n n n c
f x f x x x x f x x x x x T ≥-
-??
=--?≥????
其中().n n n
n x f x T x c ≥ 于是，有
()()()()()0
2
2
1
112d d 1d 20.
888
n
n n n n x x x n x x n n
n
n
n n n n n x f x x f x x f x x x
x x x x f x f x x c
x ????≥
≥
--?? ??
???=?=≥>?
?
?
这与()0
1
lim
d 0n
x n n
f x x x →∞=?
矛盾.因此，使得（ii ）成立的X 的确存在. （7分）
现在对0,x X ?>由（ii ）知，()0f x c <，此时()000.x f x T x c
<于是，
由（i ），有
()()()()()()()()0
000
2000
0200002
000d d d 122,
2
2x x T
x T
x x c
f x x f x x f x x x x x c cT T f x T T f x x x x f x T
f x c
++??≥≥-- ?????
≥-?=- ??
?=
=?
?
?
即
()()0
22
000
4d ,.2x c f x f x x x X x ≤?>?
或改写成
()()12
2040d t
,.
2x
c f
x f t x X x ??
≤≤?>
???
? 由条件（2），利用两边夹定理可得结论.（10分）
七、证明：（1）设()0A B X +=的解空间为W ,由已知条件知：
(),R A n l =-()R B n m =-，则
()()()(),R A B R A R B n l n m n l m n n +≤+=-+-=-+-<
即 d i m
()0W n R A B =-+>所以()0A B X +=必有非零解. (5分) （2）设0AX =，0BX =的解空间分别为12,W W ，由已知条件知，
12dim , dim W l W m ==，显然有：12.n W W P +? （i ）
12,W W α?∈由于0AX =与0BX =无公共非零解向量，则0α=，所以 1212W W W W +=⊕，故1212dim()dim dim .W W W W l m n +=+=+= （ii ）
由（i ）、（ii ）知，12n W W P ⊕= ，即n P 中任一向量α可唯一地表示为αβγ=+，其中,βγ分别是0AX =和0BX =的解向量。 （10分）
八、证明： 由(){}n f x 递减趋向于()f x 以及()()1f x f x ≥知，[]
()0,1sup x f x ∈存
在，记为.A 由确界的定义，存在点列{}[]0,1k x ?，使得()lim .k k f x A →∞
=由致密性
定理，{}k x 存在收敛子列，仍记为{}k x ，不妨设()0k x x k →→∞且[]00,1.x ∈
（5分）
下证：()0.f x A =
若不然，则存在00ε>，使得()00.f x A ε<-由()()()00n f x f x n →→∞知，
0,N ?>使()002
.3
N f x A ε<- （8分）
由()N f x 在0x 的连续性，0,δ?>当()[]00,0,1x x x δδ∈-+时，有
()01
.
3N f x A ε<- 由于(){}n f x 递减，更有()01
.3
f x A ε<-于是，存在适当大的k ，使
0k x x δ-<，这便有
()0
.3
k f x A ε<-
这与()()k f x A k →→∞相矛盾. （15分）
浙江省初中数学竞赛试题配答案
1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 欢迎下载支持. https://www.wendangku.net/doc/8217040064.html, D C B A 浙江省初中数学竞赛试题 一、 选择题（共8小题，每小题5分，满分40分。以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、 C 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填在题后的括号里，不填、多填或错填均得零分） 1．函数y ＝1 x - 图象的大致形状是（ ） A B C D 2．老王家到单位的路程是3500米，老王每天早上7：30离家步行去上班，在8：10（含8：10）到8：20（含8：20）之间到达单位。如果设老王步行的速度为x 米／分，则老王步行的速度范围是（ ） A ．70≤x ≤87.5 B ．70≤x 或x ≥87.5 C ．x ≤70 D ．x ≥87.5 3．如图，AB 是半圆的直径，弦AD ，BC 相交于P ，已知∠DPB ＝60°，D 是弧BC 的中点，则tan ∠ADC 等于（ ） A ． 1 2 B ．2 C D ．3 4．抛物线()2 0y x x p p =++≠的图象与x 轴一个交点的横坐标是P ，那么该抛物线的顶 点坐标是（ ） A ．（0，－2） B ．19,24??- ??? C ．19,24??- ??? D ．19,24?? -- ??? 5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，CD 是角平分线，则△DBC 的面积与△ABC 的面积的比值是（ ） A B C D 6．直线l ：() 0y px p =是不等于的整数与直线y ＝x ＋10的交点 恰好是（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线l 有（ ） A ．6条 B ．7条 C ．8条 D ．无数条 7．把三个连续的正整数a ，b ，c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入2 0x x ++=W W W 的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项， 2 1 3 5 1 3
2018年广东省初中数学竞赛初赛试卷(含答案)
2018年广东省初中数学竞赛初赛试卷 说明：考试时间：60分钟。总分120分。每小题4分。在每小题给出的四个选项中，只有 1.直角坐标平面上将二次函数y=－2（x －1）2 －2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（ ）。 A. （0，0） B. (1,－2) C. (0,－1) D.(－2,1) 2.下列的计算正确的是( ). A ．(ab 4)4=ab 8； B.(－3pq)2 =－6p 2 q 2 C. x 2 － 21x ＋41=( x －2 1)2；D.3(a 2)3－6a 6=－3a 6 3.如图1.以直角三角形ABC 三边为直径的半圆面积分别是S 1、S 2、S 3，直角三角形ABC 面积是S ，则它们之间的关系为（ ）. A. S= S 1＋S 2＋S 3 B. S 1= S 2＋S 3 C. S= S 1＋S 2 C. S= S 1 4. 一辆公共汽车从车站开出，加出速行驶一段时间后匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站.乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（ ）. (A) 时间 速度 (B) 时间 速度
(C) 时间 速度0 (D) 时间 速度 5.如图所示，在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分 的面积，验证了一个等式是（ ）. A. a 2 －b 2 =（a+b ）（a-b ） B. （a+b ）2 = a 2 +2ab+ b 2 C. （a-b ）2 = a 2 -2ab+ b 2 D.（a+2b ）（a-b ）= a 2+ab-2b 2 6.在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难,可是仓库管理员要落实一下箱子的数量,于是就想出一个办法:将这堆货物的三种视图画了出来,如图.你能根据三视图,帮他清点一下箱子的数量吗?这些正方体箱的个数是( ). A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 主视图 左视图 俯视图 7.在Rt △ABC 中,∠C=90°,则下列式子中不一定成立的是( ). A.sinA=sinB B. cosA=cosB C.sinA=cosB D. sin(A+B)=sinC 8.体育课上全班女生进行了百米测验,达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,其中正号表示成绩大于18秒,负号成表示绩小于18秒,则这组女生的达标率是( ). A. 41 B.2 C.4 D.8 9.函数y=kx 和y=x k （k ﹤0）在同一坐标系中的图象是（ ）.
2015年全国高中数学联赛河南省高一预赛试题含答案
2015年全国高中数学联赛河南省高一预赛试题 （5月10日8:30至11:00） 一．填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1．若集合{}*54,A a a x x ==+∈N ，{}*76,B b b y y ==+∈N ，将A B 中的元素从 小到大排列，则排在第20个的那个元素是 ． 2．已知实数x ，y 满足：33(3)2015(3)(23)2015(23)0x x y y -+-+-+-=，则()22min 44x y x ++= ． 3．设线段BC α?，AB α⊥，CD BC ⊥，且CD 与平面 α成30?角，且 2A B B C C D c m ===，则线段AD 的长度为 ． 4．若直线l 与直线3100x y -+=，280x y +-=分别交于点M ，N ，若MN 的中点为(0,1)P ，则直线l 的方程是 ． 5．设k ，m ，n 都是整数，过圆222(31)x y k +=+外一点33 (,)P m m n n --向该圆引两 条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 上满足横坐标与纵坐标均为整数的点有 个． 6．若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称，则a b += ． 7．（请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题正误判分） （必修3）执行如图所示的算法，则输出的结果是 ．
（必修4）已知函数sin ()x f x x =在区间π(0,)2上是减函数，若01x <≤，2sin ()x a x =，sin x b x =，2 2 sin x c x =，则a ，b ，c 的大小关系是 ． 8．如果实数a ，b 使得21x x --是201520152 1211ax bx ++++的因式，则a 的个位数字 为 ． 二（本题满足16分） 求2232x y -=的整数解． 三（本题满足20分） 如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上且满足AC BC <，在线段BC 上取一点D ，使BD AC =，在AD 上取一点E 使45BED ∠=?，延长BE 交CA 于F ，求证：CD AF =．
浙江省初中数学竞赛试题
https://www.wendangku.net/doc/8217040064.html, 浙江省初中数学竞赛试题 一、 选择题（共8小题, 每小题5分, 满分40分。以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、 C 的四个选项, 其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填在题后的括号里, 不填、多填或错填均得零分） 1．函数y ＝1 x -图象的大致形状是（ ） A B C D 2．老王家到单位的路程是3500米, 老王每天早上7：30离家步行去上班, 在8：10（含8：10）到8：20（含8：20）之间到达单位。如果设老王步行的速度为x 米／分, 则老王步行的速度范围是（ ） A ．70≤x ≤87.5 B ．70≤x 或x ≥87.5 C ．x ≤70 D ．x ≥87.5 3．如图, AB 是半圆的直径, 弦AD, BC 相交于P, 已知∠DPB ＝60°, D 是弧BC 的中点, 则tan ∠ADC 等于（ ） A ． 1 2 B ． 2 C D 4．抛物线()2 0y x x p p =++≠的图象与x 轴一个交点的横坐标是P, 那么该抛物线的顶 点坐标是（ ） A ．（0, －2） B ．19,24??- ??? C ．19,24??- ??? D ．19,24?? -- ??? y x O y x O y x O y x O
D C B A 5．如图, △ABC 中, AB ＝AC, ∠A ＝36°, CD 是角平分线, 则△DBC 的面积与△ABC 的面积的比值是（ ） A ． 22 B ．2 3 - C ．32 D ．33- 6．直线l ：() 0y px p =是不等于的整数与直线y ＝x ＋10的交点 恰好是（横坐标和纵坐标都是整数）, 那么满足条件的直线l 有（ ） A ．6条 B ．7条 C ．8条 D ．无数条 7．把三个连续的正整数a, b, c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入2 0x x ++=W W W 的三个方框中, 作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项, 使所得方程至少有一个整数根的a, b, c （ ） A ．不存在 B ．有一组 C ．有两组 D ．多于两组 8．六个面上分别标有1,1, 2,3, 3,5六个数字的均匀立方体的表面如图所示, 掷这个立方体一次, 记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标, 朝下一面的数主该点的纵坐标。按照这样的规定, 每掷一次该小立方体, 就得到平面内的一个点的坐标。已知小明前再次搠得的两个点能确定一条直线l , 且这条直线l 经过点P （4,7）, 那么他第三次掷得的点也在直线l 上的概率是（ ） A ．23 B ．12 C ．13 D ．16 二、填空题（共6小题, 每小题5分, 满分30分） 9．若a 是一个完全平方数, 则比a 大的最小完全平方数是 。 10．按如图所示, 把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分, 则中间小正方形（阴影部分）的周长为 。 11．在锐角三角形ABC 中, ∠A ＝50°, AB ＞BC, 则∠B 的取值范围是 。 21 35 1 3 https://www.wendangku.net/doc/8217040064.html,
江苏省第十九届初中数学竞赛
江苏省第十九届初中数学竞赛 主办单位 江苏省教育学会中学数学专业委员会 江苏教育出版社 《初中生数学学习》编辑部 初二年级第1试 2004年12月5日 上午8：30～10：30 学校_______ 姓名_______ 成绩________ 一、选择题(每小题7分，共56分)以下每题的4个结论中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的圆括号内． 1．已知x 1，x 2， x 3的平均数为5，y l ，y 2，y 3的平均数为7，则2x l +3y l ，2x z +3y 2，2x 3+3y 3 的平均数为 ( ) (A)31 (B)331 (C)5 93 (D)17 2．在凸四边形ABCD 中，AB=BC=BD ，∠ABC =700，则∠ADC 等于 ( ) (A)1450 (B)1500 (C)1550 (D)1600 3．如图，△ABC 为等边三角形，且BM=CN ，AM 与BN 相交于点P ，则∠APN ( ) (A)等于700 (B)等于600 (C)等于500 (D)大小不确定 4．如图，三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等．图(1)、图(2)所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置 ( ) (A)3个球 (B)4个球 (C)5个球 (D)6个球 5．已知一列数a l ，a 2，a 3，…，a n ,…中，a 1=O ，a 2=2a l +1，a 3=2a 2+1，…，a n+l =2a n +l ，…．则a 2004-a 2003的个位数字是 ( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 6．在0，1，2，3，…，100这101个整数中，能被2或3整除的数一共有 ( ) (A)85个(B)68个 (C)34个(D)17个 7．如果每1秒钟说一个数，那么说1012个数需要多少时间?下面的估计最接近的是 ( ) (A)32年 (B)320年(C)3千2百年 (D)3万2千年 8．如图是3~3正方形方格，将其中两个方格涂黑有若干种涂法．约定沿正方形ABCD 的对称轴翻折能重合的图案或绕正方形ABCD 中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如 就视为同一种图案，则不同的涂法有 ( )
大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准
大梦杯福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标 准 The latest revision on November 22, 2020
2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题 考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ） A ．3- B ．2- C ．1- D ．1 2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。坐标原点O 为 AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则n m =（ ） A ．31+ B ．21+ C ．231- D ．221- 3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且1 2 BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则 AE AC =（ ） A ．2 5 B ．3 5 C ． 3 7 D ． 47 4．如图，H 、O 分别为ABC △的垂心、外心，45BAC ∠=?，若ABC △外接圆的半径 为2，则AH =（ ） A ．23 B ．22 C ．4 D ．31+ 5．满足方程22419151x xy y -+=的整数对()x y ， 有（ ） H O B C A （第4题图） （第2题图） E G B D （第3题图）
2012年全国初中数学竞赛试题及答案_河南赛区
2012年全国初中数学竞赛预赛 试题及参考答案 一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．在1,3,6,9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是【 】 （A ）2,3,1 （B ）2,2,1 （C ）1,2,1 （D ）2,3,2 【答】A ． 解：完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有3． 2．已知一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限，则下列判断正确的是【 】 （A ）1m >- （B ）1m <- （C ）1m > （D ）1m < 【答】C ． 解：一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限，说明其 图象与y 轴的交点位于y 轴的正半轴，且y 随x 的增大而增大，所以10, 10.m m ->??+>? 解得1m >． 3．如图，在⊙O 中，CD DA AB ==，给出下列三个 结论：（1）DC =AB ；（2）AO ⊥BD ；（3）当∠BDC =30° 时，∠DAB =80°．其中正确的个数是【 】 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答】D ． 解：因为CD AB =，所以DC =AB ；因为AD AB =，AO 是半径,所以AO ⊥BD ；设∠DAB =x 度，则由△DAB 的内角和为 180°得：2(30)180x x -?+=?，解得80x =?． 第3题图 O D C B A
4. 有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【 】 （A ）34 （B ）23 （C ）13 （D ）2 1 【答】B ． 解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样 的有4种可能，所以摸出花色不一样的概率是3 2 64=. 5．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1,0)，点B 的坐标是(3,3)--，点C 是y 轴上一动点，要使△ABC 为等腰三角形，则符合要求的点C 的位置共 有【 】 （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 【答】D ． 解：由题意可求出AB =5，如图，以点A 为圆心AB 的长为半径画弧，交y 轴于C 1和C 2，利用勾股定理可求 出OC 1=OC 2 =)62,0(),62,0(21-C C ， 以点B 为圆心BA 的长为半径画弧，交y 轴于点C 3和C 4， 可得34(0,1),(0,7)C C -，AB 的中垂线交y 轴于点C 5，利用 三角形相似或一次函数的知识可求出)6 17,0(5- C ． 6．已知二次函数221y x bx =++（b 为常数），当b 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b 取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型 抛物线），这条抛物线的解析式是【 】 第5题图
全国初中数学竞赛各省市试题汇编
初中数学竞赛题汇编 省市2013年中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）（2013?）下列各数中，小于﹣3的数是（） 2．（3分）（2013?）某市2013年参加中考的考生人数约为85000人，将85000用科学记数法表示为（）
故选A． 点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键． 3．（3分）（2013?）下列计算，正确的是（） A．x4﹣x3=x B．x6÷x3=x2C．x?x3=x4D．（xy3）2=xy6 考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 专题：计算题． 分析：A、本选项不能合并，错误； B、利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断； C、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断； D、利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断． 解答：解：A、本选项不能合并，错误； B、x6÷x3=x3，本选项错误； C、x?x3=x4，本选项正确； D、（xy3）2=x2y6，本选项错误． 故选C． 点评：此题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，以及二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（3分）（2013?）如图所示的几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（） A．4B．3C．2D．1 考点：中心对称图形；轴对称图形 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后解答即可． 解答：解：第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
江苏省第十五届初中数学竞赛
江苏省第十五届初中数学竞赛 初二第1试试题 一、选择题（每小题7分共56分） 1、某商店售出两只不同的计算器，每只均以90元成交，其中一只盈利20%，另一只亏本20%，则在这次买卖中，该店的盈亏情况是（ ） A 、不盈不亏 B 、盈利元 C 、亏本元 D 、亏本15元 2、设2001 2000,20001999,19991998=== c b a ，则下列不等关系中正确的是（ ） A 、c b a << B 、b c a << C 、a c b << D 、a b c << 3、已知,511b a b a +=+则b a a b +的值是（ ） A 、5 B 、7 C 、3 D 、3 1 4、已知x B x A x x x +-=--1322，其中A 、B 为常数，那么A ＋B 的值为（ ） A 、－ 2 B 、2 C 、－4 D 、4 5、已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，令B A A C C B +=+=+=γβα,，则γβα,,中锐角的个数至多为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、0 6、下列说法：（1）奇正整数总可表示成为14+n 或34+n 的形式，其中n 是正整数；（2）任意一个正整数总可表示为n 3或13+n 或23+n 的形式，其中；（3）一个奇正整数的平方总可以表示为18+n 的形式，其中n 是正整数；（4）任意一个完全平方数总可以表示为n 3或13+n 的形式 A 、0 B 、2 C 、3 D 、4 7、本题中有两小题，请你选一题作答： （1）在19991002,1001,1000Λ这1000个二次根式中，与2000是同类二次根式的个数共有……………………………………………………（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 （2）已知三角形的每条边长是整数，且小于等于4，这样的互不全等的三角形有（ ） A 、10个 B 、12个 C 、13个 D 、14个 8、钟面上有十二个数1,2，3，…,12。将其中某些数的前面添上一个负号，使钟面上所有数之代数和等于零，则至少要添n 个负号，这个数n 是（ ） A 、4 B 、5 C 、6 D 、7 二、填空题（每小题7分共84分） 9、如图，XK ，ZF 是△XYZ 的高且交于一点H ，∠XHF ＝400，那么∠XYZ ＝ 0。 Z K H X F Y 10、已知凸四边形ABCD 的面积是a ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，那么图中阴影部分的总面积是 。
河南省初中数学竞赛预赛试题及答案
全国初中数学竞赛预赛 试题及参考答案 （竞赛时间：2014年3月2日上午9：00--11：00） 一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分） 以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是准确的. 请将准确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 是倒数等于它本身的自然数，则201520132014c b a ++的值为【 】 （A ）2013 （B ）2014 （C ）2015 （D ）0 【答】D ． 解：最大的负整数是－1，∴a =－1； 绝对值最小的有理数是0，∴b =0； 倒数等于它本身的自然数是1，∴c =1. ∴201520132014c b a ++=20152013 1020141+?+-）（=0. 2. 已知实数z y x ,,满足542 2.x y z x y z ++=??+-=?，则代数式144+-z x 的值是【 】 （A ）3- （B ）3 （C ） 7- （D ）7 【答】A ． 解：两式相减得3-3-3441 3.x z x z =-+=-，则 3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1 中的线段MN 在图2中的对应线段是【 】 （A ）a （B ）b （C ）c （D ）d 图2 图1 d c b a N M 【答】C ． 解：将图1中的平面图折成正方体，MN 和线段c 重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面，△AMN 和△ABM 所在的面为组合面，则△AMN 和△ABM 所在的面为两个相邻的组合面，比较图 N M B A B A 图2 图1 d c b a N M （第3题图）
2018年四川省初中数学竞赛一试
2018年全国初中数学联合竞赛试卷 第一试（4月2日上午8:30----9:30） 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、计算的值是（）。 （A）1；（B）；（C）；（D）5。 2、若，则的值是（）。 （A）；（B）；（C）5；（D）6。 3、设是不相等的任意正数，又，则这两个数一定（）。 （A）都不大于2；（B）都不小于2；（C）至少有1个大于2；（D）至少有1个小于2。 4、正整数小于100，并满足等式，其中表示不超过 的最大整数，这样的正整数有（）。 （A）2个；（B）3个；（C）12个；（D）16个。 5、已知一个梯形的四条边的长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（）。 （A）4；（B）6；（C）；（D）。 6、已知ABCD是一个半径为R的圆的内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于P且BP＝8，∠APD＝60°，则R等于（）。 （A）10；（B）；（C）；（D）14。 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1、是正数，并且抛物线和都与轴 有公共点，则的最小值是________。 2、某果品店组合销售水果，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，l 千克C水果。A水果价格每千克2元，B水果价格每千克1.2元，C水果价格每千克10元。某天该店销售三种搭配共得441.2元，其中A水果的销售额为116元，则C水果的销售额为________元。 3、实数满足和，则 ________。 4、设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是边BC上的任意一点，PA＋PM 的最大值和最小值分别记为和，则________。 =============== =============== =============== 第二试（4月2日上午10:30----11:30） 一、（本题满分20分） 设是实数，二次函数的图象与轴有两个不同的交点。 （1）求证：； （2）若间的距离不超过，求的最大值。
2018年全国高中数学联合竞赛河南省预赛试题
2018年全国高中数学联合竞赛河南省预赛试题 一、填空题（共8小题，每小题8分，满分64分。） 1.已知函数f (x )=?1 2x 2+x,若函数f (x )的定义域为[m,n ](m
-2017年大梦杯福建省初中数学竞赛试题
2017年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2017年3月19日 9∶00－11∶00 满分150分 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设a =1 a a + 的整数部分为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 B 【解答】由2226a =+-=，知a = 于是1 a a + =2111()62866a a +=++=+，214()9a a <+<。 因此，1 a a + 的整数部分为2。 （注： a ==== 2．方程2 2( )32 x x x +=-的所有实数根之和为（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 【答案】 A 【解答】方程2 2( )32 x x x +=-化为2222(2)3(2)x x x x -+=-。 即3251060x x x -+-=，2(1)(46)0x x x --+=。 解得1x =。经检验1x =是原方程的根。 ∴ 原方程所有实数根之和为1。 3．如图，A 、B 、C 三点均在二次函数2y x =的图像上，M 为线段AC 的中点，BM y ∥轴，且2MB =。设A 、C 两点的横坐标分别为1t 、2t （21t t >），则21t t -的值为（ ） A ．3 B ． C ．± D ．【答案】 D 【解答】依题意线段AC 的中点M 的坐标为22 1212 ()22 t t t t ++，。 （第3题）
由BM y ∥轴，且2BM =，知B 点坐标为22 1212 (2)22t t t t ++-，。 由点B 在抛物线2 y x =上，知22 212122()22 t t t t ++-=。 整理，得2222 121122 2282t t t t t t +-=++，即221()8t t -=。 结合21t t > ，得21t t -= 4．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=?，D 为线段BC 的中点，E 在线段AB 内，CE 与AD 交于点F 。若A E E F =，且7AC =，3FC =，则c o s A C B ∠的值为（ ） A ．37 B ． C ．314 D 【答案】 B 【解答】如图，过B 作BK AD ∥与CE 的延长线交于点K 。 则由AE EF =可得，EBK EAF AFE BKE ∠=∠=∠=∠。 ∴ EK EB =。 又由D 为BC 中点，得F 为KC 中点。 ∴ 3AB AE EB FE EK KF FC =+=+===。 ∴ BC === ∴ cos 7 BC ACB AC ∠= = 。 或解：对直线AFD 及BCE △应用梅涅劳斯定理得， 1BD CF EA DC FE AB ??=。 由D 为线段BC 的中点，知BD DC =。 又AE EF =，因此，3AB CF ==。 结合7AC =，90ABC ∠=? ，利用勾股定理得，BC = 所以，cos 7 BC ACB AC ∠==。 D B A E （第4题） K
河南高中数学竞赛预赛
河南高中数学竞赛预赛
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2010年河南省高中数学竞赛预赛及郑州市高中数学竞赛获奖情况 通报 2010年河南省高中数学竞赛预赛及郑州市高中数学竞赛于2009年5月举行,我市在新密一高、新密二高、新密实验高中、新密中学、一高分校、京密高中分设六个考点，考试结束后，郑州市教研室统一组织了评卷，日前成绩已经揭晓，现将获奖情况通报如下：望获奖学生及辅导教师戒骄戒躁，在今后学习、工作中，加倍努力，为我市学科教学质量提升做出贡献。 一、高一年级数学竞赛获奖情况： 河南省一等奖（19人） 陈泽文实高张范一高尚元贺一高 黄尚臣一高秦艳艳新密中学王超峰新密中学 位二鹏一高魏帅飞新密中学赵留鹏一高 郭亚冰新密中学许言午一高赵启源二高 黄佳男实高申威实高王玉博实高 郑凯利一高申玉蕾一高危超杰一高 张园豪二高 河南省二等奖（60人） 高世浩一高李帅龙一高牛伟朋二高 陈博一高陈博文一高陈东晓二高 范瑞方实高贾凯歌新密中学李婉迪一高 李玉婕二高李志远新密中学梁昆新密中学 秦炎明二高任志飞新密中学慎志豪新密中学 宋浩阳新密中学王键新密中学王亚芳二高
杨亚杰二高张诚实高张星魁二高 赵金龙一高郑小冰二高王光耀二高 陈光豪二高陈现凯实高丁浩奇实高 纪路明一高申仁杰二高张磊磊新密中学甄鹏帅新密中学巴星原新密中学白晓丹实高 高永乾二高葛乾隆新密中学管焱一高 郭飞新密中学郭英旭二高贾梦迪一高 雷志超一高李超一高李东凯一高 李浩杰实高李晓伟新密中学李晓昱新密中学李宜高一高蔺玉琪一高刘纯莉实高 刘帅鹏一高刘旭东一高王程远一高分校谢婉莹实高尹建伟一高翟师冬二高 张腾飞新密中学张晓星二高张云鹏新密中学赵一帆实高甄政毅实高周英豪二高 河南省三等奖（74人） 崔广楠一高刘英豪二高邵梦旗二高 慎津进二高王亚青二高云晓瑜二高 张鹏杰新密中学安桂芳新密中学常旭东二高 樊颖颖二高付欣二高刘晓静一高 王宏元二高王琼一高张涛新密中学孙浩南一高黄亚萌新密中学李晓梦一高 苏跃京密高中王浩咏实高白云鹏一高
2019全国初中数学竞赛(河南赛区)预赛试题及参考解析
2019全国初中数学竞赛（河南赛区）预赛试题及参考解析 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 【一】选择题〔共6小题，每题6分，共36分.以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分〕 1、在1，3，6，9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是【】 〔A 〕2，3，1〔B 〕2，2，1〔C 〕1，2，1〔D 〕2，3，2 【答】A 、 解：完全平方数有1，9；奇数有1，3，9；质数有3、 2、一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过【一】【二】三象限，那么以下判断正确的选项是【】 〔A 〕1m >-〔B 〕1m <-〔C 〕1m >〔D 〕1m < 【答】C 、 解：一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过【一】【二】三象限，说明其图象与 Y 轴的交点位于Y 轴的正半轴，且Y 随X 的增大而增大，所以10,10.m m ->??+>? 解得1m >、 3、如图，在⊙O 中，CD DA AB ==，给出以下三个 结论：〔1〕DC ＝AB ；〔2〕AO ⊥BD ；〔3〕当∠BDC ＝30° 时，∠DAB ＝80°、其中正确的个数是【】 〔A 〕0〔B 〕1 〔C 〕2〔D 〕3 【答】D 、 解：因为CD AB =，所以DC ＝AB ；因为AD AB =，AO 是半径，所以AO ⊥BD ；设∠DAB ＝X 度，那么由△DAB 的内角和为180°得：2(30)180x x -?+=?，解得80x =?、 4.有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【】 〔A 〕34〔B 〕23〔C 〕13〔D 〕21 第3题图
2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题以及参考答案
2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2016年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)B ， ，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=?。将OAB △沿直线AB 折叠得CAB △，则点C 的坐标为（ ） A ．(1 B ．3) C ．(3 D ．1) 2．若实数a ，b 满足232a a +=，232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=（ ） A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 3．若关于x 的方程22240224 x x x a x x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ） A ．6- B ．30- C ．32- D ．38- 4．如图，在ABC △中，6AB =，3BC =，7CA =，I 为ABC △的内心，连接CI 并延长交AB 于点D 。记CAI △的面积为m ， DAI △的面积为n ，则 m n =（ ） A ．32 B ．43 C ．53 D ．74 5．已知x ，y 为实数，且满足2244x xy y -+=，记224u x xy y =++的最大值为M ，最小 值为m ，则M m +=（ ） A ．403 B ．6415 C ．13615 D ．315 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6．在平面直角坐标系内有两点(11)A ， ，(23)B ，，若一次函数2y kx =+的图像与线段AB 有公共点，则k 的取值范围为 。 A B C D I
浙江省初中数学竞赛试题
D C 浙江省初中数学竞赛试题 一、 选择题（共8小题，每小题5分，满分40分。以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、 C 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填在题后的括号里，不填、多填或错填均得零分） 1．函数y ＝1 x 图象的大致形状是（ ） A B C D 2．老王家到单位的路程是3500米，老王每天早上7：30离家步行去上班，在8：10（含8：10）到8：20（含8：20）之间到达单位。如果设老王步行的速度为x 米／分，则老王步行的速度范围是（ ） A ．70≤x ≤87.5 B ．70≤x 或x ≥87.5 C ．x ≤70 D ．x ≥87.5 3．如图，AB 是半圆的直径，弦AD ，BC 相交于P ，已知∠DPB ＝ y x O y x O y x O y x O
D C B A 60°，D 是弧BC 的中点，则tan ∠ADC 等于（ ） A ．12 B ．2 C 3 D ． 33 4．抛物线()20y x x p p =++≠的图象与x 轴一个交点的横坐标是P ，那么该抛物线的顶点坐标是（ ） A ．（0，－2） B ．19,2 4??- ??? C ．19,24??- ??? D ．19,2 4??-- ??? 5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，CD 是角平分线，则△DBC 的面积与△ABC 的面积的比值是（ ） A ． 522 B ．52 3 C ．352- D ．353- 6．直线l ：()0y px p =是不等于的整数与直线y ＝x ＋10的交点 恰好是（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线l 有（ ） A ．6条 B ．7条 C ．8条 D ．无数条 7．把三个连续的正整数a ，b ，c 按任意次序（次序不同视为不同 组）填入20x x ++=W W W 的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，使所得方 21 35 1 3
江苏省历年初中数学竞赛考试及解答(23份)
江苏省历年初中数学竞赛考试及解答(23份)
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2018年全国高中数学联赛河南省预赛高三数学试题(解析版)
2018年全国高中数学联赛河南省预赛 高三数学试题 一、填空题 1．已知函数，若的定义域为，值域为，则的值为______． 【答案】0 【解析】【详解】 因为， 所以有，得，故在上是增函数， 进而．解得（舍）或． 故填0． 2．一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体可以在纸盒内任意转动，则小正四面体棱长的最大值为______． 【答案】2 【解析】【详解】 因为小正四面体可以在纸盒内任意转动， 所以小正四面体的棱长最大时，为大正四面体内切球的内接正四面体． 记大正四面体的外接球半径为，小正四面体的外接球（大正四面体的内切球）半径为，易知，故小正四面体棱长的最大值为． 3．已知为虚数单位，则在的展开式中，所有奇数项的和是______． 【答案】512 【解析】【详解】 易知的展开式中，所有奇数项的和是复数的实部． 又 ．
故填512． 4．已知点在内，且满足，设、、的面积依次为、、，则______． 【答案】 【解析】【详解】 因为， 所以，所以． 5．已知、、均为正数，则的最大值为______． 【答案】 【解析】【详解】 记，那么，，， 于是，得．① 又．② 由①②可得，所以，即，当且仅当时取得．6．若，则被3除的余数是______． 【答案】1 【解析】【详解】 令，得． 分别令和，将得到的两式相加，得．所以 ． 7．设经过定点的直线与抛物线相交于、两点，若为常数，则的值为______． 【答案】2 【解析】【详解】
设直线的参数方程为（是参数，是倾斜角且， 代入抛物线方程得． 设该方程的两根为、，则，， 则 为常数， 所以． 8．将圆的一组等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录个点的颜色，称为该圆的一个“阶色序”，当且仅当两个阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的阶色序．若某圆的任意两个“3阶色序”均不相同，则该圆中等分点的个数最多可有______个． 【答案】8 【解析】【详解】 “3阶包序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶色序”共有种． 一方面，个点可以构成个“3阶色序”，故该圆中等分点的个数不多于8个． 另一方面，若，则必须包含全部8个“3阶色序”，如按逆时针方向确定8个的颜色为“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件． 故该圆中等分点的个数最多可有8个． 二、解答题 9．已知，试求的最大值． 【答案】 【解析】【详解】 由题意得， 则． 记点，直线， 则点的轨迹方程为单位圆：，且．
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