北师大版数学八年级上册知识点总结
北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结
第一章 勾股定理
1、勾股定理
直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
4、常用勾股数：3、4、5 6、8、10 9、12、15 1
5、 20、25 7、24、25 5、12、13
8、15、17 9、40、41
5、解立体图形上两点之间的最短距离问题
（1）将立体图形展成平面图形
（2）根据“两点之间线段最短”确定最短路线
（3）最后以上面的最短路线为边构造直角三角形，利用勾股定理解决
圆柱表面蚂蚁吃面包： 勾股定理：圆柱高的平方+地面周长一半的平方=最短距离的平方
6、直角三角形斜边上的高=两直角边乘积/斜边
7、折叠问题的常用方法：折叠前后的图形全等。然后一边是x 另一边是关于x 的代数式
第二章 实数
1、实数的分类
正有理数
有理数 零 有限小数和无限循环小数
实数 负有理数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
2、无理数：（1）无限不循环小数；
（2）开方开不尽的数，如32,7等
（3）π，或化简后含有π的数，如3
π+8等； （4）有特定结构的数，如0.1010010001…
（5）某些三角函数值，如sin60o 等
3、算数平方根 平方根 立方根
X 2=a X 2=a X 3=a
(x 一个值，取正) （ x 两个值，一正一负） (x 一个值，可正可负)
记做X=a x= a ± x= 3a
平方根性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
零的平方根是零；
负数没有平方根。
立方根性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零。
4、二次根号下有意义的条件：根号下是非负数，即≥0
5、开平方：求一个数a 的平方根的运算叫开平方，求一个数a 的立方根的运算叫做开立方。a 叫做被开方数。
6、实数的倒数、相反数和绝对值与有理数的意义是一致的
7、实数大小的比较
1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的
数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a 、b 是实数，
,0b a b a >?>- ,0b a b a =?=- b a b a ?> （4）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则b a b a 。
（5）平方法：设a 、b 是两负实数，则b a b a 22。
8、算术平方根有关计算（二次根式）
1、含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。
2、性质：
（1）)0,0(≥≥?=b a b a ab （)0,0(≥≥=?b a ab b a ）
（2）)0,0(>≥=b a b a b a （)0,0(>≥=b a b
a b a ） 9、最简二次根式：运算结果若含有“a ”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
10、非负数的情况：根号下，平方，绝对值。
例如
11、常用的平方与立方
112=121，122=144，132=169,142=196，152=225,162=256,172=289，182=324,192=361，202=400，212=441, 252=625
2的立方8 3的立方27 4的立方64 5的立方125 6的立方216
12、常用的开二次根式（自己填好）
8= 18= 32= 50= 12= 27= 48=
20= 24= 28= 80=
第三章 位置与坐标
1、 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。
2、平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫
做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；x 轴和y 轴统
称坐标轴。它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
3、象限：为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x 轴和y 轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。
4、点的坐标的概念
对于平面内任意一点P,过点P 分别x 轴、y 轴向作垂线，垂足在上x 轴、y 轴对应的数a ，b
分别叫做点P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a ，b ）叫做点P 的坐标。
点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐
标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
5、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)第一象限0,0>>?y x （+ +） 点P(x,y)第二象限0,0>
点P(x,y)第三象限0,0<?y x （+ -）
6、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x 轴上0=?y （x 轴上的点纵坐标为0）
点P(x,y)在y 轴上0=?x （y 轴上的点横坐标为0）
点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上?x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）即原点
7、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x 与y 相等?（直线y=x ）
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x 与y 互为相反数?（直线y=-x ）
8、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。
平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。
9、关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征
关于x 轴对称?横坐标相等，纵坐标互为相反数，
即点P （x ，y ）关于x 轴的对称点为P ’（x ，-y ）
关于y 轴对称?纵坐标相等，横坐标互为相反数，
即点P （x ，y ）关于y 轴的对称点为P ’（-x ，y ）
总述，关于哪个轴对称哪个坐标不变，另一个坐标互为相反数
点P 与点p ’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数，
即点P （x ，y ）关于原点的对称点为P ’（-x ，-y ）
10、点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：
（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x
（3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +
11、坐标变化与图形变化的规律：
个单
第四章一次函数
1/函数：
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
2、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。
3、由函数关系式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
4、正比例函数和一次函数
(1)一次函数的形式b
kx
y+
=（k，b为常数，k≠0），
正比例函数的形式kx
y=（k为常数，k≠0）正比例函数是特殊的一次函数
(2)、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数b
kx
y+
=的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数kx
y=的图像是经过原点（0，0）的直线。
5、一次函数的性质和正比例函数的性质
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
／k／的决定直线的倾斜程度，／k／越大直线越陡，／k／越小直线越缓
b代表与y轴交点的纵坐标。当b>0 直线交y轴正半轴b<0直线交y轴负半轴
y=kx+b b>0 b<0 b=0 y=kx
k>0 经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限
图象从左到右上升，y随x的增大而增大
k<0
经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限
图象从左到右下降，y随x的增大而减小
6、一次函数与y轴的交点坐标为（0，b）；一次函数与x轴的交点坐标，另y等于0，求出x的
值.即（—k
b ，0） 7、一次函数与坐标轴围成的三角形面积：
2
1×／与x 轴的交点横坐标／×／与y 轴的交点纵坐标／ 8、两个一次函数k 1=k 2,b 1 ≠ b 2两直线平行
k 1≠k 2,b 1= b 2两直线相交于y 轴上的点（0，b ）
k 1×k 2=-1.两直线垂直
9、直线y=2x 向上平移三个单位得到y=2x+3，向下平移三个单位得到y=2x-3
10、在实际问题的图像常取在第一象限，读图时注意x 轴y 轴代表的信息，若图中有两条直线应标注各个直线的名称。
11、一次函数与一元一次方程的关系：
由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k 、b 为常数，k ≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应x 的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b 确定它与x 轴交点的横坐标值．
第五章 二元一次方程组
1、二元一次方程（1-5都为理解内容）
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
4二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法
（1）代入（消元）法解二元一次方程组的步骤：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另
一个未知数的代数式表示出来.
第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
第四步：回代求出另一个未知数的值.
第五步：把方程组的解表示出来.
（2）加减（消元）法解二元一次方程组的步骤：
①变形－找出两个方程中同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，然后分别在两个方程的
两边乘以适当的数，使所找的未知数的系数相等或互为相反数．
②加减消元，得到一个一元一次方程．
③解一元一次方程．
④把求出的未知数的解代入原方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值，从而得方程组
的解．
6、一次函数与二元一次方程（组）的关系：
（1）一次函数与二元一次方程的关系：
直线y=kx+b 上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx- y+b=0的解
（2）一次函数与二元一次方程组的关系：
二元一次方程组的解可看作两个一次函数的图象的交点坐标。
当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点
时，说明相应的二元一次方程组无解。
7、个位数字为x 十位数字为y 的两位数为10y+x
较大的两位数为x 较小的两位数y ，将较大的写在左边的四位数是100x+y
第六章 数据的分析
1、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数 、众数、中位数
2、平均数 （1）平均数：x =)(121n x x x n +++ 。 （2）加权平均数：x =(xf+xf+…….+xf)
3、众数
一组数据中出现次数最多的那个数据叫众数。
注意：（1）众数可能不止一个
（2）众数是出现次数最多的那个数据而不是次数
4、中位数
（1）先排列（2）中间一个数据或最中间两个数据的平均数
注意：奇数个数的中位数，可以把数字加1，再除以2.这个位置就是中位数。如101个数字，
是101+1为102除以2.第51位的数字，就是
偶数个，直接除以2的那位，和它后一位数字的平均数。如100个数字，就是100除以2为
50，和51位上数字的平均数
5、中位数，众数，平均数如数据有单位那么要加单位。
6、刻画数据离散程度的量：极差，方差，标准差。他们越小数据越稳定。
7、极差：一组数据最大值-最小值
8、方差：各个数据与平均数的差的平方的平均数
步骤：（1）求这组数据的平均数 （2）个数与平均数的差
（3）差的平方 （4）再求平均数
9、标准差：方差的算数平方根。
第七章 平行线的证明
1、. 定义与命题 （理解不用记忆）
（1）. 定义
一般地,能明确指出概念含义或特征的句子,称为定义.
定义必须是严密的.一般避免使用含糊不清的术语,例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现.
（2）. 命题
可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题. 正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命
题.
（3）. 公理
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并且把它们作为判断其他命题真
假的原始依据,这样的真命题叫做公理.
（4）.定理
有些命题可以从公理或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.
（5）. 证明
根据题设、定义以及公理、定理等,经过逻辑推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.
2. 为什么它们平行
1. 平行判定公理: 同位角相等,两直线平行.(并由此得到平行的判定定理)
2. 平行判定定理: 同旁内互补,两直线平行.
3. 平行判定定理: 同错角相等,两直线平行.
3. 如果两条直线平行
1. 两条直线平行的性质公理: 两直线平行,同位角相等;
2. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,内错角相等;
3. 两条直线平行的性质定理: 两直线平行,同旁内角互补.
4. 三角形和定理的证明
三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于180°
5. 关注三角形的外角
三角形内角和定理的两个推论:
推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;
推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
6、不是命题的情况：疑问句，短语，图的做法。