2012线性代数基础习题
《线性代数》基础习题
第一章 行列式
一、 填空题：
1．设12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带有负号的项，则i = ，j = 。 2． 在四阶行列式中，带正号且同时包含因子23a 和31a 的项为__ ___。 3． 在五阶行列式中，项2543543112a a a a a 的符号应取 。
4．已知x
x x x x
x f 4
21
2
4011123313)(--=
，则)(x f 中4x 的系数为 。
5． 行列式=600
300
301
395200199
204
100103__ __。 二、 计算下列各题：
1．计算6
3
123112115234231
----=D 。
2．设43
2
1
630211118751
=
D ，求44434241A A A A +++的值。
3．计算a
b
b a b
a b a D n 0
0000
000
=
4．计算n
D n
2
2
2
2322
2222
2221=
5．计算a
b
b
b
b a b b
b b a b
b b b a D n
= 6．计算4
4
4
3332225
4
3
2
543254325432=
D
7．设齐次线性方程组???
??=+++=+++=+++0
)12(02)12(02)1(321
3213221x k kx kx x x k x x x k x 有非零解，求k 的值。
第二章 矩阵
一、填空题：
1．设A ???
?
? ?
?-----=34
1
122121221
,则R(A)= 。 2．设A 是3阶方阵，且m A =，则1
--mA
= 。
3．=????
?
???????????????????
?
?????2009
2010
10
001010
53
4
432121
00
1
010
100
。
4．设A 为33?矩阵，2-=A ，把A 按列分块为),,(321A A A A =，其中)3,2,1(=j A j 为A 的第j 列，则=-1213,3,2A A A A 。
5．设A 为3阶方阵，1A =-，A 按列分块为()32
1
A A A A =，()32
1
22A A A B =，
则*
B = 。
二、选择题：
1． 设A,B 为n 阶方阵，则下列命题中正确的是（ ）。 A. 0=AB 0=?A 或0=B ； B. T
T
T
A B AB =)(；
C. B A B A +=+ ；
D. 22))((B A B A B A -=-+。 2. 设A 为54?矩阵,则A 的秩最大为( )。
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5 3. C B A ,,是n 阶矩阵，且E ABC =，则必有（ ）。
A ．E CBA = B. E BCA = C ．E BAC = D. E AC
B = 4. 当=A （ ）时，????????
??3332
31232221
131211
a a a a a a a a a A ???
?
?
??
??
?---=33
3231
232221
331332
1231
11333a a a a a a a a a a a a .
A ．????????
??-10
3010
001 B. ?????
??
???-100010301 C. ????????
??-101
010
300 D. ????
???
???-13
010001
三、计算题
1．设A=???
?
?
???
??---121011
332
，求1-A 。 2．设???
?
????
??-=32
1
011
330A ，且X A AX 2+=，求X 。 3．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵，证明AB 为反对称矩阵的充分必要条件是
BA AB =。
4．设A 为3阶方阵，且12
A =
，求1*(3)2A A --。
5．已知矩阵????
??
? ?
?=45
5
3
251101
413223211a A 的秩为3，求a 的值。
四、 设A 为n 阶方阵，且有0522=--E A A ，证明E
A +
可逆，并求其逆。
第三章 向量空间
一、填空题：
1．已知????????????=6402α，?
?
???
???????-=2101β，????????????=9741γ，且向量ξ满足βαγβξ-=-+22，则ξ= 。
2．向量组?
?
???
???????-=21011
α,????????????-=04122α,????????????-=42023
α线性 。（要求填写“相关”或“无关”） 3．已知向量组T )1,1,2,1(1-=α，T t )0,,0,2(2=α，T
)2,5,4,0(3=α的秩为2，则=t 。
4．若T )1,1,1(1=α，T
b a ),0,(2=α，
T )2,3,1(3=α线性相关，则b a ,应满足关系式 。 5. 设????? ?
?--=40
3212
221
A ，且???
?
?
??-=x 85α，已知αA 与α线性相关，则=x 。
二、选择题：
1． 下列向量组中，线性无关的是（ ） （A ）T
)43
21(，T
)520
1(-，T
)864
2
(；
（B ）T
)001(-，T
)012(，T
)423(-； （C ）T )111(-，T
)202(-，T
)31
3(-；
（D ）T )001
(，T
)01
(，T
)100
(，T
)10
1
(．
2．下列向量组中，线性相关的是（ ） （A ）T
b a )1(，T
c b a )222(+；)0(≠c
（B ）T
)0001(； （C ）T
)00
01(，T
)100
(，T
)001
(；
（D ）T )00
1
(，T
)01
0(，T
)00
0(．
3．设向量组??????????-=011α，??????????--=121β，???
?
??????=t 01γ线性无关，则（ ）
（A ）1-=t ； （B ）1-≠t ； （C ）1=t ； （D ）1≠t ． 4.设m ααα,,21 ，均为n 维向量，那么下列结论正确的是（ ）
。 （A ）若为常数），m m m k k k k k k ,,(0212211=+++ααα，则m ααα,,21 ，线性相关；
（B ）若对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有02211≠+++m m k k k ααα ，则m ααα,,21 ，线性无关；
（C ）若m ααα,,21 ，
线性相关，则对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有02211=+++m m k k k ααα ；
（D ）若000021=+++m ααα ，则m ααα,,21 ，
线性无关. 5. 设A 是n 阶方阵，且A 的行列式0=A ，则A 中（ ）
（A ）必有一列元素全为零； （B ）必有两列元素对应成比例；
(C ）必有一列向量是其余列向量的线性组合；（D ）任一列向量是其余列向量的线性组合. 三、计算下列各题：
1． 判断向量组?
?
???
???????-=02111
α,????????????-=36122α,????????????--=21013α,??????
??????-=09244
α的线性相关性． 2．求向量组?
?
???
???????-=40121
α,????????????-=21012α,????????????-=63033α,????????????--=21114α,??????
??????---=40125
α的秩和一 个极大无关组,并将其余向量表成该极大无关组的线性组合．
3．设向量组??????? ??-=22111α??????? ??--=x x 2312α，????
??
?
??-=06113α，若此向量组的秩为2，求x 的值。 四、证明题
1．设1α,2α,3α线性无关,证明: 1α,212αα+,32132ααα++也线性无关．
2.设A 是m n ?矩阵，B 是n m ?矩阵，其中m n ≤,E 是n 阶单位矩阵，若E AB =,证明B 的列向量组线性无关。
第四章 线性方程组
一、 填空题：
1．已知方程组???
?
? ??=????? ???????
?
?--7314
3110
121
321a x x x 无解，则=a 。
2．设A 为3阶方阵，2)(=A R ，且向量????? ??321和???
?
?
??332是)0(≠=b b AX 的两个解向量，
则b AX =的通解为 。
3．设1234,,,,ααααβ都是4维 列向量，且123,,ααα线性无关，1242,ααα=+
13423βααα=-+，()1234,,,A αααα=。AX β=的通解为 。
二、 单选题：
1．设A 为n 阶方阵，1)(-=n A R ，21,αα是方程组b AX =的两个不同的解向量，则方程组0=AX 通解为（ ）
（A ） 1αk （B ）2αk （C ）)(21αα-k （D ）)(21αα+k 。 2．n 元线性方程组b AX =有唯一解的充分必要条件是（ ） （A ）n b A R =),(； （B ）A 为方阵且0≠A ；
（C ）n A R =)(； （D ）n A R =)(，且b 为A 的列向量组的线性组合。 3．线性方程组b AX =（0≠b ）与其所对应的齐次线性方程组0=AX 满足（ ）。 （A ）若0=AX 有唯一解，则b AX =也有唯一解； （B ）若b AX =有无穷多解，则0=AX 也有无穷多解； （C ）若0=AX 有无穷多解，则b AX =也有无穷多解； （D ）若0=AX 有唯一解，则b AX =无解。
4. 设321ααα，，是四元非齐次线性方程组b AX =的三个解向量，且3)(=A R ，c 是任意常数，()T
43
2
1
1=α，()T
32
10
32=+αα。b AX =则线性方程组的通解
为（ ）。
A ??????? ??+??????? ??43211111c ，
B ????
??
?
??+??????? ??43213210c ，C
????
??
?
??+??????? ??43215432c ，D ??????
? ??+??????? ??43216543c 三、计算题
1．求齐次线性方程组???
??=+++=-++=+++0
542023203224321
43214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系，并用基础解系表示它的
全部解：
2.求线性方程组???
??
?
?=+--=-+-=-+-=+--0
41122102344321343214321432
1432
1x x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解：
3．当λ取何值时，下列线性方程组有解？有解时，求出其全部解：
???
??=++=++=+
2
46241321
32131x x x x x x x x λ。 4．当λ取何值时，方程组 ??
?
??=+++=+++=+++0
)1()1()1(3213212
321x x x x x x x x x λλλλλ 有唯一解，无解，有无穷多解？并在
有无穷多解时求其通解。
四、证明题：
1.设有方程组121a x x =-，232a x x =-，343a x x =-，454a x x =-，515a x x =-
证明：此方程组有解的充分必要条件是05
1
=∑=n n a 。
2.设012,,,,n r αααα- 是(0)AX b b =≠的1n r -+个线性无关的解，()R A r =，证明10200,,,n r αααααα---- 是0AX =的基础解系。
第五章 方阵的特征值与特征向量
一、填空题：
1．设方阵A 的行列式0=A ，则A 必有一个特征根为 。
2．设A 为3阶方阵，A 的三个特征根为1，2，3，则A A 42-= 。
3．设A 的每行元素的和均为6，则A 有一个特征根为 ，及一个属于此特征根的特征向量为 。 4．设A 为3阶方阵，且0422=-=+=-E A A E E A ，则A = 。
5．设A 与B 均为n 阶方阵，P 为可逆n 阶方阵，使得AP P B 1-=。那么，若0λ是A 的特征根，ξ是A 的属于特征根0λ的特征向量，
则 必为B 的属于特征根0λ的特征向量。 二、选择题：
1．设3阶方阵A 与B 相似，且A 的3个特征根为2，3，4。则
1
61-+B
E =（ ）。
A 12，
B 36
5， C 6
5， D
8
5。
2．设A 为3阶方阵，A 的三个特征根为3，2，1，其对应的特征向量依次为
()213
321αααααα=P ，，，，则AP P 1-=（ ）。 A ???
?
? ?
?20
0030001
，B ???
?
?
?
?30
0010002
，C ???
?
? ?
?30
0020001
，D ????
? ?
?10
0020003
。 3．设B A ,都是n 阶方阵，且A 相似于B ，则下列说法不正确的是（ ）。
A B E A E -=-λλ， B B A = ，
C )()(B R A R =，
D A 与B 都相似于同一个对角矩阵。
4．已知???
?
?
?=???? ?
?=y B x
A 001
,221
，且B A ~，则（ ）。 A 0,0==y x ，B 2,2==y x ，C 0,2==y x ， D 2,0==y x 。
5. 设)(ij a A =是一个3阶方阵，且0332211=++a a a ，又已知A 的两个特征根为
2,121==λλ，则E A 2+=（ ）。
A 3，
B 2，
C 12，
D -12。
三、计算题：
1.求矩阵???
?
? ?
?=00
1010
100
A 的特征值与特征向量。
2.判断???
??
??---=32
4010
223A 是否可对角化，若可对角化，则求出对角矩阵与相似变换矩阵。 3. 已知1242
242
1A x --??
?=-- ? ?--?
?，5
000000
4y ??
?
Λ= ? ?-?
?
，且Λ~A ， （1）求,x y ； （2）求可逆矩阵P
，使1P AP -=Λ。
四、证明题：
1．设0λ是A 的特征根，证明：
（1）50λ是5A 的特征根；（2）30λ是3
A 的特征根。 2．证明若0
01110
0A x
y ??
?
= ? ??
?
可对角化，则必有0=+y x 。 第六章 二次型
一、填空题：
1．二次型31212
32
22
13214253),,(x x x x x x x x x x f -+++=的系数矩阵为___ 。 2．设实对称矩阵A 与其在正交变换下的标准形分别为
2000
303A a a
?? ?= ? ??
?，10002000
5J ??
?= ? ??
?
， 且0>a ，则=a _____。
3．已知A 为3阶实对称矩阵，且满足条件O E A A A =-+-6232
3。则A =___ ；A 在
正交变换下的标准形为 ___。 4．设???
?
? ?
?4040
001
a
a 为正定矩阵，则a 的取值范围是_____ ___。 5．二次型322
32
22
13214332),,(x x x x x x x x f +++=在正交变换下的标准形为____ _；秩数为______；正惯性指数为______；负惯性指数为______。
二、选择题：
1．设B A ,均为n 阶正交矩阵，则下列矩阵不一定为正交矩阵的是（ ）：
*1,,,,A B A A A AB T +-
A A
B ； B T A ；
C 1-A ；
D B A +；
E *A 。
2。已知二次型1332212
32221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=在正交变换下的标
准形为213216),,(y y y y f =，则=a （ ）。
A 4；
B -4；
C 2；
D -2。 3.设矩阵
????
?
?
?--=52
0242
023
A 正定，则其在正交变换下的标准形为（ ）。
A ????? ?
?110
0010
001
； B ???
?
?
?
?110
0000
001； C ???
?
? ?
?70
0040001
； D ????
? ?
?-110
0030001
。 三、计算下列各题：
1．把下列线性无关的向量组进行Gram Schmidt -正交化。
()()()1231
11,1
10
1,111
0T
T
T
ααα=-=-=-。
2．用正交变换把下列二次型化为标准形，并求出所用的正交变换。
322
32
22
13214332),,(x x x x x x x x f +++=；
3．判断下列二次型是否是正定二次型。
（1）222
1231231213(,,)26422f x x x x x x x x x x =++--；
（2）222
123123121323(,,)25226f x x x x x x x x x x x x =+++++。
四、证明题：
1．证明正交变换不变向量的内积与不变向量的长度。即：设T 为n 阶正交矩阵，βαξ,,是 n 维向量，证明
（1）αT 与βT 的内积等于α与β的内积； （2）T ξξ=。
2．设A 是可逆的实对称矩阵，证明2
A 为正定矩阵。 3．设A 是n 阶正定矩阵，证明1A E +>。
《线性代数》基础习题答案
第一章 行列式
5．填空题：
1．2，1； 2.44312312a a a a ； 3．+（正）； 4．2； 5． 2000.
6．计算下列各题：
1．解 2
1
7
5550117042312,2,36
3
1
2
3112115234231
1
41312------+------=r r r r r r D 按第一列展开
301
7
552
1
7
5551
002
1
7
555
11731-=-----+-----=按第一行展开r r .
2. 解 将D 的第4行换为1，1，1，1，则
44434241A A A A +++011
1
1
630211118751
==
.
3. 解 由行列式展开定理有 a
b
b a b
a b a 0
0000
000
1
1
10)
1(-+?
-?=n a
b a
b a a
1
1
000)
1(-+?
-?+n n b
a
b a
b
b
n
n n
b a 1
)1(+-+=.
4．解：n
2
2
2
2322
2
222
2221）加到各列上第二列乘（1-n
n n ?--2
2
01200020
0021
)1(-=)
1()1(2
2
0202
0012
0002-?--n n n
)!2(2-?-=n .
5．解：a
b
b
b
b a b b
b b a b
b b b a
各行加到第一行上a
b
b
b
b a b b b b a b
b
n a b
n a b
n a b
n a
)1()1()1()1(-+-+-+-+
a
b
b
b
b a b b
b b a b
b n a
1111])1([?-+= 一列从第二列开始各列减第b
a b
b a b
b a b
b n a ---?-+
00000001])1([
1
)
(])1([--?-+=n b a b n a .
6．解：第一列提出一个2，第二列提出一个3，第三列提出一个4，第四列提出一个5。
4
4
4
3332225
4
3
2
543254325432=
D 3
3
3
3
222211115
4
3
1
543154*********
=利用范德蒙行列式
）（）（）（）（）（）（453534151413120-?-?-?-?-?-?=5760.
7．解：若所给方程组有非零解，则其系数行列式必为零，即
0)2(1
0)2(1
0202111
22121
211
3
32
2
2
=-=--=--+=+++k k k
k k k
k k k k k
k
k k ，
从而得0=k 或2=k .
第二章 矩阵
一 填空题
1.2；
2.2m -；
3.???
?
?
???
??54
3
423
112； 4.6； 5.16。 二、选择题
1.B ；
2.C ；
3.B ；
4.B 。 三、计算题 1.解????
???
???-→???????
???---→??????????---11
1
1
02131001001110
1
2
1
001332010011
10
1
2
1
010011
001332
???????????
?
-→???
?????
??----→212
12
11
021
3100
31301
11
1
2
021310
010011
??????
?
????????
?-
-
-→212
12
11
0232121
01023232
1001，故???????
?????????---=-212
121232121232
321
1
A 。 2. 解 由X A AX 2+=可得A X E A =-)2(，故
A E A X 1)2(--= ，=-E A 2????
?
???
??---12
1
011
332
?????
??
???-→???????
???----→??????????----330
110352310011011
321121330332011011
32
1121011011330332
????
???
???-→???????
???→??????????----→01
1
1
321010330
00101
1
1
35231036330102
2
2
352310011011 故????
?
???
??-=01
1
321
330
X 。
3. 证明 B B A A T T ==?,，若AB 是对称矩阵，则BA A B AB AB T T T ===)(；
?若BA AB =，则T
T T AB A B BA AB )(===，故AB 是对称矩阵。
第二章 解 1
1
*
1
1
1
*12
123
12)
3(23
12)3(------?
-=
-=-=
-A
A
A A A
A A
A A
27
16227
81)
3
2()3
2(3
23
1
31
-
=?-
=-
=-
=-=--A
A
A .
第三章 解 ????
??
?
?
?--------→???????
??=22511
0211102211003211455
325110141322
3211a a a a a A ????
??
?
?
?-------→???????
?
?--------→0360
022*********
3211
2251
1
022*********
3211a
a a a
a
a
a a 由已知3)(=A R ，于是有2036=?=-a a . 8．解 由0522=--E A A 可得E E A E A =-+)]3(2
1)[
(，
故E A +可逆，且)3(2
1)(1
E A E A -=
+-.
第二章 向量空间
一、填空题： 1、T
)
108
4
3(=ξ。2、相关。3、-7。4、b a 2=。5、3。
二、选择题： 1、（B ）。2、（D ）。3、（B ）。4、（B ）。5、（C ）。 三、计算下列各题：
1、解：??????
?
?
?---→???????
??-----=02
3
013202110
4121
02
3091622011
4121),,,(4321αααα ???
?
??
?
?
?---→???????
?
?----→270
06100
2110
412161
0350021104121。
所以，4),,,(4321=ααααR ，从而，4321,,,αααα线性无关。 2、????
??
?
??-------→???????
??--------=42
6240131011001
30311
4262
40131011001
21312),,,,(54321ααααα ????
??
?
?
?---→???????
??----→???????
?
?-----→000
021********
10001
168
00
04200041310
11001
82
18
6
0013104131030311 所以，3),,,,(54321=αααααR ；1α，2α，4α是它的一个极大无关组； 且233αα=,421522αααα---=。 3、解：????
???
?
?---→??????? ?
?+----→???????
?
?----=20
0200110
1
11
22
20420220
11102262131
111
),,(321x x x x x
x ααα 由2),,(321=αααR 知，02=-x ，即2=x 。
四、证明题：
1、证明：设0)32()2(321321211=+++++ααααααk k k ，即
3)22()(332321321=+++++αααk k k k k k
因为321,,ααα线性无关，所以，
?????==+=++0302203
32321k k k k k k ? ?????===0
00
321k k k 所以，32121132,2,αααααα+++线性无关。
2、证明：由E AB =知，n E R AB R ==)()(。 又因为n B R AB R ≤≤)()(，所以，n B R =)(。 从而，B 的列向量组线性无关。
第四章 线性方程组
9．填空题：
1．不为1-的任何数； 2．???
?
? ??+????? ??321011k （k 为常数）；
3．T T k )3,2,0,1()2,0,1,1(-+--（k 为常数）. 10．单选题：
1．C ； 2．D ； 3．B ； 4．C .
三、计算题
1．解：把方程组的系数矩阵通过行初等变换化为最简梯矩阵
????
?
?
?-??→?????? ?
?--??→?????? ?
?-----00
05100
13021
51
05100
3221
15
4
2232132212
1231
31222r r r r r r r r 所以原方程组的同解方程组为
?
??=-=++0
501324342
1x x x x x
即
??
?=--=43
4
215132x x x x x 令???
?
??????
??=???? ??10,0142x x ，得到原方程组的基础解系为 ???
???? ??-=00121α，????
??
? ??-=150132α， 故原方程组的全部解是2211ααηk k +=，这里21,k k 是任意常数。 2．解：对线性方程组的增广矩阵做行初等变换化为最简梯矩阵
????
???
??------→???????
?
?--------=22
5
0066150022500
1131104112210234431211
11311
)(b A ???????
?
?---→00
0000002250011311????
??
?
?
?---→00
00
000000525210051151011
则原方程组的同解方程组为
??
??
?+=++=4
34
21
52
5251511x x x x x 令02=x ，14-=x 得原方程组的特解为
T
T
)1,0,0,2(-=ξ
原方程组对应的齐次方程组的同解方程组为
??
???+=+=4
34
21
52
51x x x x x 其基础解系为
T
T
)0,0,1,1(1=α ，T
)5,2,0,1(2=α 于是原方程组的通解为
221ααξηk k ++=
这里21,k k 为任意常数。
3．解：对线性方程组的增广矩阵做行初等变换化为梯矩阵
?????
??---→????? ?
?----→?????
?
?=λλλλ0
04210
1
101
42
1
04210
1
10124
1
6214
1101)(b A 当0=λ时，32)()(<==b A R A R ，所以线性方程组有解，此时增广矩阵化为
????
?
?
?--→00
04210
1101
)(b A 则原方程组的同解方程组为???+-=-=32
3
1241x x x x ，
令03=x ，得原方程组的特解为 T
T )0,4,1(-=ξ，
原方程组对应的齐次方程组的同解方程组为
???=-=32
312x x x x 其基础解系为 T
T
)1,2,1(-=α
，
于是原方程组的通解为αξηk +=（k 为任意常数）。 4．解：对上述方程组的增广矩阵做行初等变换化为梯矩阵
????
?
??-------+→?????
??+++=232
2
2
220
011101
11111
111
)(λλλλλ
λλλλ
λ
λλλλλλb A ????
?
??-+-+---+→?????
??+------+→12()
3(0
11
1230
11
12
2
2
2
32
2
2
λλλλλλλλλ
λ
λλλλλ
λλλλλ
λ
λ
⑴当30-≠≠λλ且时，3)()(==b A R A R ，方程组有唯一解； ⑵当3-=λ时，3)(,2)(==b A R A R ，方程组无解；
(3)当0=λ时，1)()(==b A R A R ，方程组有无穷多解，此时
)(b A ????
?
?
?→00
00000
0111， 令???
? ?????? ??????
??10,0132分别取x x ，得到原方程组的基础解系为 ????? ??-=0111α，???
?
? ??-=1012α，
故原方程组的通解是2211ααηk k +=，（21,k k 为任意常数）。
四、证明题：
1. 证明：对方程组的增广矩阵做行初等变换化为梯矩阵
?????
??
? ??-----=543211
1
1100001100
00110
00011
)(a a a a a b A （依次将第1，2，3，4行加到第5行上）
?????
???
?
?
?----?→?∑=514321
011000011000011000011n n a a a a a 于是
原方程组有解0)()(5
1
=?
=?∑=n n
a
b A R A R 。
2. 证明：由()R A r =可知，齐次线性方程组0AX =的基础解系包含r n -个解向量。为证结论，只需证10200,,,n r αααααα---- 是0AX =的r n -个解且线性无关。 先证10200,,,n r αααααα---- 是0AX =的r n -个解。由于012,,,,n r
αααα- 是(0)AX b b =≠的1n r -+个解，所以有
b A =0α，b A =1α，b A =2α，……，b A r n =-α
于是有
0)(0101=-=-=-b b A A A αααα 0)(0202=-=-=-b b A A A αααα
…………………………………………
0)(00=-=-=---b b A A A r n r n αααα
所以10200,,,n r αααααα---- 是0AX =的r n -个解。
再证10200,,,n r αααααα---- 线性无关。设存在常数r n k k k -,,,21 ，使得
0)()()(0022011=-++-+---ααααααr n r n k k k ，
整理可得
0)(2211021=+++++++----r n r n r n k k k k k k αααα
由于012,,,,n r αααα- 线性无关，故有r n r n k k k k k k --+++-,,,),(2121 不全为零，于是有r n k k k -,,,21 不全为零，所以10200,,,n r αααααα---- 线性无关。 结论得证。
第五章 方阵的特征值与特征向量
11．填空题：
1．0； 2．36-； 3．6,111?? ? ? ? ???
； 4.4-； 5.ξ1-p .
12．单选题：
1．B ； 2．D ； 3．D ； 4．D ； 5.D .
三、计算题
1．解：因A 的特征多项式
2
2
)1)(1()1)(1(0
1
010
1
0-+=--=---=-λλλλλ
λλ
λA E
所以A 的特征值为11-=λ，132==λλ
当11-=λ时，解方程组0)(=--X A E ，即 ????
? ??=????? ???????
?
?-----00010
1020
101321x x x 得基础解系???
?
?
??-=1011ξ，则属于11-=λ的全体特征向量为11ξk )0(1≠k 。
当132==λλ时，解方程组0)(=-X A E ，即
????
? ??=????? ??????? ?
?--00010
1000101
321x x x 得基础解系????? ??=0102ξ，???
?
?
??=1013ξ，则属于132==λλ的全体特征向量为3322ξξk k + (2k ，
3k 不同时为０)。
2. 解 因A 的特征多项式
线性代数测试试卷及答案
线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；
线性代数期末考试试题
《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα
《线性代数》习题集(含答案)
《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，
（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：
线性代数考试题库及答案(六)
线性代数考试题库及答案 第一部分 客观题（共30分） 一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分） 1. 若行列式11 121321 222331 32 33 a a a a a a d a a a =，则212223 11 121331 32 33 232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d - 2. 设123010111A ?? ? =- ? ??? ，ij M 是A 中元素ij a 的余子式，则313233M M M -+=（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（ ） (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足（ ） (A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是．．n 阶矩阵A 可逆的充要条件为（ ） (A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ?矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，B AC =，则 ( )。 (A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B )
(C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,, ,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是（ ） (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=++ + 成立 (C) 存在一组数12,, s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (D) 对β的线性表达式唯一 8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解，12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解，则（ ） (A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解 9. 设110101011A ?? ? = ? ??? ,则A 的特征值是( )。 (A) 0,1,1 (B) 1,1,2 (C) 1,1,2- (D) 1,1,1- 10. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似，则 ( )。 (A) ()r A n = (B) A 有n 个互不相同的特征值 (C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 必为对称矩阵 二、判断题（共 10小题，每小题1分，共10分 ）注：正确选择A,错误选择B. 11. 设A 和B 为n 阶方阵，则有22()()A B A B A B +-=-。（ ） 12. 当n 为奇数时，n 阶反对称矩阵A 是奇异矩阵。（ ）
线性代数期末考试试卷答案合集
线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。
线性代数试题及答案.
线性代数（试卷一) 一、 填空题(本题总计2０分,每小题2分） 1. 排列76２３451的逆序数是_______。 2． 若 122 21 12 11 =a a a a ,则=1 6 030322211211 a a a a 3。 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =,其中E 为n 阶单位矩阵，则CA B =-1。 4. 若A 为n m ?矩阵,则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 ＿＿＿__＿_＿_ 5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为４，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_ ＿2__＿__＿____＿． ６. 设Ａ为三阶可逆阵,??? ? ? ??=-1230120011 A ，则=*A ７。若Ａ为n m ?矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 ８．已知五阶行列式1 23453 2011 11111 2 1403 54321=D ,则=++++4544434241A A A A A 9。 向量α=(2,1,0,2)T -的模（范数)______________ 。 1０。若()T k 11=α与()T 121-=β正交,则=k
二、选择题（本题总计10分,每小题2分） 1。 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则（D) Ａ.s r = B.s r ≤ C.r s ≤ ? D ．r s < 2. 若A 为三阶方阵,且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A) Ａ.8? B.8- Ｃ． 34?? Ｄ.3 4- 3.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( ｄ ) Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < C.)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ ４. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则 () * kA 等于_____。c )(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1)(D *A 5。 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____. )(A AC AB = 则 C B =)(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)()(D 22))((B A B A B A -=-+ 三、计算题(本题总计60分.１-3每小题８分，4-7每小题９分） １。 计算n 阶行列式22221 =D 22222 22322 2 12 2 2-n n 2 222 ． 2．设A 为三阶矩阵,* A 为A 的伴随矩阵，且2 1= A ，求* A A 2)3(1--. ３．求矩阵的逆 111211120A ?? ?=- ? ???
2010-2011-2线性代数试卷及答案
东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 2010 — 2011学年 第二学期 课程名称：线性代数 （共2页） ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A ， ()3323214,3,32αααααα+-+=B ， 且A 的行列式1||=A ，求矩阵B 的行列式||B . 解 因为()3323214,3,32αααααα+-+=B ＝? ???? ??-413031002),,(321ααα， 所以，24413031002||||=-=A B 分) 设向量组????? ??-=2111α，????? ??=1122α，????? ??=a 213α线性相关，向量 ???? ? ??=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示，求b a ,的值。 解 由于 ????? ??-=b a 1212113121),,,(321βααα????? ??---→62304330312 1b a ? ???? ??-+→210043303121b a 所以，.2,1=-=b a 三分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 2? 2 的子空间，试在 V 上定义内积运算，使V 成为欧几里得空间，并给出V 的一组正交基. 解 由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵，数乘二阶实对称矩阵还是 二阶实对称矩阵，即V 对线性运算封闭，所以V 是R 2? 2 的子空间。 对任意V b b b b B a a a a A ∈??? ? ??=???? ??=2212121122121211,,定义内积：[A,B]=222212121111b a b a b a ++， 显然满足：[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. ???? ??=00011A ,???? ??=01102A ,???? ??=10003A 就是V 的一组正交基. 注：内积和正交基都是不唯一的. 2－1
《线性代数》模拟试卷B及答案
《线性代数》模拟试卷B 及答案 一、选择题（每小题3分，共30分） （1）若A 为4阶矩阵，则3A =（ ） (A) 4A (B) 43A (C) 34A (D)3A （2）设A ，B 为n 阶方阵，0A ≠且0AB =，则（ ） (A)0B = (B)0BA = (C)222()A B A B +=+ (D)00A B ==或 （3）A ，B ，C 均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（ ） (A) AB BA = (B)0,00A B AB ≠≠≠则 (C) AB A B = (D) ,AB AC B C ==若则 （4）222()2A B A AB B +=++成立的充要条件是（ ） (A)AB BA = (B) A E = (C)B E = (D)A B = （5）线性方程组(1)22(1)k x y a x k y b -+=??+-=?有唯一解，则k 为（ ） (A)任意实数 (B) 不等于 (C) 等于 (D) 不等于0 （6）若A 为可逆阵，则1()A *-=（ ） (A)A A (B)A A * (C)1 A A - (D)1 A A -* （7）含有4个未知数的齐次方程组0AX =，如果()1R A =，则它的每个基础解系中解向量的个数为（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
（8）设A 为m n ?矩阵，齐次方程组0AX =仅有零解的充要条件是A 的（ ） (A) 列向量线性无关 (B) 列向量线性相关 (C) 行向量线性无关 (D) 行向量线性相关 （9）已知矩阵A=3111?? ?-?? ,下列向量是A 的特征向量的是（ ） (A)10?? ??? (B)12?? ??? (C)12-?? ??? (D) 11-?? ??? （10）二次型222123123121323(,,)44224f x x x x x x x x x x x x λ=+++-+为正定二次型，则λ 的取值范围是（ ） (A)21λ-<< (B)12λ<< (C)32λ-<<- (D)2λ> 二、计算题（第1、2小题每题5分，第3、4小题每题10分，共30分） 1、计算行列式 4x a a a a x a a D a a x a a a a x = 。（5分） 2、设321A=315323?? ? ? ??? ，求A 的逆-1A 。（5分）
(完整版)线性代数试题和答案(精选版)
线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有 一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵Aの秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（） A.η1+η2是Ax=0の一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=bの一个解
线性代数试题及答案。。
第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）
线性代数模拟试题(4套)
模拟试题一 一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分） 1、若B A ,为n 阶方阵，则B A B A +=+.……………………() 2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆.……………………………() 3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…() 4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………() 5、设A 是n 阶方阵，且0=A ，则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合1、23456. 7、(R 8、若9、设10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为. 三、计算：(每小题8分，共16分) 1、已知4阶行列式1 6 11221212 112401---= D ，求4131211132A A A A +-+.
2、设矩阵A 和B 满足B A E AB +=+2，其中??? ? ? ??=101020101A ，求矩阵B . 四、(10分)求齐次线性方程组???????=++-=-++=--+-=++-024********* 432143214 3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解. 五、(10分)设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为 2六、(10（1（2（3（41. 2、（单 （1）做矩阵53?A 表示2011年工厂i a 产矿石j b 的数量)5,4,3,2,1;3,2,1(==j i ；
（2）通过矩阵运算计算三个工厂在2011年的生产总值. 模拟试题二 一、 判断题（正确的打√，不正确的打?）（每小题2分，共10分） （）1、设,A B 为n 阶方阵，则A B A B +=+； （）2、可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E ； （）3、设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1-r 阶子式必不是零； （）4、若12,x x ξξ==是非齐次线性方程组Ax b =的解，则12x ξξ=+也是该方程组的解. （）5、n 阶对称矩阵一定有n 个线性无关的特征向量。 123、设4、(33α5一； 67、设向量(1,2,1)T α=--，β=()T 2,,2λ-正交，则λ=； 8、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为。 三、计算题（每小题8分，共16分） 1、设矩阵??? ? ??=???? ??--=1201,1141B A ，求矩阵AB 和BA 。
大学线性代数模拟题
第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分，共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。 令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。(知识点：行列式的逆序数) 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D =(1)n D -。 3、设1101A ??= ? ?? , 则100A =110001?? ???。 23111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A = 1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。答案应该为5的n 次方 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+ 江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关 《 线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 阅卷人 一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（ ）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（ ）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（ ） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠； () B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（ ）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（ ）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（ ）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（ ） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同； 2018—2019学年第二学期期末考试 课程名称：线性代数(模拟试卷一) 闭卷 A 卷 120分钟 一、选择填空题：（每题2 分，共14分） 1）行列式3 15 4 12231---中，元素4的代数余子式为 。 2）设行列式11 121321222331 32 33 3a a a a a a a a a =，则313233 2131 2232 233311 12 13 222222222222a a a a a a a a a a a a +++= 。 3）设112311131111A --?? ??=--????--?? ，则A 的秩()r A = 。 4）设向量组 123,,ααα线性无关，则当t =_____ 时，向量组21α-α，32t α-α，13α+α 线性相关。 5）线性方程组121232 343414 1 x x a x x a x x a x x a -=-??-=??-=??-=?有解的充要条件是 。 6）若A 的特征值为1,0,2-，则2 A 的特征值为 。 7) 已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系，12,k k 是任意常数，则方程组Ax b =的通解为 。 二）计算下列行列式（10分） 1110110110110111 ； 三）（12分）设矩阵A 和B 满足关系式2AB A B =+，且已知301110014A ????=?????? ，求矩阵B 。 四）已知向量组[ ]1132 0α=，[]270143α=，[]32101α=-， []45162α=，求该向量组的秩和一个最大无关组，并将剩余向量用该最大无关 组线性表示。（12分） 五）设有线性方程组12312312336 32334x x x x x x x x ax b ++=?? ++=-??-++=? ，问a b 、为何值时，方程组①有唯一解？② 无解？③有无穷多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示）。（12分） 六）（14分） 1、求一正交变换X PY =，将二次型222 123121233322(,,)f x x x x x x x x =+-+化为标 准形。（线性代数A 的同学选做） 2）已知矩阵310130002A -?? ??=-?????? 求一正交矩阵p ，使得T P AP 为对角矩阵。（线性代数 B 的同学选做） 七）设向量组123120347110 ,,,011234b a αααβ???????? ? ? ? ? ? ? ? ?==== ? ? ? ?- ? ? ? ????????? 。 (1) 当,a b 取何值时，β不能由123,,ααα线性表示？ (2) 当,a b 取何值时，β可由123,,ααα线性表示？并写出此表示式。（12分） 八）若矩阵0102040a A b ?? ? = ? ??? 有三个线性无关的特征向量，问a 与b 应满足什么条件？（10 分） 九）已知A 为降秩矩阵，证明：矩阵A 至少有一个特征值为零。（4分） 高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数(经管类)优化试卷（一） 说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式． 一、单项选择题(本大题共10小题。每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分． 1．设A为3阶方阵，且|A|=2，则| 2A-l | ( ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 2．设矩阵A=(1,2),B=，C=,下列矩阵运算中有意义的是( ) A．ACB B．ABC C．BAC D．CBA 3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A．A+A T B．A - A T C．A A T D．A T A 4．设2阶矩阵A= ，则A*= ( ) 5．矩阵的逆矩阵是（） 6．设矩阵A=，则A中( ) A．所有2阶子式都不为零 B．所有2阶子式都为零 C．所有3阶子式都不为零 D．存在一个3阶子式不为零 7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( ) A．A的列向量组线性相关 B．A的列向量组线性无关 C．A的行向量组线性相关 D．A的行向量组线性无关 8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k,k1,k2，方程组的通解可表为( ) 9．矩阵的非零特征值为( ) A．4 B．3 C．2 D．l 10．4元二次型的秩为( ) A．4 B．3 C．2 D．l 二、填空题(本大题共10小题．每小题2分．共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分． 11．若i=1，2，3，则行列式=_________________。 12．设矩阵A= ，则行列式|A T A|=_______________。 13．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为__________________。 14．设矩阵A= ,矩阵B=A – E，则矩阵B的秩r（B）=______________。15．向量空间的维数为_______________。 16．设向量，则向量的内积=_______________。 17．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r（A）=____________。 18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为： ，若方程组无解，则a的取值为___________。19．设3元实二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形式_____________。 20．设矩阵A= 为正定矩阵，则a的取值范围是_______________。三、计算题(本大题共6小题，每小题9分．共54分) 《线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名： 《线性代数A》参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分） 二、填空题（每小题3分，共18分） 1、 256； 2、 132465798?? ? --- ? ???； 3、112 2 112 21122 000?? ?- ? ?-?? ； 4、 ； 5、 4； 6、 2 。 三． 解：因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求1A B -,可利用下列初等行变换的方法： 2312112 01012 010******* 12101 141103311033102321102721 002781 002780 11410 101440 10144001103001103001103---?????? ? ? ? -??→-??→-- ? ? ? ? ? ?--? ?? ?? ?-?????? ? ? ? ??→--??→-??→-- ? ? ? ? ? ??????? ―――――（6分） 所以1 278144103X A B -?? ?==-- ? ??? .―――――（8分） 四．解：对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得： 12345111 4 3111431132102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--???? ? ? ----- ? ? = → ? ? --- ? ? ? ?---???? 11 1 431 2 12011310 1131000000 0000000000 0000--???? ? ? ---- ? ? →→ ? ? ? ? ? ?? ???――――（5分） 从而12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为12,αα，故秩 12345{,,,,}ααααα＝2（8分）线性代数期末考试试题(含答案)
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