高中数学必修五全套学案
§1.1.1 正弦定理
学习目标
1. 掌握正弦定理的内容；
2. 掌握正弦定理的证明方法；
3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．
学习过程
一、课前准备
试验：固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．
思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？
二、新课导学 ※ 学习探究
探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c
C c
==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c
A B C
==
．
(
探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，
有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b
A B
=
， 同理可得sin sin c b
C B
=
， 从而sin sin a b
A B =
sin c C =．
类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.
新知：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即
sin sin a b
A B =
sin c C
=． 试试：
（1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A =
（2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ． [理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；
（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b
C B =
，sin a A =sin c C ． （3）正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A
a B
=；b = ．
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，
如sin sin a
A B b
=；sin C = ．
（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．
※ 典型例题
例1. 在ABC ?中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．
变式：在ABC ?中，已知45B =，60C =，12a =cm ，解三角形．
例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ?===中，求和．
变式：在60,1,,ABC b B c a A C ?==中，求和．
※ 学习小结
1. 正弦定理：
sin sin a b
A B =
sin c C
= 2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义， 还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法. 3．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边；
②已知两边和其中一边的对角．
※ 知识拓展 a b =2c
R ==，其中2R 为外接圆直径.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在ABC ?中，若cos cos A b
B a
=，则ABC ?是（ ）.
A ．等腰三角形
B ．等腰三角形或直角三角形
C ．直角三角形
D ．等边三角形 2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4， 则a ∶b ∶c 等于（ ）.
A ．1∶1∶4
B ．1∶1∶2
C ．1∶1
D ．2∶23. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）. A. A B > B. A B <
C. A ≥B
D. A 、B 的大小关系不能确定
4. 已知?ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．
5. 已知?ABC 中，∠A 60=?，a =
sin sin sin a b c
A B C ++++= ．
1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120?，解此三角形．
2. 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．
§1.1.2 余弦定理
1. 掌握余弦定理的两种表示形式；
2. 证明余弦定理的向量方法；
一、课前准备
复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．
复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45?，C =30?，解此三角形．
思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？
二、新课导学 ※ 探究新知
问题：在ABC ?中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b . ∵AC = ， ∴AC AC ?=
同理可得： 2222cos a b c bc A =+-， 2222cos c a b ab C =+-．
新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．
思考：这个式子中有几个量？
从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论：
222
cos 2b c a A bc
+-=
， ， ． [理解定理]
（1）若C =90?，则cos C = ，这时
222c a b =+
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． （2）余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角．
试试：
（1）△ABC 中，a
=2c =，150B =，求b ．
（2）△ABC中，2
a=，b，1
c，求A．
※典型例题
例1. 在△ABC中，已知a b=，45
B=，求,A C和c．
变式：在△ABC中，若AB，AC＝5，且cos C＝
9
10
，则BC＝________．
例2. 在△ABC中，已知三边长3
a=，4
b=，c=，求三角形的最大内角．变式：在?ABC中，若222
a b c bc
=++，求角A．
※学习小结
1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
2. 余弦定理的应用范围：
①已知三边，求三角；
②已知两边及它们的夹角，求第三边．
※知识拓展
在△ABC中，
若222
a b c
+=，则角C是直角；
若222
a b c
+<，则角C是钝角；
222是锐角．
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 已知a c＝2，B＝150°，则边b的长为（）.
A. B. C.
2
D.
2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）.
A．60B．75C．120D．150
3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）.
A x
<
C．2＜x D．5＜x＜5
4. 在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB与AC的夹角为60°，则|AB－AC|＝________．
5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足
222
b a
c ab
+-=，则∠C等于．
1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cos C＝13
14
，求最大角的余弦值．
2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求AB BC
?的值.
1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；
2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形． 一、课前准备
复习1：在解三角形时
已知三边求角，用 定理；
已知两边和夹角，求第三边，用 定理； 已知两角和一边，用
定理．
复习2：在△ABC 中，已知 A ＝
6
π
，a ＝，b ＝
二、新课导学 ※ 学习探究
探究：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.
① A ＝
6
π
，a ＝25，b ＝
；
② A ＝6
π
，a
，b ＝
③ A ＝6
π
，a ＝50，b ＝
思考：解的个数情况为何会发生变化？
新知：用如下图示分析解的情况（A 为锐角时）．
已知边a,b 和∠A
有两个解
仅有一个解无解
CH=bsinA 试试： 1. 用图示分析（A 为直角时）解的情况？ 2．用图示分析（A 为钝角时）解的情况？ ※ 典型例题 例1. 在?ABC 中，已知80a =，100b =，45A ∠=?，试判断此三角形的解的情况． 变式：在?ABC 中，若1a =，1 2 c =，40C ∠=?，则符合题意的b 的值有_____个． 例2. 在?ABC 中，60A =?，1b =，2c =，求sin sin sin a b c A B C ++++的值． 变式：在?ABC 中，若55a =，16b =，且1 sin 2 ab C =C ． 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）； 2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）； 3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）； 4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）． ※ 知识拓展 在?ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 ：①当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解； ②当A 为锐角时， 如果a ≥b ，那么只有一解； 如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若sin a b A >，则有两解； （2）若sin a b A =，则只有一解； （3）若sin a b A <，则无解． ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2 sin 3 A B =，则a b b +的值=（ ）. A. 13 B. 23 C. 43 D. 5 3 2. 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）. A ．135° B ．90° C ．120° D ．150° 3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）. A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加长度决定 4. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos B ＝ ． 5. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状 ． 1. 在?ABC 中，a xcm =，2b cm =，45B ∠=?，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围． 2. 在?ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且满足222 1sin 24a b c ab C +-=，求角C ． §1.2应用举例—①测量距离学习目标 学习过程 一、课前准备 复习1：在△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝232 +，c＝22，则∠A为. 复习2：在△ABC中，sin A＝sin sin cos cos B C B C + + ，判断三角形的形状. 二、新课导学 ※典型例题 例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=51?，∠ACB=75?. 求A、B两点的距离(精确到0.1m). 提问1：?ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？ 提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？ 分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边， 再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角， 应用正弦定理算出AB边. 新知1：基线 在测量上，根据测量需要适当确定的叫基线. 例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方 法. 分析：这是例1的变式题，研究的是两个的点之间的距离测量问题. 首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点. 根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离. 变式：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠BCA=60°，∠ACD=30°，∠CDB=45°，∠BDA =60°. 练：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？ 三、总结提升 ※学习小结 1. 解斜三角形应用题的一般步骤： （1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. 2．基线的选取： 测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角45?的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P 为切点，一条直角边AC 紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA =5cm ，则球的半径等于（ ）. A ．5cm B ． C ．1)cm D ．6cm 2. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中 心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处 于危险区内的时间为（ ）. A ．0.5小时 B ．1小时 C ．1.5小时 D ．2小时 3. 在ABC ?中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+， 则ABC ?的形状（ ）. A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 4.在ABC ?中，已知4a =，6b =，120C =，则sin A 的值是 ． 5. 一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km ． 1. 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，A 、B 、C 、D 在同一个平面，求两目标A 、B 间的距离. 2. 某船在海面A 处测得灯塔C 与 A 相距且在北偏东30?方向；测得灯塔B 与A 相距且在北偏西75?方向. 船由A 向正北方向航行到D 处，测得灯塔B 在南偏西60?方向. 这时灯塔C 与D 相距多少海里？ §1.2应用举例—②测量高度 学习目标 1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题； 2. 测量中的有关名称. 学习过程 一、课前准备 复习1：在?ABC中，cos5 cos3 A b B a ==，则?ABC的形状是怎样？ 复习2：在?ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若:: a b c=1:1:3，求A:B:C的值. 二、新课导学 ※学习探究 新知：坡度、仰角、俯角、方位角 方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角； 坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角； 仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角. 探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法. 分析：选择基线HG，使H、G、B三点共线， 要求AB，先求AE 在ACE ?中，可测得角，关键求AC 在ACD ?中，可测得角，线段，又有α 故可求得AC ※典型例题 例1. 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α=5440' ?，在塔底C处测得A处的俯角β=501' ?. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m) 例2. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15?的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25?的方向上，仰角为8?，求此山的高度CD. 问题1： 欲求出CD，思考在哪个三角形中研究比较适合呢？ 问题2： 在?BCD中，已知BD或BC都可求出CD，根据条件，易计算出哪条边的长？ 变式：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B在南偏东78°，俯角是45°，试求山高. 三、总结提升 ※ 学习小结 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化. ※ 知识拓展 在湖面上高h 处，测得云之仰角为α，湖中云之影的俯角为β，则云高为sin() sin() h αβαβ+-. ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 在?ABC 中，下列关系中一定成立的是（ ）. A ．sin a b A > B ．sin a b A = C ．sin a b A < D ．sin a b A ≥ 2. 在ABC 中，AB =3，BC AC =4，则边AC 上的高为（ ）. A B C ．32 D ．3. D 、C 、B 在地面同一直线上，DC =100米，从D 、C 两地测得A 的仰角分别为30和45，则A 点离地面的高AB 等于（ ）米． A ．100 B ． C ．501) D ．501) 4. 在地面上C 点，测得一塔塔顶A 和塔基B 的仰角分别是60?和30?，已知塔基B 高出地面20m ，则塔身AB 的高为_________m ． 5. 在?ABC 中，b =2a =，且三角形有两解，则A 的取值范围是 ． 1. 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，则塔AB 的高度为多少m ？ 2. 在平地上有A 、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的南25°西300米的地方，在A 侧山顶的仰角是30°，求山高. §1.2应用举例—③测量角度 学习目标 . 学习过程 一、课前准备 复习1：在ABC △中，已知2c =，3C π=，且1 sin 32 ab C =，求a b ，. 复习2：设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A =60，3c =，求 a c 的值. 二、新课导学 ※ 典型例题 例1. 如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75?的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东32?的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1?，距离精确到0.01n mile) 分析： 首先由三角形的内角和定理求出角∠ABC ， 然后用余弦定理算出AC 边， 再根据正弦定理算出AC 边和AB 边的夹角∠CAB . 例2. 某巡逻艇在A 处发现北偏 东45?相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏 东75?的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？ ※ 动手试试 练1. 甲、乙两船同时从B 点出发，甲船以每小时1)km 的速度向正东航行，乙船以每小时20km 的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A 、C 两点，求A 、C 两点的距离，以及在A 点观察C 点的方向角. 练2. 某渔轮在A 处测得在北45°的C 处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上鱼群？ 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.； 2．已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解. ※ 知识拓展 已知?ABC 的三边长均为有理数，A =3θ，B =2θ，则cos5θ是有理数，还是无理数？ 因为5C πθ=-，由余弦定理知 222 cos 2a b c C ab +-= 为有理数， 所以cos5cos(5)cos C θπθ=--=-为有理数. ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为（ ）. A ．α>β B ．α=β C ．α+β=90 D ．α+β=180 2. 已知两线段2a =，b =a 、b 为边作三角形，则边a 所对的角A 的取值范围是（ ）. A ．(,)63ππ B ．(0,]6 π C ．(0,)2π D ．(0,]4 π 3. 关于x 的方程2 sin 2sin sin 0A x B x C ++=有相等实根，且A 、B 、C 是?的三个内角，则三角形的三边a b c 、、满足（ ）. A ．b ac = B ．a bc = C ．c ab = D ．2b ac = 4. △ABC 中，已知a :b :c ，则此三角形中最大角的度数为 . 5. 在三角形中，已知:A ，a ，b 给出下列说法: (1)若A ≥90°，且a ≤b ，则此三角形不存在 (2)若A ≥90°，则此三角形最多有一解 (3)若A ＜90°，且a =b sin A ，则此三角形为直角三角形，且B =90° (4)当A ＜90°，a (5)当A ＜90°，且b sin A 1. 我舰在敌岛A 南偏西50?相距12海里的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10?的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？ 2. §1.2应用举例—④解三角形 1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题； 2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用； 一、课前准备 复习1：在?ABC 中 （1）若1,120a b B ===?，则A 等于 ． （2）若a =2b =，150C =?，则c = _____． 复习2： 在ABC ?中，a =2b =，150C =?，则高BD = ，三角形面积= ． 二、新课导学 ※ 学习探究 探究：在?ABC 中，边BC 上的高分别记为h a ，那么它如何用已知边和角表示？ h a =b sin C =c sin B 根据以前学过的三角形面积公式S = 1 2 ah ， 代入可以推导出下面的三角形面积公式，S =12 ab sin C ， 或S = ， 同理S = ． 新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半． ※ 典型例题 例1. 在?ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2）： （1）已知a =14.8cm ，c =23.5cm ，B =148.5?； （2）已知B =62.7?，C =65.8?，b =3.16cm ； （3）已知三边的长分别为a =41.4cm ，b =27.3cm ， c =38.7cm ． 变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m ，88m ，127m ，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm 2） 例2. 在?ABC中，求证： （1） 2222 22 sin sin sin a b A B c C ++ =； （2）2a+2b+2c=2（bc cos A+ca cos B+ab cos C）． 小结：证明三角形中恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”． ※动手试试 练1. 在?ABC中，已知28 a cm =，33 c cm =，45 B=，则?ABC的面积是． 练2. 在?ABC中，求证： 22 (cos cos) c a B b A a b -=-． 三、总结提升 ※学习小结 1. 三角形面积公式： S=1 2 ab sin C= = ． 2. 证明三角形中的简单的恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．※知识拓展 三角形面积S= 这里 1 () p a b c =++，这就是著名的海伦公式． ※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. 数列 1．1数列的概念 预习课本P3～6，思考并完成以下问题 (1)什么是数列？数列的项指什么？ (2)数列的一般表示形式是什么？ (3)按项数的多少，数列可分为哪两类？ (4)数列的通项公式是什么？数列的通项公式与函数解析式有什么关系？ [新知初探] 1．数列的概念 (1)定义：按一定次序排列的一列数叫作数列． (2)项：数列中的每一个数叫作这个数列的项． (3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n…，简记为数列{a n}．数列的第1项a1，也称首项；a n是数列的第n项，也叫数列的通项． [点睛] (1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定次序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定次序”排列的，即确定的数在确定的位置． (2)项a n与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次． (3){a n}与a n是不同概念：{a n}表示数列a1，a2，a3，…，a n，…；而a n表示数列{a n}中的第n 项． 2．数列的分类 项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列． 3．数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作数列{a n }的通项公式． [点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N ＋或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数解析式． (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 4．数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种：列表法、图像法、解析法． [小试身手] 1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)同一数列的任意两项均不可能相同．( ) (2)数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．( ) (3)数列中的每一项都与它的序号有关．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1－(－1)n ＋1 2，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1 C.12，0，1 2 ，0 D ．2,0,2,0 解析：选B 把n ＝1,2,3,4分别代入a n ＝1－(－1)n ＋ 12中，依次得到0,1,0,1. 3．已知数列{a n }中，a n ＝2n ＋1，那么a 2n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．4n －1 C ．4n ＋1 D ．4n 解析：选C ∵a n ＝2n ＋1，∴a 2n ＝2(2n )＋1＝4n ＋1. 4．数列1,3,6,10，x,21，…中，x 的值是( ) A ．12 B ．13 C ．15 D ．16 解析：选C ∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4， ∴? ???? x －10＝5，21－x ＝6，∴x ＝15. [典例] (1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3；(3)0,1,2,3,4，…； (4)1，－1,1，－1,1，－1，…；(5)6,6,6,6,6. [解] (1)是集合，不是数列； 教学资料范本 【2020最新】人教版高中数学必修三学案：1 编辑：__________________ 时间：__________________ 【学习目标】 ①知识目标：理解书中介绍的中国古代的三个问题的算法。 ②能力目标：通过算法的Scilab 程序，使学生初步具备编程能力的思想。 ③情感目标：通过阅读教材和了解算法思想，体验中国古代数学的伟大，培养学生的爱国之情。 【自主学习】 1、 求两个数的最大公约数的方法有两种，分别是_________________和_______________。 2、 所谓“割圆术”，是用____________________去无限逼近圆周并以此求___________的方法。 3、 阅读教材p36页《我国古代数学家秦九韶》，理解秦九韶算法的步骤。 【典例分析】 例1 求132与143的最大公约数。 跟踪练习 求下列两个数的最大公约数：（1）8251，6105 （2）1480，480 例 2 用秦九韶算法求多项式在x=2时的函数值。 143)(2367+-+-=x x x x x f 【快乐体验】 一、选择题 1.用秦九韶算法求多项式在=－1.3的值时，令；； …；时，的值 为（ ） 654322.5666.38.135.02)(x x x x x x x f +-+-++=x 60a v =501a x v v +=056a x v v +=5v A.－9.8205 B.14.25 C.－22.445 D.30.9785 2.数4557、1953、5115的最大公约数是（ ） A.31 B.93 C.217 D.651 二、解答题 3.用等值算法求下列各数的最大公约数. （1）63，84； （2）351，513. 4.用辗转相除法求下列各数的最大公约数. （1）5207，8323； （2）5671， 10759. 5.求三个数779，209，589的最大公约数. 6.用秦九韶算法求多项式在时的值. 5365127)(2345-+--+=x x x x x x f 7=x 【反思回顾】 总结今天这节课的内容，你收获了哪些思想方法？ 高中数学必修5知识点 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径， 则有 2sin sin sin a b c R A B C ===． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；（边化角） ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =；（角化边） ③::sin :sin :sin a b c A B C =； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C ++=== ++． 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc A ab C ac B ?AB ===． 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+-， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边， 则：①若222 a b c +=，则90C =；（.C A B C ?? 为直角为直角三角形） ②若2 2 2 a b c +>，则90C <；（.C A B C ??为锐角不一定是锐角三角形） ③若2 2 2 a b c +<，则90C >．（.C A B C ?? 为钝角为钝角三角形） 注：在C ?AB 中，则有 （1）A B C π++=，sin 0,sin 0,sin 0A B C >>>（正弦值都大于0） （2）,,.a b c a c b b c a +>+>+>（两边之和大于第三边） （3）sin sin A B A B a b >?>?>（大角对大边，大边对大角） 7、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +-> 8、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-< 9、常数列：各项相等的数列．11,.n n a a S na == 10、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 11、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 12、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．11()n n n n a a d a a d -+-=-= 13、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2 a c b += ，则 高中数学必修五综合测 试题 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） 高中数学必修五综合测试题 1、已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1-a n +1=0，(n ∈N)，则此数列的通项a n 等于 ( ) A ．n 2+1 B ．n+1 C ．1-n D ．3-n 2、三个数a ，b ，c 既是等差数列，又是等比数列，则a ，b ，c 间的关系为( ) A ．b-a=c-b B ．b 2=ac C ．a=b=c D ．a=b=c ≠0 3、若b<0 C ．a +c 必修五解三角形测试题答案 一、选择题：共8小题，每小题5分，共计40分 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．______________14/5___________ 10．_2___ 11． __________2_ 12．_______ 90_______ 13． ___________ 120 14．__不用做___）），（），（（321_____ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.解:(1)在ABC ?中,由 cos A =,可得sin A =,又由s i n s i n a c A C =及 2a =,c =可得sin C = 由2 2 2 2 2cos 20a b c bc A b b =+-?+-=,因为0b >,故解得1b =. 所以sin 1C b = = (2)由cos 4A =- sin 4 A =, 得2 3cos 22cos 14A A =-=- ,sin 2sin cos A A A == 所以3cos(2)cos 2cos sin 2sin 3 3 3 8 A A A π π π -+ =-= 16.解:(I)由已知得:sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=, sin sin()sin sin B A C A C +=,则2sin sin sin B A C =, 再由正弦定理可得:2b ac =,所以,,a b c 成等比数列. (II)若1,2a c ==,则2 2b ac ==,∴2223 cos 24 a c b B a c +-==, sin C == , ∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B = =??=. 17. 【解析】(Ⅰ),,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈?+=> 2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+= 1cos 23 A A π?= ?= (II)2 2 2 2 2 2 2cos 2 a b c bc A a b a c B π =+-?==+?= 在Rt ABD ?中,AD = == 18. 【解析】 解:(1)证明:由 sin( )sin()44 b C c B a π π +-+=及正弦定理得: sin sin()sin sin()sin 44 B C C B A ππ +-+=, 即sin )sin )B C C C B B -+= 整理得:sin cos cos sin 1B C B C -=,所以sin()1B C -=,又30,4 B C π << 所以2 B C π -= (2) 由(1)及34B C π+=可得5,88B C ππ= =,又,4 A a π ==所以sin 5sin 2sin ,2sin sin 8sin 8 a B a C b c A A ππ = ===, 所以三角形ABC 的面积 151 sin sin cos 2888842 bc A πππππ===== 19.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质. 解析:(Ⅰ)因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+?+ cos22x x ωωλ=-+π 2sin(2)6 x ωλ=-+. 【高二数学学案】 §1.1 正弦定理和余弦定理 第一课时 正弦定理 一、1、基础知识 设?ABC 的三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，R 是?ABC 的外接圆半径。 （1）正弦定理： = = =2R 。 （2）正弦定理的三种变形形式： ①==b A R a ,sin 2 ，c= 。 ②== B R a A sin ,2sin ，=C sin 。 ③=c b a :: 。 （3）三角形中常见结论： ①A+B+C= 。②a B sin ，则有（ ） A 、a b D 、a ，b 的大小无法确定 （2）在ABC ?中，A=30°，C=105°，b=8，则a 等于（ ） A 、4 B 、24 C 、34 D 、54 （3）已知ABC ?的三边分别为c b a ,,，且a b B A :cos :cos =，则ABC ?是 三角形。 二、例题 例1、根据下列条件，解ABC ?： （1）已知 30,7,5.3===B c b ，求C 、A 、a ； （2）已知B=30°，2=b ，c=2，求C 、A 、a ； （3）已知b=6，c=9，B=45°，求C 、A 、a 。 例2、在ABC ?中，C B C B A cos cos sin sin sin ++= ，试判断ABC ?的形状。 三、练习 1、在ABC ?中，若B b A a cos cos =，求证：ABC ?是等腰三角形或直角三角形。 2、在ABC ?中，5:3:1::=c b a ，求 C B A sin sin sin 2-的值。 四、课后练习 1、在ABC ?中，下列等式总能成立的是（ ） A 、A c C a cos cos = B 、A c C b sin sin = C 、B bc C ab sin sin = D 、A c C a sin sin = 2、在ABC ?中， 120,3,5===C b a ，则B A sin :sin 的值是（ ） A 、 35 B 、53 C 、73 D 、7 5 3、在ABC ?中，已知 60,8==B a ，C=75°，则b 等于（ ） A 、24 B 、34 C 、64 D 、3 32 4、在ABC ?中，A=60°，24,34==b a ，则角B 等于（ ） A 、45°或135° B 、135° C 、45° D 、以上答案都不对 5、根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） §3.3 几何概型 课前预习案 教材助读 预习教材P135-P136，完成以下问题。 几何概型的两个特点：（1）________________性，（2）_________________性. 课内探究案 一、新课导学 1.模拟方法：通常借助____________来估计某些随机事件发生的概率。用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验，对于某些无法确切知道概率的问题，模拟方法能帮助我们得到其概率的近似值。 2.几何概型： （1）向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在的概率与G1的成正比，而与G的、无关，即P(点M落在G1) = ,则称这种模型为几何概型。 （2）几何概型中G也可以是或的有限区域，相应的概率是或 。 二、合作探究 探究1：飞镖游戏：如图所示，规定射中红色区域表示中奖。 问题1：各个圆盘的中奖概率各是多少？ 问题2：在区间[0，9]上任取一个整数，恰好取在区间[0，3]上的概率为多少？ 问题3：在区间[0，9]上任取一个实数，恰好取在区间[0，3]上的概率为多少？ 新知1：几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的______________，____________或______________，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。几何概型的两个特点：（1）_______________性，（2）_________________性. 几何概型概率计算公式： P(A)=____________________________________ ※ 典型例题 例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率. 例2 如图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆，则图1、图2落到阴影部分的概率分别为 ___________，__________. 例2、（选讲）在区间[-1,1]上任取两个数，则 （1）求这两个数的平方和不大于1的概率； （2）求这两个数的差的绝对值不大于1的概率。 例3 取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都大于1米的概率是_______. 三、当堂检测 1、平面上画了一些彼此相距a 2的平行线，把一枚半径为)(a r r 的硬币任意掷在这平面上 《必修五 知识点总结》 第一章：解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于180°； （2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+= （3）三角形中大边对大角，小边对小角； （4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换 （1）角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列. 绝密★启用前 高中数学必修五综合考试卷 第I卷（选择题） 一、单选题 1．数列的一个通项公式是（） A．B． C．D． 2．不等式的解集是（） A．B．C．D． 3．若变量满足，则的最小值是（） A．B．C．D．4 4．在实数等比数列{a n}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于( ) A．8B．－8C．±8D．以上都不对 5．己知数列为正项等比数列，且，则（）A．1B．2C．3D．4 6．数列 1111 1,2,3,4, 24816 L前n项的和为（） A． 2 1 22 n n n + +B． 2 1 1 22 n n n + -++C． 2 1 22 n n n + -+D． 2 1 1 22 n n n + - -+ 7．若的三边长成公差为的等差数列，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为（） A．B．C．D． 8．在△ABC中，已知,则B等于( ) A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120° 9．下列命题中正确的是( ) A．a＞b?ac2＞bc2B．a＞b?a2＞b2 C．a＞b?a3＞b3D．a2＞b2?a＞b 10．满足条件，的的个数是( ) A．1个B．2个C．无数个D．不存在 11．已知函数满足：则应满足（）A．B．C．D． 12．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，且成等比数列，则为（）A．-2B．-3C．2D．3 13．等差数列的前10项和，则等于（） A．3 B．6 C．9 D．10 14．等差数列的前项和分别为，若，则的值为（）A．B．C．D． 第II卷（非选择题） 二、填空题 15．已知为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公差= 16．在中，，，面积为，则边长=_________. 17．已知中，，，，则面积为_________. 18．若数列的前n项和，则的通项公式____________ 19．直线下方的平面区域用不等式表示为________________． 20．函数的最小值是_____________． 21．已知，且，则的最小值是______． 三、解答题 22．解一元二次不等式 （1）（2） 23．△的角、、的对边分别是、、。 （1）求边上的中线的长； 2016-2017学年高中数学必修五 全册导学案及章节检测 目 录 1．1.1 正弦定理(一) ............................................................................................................. 1 1.1.1 正弦定理(二) ................................................................................................................ 5 1．1.2 余弦定理(一) ............................................................................................................. 9 1．1.2 余弦定理(二) ........................................................................................................... 13 1.2 应用举例(一) ................................................................................................................. 18 1.2 应用举例(二) ................................................................................................................. 24 第一章 解三角形章末复习课 ............................................................................................... 30 第一章 解三角形章末检测（A ） ........................................................................................ 35 第一章 解三角形章末检测（B ） ........................................................................................ 42 2.1 数列的概念与简单表示法(一) ................................................................................... 50 2.1 数列的概念与简单表示法(二) ................................................................................... 54 2.2 等差数列(一) ............................................................................................................... 59 2.2 等差数列(二) ............................................................................................................... 63 2.3 等差数列的前n 项和(一) ........................................................................................... 67 2.4 等比数列(一) ............................................................................................................... 76 2.4 等比数列(二) ............................................................................................................... 80 2.5 等比数列的前n 项和(二) ........................................................................................... 88 数列复习课检测试题 ............................................................................................................. 93 数列习题课（1）检测试题 ................................................................................................... 98 数列习题课（2）新人教A 版必修5 .................................................................................. 102 数列章末检测（A ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 106 数列章末检测（B ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 112 第二章 数 列 章末检测(B) 答案 ............................................................................. 115 3.1 不等关系与不等式 ...................................................................................................... 120 3.2 一元二次不等式及其解法(一) ................................................................................... 125 3.2 一元二次不等式及其解法(二) ................................................................................... 130 3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 ......................................................................... 134 3．3.2 简单的线性规划问题(一) . (140) 3．3.2 简单的线性规划问题(二) (146) 3.4 ≤a ＋b 2(二) (157) 第三章 不等式复习课 ......................................................................................................... 161 第三章 不等式章末检测（A ） .......................................................................................... 167 第三章 不等式章末检测（B ） (174) 高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 高中数学必修五基本不等式：ab≤a＋b 2（学案） 学习目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)． [自主预习·探新知] 1．重要不等式 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)． 思考：如果a>0，b>0，用a，b分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？ [提示]a＋b≥2ab. 2．基本不等式：ab≤a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a，b均为正实数； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 思考：不等式a2＋b2≥2ab与ab≤a＋b 2成立的条件相同吗？如果不同各是 什么？ [提示]不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；ab≤a＋b 2成立的条件 是a，b均为正实数． 3．算术平均数与几何平均数 (1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b 2，几何平均数为 (2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 思考：a＋b 2≥ab与? ? ? ? ? a＋b 2 2 ≥ab是等价的吗？ [提示]不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R. 4．用基本不等式求最值的结论 (1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝s 2时，积xy有最 小值为2xy . (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y ＝p 时，和x ＋y 有最大值为(x ＋y )2 4. 5．基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数． (2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． 思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？ [提示] 三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值． [基础自测] 1．思考辨析 (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)对任意的a ，b ∈R ，若a 与b 的和为定值，则ab 有最大值．( ) (3)若xy ＝4，则x ＋y 的最小值为4.( ) (4)函数f (x )＝x 2 ＋2 x 2＋1 的最小值为22－1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________. 400 [因为x ，y 都是正数， 且x ＋y ＝40，所以xy ≤? ???? x ＋y 22 ＝400，当且仅当x ＝y ＝20时取等号．] 3．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 16 [设一边长为x m ，则另一边长可表示为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤? ???? x ＋8－x 22 ＝16，当且仅当x ＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4 m 时面积取到最大值16 m 2.] 第一章三角函数 [基础自学] 一、角的概念 1．角的概念 (1)角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． (2)角的表示 顶点：用O表示； 始边：用OA表示，用语言可表示为角的始边； 终边：用OB表示，用语言可表示为角的终边． 2．角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类： 1．象限角：若角的顶点在原点，角的始边与x轴非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角． 2．轴线角：若角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限． 三、终边相同的角 设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．[自我小测] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．() (2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．() (3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．() 提示：(1)×(2)√(3)× 2．做一做 (1)下列各组角中，终边不相同的是() A．60°与－300°B．230°与950° C．1050°与－300°D．－1000°与80° 答案 C (2)将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________． 答案195°＋(－3)×360° 课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU 1 终边相同的角之间有什么关系？ 提示：与α终边相同的角，可表示为β＝k·360°＋α(k∈Z)，即两角相差360°的整数倍． 2 如何表示终边在坐标轴上的角和象限角？ 提示：终边在x轴非负半轴上的角：α＝k·360°(k∈Z)； 终边在y轴上的角：α＝90°＋k·180°(k∈Z)； 第二象限角：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)． 题型一正确理解角的概念 例1下列结论： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③第二象限角是钝角； ④小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确的序号为________(把正确结论的序号都写上)． [解析]①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确； ②－330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确； ③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确； ④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确． [答案]① 角的概念的理解 正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、 [高中数学必修三知识点总结]高中数学必修5知识点总结 【--高中生入党申请书】 数学是高中生学习的最重要科目之一，数学的学习对于学生而言至关重要，数学成绩的好坏直接决定着你的总成绩的排名。下面就让给大家分享一些高中数学必修5知识点总结吧，希望能对你有帮助! 高中数学必修5知识点总结篇一 高中数学(文)包含5本必修、2本选修，(理)包含5本必修、3本选修，每学期学**两本书。 必修一：1、集合与函数的概念(这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解) 必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角 这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。这部分知识高考占22---27分 2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题 3、圆方程： 必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填 空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分 必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查 2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。09年理科占到5分，文科占到13分 必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。高考必考5分)不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。 高中数学必修5知识点总结篇二 1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用北师大版高中数学必修五教学案
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