数列求和方法汇编及典题训练

数列求和方法汇编及典

题训练

Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

数列求和方法汇编

【教学目标】 一、知识目标

1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；

2．能运用倒序相加、错位相减、裂项相消等重要的数学方法进行求和运算； 3．熟记一些常用的数列的和的公式．

二、能力目标培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识，渗透运用定义、分类讨论、转化与化归等数学思想．

三、情感目标

通过数列求和的学习，培养学生的严谨的思维品质，使学生体会知识之间的联系和差异，激发学生的学习兴趣． 【教学重点】

1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； 【教学难点】

错位相减法、裂项相消法的应用 【知识点梳理】

1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

（2）等比数列的求和公式???

??≠--==)

1(1)1()1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论）

2．公式法： 222221(1)(21)

1236

n

k n n n k n =++=+++

+=

∑

3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积

构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．

比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++

4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，

从而求得其和． 常见拆项公式：

1

1

1)1(1+-=+n n n n ；

5．分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列

相加或相减组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．

6．并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如

a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．

例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.

7．倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或

等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．

8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法，导数法等 【典型例题】 题型一、公式法求和

例题1：已知数列{a n }是首项a 1＝4，公比q ≠1的等比数列，S n 是其前n 项和，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列． (1)求公比q 的值；

(2)求T n ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 的值． 【解析】(1)由题意得2a 5＝4a 1－2a 3.

∵{a n }是等比数列且a 1＝4，公比q ≠1， ∴2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，∴q 4＋q 2－2＝0，

解得q 2＝－2(舍去)或q 2＝1，∴q ＝－1.

(2)∵a 2，a 4，a 6，…，a 2n 是首项为a 2＝4×(－1)＝－4，公比为q 2＝1

的等比数列，∴T n ＝na 2＝－4n .

【点评】应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式．

变式1：已知数列{}n a 满足214+-=n a n ， （1）证明{}n a 是等差数列； （2）求n a a a a ++++ 321．

{}{}n 12121212125614(1),17-421

2=04

6>0,6<0,S (17+(-4n+21))n

6n(19-2n)

2

6(n n n n n n n

n n n a n a a a n n a n a a a a n a a a a a a n a a a a a a a -=-≥∴=∴<≥=++???+∴<++???+=++???+=

=≥++???+=++???+-+n+1解： （）a 是以为首项，公差为的等差数列（）显然是递减数列，令，得当时，当时，设当时,当时,72555)

()221990

n n n a a S S S S S n n +???+=--=-=-+【点评】对于等差数列的绝对值的求和，我们一般是转化为分段求和来解决 题型二、分组求和

例题2：求和：①

个

n n S 111111111++++= ②22222)1()1()1(n n n x

x x x x x S ++++++=

【解析】：①)110(9110101011112-=++++==k k k k a 个

②)21()21()21(224422+++++++++

=n

n

n x x x x x x S （1）当1±≠x 时，n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2)1()

1)(1(21)1(1)1(2

2222222222+-+-=+--+--=+--- （2）当n S x n 4,1=±=时

【点评】：1、通过分组，直接用公式求和。

2、运用等比数列前n 项和公式时，要注意公比11≠=q q 或讨论。

变式2：已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且

x 1，x 4，x 5成等差数列．求：

(1)p ，q 的值；(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．

【解析】 (1)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，又因为x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1

＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，解得p ＝1，q ＝1.

(2)由(1)，知x n ＝2n

＋n ，所以S n ＝(2＋22

＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2

n ＋1

－2＋

nn ＋1

2

.

【点评】 对于不能由等差数列、等比数列的前n 项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和．

题型三、裂项相消法求和

例题3 ：数列{}n a 的通项公式为1

(1)

n a n n =+，求它的前n 项和n S

【解析】：1231n n n S a a a a a -=+++

++

=111111

11112233411n n n n ??????

????-+-+-+

+-+- ? ? ? ? ?-+??????????

【点评】：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.

变式3：求和)12)(12()2(5343122

22+-++?+?=

n n n S n

【解析】)1

21

121(211)12)(12(11)12)(12(11)2()12)(12()2(22+--+=+-+=+-+-=+-=

k k k k k k k k k k a k 变式4在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2

a n ·a n ＋1

，求数列{b n }的前n 项和S n . 【解析】 a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n

n ＋1

＝

1＋2＋…＋n n ＋1＝nn ＋12n ＋1＝n 2

.

∴b n ＝

2a n ·a n ＋1＝2n 2·n ＋12

＝8

nn ＋1

＝8? ??

??1n －

1n ＋1.

∴S n ＝8??????? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ????1n －1n ＋1 ＝8?

????1－1n ＋1＝8n n ＋1. 变式5等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =．

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()

25

2123n n n b a n n +=

++，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，有

45323

224,22.

a a a a a +?=

???=?即3452322,2.a a a a a =+???=??所以234

111222

112,2.a q a q a q a q a q ?=+??=??由于10a ≠，0q ≠ ，解之得11,21.2

a q ?=????=??或1

1,21.a q ?=??

?=-? 又10,0a q >>，所以111,22a q ==，所以数列{}n a 的通项公式为12n

n a ??

= ?

??

（*n ∈N ）．

（2）解：由（1），得()()252123n n n b a n n +=

?++()()251

21232

n n n n +=?++．

所以2

1121232

n n b n n ??=-? ?++??

111

(21)2(23)2n n

n n -=

-++．

所以12n n S b b b =++

+

()11

3232n

n =-

+． 故数列{}n b 的前n 项和()11

3232

n n

S n =-+．

【点评】有时候需要根据实际情况自己去拼凑。 题型四、错位相减法求和

例题4：已知数列)0()12(,,5,3,112≠--a a n a a n ，求前n 项和。 【解析】()1)12(53112--++++=n n a n a a S

()2)12(5332n

n a n a a a aS -++++=

当n

n n n a a a S a a )12()1()1(21)1(,121----+=-≠-时 21)1()12()12(1a a n a n a S n n n --++-+=

+ 当2,1n S a n ==时

【点评】1、已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列120,,,,-n a a a a 对应项积，可用错位相减法求和。

2、运用等比数列前n 项和公式时，要注意公比11≠=q q 或讨论。

3、错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列{}n c 的公比q ；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和的公式求和. 变式5已知 12n n a n -=?，求数列｛a n ｝的前n 项和S n . 【解析】01211222(1)22n n n

S n n --=+++-+ ①

12121222(1)22n n n S n n -=++

+-+ ②

②—①得

【点评】注意识别数列形式，运用相应的方法 题型五、倒序相加法求和

例题5：求证：n n

n n n n

n C n C C C 2)1()12(53210+=+++++ 【解析】令)1()12(53210n n n n n

n C n C C C S +++++=

则)2(35)12()12(0121n n n n n n n

n C C C C n C n S ++++-++=- m

n n m n C C -=

n n

n n n n n n C C C C n S 2)1(])[1(210?+=+++++=∴ 等式成立

【点评】解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.

变式6：已知函数()

x f x =

（1）证明：()()11f x f x +-=；

（2）求128910101010f f f f ??

??????

+

+++

? ? ? ?????????

的值. 【解析】： 两式相加得：

192991010S f f ?

?

????=?+= ? ?

???????

所以92S =.

题型六、并项求和

例6：S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12

【解析】S n ＝1002

－992

＋982

－972

＋…＋22

－12

＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.

【点评】一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．

题型七、其它求和方法（归纳猜想法，奇偶法等供参考） 例7：已知数列{}n n n n S n a a 求],)1([2,---=。

【解析】：n

n n a )1(22-+-=，若∑=-+++++-===m

k k m n m S S m n 21

2)1(2)2321(2,2 则

若

)12(22)12(])1(2[22)12(,1222212-++-=--++-=-==-=-m m m m m m a S S S m n m m m m n 则

【点评】：n n n a )1(22---=，通过分组，对n 分奇偶讨论求和。

变式7：已知数列{}n a 的通项65()

2

()n n n n a n -?=??为奇数为偶数，求其前n 项和n S ．

【解析】：奇数项组成以11a =为首项，公差为12的等差数列，

偶数项组成以24a =为首项，公比为4的等比数列；

当n 为奇数时，奇数项有12n +项，偶数项有1

2

n -项，

∴1

121(165)

4(14)(1)(32)4(21)221423

n n n n n n n S --++--+--=+=+

-， 当n 为偶数时，奇数项和偶数项分别有2

n

项，

∴2(165)

4(14)(32)4(21)221423

n n n n n n n S +----=+=+

-，

所以，1(1)(32)4(21)

()23

(32)4(21)()

23n n n

n n n S n n n -?+--+??=?--?+??

为奇数为偶数

例8：借助导数求和 【解析】'

112'

2

1(1)()()1(1)n n n n n x x n x nx p x x x x x x ++??--++=++

== ?--??

【点评】本题可以用错位相减法完成，用导数法求和也可以。

变式8：借助导数求和123

23n

n

n n n C C C nC ++++

【解析】由二项式定理0122(1)n n n

n n n n x C C x C x C x +=+++。

求导得()

1

1232

1

123n n n n n n n n x C C x C x nC x --+=++++，令1x =

得123

1232n

n n n n n C C C nC n -++++=?

【方法与技巧总结】

1 数列求和需注意方法的选取：关键是看数列的通项公式，根据通项选择适当的方法； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 【巩固练习】

1．求下列数列的前n 项和n S ：

（1）5，55，555，5555，…，5

(101)9

n -，…；

（2）

1111,,,,,132435(2)

n n

???+； （3）n a =

（4）23,2,3,,,n a a a na ；

（5）13,24,35,,(2),n n ???+；

（6）2222sin 1sin 2sin 3sin 89+++

+． （7）1，? ????1＋12，? ????1＋12＋14，…，? ?

?

??1＋12＋14＋…＋12n －1 2、已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .

3、已知等差数列{}24,742-=-=S a a n 满足，求n a a a a +???+++321．

4、设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，

5313a b +=．

（I ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；

（II ）求数列n n a b ??

????的前n 项和n S ．

5、已知，求

（1）； （2）．

【课后作业】

1.等比数列{}n a 的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则2

232221n

a a a a ++++ ＝________________. 2.设1357(1)(21)n n S n =-+-+-+--，则n S ＝_______________________.

3.

11

1

1447

(32)(31)

n n +++

=??-?+ .

4.

1111...243546(1)(3)

n n ++++???++=__________ 5. 数列2211,(12),(122),,(1222),

n -++++++

+的通项公式n a = ，前n 项和n S =

6 ;,2

1

2,,25,23,2132 n n -的前n 项和为_________

7、在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n

? ??

??

S n －12. (1)求S n 的表达式；

(2)设b n ＝S n

2n ＋1

，求{b n }的前n 项和T n .

8、已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)求数列????

??

a n 2n －1的前n 项和．

9,、

设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1

a n ＝n

3

，n ∈N *.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝n

a n

，求数列{b n }的前n 项和S n .

10、已知数列{}n a 的通项为：???=为奇数，为偶数

n n n a n n 2,，求数列{}n a 的前n 项和S n ．

11、

．

求证：（1）点P 的纵坐标为定值；

，

．

【拓展训练】

1．数列{a n }满足：a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有：a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则

=++++2008

3211111a a a a ( ) A ．

2009

4016

B ．

2009

2008

C ．

1004

2007

D ．

2008

2007

2．数列{a n }、{b n }都是公差为1的等差数列，若其首项满足a 1＋b 1＝5，a 1＞b 1，

且a 1，b 1∈N *，则数列{n

b a }前10项的和等于 ( )

A ．100

B ．85

C ．70

D ．55

3．设m =1×2+2×3+3×4+…+(n -1)·n ，则m 等于 ( )

A.3)1(2-n n 21(n +4) 21(n +5) 2

1(n +7)

4．若S n =1-2+3-4+…+(-1)n -1·n ，则S 17+S 33＋Ｓ50等于 ( )

5．设{a n }为等比数列,{b n }为等差数列，且b 1=0,c n =a n +b n ,若数列{c n }是1,1,2,…,则{c n }的前10项和为 ( )

6．1002-992+982-972+…+22-12

的值是 ( )

7．一个有2001项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 .

8．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c = .

9、已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比q ＝14的等比数列，设b n ＋2＝3log 1

4a n (n ∈N *)，数

列{c n }满足c n ＝a n ·b n . (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{c n }的前n 项和S n .

10、设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1

a n ＝n

3

，n ∈N *.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝n

a n

，求数列{b n }的前n 项和S n .

11、已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＞0，且其第二项、第五项、第十四

项分别是等比数列{b n }的第二、三、四项． (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }对任意自然数n 均有133

2211+=++++n n

n a b c b c b c b c 成立． 求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2003的值．

12、已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n =2an +(-1)n ,n ≥1.

(1)求证数列{a n +3

2

(-1)n }是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对任意的整数m >4,有

.8

711154<+++m a a a 13、已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设11n n n b a a +=

，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20

n m

T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；

【参考答案】

巩固练习答案

1、解：（1）55555555

5n n S =+++

+个

5

(99999999

9)9n =++++个

235

505

[10101010](101)9819n n n n =++++-=--．

（2）∵

1111

()(2)22n n n n =-++， ∴11111111[(1)()()()]2324352n S n n =-+-+-++-+1

111

(1)2212

n n =+--++．

（3

）∵n a

===

∴

1n S n =

+++1)(1n =++++1=． （4）2323n n S a a a na =++++，

当1a =时，123n S =+++ (1)

2

n n n ++=，

当1a ≠时，2323n S a a a =+++…n na + ，

23423n aS a a a =+++…1n na ++，

两式相减得 23(1)n a S a a a -=+++ (1)

1(1)1n n n n a a a na

na a

++-+-=--，

∴212

(1)(1)n n n na n a a

S a ++-++=-．

（5）∵2(2)2n n n n +=+，

∴ 原式222(123=+++…2)2(123n ++?+++…)n +(1)(27)

6

n n n ++=

．

（6）设2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =+++

+， 又∵2222sin 89sin 88sin 87sin 1S =+++

+， ∴ 289S =，89

2

S =．

（7） 和式中第k 项为

a k ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝1－? ??

?

?12k 1－12＝2?

????1－12k .

∴S n ＝2??????? ????1－12＋? ????1－122＋…＋? ?

???1－12n

＝2??????1＋1＋…＋1n 个－? ????12＋1

22＋ (12)

＝2?

???????n －12? ????

1－12n

1－12＝

12n －1

＋2n －2

2、(1)设{a n }的公差为d ，则由已知得 ??

?

a 1＋a 2＋a 3＝6，

a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4，

即??

?

3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，

解得a 1＝3，d ＝－1，故a n ＝3－(n －1)＝4－n . (2)由(1)知，b n ＝n ·q n －1，

于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1， 若q ≠1，上式两边同乘以q .

qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n ， 两式相减得：(1－q )S n ＝1＋q 1＋q 2＋…＋q n －1－n ·q n ＝1－q n 1－q

－n ·q n . ∴S n ＝1－q n 1－q 2－n ·q n 1－q ＝n ·q n ＋1－n ＋1q n ＋11－q 2.

若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝

nn ＋12

，

∴S n

＝?

??

??

nn ＋12 q ＝1，nq n ＋1

－n ＋1q n ＋1

1－q 2

q ≠1.

3、

{}11n 12121212127211

(3)4242

11

=02

6<0,6>0,S (-9+211)n

6()(10)

2

6(n n n n n n n n n d a n a a d a a n n a n a a a a n n a a a a a a n n n a a a a a +=-??

=-?++=-??=

∴<≥=++???+-∴<++???+=-++???+=

=-≥++???+=-++???+11a 解： ,得a =-9,d=2, 显然是递增数列，令，得当时，当时，设当时,当时,567555)()

()2(10)50

n n n a a a a S S S S S n n +++???+=-+-=-=-+

4、 5、

课后作业答案

1、413n -

2、(1)n n -?

3、31

n

n + 4、1111122323n n ??+-- ?++??

5、121;22n n n +--- 623

32n n

n S +=-

。 7、解 (1)∵S 2n ＝a n ?

?

?

??S n －12，a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，

∴S 2

n ＝(S n －S n －1)?

?

???S n －12，

即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意S n －1·S n ≠0，

①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1

S n －1

＝2，

∴数列????

??1S n 是首项为1S 1＝1

a 1

＝1，公差为2的等差数列．

∴1

S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝1

2n －1

. (2)又b n ＝S n 2n ＋1＝12n －12n ＋1

＝

12? ????1

2n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n

＝12????

??? ?

???1－13＋? ????13－15＋…＋?

????12n －1－12n ＋1 ＝12?

????1－12n ＋1＝n

2n ＋1. 8、解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得??

?

a 1＋d ＝0，

2a 1＋12d ＝－10，解得

??

?

a 1＝1，d ＝－1.

故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .

(2)设数列??????

???

?a n 2n －1的前

n 项和为S n ，

∵

a n

2n －1＝2－n 2n －1＝12n －2－n 2n －1

， ∴S n ＝? ?

???2＋1＋12＋122＋…＋12n －2－? ????1＋22＋322＋…＋n 2n －1.

记T n ＝1＋22＋322＋…＋n

2n －1，

① 则12T n ＝12＋222＋323＋…＋n

2

n ，

②

①－②得：12T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ，

∴1

2T n ＝1－12n

1－12－n 2n

. 即T n ＝4?

????1－12n －n 2n －1. ∴S n ＝2????

?

?1－? ????12n 1－12

－4?

????1－12n ＋n 2n －1

＝4? ????1－12n －4? ?

???1－12n ＋n 2n －1

＝

n 2n －1

.

9、解 (1)a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n

3

，

①

∴当n ≥2时，

a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2

a n －1＝n －13

， ②

①－②得：3

n －1

a n ＝n 3－n －13＝1

3，∴a n ＝1

3

n .

当n ＝1时，a 1＝1

3也适合上式，

∴a n ＝13

n .

(2)b n ＝n

a n

＝n ·3n ，

∴S n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ， ③ 则3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋n ·3n ＋1， ④

∴③－④得：

－2S n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ·3n ＋1 ＝31－3n 1－3－n ·3n ＋1 ＝－3

2(1－3n )－n ·3n ＋1.

∴S n ＝34(1－3n

)＋n ·3n ＋12

＝34＋2n －1·3n ＋1

4. 10、 11、

3、拓展训练答案

1．解：∵a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，∴a n ＋1＝a n ＋a 1＋n ＝a n ＋1＋n ，

∴利用叠加法得到：2

)

1(+=

n n a n ，∴)111(2)1(21+-=+=

n n n n a n ， ∴

)2009

1

1(2)20091200813121211(211112008321-=-++-+-=++++ a a a a 2009

4016

=

． 答案：A.

2．解：∵a n ＝a 1＋n －1，b n ＝b 1＋n －1

∴n b a ＝a 1＋b n －1＝a 1＋(b 1＋n ―1)―1

＝a 1＋b 1＋n －2＝5＋n －2＝n ＋3

则数列{n b a }也是等差数列，并且前10项和等于：85102

13

4=?+ 答案：B.

3．解：因为 a n =n 2-n .，则依据分组集合即得. 答案;A.

4．解：对前n 项和要分奇偶分别解决，即： S n =???????-+)(2

)(2

1

为偶为奇n n n n

答案：A

5．解 由题意可得a 1=1,设公比为q ,公差为d ,则??

?=+=+2

212

d q d q

∴q 2-2q =0,∵q ≠0,∴q =2,∴a n =2n -1,b n =(n -1)(-1)=1-n,∴c n =2n -1+1-n,∴S n =978. 答案：A

6．解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050. 答案：B

7． 解： 设此数列{a n },其中间项为a 1001,

则S 奇=a 1+a 3+a 5+…+a 2001=1001·a 1001,S 偶=a 2+a 4+a 6+…+a 2000=1000a 1001. 答案:

1000

1001

8．解： 原式=.6

326)12()1(23n

n n n n n +-=-?-

答案：61

;

21;31-

9、

(1)由题意，知a n ＝? ????

14n (n ∈N *)，

又b n ＝3log 1

4

a n －2，故

b n ＝3n －2(n ∈N *)．

(2)由(1)，知a n ＝? ????14n

，b n ＝3n －2(n ∈N *)，

∴c n ＝(3n －2)×? ??

??14n

(n ∈N *)．

∴S n ＝1×14＋4×? ????142＋7×? ????143＋…＋(3n －5)×? ????14n －1＋(3n －2)×? ????14n

，

于是14S n ＝1×? ????142＋4×? ????143＋7×? ????144＋…＋(3n －5)×? ????14n ＋(3n －2)×? ????14n ＋1

，

两式相减，得

34S n ＝14＋3??????? ????142＋? ????143＋…＋? ????14n －(3n －2)×? ????14n ＋1＝12－(3n ＋2)×? ????14n ＋1

， ∴S n ＝23－3n ＋23×? ??

??14n (n ∈N *)．

10、(1)a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3

，

①

∴当n ≥2时，

a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝

n －13

， ②

①－②得：3n －1a n ＝n 3－n －13＝13，∴a n ＝1

3n .

当n ＝1时，a 1＝1

3也适合上式，

∴a n ＝13

n .

(2)b n ＝n a n

＝n ·3n ，

∴S n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ， ③ 则3S n ＝32

＋2×33

＋3×34

＋…＋n ·3n ＋1

， ④

∴③－④得：

－2S n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ·3n ＋1 ＝31－3n 1－3－n ·3n ＋1 ＝－3

2

(1－3n )－n ·3n ＋1.

∴S n ＝34(1－3n

)＋n ·3n ＋12

＝34＋2n －1·3n ＋1

4

. 11、解：(1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2

(d ＞0) 解得d ＝2，∴a n ＝2n －1，可得b n ＝3n －1 (2)当n ＝1时，c 1＝3；

当n ≥2时，由

n n n

n a a b c -=+1，得c n ＝2·3n －1

， 故???≥?==-).

2(32),1(31n n c n n

故c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2003＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×32002＝32003． 12、(1)证明 由已知得a n =S n -S n -1=2a n +(-1)n -2a n -1-(-1)n -1(n ≥2),

化简得 a n =2a n -1+2(-1)n -1(n ≥2),

上式可化为 a n +3

2

(-1)n =2［a n -1+3

2(-1)n -1］(n ≥2),∵a 1=1,∴a 1+3

2(-1)1=3

1.

故数列{a n +3

2(-1)n }是以3

1为首项，公比为2的等比数列.

(2)解 由（1）可知a n +3

2(-1)n =32

1

-n .

∴a n =31×2n -1-32(-1)n =32［2n -2-(-1)n ］,故数列{a n }的通项公式为 a n =3

2［2n -2

-(-1)n ］.

(3)证明 由已知得

m

a a a 11154+++ =??

????--++++++=????

??--++++---m m m m )1(21

631331151913123)1(211211212

32232 =)20

1

10151311(21)21111151311(2

1 +++++<+++

++

=.871201051201041513)21(511513)21525234(21211)211(513421555=<=<

?-=?-+=?????

???????

-

-+---m m m 故

)4(8

711154><+++m a a a m 13、解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于

f`(x)=6x －2,得

a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x.

数列求和知识点总结(学案)

数列求和 1．求数列的前n项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前n项和公式②等比数列的前n 项和公式 (2)分组求和法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (5)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广

2．常见的裂项公式 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1 . (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12? ?? ???12n －1－12n ＋1. (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n . 高频考点一 分组转化法求和 例1、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝ n 2＋n 2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{ b n }的前2n 项和． 【感悟提升】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论． 【变式探究】已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2·3n

－1＋(－1)n ·(ln2－ln3)＋(－1)n n ln3，求其前n 项和S n . 高频考点二 错位相减法求和 例2、(2015·湖北)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2) 当d >1时，记c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 【感悟提升】用错位相减法求和时，应注意： (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．

数列求和方法和经典例题

数列求和方法和经典例题 求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： 一、公式法 1、等差数列前n 项和公式 2、等比数列前n 项和公式 二、拆项分组求和法 某些数列，通过适当分组可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列求和公式求和，从而得出原数列的和。 三、裂项相消求和法 将数列中的每一项都分拆成几项的和、差的形式，使一些项相互拆消，只剩下有限的几项，裂项时可直接从通项入手，且要判断清楚消项后余下哪些项。 四、重新组合数列求和法 将原数列的各项重新组合，使它成为一个或n 个等差数列或等比数列后再求和 五、错位相减求和法 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 典型例题 一、拆项分组求和法 例1、求数列1111123,2482n n ??+ ???，，，，的前n 项和 例2、求和：222 221111n n x x x x x ??????++++++ ? ? ?????? ?

例3、求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前n 项和 例4、求数列5,55,555,5555,的前n 项和 二、裂项相消求和法 例5、求和：()()11113352121n S n n =+++??-+ 例6、求数列1111,, ,,,12123123n +++++++的前n 项和 例7、求和：()11113242n S n n =+++??+

例8、数列{} n a 的通项公式n a =，求数列的前n 项和 三、重新组合数列求和法 例9、求2222222212345699100-+-+-++- 四、错位相减求和法 例10、求数列123,,,,,2482n n 的前n 项和 例11、求和：()23230n n S x x x nx x =++++≠

数列求和的教学反思

数列求和的教学反思 数列求和的教学反思 由于数列的求和在求解的方法中比较多，学生难以一次性熟练掌握全部的方法并灵活运用，所以在《数列求和》的专题课的教学重点放在了数列求和的前三种重要方法： 1、公式法求和（即直接利用等差数列和等比数列的求和公式进行求和）； 2、利用叠加法、叠乘法将已知数列转化为等差数列或等比数列再行求和； 3、对于数列的通项是由等差乘以等比数列构成的，用乘公比错位相减求和法。 从实际教学效果看教学内容安排得符合学生实际，由浅入深，比较合理，基本达到了这节课预期的教学目标及要求。结合自我感觉、工作室评课、学生反馈，这节课比较突出的有以下几个优点。 1、注重“三基”的训练与落实 数列部分中两种最基本最重要的数列就是等差数列和等比数列，很多数列问题包括数列求和都是围绕这两种特殊数列展开的，即使不能直接利用等差数列和等比数列公式求和，也可根据所给数列的

不同特点，合理恰当地选择不同方法转化为等差数列或等比数列再行求和。因此上课伊始做为本节课的知识必备，就要求学生强化等差数列和等比数列求和公式的记忆。其次本节课充分渗透了转化的数学思想方法，并且通过典型例题使学生体会并掌握根据所给求和数列的不同特点，分别采用叠加法或叠乘法将所给数列转化为等差数列或等比数列再行求和的基本技能。 2、例、习题的选配典型，有层次 一方面精选近年典型的高考试题、模拟题做为例、习题，使学生通过体会和掌握，达到举一反三的目的；另一方面结合学生实际，自行编纂或改编了一些题目，或在原题基础上降低了难度，设计出了层次，或在学生易错的地方设置了陷阱，提醒学生留意。同时所配的课堂练习也充分注意了题目的难易梯度，把握了层次性，由具体数字运算到字母运算，由直接给出数列各项到用分段函数形式抽象表述数列，由单一方法适用到能够一题多解等等。 3、对学生可能出现的问题有预见性，并能有针对性地对症下药进行设计 对于直接利用公式求和的等差数列或等比数列求和问题，预见到学生的关键问题应该出在搞不清

数列求和及求通项方法归纳

数列求和及求通项 一、数列求和的常用方法 1、公式法：利用等差、等比数列的求和公式进行求和 2、错位相减法：求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前n 项和，均可用错位相减法 例：已知数列1 3 1 2--=n n n a ，求前n 项和n S 3、裂项相消法：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项 ①形如)(1k n n a n += ，可裂项成)1 1(1k n n k a n +-=，列出前n 项求和消去一些项 ②形如k n n a n ++= 1，可裂项成)(1 n k n k a n -+= ，列出前n 项求和消去一些项 例：已知数列1)2() 1)(1(1 1=≥+-=a n n n a n ，，求前n 项和n S

4、分组求和法：把一类由等比、等差和常见的数列组成的数列，先分别求和，再合并。 例：已知数列122-+=n a n n ，求前n 项和n S 5、逆序相加法：把数列正着写和倒着写依次对应相加（等差数列求和公式的推广） 一、数列求通项公式的常见方法有： 1、关系法 2、累加法 3、累乘法 4、待定系数法 5、逐差法 6、对数变换法 7、倒数变换法 8、换元法

9、数学归纳法 累加法和累乘法最基本求通项公式的方法 求通项公式的基本思路无非就是：把所求数列变形，构造成一个等差数列或等比数列，再通过累加法或累乘法求出通项公式。 二、方法剖析 1、关系法：适用于)(n f s n =型 求解过程：???≥-===-)2() 1(1 11n s s n s a a n n n 例：已知数列{}n a 的前n 项和为12 ++=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式 2、累加法：适用于)(1n f a a n n +=+——广义上的等差数列 求解过程：若)(1n f a a n n +=+ 则)1(12f a a =- )2(23f a a =- )1(1-=--n f a a n n 所有等式两边分别相加得：∑-== -1 1 1)(n k n k f a a 则∑-=+=1 1 1)(n k n k f a a 例：已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥++=-n n a a n n ，{} 的通项公式，求n a a 11= ...... 累加

数列求和方法小结

数列求和方法小结 等差数列、等比数列的求和是高考常考的内容之一，一般数列求和的基本思想是将其通项变形，化归为等差数列或等比数列的求和问题，或利用代数式的对称性，采用消元等方法来求和. 下面我们结合具体实例来研究求和的方法. 一、直接求和法（或公式法） 将数列转化为等差或等比数列，直接使用等差或等比数列的前n 项和公式求得. 常用公式：等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= ， 等比数列的求和公式?????≠--==) 1(1)1() 1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论）， 另 外 222221 (1)(21) 1236 n k n n n k n =++=+++ += ∑ ， 2 3 333 3 1 (1)1232n k n n k n =+?? =+++ +=???? ∑ 例1 ． 二、倒序相加法 此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和. 例2已知函数()x f x = （1）证明：()()11f x f x +-=； （2）求128910101010f f f f ?? ?????? + +++ ? ? ? ??? ?? ?? ?? 的值. 解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知， 1928551101010101010f f f f f f ????????????+=+==+ = ? ? ? ? ? ??? ???? ?? ???? 128910101010S f f f f ?? ?? ????=+ +++ ? ? ? ?????????令 982110101010S f f f f ?? ??????=+ +++ ? ? ? ??? ?? ?? ?? 则

数列求和方法分类及经典例题

数列求和方法总结 一、公式法 ()()111122 n n a a n n n .na d +-==+等差型 S ()111111n n na q a q q q =??=-?≠?-? ，2.等比型 S ， →3.分式型/阶乘型 裂项相消法 () 1111111n n n n n a a a d a a ++??=- ???? ，其中为等差； ( 12n a d = ，其中为等差； ()()() ()113=+1+1+1n n n!n !n!.n !n!n !-?=- ， ()()()( )1111153759 11121121231233n n . .,n N n *???++++∈+++++++KK KK K KK 例1：求下列各数列的前项和S ，，， 二、等差等比混合型 (){}=n n n a b kn b q ??+?→ 1.等差等比 错位相减法 n n S 例2：求下列各数列的前项和 ()()112n n .a n =+? ()()12312n n .a n ??=-? ??? ()()()3312n n .a n =-+?-

{}111122n n k n b a q a q ±+++→ 2.等差等比 分组求和 n n S 例3：求下列各数列的前项和 ()1111123248 .,,,KK ()2211121333333 n n .,,,,+++KK → 3.奇偶项不同 分组求和 n n S 例4：求下列各数列的前项和 ()()()1115913143n n .n -=-+-++--K 相邻异号 例：S ()11211n n n .a ,a a ,S -=+= 和为常数 例：求()122314=+2n n n .a ,a ,a a ,S -== 差为常数 例：求()12+11142=63n n n n n .a a ,a a ,a S ??== ??? 比为常数 例：，求及 三、倒叙相加/相乘型 n n S 例5：求下列各数列的前项和 ()11110142n x n .f (x ),S f ()f ()f ()f ()n n -= =++++ 已知求；()211121220121201220112 x .f (x ),f ()f ()f ()f ()f ()f ()x =+++++++KK KK 已知求；()1312.n n n n n ++ 在和之间插入个正数，使这个数成等比数列，求插入个数之积； ()1412.n n n n n ++ 在和之间插入个正数，使这个数成等差数列，求插入个数之和； 22112n n n n n n n +++??== ??? T ,S

四年级奥数思维训练专题-巧妙求和

四年级奥数思维训练专题-巧妙求和（一） 专题简析：若干个数排成一列称为数列.数列中的每一个数称为一项.其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数. 相邻两项的差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差. 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算. 项数=（52－4）÷6＋1=9 答：这个数列共有9项. 试一试1：有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？ 例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 分析：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100.要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算. 第100项=3+4×（100－1）=399

试一试2：求1，4，7，10……这个等差数列的第30项. 例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100.请求出这个数列所有项的和. 分析：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 试一试3：6+7+8+…+74+75 例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和. 分析：项数=（末项－首项）÷公差+1 =（50－2）÷2+1=25 首项=2，末项=50，项数=25 等差数列的和=（2+50）×25÷2=650 试一试4：9+18+27+36+…+261+270 巧妙求和（二） 专题简析：

数列求和知识点总结.doc

数列求和 1．求数列的前 n 项和的方法 (1) 公式法 ①等差数列的前 n 项和公式 ②等比数列的前 n 项和公式 (2) 分组求和法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3) 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4) 错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和， 即等比数列求和公式的推导过程的推广． (5) 倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广 2．常见的裂项公式 1 1 1 (1) n （n ＋1）＝ n －n ＋1 . (2) 1 1 1 1 . n － ）（ n ＋ ） ＝ 2 n － － n ＋ 1 2 1 2 （212 1 1 ＝ n ＋ － n (3) 1. n ＋ n ＋1 高频考点一 分组转化法求和 例 1、已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2＋ n ， n ∈ N * . 2 (1) 求数列 { a n } 的通项公式； (2) 设 b n ＝ 2a n ＋ ( － 1) n a n ，求数列 { b n } 的前 2n 项和．

【感悟提升】 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差， 从 而求得原数列的和， 这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究， 将数列的通项合理分解 转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论． 【变式探究】已知数列 { a n } 的通项公式是 a n ＝2·3n － 1＋ ( － 1) n ·(ln2 － ln3) ＋ ( － 1) n ln3 ，求其前 n 项和n . n S 高频考点二 错位相减法求和 例 2、(2015 ·湖北 ) 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，前 n 项和为 S n ，等比数列 { b n } 的公比为 q ，已知 b 1＝ a 1 ，b 2＝ 2， q ＝ d ， S 10＝ 100. (1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式； n a n n n (2) 当 d>1 时，记 c ＝ ，求数列 { c 的前 n 项和 T . b n 【感悟提升】用错位相减法求和时，应注意： (1) 要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2) 在写出“ S n ”与“ qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ S n － qS n ”的表达式； (3) 在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解． 【变式探究】已知数列 n 满足首项为 1 n ＋ 1 n * n 2 n { a } a ＝ 2， a ＝ 2a ( n ∈ N ) ．设 b ＝ 3log a － * n n n n 2( n ∈ N ) ，数列 { c } 满足 c ＝ a b . (1) 求证：数列 { b n } 为等差数列； (2) 求数列 { c n } 的前 n 项和 S n . 高频考点三 裂项相消法求和 例 3、设各项均为正数的数列 2 2 2 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n 满足 S n －( n ＋ n － 3) S n － 3( n ＋n ) ＝ 0， n ∈ N * . (1) 求 a 1 的值； (2) 求数列 { a n } 的通项公式；

数列求和汇总例题与答案)

数列求和汇总答案 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 例1、已知3 log 1log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +???+++=32（利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 练习：求22222222123456...99100-+-+-+--+的和。 解：2222222212345699100-+-+-+--+ 由等差数列的求和公式得 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列. 例2求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=……………………….②（设制错位） ①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=--（错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----?+=-- ∴2 1)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 练习：求数列??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1}的通项之积 设n n n S 2 226242232+???+++=…………………………………①

数列求和专项训练题(学生)

数列求和的常用方法 第一类：公式法求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的. 1、等差数列前n 和公式：()() 11122 n n n a a n n S na d +-= =+ 2、等比数列前n 和公式：1 11(1)(1)(1) 11n n n na q S a a q a q q q q =?? =--?=≠?--? 自然数方幂和公式： 3、11(1)2n n k S k n n ===+∑ 4、211 (1)(21) 6n n k S k n n n ===++∑ 5、32 1 1[(1)]2 n n k S k n n ===+∑ 【例】已知数列{}n a 满足*111,4,n n a a a n N +==+∈，求数列{}n a 的前n 项和 n S . 【练习】已知321 log log 3 x -= ，求23n x x x x +++???++???的前n 项和.

第二类：分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 若数列{}n c 的通项公式为n n n c a b =+，其中数列{}n a ，{}n b 分别是等差数列和等比数列，求和时一般用分组结合法。 【例】数列111111,2,3,4 ,,,24816 2n n 求数列的前n 项和. 【练习】数列{}n a 的通项公式221n n a n =+- 第三类：裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 常用的通项分解（裂项）如：

数列题型及解题方法归纳总结

知识框架 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常 数） 例1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 例1、解∵a n+1-a n =2为常数∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1）即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2n n a a +=，而12a =，求 n a =？ （2）递推式为a n+1=a n +f （n ） 例3、已知{}n a 中112 a = ，12 141 n n a a n +=+ -，求n a . 解：由已知可知 )12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） ★ 说明只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数） 例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有 132n n a a -=+，求n a . 解法一：由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1） 因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1∵a n+1=3a n +2∴3a n +2-a n =4·3n-1 即a n =2·3n-1-1 解法二：上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2， 把n-1个等式累加得：∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=pa n +qn （p ，q 为常数） )(3 2 11-+-=-n n n n b b b b 由上题的解法， 得：n n b )3 2(23-=∴ n n n n n b a )31(2)21(32 -== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+ 思路：设21n n n a pa qa ++=+,可以变形为： 211()n n n n a a a a αβα+++-=-， 想 于是{a n+1-αa n }是公比为β的等比数列，就转化 为前面的类型。 求n a 。 (6)递推式为S n 与a n 的关系式 系；（2）试用n 表示a n 。 ∴)2121( )(1 2 11 --++- +-=-n n n n n n a a S S ∴1 11 2 1 -+++ -=n n n n a a a ∴ n n n a a 2 1 211+= + 上式两边同乘以2n+1得2n+1a n+1=2n a n +2则{2n a n }是公差为2的等差数列。 ∴2n a n =2+（n-1）·2=2n 数列求和的常用方法： 1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。

(完整版)数列求和经典题型总结

三、数列求和 数列求和的方法. （1）公式法：①等差数列的前n 项求和公式 n S =__________________=_______________________. ② 等 比 数 列 的 前 n 项 和 求 和 公 式 ? ? ?≠===)1(___________________)1(__________q q S n （2）....++=n n n b a C ，数列{}n C 的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”. （3）n n n C a b =?，数列{}n C 的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错 位相减法”. （4）1 n n n C a b = ?，数列{}n C 的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”. （5）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。适用于形如()()n f a n n 1-=的类型。举例如下： ()()() 5050 12979899100129798991002 22222=++???++++=-+???+-+-= n S 常见的裂项公式： （1） 111)1(1+-=+n n n n ;(2) =+-) 12)(12(1 n n ____________________;(3)1 1++n n =__________________ 题型一 数列求解通项公式 1. 若数列{a n }的前n 项的和1232 +-=n n S n ，则{a n }的通项公式是n a =_________________。 2. 数列}{n a 中，已知对任意的正整数n ，1321-=+???++n n a a a ，则22221n a a a +???++等 于_____________。 3. 数列中，如果数列是等差数列，则________________。 4. 已知数列{a n }中，a 1＝1且 3 1 111+=+n n a a ，则=10a ____________。 5. 已知数列{a n }满足)2(1 1≥-= -n a n n a n n ，则n a =_____________.。 6. 已知数列{a n }满足)2(11≥++=-n n a a n n ，则n a =_____________.。 {}n a 352,1,a a ==1 { }1 n a +11a =

(完整word版)数列求和方法(带例题和练习题)

数列的求和 数列求和主要思路： 1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； 数列求和的常用方法 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 11123(1) 2 n n k S k n n n == =+++++=+∑L … 4、 222221 1 123(1)(21)6n n k S k n n n n ===++++=++∑L 5、 2 3 3 3 3 3 1 (1)1232n n k n n S k n =+?? ===++++=????∑L 公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n 的值； （2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。 例1．求和2 2 1-++++n x x x Λ(0,2≠≥x n ) 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 例2．求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S 例3．求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 三、倒序相加法 如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加发，如等差数列的前n 项和就是此法推导的 例4．求ο ο ο ο ο 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2 2++???+++的值 例4变式训练1：求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 例4变式训练2： 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002. 例4变式训练3：在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.

数列求和与求通项方法汇总与经典例题

15 数列求通项问题 数列求通项方法一：累加法，解决形如型数列通项问题)(1n f a a n n =-+. 例．设数列}{a n 的前n 项和为S n ，}{a n }满足a 1＝1，a n +1﹣a n ＝n d ，n ∈N *．若n d ＝3n ，求数列}{a n 的通项公式； 解：（1）若a n +1﹣a n ＝d n ＝3n ，则a 2﹣a 1＝3， a 3﹣a 2＝32，a 4﹣a 3＝33，……a n ﹣a n ﹣1＝3n ﹣1， 累加得：a n ﹣a 1＝＝，又由a 1＝1，∴a n ＝. 数列求和方法二：构造法，解决形如型或接近于等差或d pa n n +=+1a .等比数列型 例．已知数列{a n }满足a 1＝1且a n +1＝2a n +1，求a n ； 解：∵a n +1＝2a n +1，∴a n +1+1＝2a n +2＝2（a n +1），又a 1+1＝2≠0，所以， ∴数列{a n +1}是等比数列，公比q ＝2，首项为2．则， ∴； 例 数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝2a n +n ﹣1．求数列{a n }的通项公式． 解：根据题意，a n +1＝2a n +n ﹣1，则a n +1+n +1＝2a n +n ﹣1+n +1＝2a n +2n ＝2（a n +n ） 所以，所以数列{a n +n }为等比数列． 数列{a n +n }为以2为公比的等比数列，又a 1＝1，所以a 1+1＝2． 所以，所以． 例．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝﹣1，a n +1＝S n ?S n +1,求{a n }的通项公式． 解：因为a n +1＝S n +1﹣S n ，所以S n +1﹣S n ＝S n ?S n +1． 两边同除以S n ?S n +1得﹣＝﹣1．因为a 1＝﹣1，所以＝﹣1． 因此数列{ }是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列． 得＝﹣1+（n ﹣1）（﹣1）＝﹣n ，S n ＝﹣．

数列求和优秀教案设计

题组教学：“探索—研究—综合运用”模式 ——“数列的裂差消项求和法解题课”教学设计 【课例解析】 1 教材的地位和作用 本节课是人教A版《数学（必修5）》第2章数列学完基础知识后的一节针对数列求和方法的解题课。通过本节课的教学让学生感受裂差消项求和法在数列求和中的魅力，体会裂项相消的作用，达到提高学生运用裂项相消求和的能力，并把培养学生的建构意识和合作，探索意识作为教学目标。 2 学情分析 在此之前，学生学习了数列的一般概念，又对等差、等比数列从定义、通项、性质、求和等方面进行了深入的研究。在研究过程中，数列求和问题重点学习了通过转化为等差、等比数列求和的方法，在推导等差、等比数列求和公式时用到了错位相减法、倒序相加法和裂差消项求和法，本节课在此基础上进一步对裂差消项求和法做深入的研究。本节课的容和方处于学生的认知水平和知识结构的最近发展区，学生能较好的完成本节课的教学任务。【方法阐释】 本节课的教学采用心智数学教育方式之“题组教学”模式，分为“创设情景、导入新课，题组探索、自主探究，题组研究、汇报交流，题组综合、巩固提高，归纳总结、提升拓展”五个教学环节． 本节课从学生在等比数列求和公式推导过程中用到的裂差消项求和法引入，从课本习题的探究入手展开教学，学生能自主发现裂差消项求和法，并很快进入深层次思维状态。接下来的研究性题组和综合性题组又从更深更广的层面加强裂差消项求和法的应用。 【目标定位】

1 知识与技能目标 掌握裂项相消法解决数列求和问题的基本思路、方法和适用围。进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。 2 过程与方法目标 经历数列裂差消项求和法的探究过程、深化过程和推广过程。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。 3 情感与价值观目标 通过数列裂差消项求和法的推广应用，使学生认识到在学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发扬光大。激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。感悟数学的简洁美﹑对称美。 4教学的重点和难点 本节课的教学重点为裂项相消求和的方法和形式。能将一些特殊数列的求和问题转化为裂项相消求和问题。 本节课的教学难点为用裂项相消的思维过程，不同的数列采用不同的方法，运用转化与化归思想分析问题和解决问题。 【课堂设计】 一、创设情景、导入新课 教师：请同学们回忆一下，我们在推导数列求和公式时，先后发现了哪几种数列求和的方法？ 学生1：在等差数列求和公式的推导时我们用到了倒序相加法。在等比数列求和公式的推导中我们发现了错位相减法、裂差消项求和法。 学生2：在学习求和过程中，我们还发现了分组求和法和通项转换法。

数列求和方法及典型例题

数列求和方法及典型例题 1.基本数列的前n 项和 ⑴ 等差数列{}n a 的前n 项和：n S ???? ??????+?-++=n b n a d n n na a a n n 211)1(212)( ⑵ 等比数列{}n a 的前n 项和n S ： ①当1=q 时，1na S n =；②当1≠q 时，q q a a q q a S n n n --=--=11)1(11； 2. 数列求和的常用方法：公式法；性质法；拆项分组法；裂项相消法；错位相减法；倒序相加法. 题型一 公式法、性质法求和 1.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，公比7,299==S q ，则=++++99963a a a a 2.等差数列{}n a 中，公差2 1= d ，且6099531=++++a a a a ，则=++++100321a a a a . [例1]求数列 ，，，，，)21(813412211n n +的前n 项和n S . 题型二 拆项分组法求和 [练2]在数列{} n a 中，已知a 1=2，a n+1=4a n －3n ＋1，n ∈*N . （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列{}n a 的前n 项和为S n ，求S n 。 [练].求数列{}2)12(-n 的前n 项和n S . [例].求和：) 1(1431321211+++?+?+?n n . 题型三 裂项相消法求和 [例].求和： n n +++++++++11341231121 . [例]求和：n +++++++++++ 321132112111 [练4]已知数列{}n a 满足()*1112,1N n a a a n n ∈+==+

(完整版)高中数学必修五数列求和方法总结附经典例题和答案详解

数列专项之求和-4 （一）等差等比数列前n 项求和 1、等差数列求和公式： d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n （二）非等差等比数列前n 项求和⑴错位相减法 ②数列为等差数列，数列为等比数列，则数列的求和就要采用此法.{}n a { }n b {}n n a b ?②将数列的每一项分别乘以的公比，然后在错位相减，进而可得到数列{}n n a b ?{ }n b 的前项和. {}n n a b ?n 此法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法. n 例23. 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ) 0(≠x 例24.求数列前n 项的和.??????,2 2,,26,24,2232n n ⑵裂项相消法 一般地，当数列的通项 时，往往可将12()() n c a an b an b =++12(,,,a b b c 为常数）变成两项的差，采用裂项相消法求和. n a 可用待定系数法进行裂项： 设，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得 12n a an b an b λ λ=-++，从而可得21 c b b λ=-122112 11=(()()()c c an b an b b b an b an b -++-++常见的拆项公式有：① ② 111(1)1n n n n =-++；1111((21)(21)22121 n n n n =--+-+

③ ④1a b =-11;m m m n n n C C C -+=-⑤ ⑥!(1)!!.n n n n ?=+-)2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-n n n n n n n …… 例25. 求数列的前n 项和. ???++???++,11 ,,321 ,211 n n 例26. 在数列{a n }中，，又，求数列{b n }的前11211++???++++= n n n n a n 1 2+?=n n n a a b n 项的和. ⑶分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几 个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公 式②由通项公式确定如何分组. 例27. 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和. 例28. 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+???+++-n a a a n ⑷倒序相加法 如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与 {}n a 倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征： 121... n n a a a a -+=+=例29.求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++例30. 求的值 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++⑸记住常见数列的前项和： n ①(1)123...;2 n n n +++++=②2135...(21); n n ++++-=③22221123...(1)(21).6n n n n ++++= ++④23333)]1(2 1 [321+=++++n n n

(新课标)2020年高考数学 题型全归纳 数列求和的若干常用方法

数列求和的若干常用方法 数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.如某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法等。本文就此总结如下，供参考。 一、分组求和法 所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 例1．数列{an}的前n 项和12-=n n a S ，数列{bn}满 )(,311* +∈+==N n b a b b n n n . （Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n 项和Tn 。 解析：（Ⅰ）由 12,,1211-=∴∈-=++* n n n n a S N n a S ， 两式相减得： ,2211n n n a a a -=++01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知同， , 21 =∴ +n n a a 同定义知}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列. （Ⅱ） ,22,2111 11-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b a Λ ,2,2,2234123012=-=-=-b b b b b b , 221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得： , 222 12132 2211 2 1 1+=--+=++++=---n n n n b b Λ n T n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴--ΛΛ =. 12222121-+=+--n n n n 已知等差数列 {}n a 的首项为1，前10项的和为145，求：. 242n a a a +++Λ 解析：首先由 3145291010110=?=??+ =d d a S 则： 6 22322 1) 21(232)222(322323)1(1224221--?=---=-+++=+++∴-?=?-=-+=+n n n a a a a n d n a a n n n n n n n ΛΛ 二、裂项求和法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，