2011年高考数学二轮考点专题(六) 概率与统计突破检测

专题达标检测六

一、选择题

1．从2 011名学生中选出50名学生组成参观团，若采用下面的方法选取：现用简单随

机抽样从2 011人中剔除11人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取50人，则 在2 011人中，每人入选的概率 ( ) A ．都相等，且为140 B ．都相等，且为50

2 011C ．均不相等 D ．不全相等 解析：每人入选的概率相等． 概率为2 0002 011×502 000＝50

2 011，故选B.

答案：B

2．(2009·山东理)某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重

(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据 分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小 于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数 是 ( ) A ．90

B ．75

C ．60

D ．45

解析：产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重 小于100克的个数是36，设样本容量为n ，则36

n ＝0.300，所以n ＝120，净重大于或

等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以样 本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.故选A. 答案：A

3．在? ??

??x ＋13x 24

的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有 ( )

A ．3项

B ．4项

C ．5项

D ．6项 解析：T r ＋1＝C r

24(x 12)24－r (x －13)r

＝C r 24x 12－5r

6(0≤r ≤24)

∴r 可取值为0,6,12,18,24

∴符合要求的项共有5项，故选C. 答案：

C

4．(2010·广东佛山)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y ＝x 2

和曲线

y ＝x 围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是 ( ) A.12 B.1

3 C.1

4 D.16

解析：S 阴＝??0

1

(

x －x 2

)dx ＝?

?

?

??

???x

3

232

－x 3

310

＝13，S 正

＝1，

∴P ＝

S 阴S 正＝1

3

，故选B. 答案：B

5．(2010·山东)已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)．若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)

＝ ( ) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954 D ．0.977 解析：P (－2≤ξ≤2)＝1－2P ( ξ>2) ＝1－0.046 ＝0.954. 答案：C

6．已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且Eη＝34，若ξ的分布列如下表，则m 的值

为 ( )

A.13

B.4

C.6

D.18

解析：本题考查随机变量的期望及有关的运算，由η＝12ξ＋7?Eη＝12Eξ＋7?34 ＝12·Eξ＋7?Eξ＝94?94＝1×14＋2×m ＋3×n ＋4×112，又14＋m ＋n ＋112＝1，联立求

解可得m ＝1

3

.

答案：A 二、填空题 7．(ax －

1

x

)10

的展开式中x 4

项的系数为210，则实数a 的值为________． 解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r

10(ax )10－r

(－1)r

x －r 2

＝

C r

10a

10－r

(－1)r x 10－3r 2，令10－3r 2

＝4得r ＝4，由C 410a 6＝210，得a 6

＝1，故a ＝±1.

答案：±1

8．左口袋里装有3个红球，2个白球，右口袋里装有1个红球，4个白球．若从左口袋

里取出1个球装进右口袋里，掺混好后，再从右口袋里取出1个球，这个球是红球的 概率为________．

解析：分两种情况，从左边口袋里取出的是红球放在右边口袋里，则从右边口袋里取出的是红球，其概率是35×26＝1

5

；从左边口袋里取出的是白球，再从右边的口袋里取

出的是红球，其概率是25×16＝115，所求概率为15＋115＝4

15.

答案：

4

15

9．(2010·广东河源)在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个

三角形，如果随机选择3个点，则刚好构成直角三角形的概率为________． 解析：∵直角三角形的斜边是圆的直径，而圆周上的10个等分点能组成5条直径，

∴直角三角形的个数为5C 18＝40(个)．而每3个点能构成的三角形有C 3

10＝120(个)，

∴所求概率为P ＝40120＝13

. 答案：13

10．(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：

已知ξ的期望Eξ＝解析：x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，即x ＋y ＝0.6.① 又7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，化简得7x ＋10y ＝5.4② 由①②联立解得x ＝0.2，y ＝0.4. 答案：0.4 三、解答题

11．(2010·湖南)下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率

分布直方图．

(1)求直方图中x的值；

(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均

用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望．

解：(1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，

解得x＝0.12.

(2)由题意知，X～B(3,0.1)．

因此P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729，

P(X＝1)＝C13×0.1×0.92＝0.243，

P(X＝2)＝C23×0.12×0.9＝0.027，

P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001.

故随机变量X的分布列为

X

12．(2010·江苏)某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；

乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6 万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．

(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布

列；

(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．

解：(1)由题设知，X的可能取值为10,5,2，－3，且

P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，

P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.

由此得X的分布列为

(2)设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有(4－n )件． 由题设知4n －(4－n )≥10，解得n ≥145

， 又n ∈N ，得n ＝3或n ＝4.

所以P ＝C 3

4·0.83

·0.2＋C 4

4·0.84

＝0.819 2. 故所求概率为0.819 2

13．(2010·四川)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，

购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为1

6.甲、乙、丙三

位同学每人购买了一瓶该饮料．

(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.

解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么P (A)＝P (B)＝P (C)＝1

6.

P (A B C )＝P (A)P (B )P (C )＝16×????562＝25

216.

答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是25

216.

(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.

P (ξ＝k )＝C k 3

????16k ????563－k

，k ＝0,1,2,3

所以中奖人数ξ的分布列为

Eξ＝0×125216＋1×2572＋2×572＋3×1216＝1

2

.

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