中考数学第六章 实数复习题及答案
中考数学第六章 实数复习题及答案
一、选择题
1．下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，依此类推，则第⑦个图形中五角星的个数是( )
A ．98
B ．94
C ．90
D ．86
2．16的算术平方根是（ ）
A ．2
B ．2±
C ．4
D ．4± 3．已知无理数7－2，估计它的值( ) A ．小于1
B ．大于1
C ．等于1
D ．小于0 4．已知280x y -+
+=，则x y +的值为( ) A ．10 B ．-10 C ．-6 D ．不能确定
5．关于2的判断：①2是无理数；②2是实数；③2是2的算术平方根；④122＜＜．正确的是( )
A ．①④
B ．②④
C ．①③④
D ．①②③④
6．在下列结论中，正确的是（ ）.
A ．25
5-44=±（） B ．x 2的算术平方根是x
C ．平方根是它本身的数为0，±1
D ．64 的立方根是2 7．如图，数轴上的点A ，B ，O ，C ，D 分别表示数-2，-1，0，1，2，则表示数25-的点P 应落在( )
A ．线段A
B 上 B ．线段BO 上
C ．线段OC 上
D ．线段CD 上
8．下列说法不正确的是（ ）
A 813
B ．12-是14
的平方根 C ．带根号的数不一定是无理数
D ．a 2的算术平方根是a
9．在下列实数中，无理数是( )
A ．337
B ．π
C 25
D ．13
10．已知（﹣25）2的平方根是a ，﹣125的立方根是b ，则a ﹣b 的值是（ ） A ．0或10 B ．0或﹣10 C ．±10 D ．0
二、填空题
11．若x +1是125的立方根，则x 的平方根是_________．
12．一个数的平方为16，这个数是 ．
13．如果一个有理数a 的平方等于9，那么a 的立方等于_____．
14．写出一个3到4之间的无理数____．
15．对于这样的等式：若（x +1）5＝a 0x 5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x +a 5，则﹣32a 0+16a 1﹣8a 2+4a 3﹣2a 4+a 5的值为_____．
16．对于有理数a ，b ，规定一种新运算：a ※b=ab +b ，如2※3=2×3+3=9．下列结论：①（﹣3）※4=﹣8；②若a ※b=b ※a ，则a=b ；③方程（x ﹣4）※3=6的解为x=5；④（a ※b ）※c=a ※（b ※c ）．其中正确的是_____（把所有正确的序号都填上）．
17．a※b 是新规定的这样一种运算法则：a※b=a+2b，例如3※（﹣2）=3+2×（﹣2）=﹣
1．若（﹣2）※x=2+x，则x 的值是_____．
18．为了求2310012222+++++的值，令2310012222S =+++++，则
234101222222S =+++++，因此101221S S -=-，所以10121S =-，即231001*********+++++=-，仿照以下推理计算23202013333++++
+的值是____________．
19．如果36a =，b 是7的整数部分，那么ab =_______．
20．如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为7，我们发现第1次输出的结果为10，第2次输出的结果为5，……，第2019次输出的结果为_____．
三、解答题
21．如图，用两个面积为2200cm 的小正方形拼成一个大的正方形．
（1）则大正方形的边长是___________；
（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为2360cm ？
22．（阅读材料）
数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥
妙．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试：
10 =
100
=，1000593191000000
<<，
∴10100
<<．
∴能确定59319的立方根是个两位数．
第二步：∵59319的个位数是9，39729
=
∴能确定59319的立方根的个位数是9．
第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，
<<
34
<<
，可得3040
<<，
由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．（解答问题）
根据上面材料，解答下面的问题
（1）求110592的立方根，写出步骤．
（2
=__________．
23．对于实数a,我们规定用
}
{a}为 a的根整数.如
}=4.
(1)计算
？
(2)若{m}=2,写出满足题意的m的整数值；
(3)现对a进行连续求根整数，直到结果为2为止．例如对12进行连续求根整数，第一次
}=4,再进行第二次求根整数
}=2,表示对12连续求根整数2次可得结果为2.对100
进行连续求根整数，次后结果为2.
24．对于有理数a，b，定义运算：a⊕b＝ab－2a－2b＋1.
(1)计算5⊕4的值；
(2)计算[(－2)⊕6]⊕3的值；
(3)定义的新运算“⊕”交换律是否还成立？请写出你的探究过程．25．计算：
2
(1)|2|(3)
-+--
(2)||2||1|
+-
26．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：
0,?
0,?
0,?
a b a b
a b a b
a b a b
->>
?
?
-==
?
?-<<
?
则
则
则
；
2与2的大小
∵
<<
224
-=<<则45
∴
-=>
2240
∴
>
22
-的大小．
请根据上述方法解答以下问题：比较2-与3
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
学会寻找规律，第①个图2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，那么第n个图呢，能求出这个即可解得本题。
【详解】
第①个图 2五角星
第②个图 8五角星
第③个图 18五角星
…
第n个图2
2n五角星
当n=7时，共有98个五角星。
【点睛】
寻找规律是解决本题的关键所在。
2．C
解析：C
【分析】
本题是求16的算术平方根，应看哪个正数的平方等于16，由此即可解决问题．
【详解】
∵（±4）2=16，
∴16的算术平方根是4．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了算术平方根的运算．一个数的算术平方根应该是非负数．
3．A
解析：A
首先根据479<<可以得出23<
<2的范围即可. 【详解】
∵23<<，
∴22232-<
<-，
∴021<<，
2-的值大于0，小于1.
所以答案为A 选项.
【点睛】
本题主要考查了无理数的估算，熟练找出无理数的整数范围是解题关键.
4．C
解析：C
【分析】
根据算术平方根的非负性求出x ，y ，然后再求x+y 即可；
【详解】
解：由题意得：x-2=0，y+8=0
∴x=2，y=-8
∴x+y=2+（-8）=-6
故答案为C.
【点睛】
本题考查了算术平方根的非负性，掌握若干个非负数之和为0，则每个非负数都为0是解答本题的关键.
5．D
解析：D
【分析】
根据实数、无理数，算术平方根的意义和实数的大小比较方法逐一进行判断即可得到答案.
【详解】
是无理数，正确；
是实数，正确；
是2的算术平方根，正确；
④12，正确．
故选：D
【点睛】
本题考查了实数、无理数，算术平方根的意义和实数的大小比较方法等知识点，是常考题型.
6．D
解析：D
利用算术平方根、平方根、立方根的定义解答即可.
【详解】
54
=，错误； B. x 2的算术平方根是x ，错误；
C. 平方根是它本身的数为0，错误；
=8,8 的立方根是2，正确；
故选D.
【点睛】
此题考查算术平方根、平方根、立方根的定义，正确理解相关定义是解题关键.
7．B
解析：B
【分析】
【详解】
由被开方数越大算术平方根越大，得由不等式的性质得：故选B.
【点睛】
本题考查了实数与数轴，无理数大小的估算,解题的关键正确估算无理数的大小.
8．D
解析：D
【分析】
根据平方根的定义，判断A 与B 的正误，根据无理数的定义判断C 的正误，根据算术平方根的定义判断D 的正误．
【详解】
±3，故A 正确；
211()24-=，则12-是14
的平方根，故B 正确；
2=是有理数，则带根号的数不一定是无理数，故C 正确；
∵a 2的算术平方根是|a|，
∴当a≥0，算术平方根为a ，当a ＜0时，算术平方是﹣a ，
故a 2的算术平方根是a 不正确．故D 不一定正确；
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了平方根，算术平方根，无理数的定义，熟记几个定义是解题的关键．
9．B
解析：B
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】
解：
337，13
是有理数， π是无理数，
故选B ．
【点睛】 此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为
无理数．如π，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
10．A
解析：A
【分析】
根据立方根与平方根的定义即可求出答案．
【详解】
2＝25，
∴25的平方根是±5，
﹣125的立方根是﹣5，
∴a ＝±5，b ＝﹣5，
当a ＝5时，
原式＝5﹣（﹣5）＝10，
当a ＝﹣5时，
原式＝﹣5﹣（﹣5）＝0，
故选：A ．
【点睛】
本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练运用平方根与立方根的定义，本题属于基础题型．
二、填空题
11．±2
【分析】
先根据立方根得出x 的值，然后求平方根．
【详解】
∵x+1是125的立方根
∴x+1=，解得：x=4
∴x 的平方根是±2
故答案为：±2
本题考查立方根和平方根，注意一个正
解析：±2
【分析】
先根据立方根得出x 的值，然后求平方根．
【详解】
∵x+1是125的立方根
∴x+1=3125，解得：x=4
∴x 的平方根是±2
故答案为：±2
【点睛】
本题考查立方根和平方根，注意一个正数的平方根有2个，算术平方根只有1个．
12．【详解】
解：这个数是
解析：
【详解】
解：2(4)16,±=∴这个数是4±
13．±27
【分析】
根据a 的平方等于9，先求出a ，再计算a3即可．
【详解】
∵（±3）2=9，
∴平方等于9的数为±3，
又∵33=27，（-3）3=-27．
故答案为±27．
【点睛】
本题考查了
解析：±27
【分析】
根据a 的平方等于9，先求出a ，再计算a 3即可．
【详解】
∵（±3）2=9，
∴平方等于9的数为±3，
又∵33=27，（-3）3=-27．
故答案为±27．
【点睛】
本题考查了平方根及有理数的乘方．解题的关键是掌握平方根的概念及有理数乘方的法则.
14．π（答案不唯一）．
【解析】
考点：估算无理数的大小．
分析：按要求找到3到4之间的无理数须使被开方数大于9小于16即可求解．解：3到4之间的无理数π．
答案不唯一．
解析：π（答案不唯一）．
【解析】
考点：估算无理数的大小．
分析：按要求找到3到4之间的无理数须使被开方数大于9小于16即可求解．
解：3到4之间的无理数π．
答案不唯一．
15．-1．
【分析】
根据多项式的乘法得出字母的值，进而代入解答即可．
【详解】
解：（x+1）5＝x5+5x4+10x3+10x2+5x+1，
∵（x+1）5＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+
解析：-1．
【分析】
根据多项式的乘法得出字母的值，进而代入解答即可．
【详解】
解：（x+1）5＝x5+5x4+10x3+10x2+5x+1，
∵（x+1）5＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，
∴a0＝1，a1＝5，a2＝10，a3＝10，a4＝5，a5＝1，
把a0＝1，a1＝5，a2＝10，a3＝10，a4＝5，a5＝1代入﹣32a0+16a1﹣8a2+4a3﹣2a4+a5中，可得：﹣32a0+16a1﹣8a2+4a3﹣2a4+a5＝﹣32+80﹣80+40﹣10+1＝﹣1，
故答案为：﹣1
【点睛】
本题考查了代数式求值，解题的关键是根据题意求得a0，a1，a2，a3，a4，a5的值. 16．①③
【解析】
【分析】
题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．
【详解】
(?3)※4=?3×4+4=?8，所以①正确；
a※b=ab+b，b※a=ab+a，若a=b ，两式
【解析】
【分析】
题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．
【详解】
(?3)※4=?3×4+4=?8，所以①正确；
a※b=ab+b，b※a=ab+a，若a=b，两式相等，若a≠b，则两式不相等，所以②错误；
方程(x?4) )※3=6化为3(x?4)+3=6，解得x=5，所以③正确；
左边=(a※b)※c=(a×b+b) )※c=(a×b+b)·c+c=abc+bc+c
右边=a※（b※c）=a※(b×c+c)=a(b×c+c) +(b×c+c)=abc+ac+bc+c2
两式不相等，所以④错误．
综上所述，正确的说法有①③．
故答案为①③.
【点睛】
有理数的混合运算, 解一元一次方程，属于定义新运算专题，解决本题的关键突破口是准确理解新定义．本题主要考查学生综合分析能力、运算能力．
17．4
【解析】根据题意可得（﹣2）※x=﹣2+2x，进而可得方程﹣2+2x=2+x，解得：x=4.
故答案为：4．
点睛：此题是一个阅读理解型的新运算法则题，解题关键是明确新运算法则的特点，然后直接根
解析：4
【解析】根据题意可得（﹣2）※x=﹣2+2x，进而可得方程﹣2+2x=2+x，解得：x=4.
故答案为：4．
点睛：此题是一个阅读理解型的新运算法则题，解题关键是明确新运算法则的特点，然后直接根据新定义的代数式计算即可.
18．【分析】
令，然后两边同时乘以3，接下来根据题目中的方法计算即可．
【详解】
令
则
∴
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算问题，掌握题目中的运算技巧以及有理数混合运
解析：2021312
- 【分析】
令23202013333S =+++++，然后两边同时乘以3，接下来根据题目中的方法计算即可．
【详解】
令23202013333S =+++++ 则23202133333S =++++
∴2021331S S -=- ∴2021312
S -= 故答案为：2021312
-． 【点睛】
本题考查了有理数的混合运算问题，掌握题目中的运算技巧以及有理数混合运算法则是解题的关键．
19．12
【分析】
先根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据无理数的估算得出b 的值，然后计算有理数的乘法即可．
【详解】
，即
的整数部分是2，即
则
故答案为：．
【点睛】
本题考查了算术平方根的
解析：12
【分析】
先根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据无理数的估算得出b 的值，然后计算有理数的乘法即可．
【详解】
6a ==
479
<<
<<23
<<
∴
的整数部分是2，即2
b=
则6212
ab=?=
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b的值是解题关键．
20．1
【分析】
分别求出第1次到第7次的输出结果，发现从第4次输出的结果开始，每三次结果开始循环一次，则可确定第2019次输出的结果与第6次输出的结果相同．【详解】
解：x=7时，第1次输出的结果为
解析：1
【分析】
分别求出第1次到第7次的输出结果，发现从第4次输出的结果开始，每三次结果开始循环一次，则可确定第2019次输出的结果与第6次输出的结果相同．
【详解】
解：x=7时，第1次输出的结果为10，
x=10时，第2次输出的结果为1
105 2
?=，
x=5时，第3次输出的结果为5+3=8，
x=8时，第4次输出的结果为1
84 2
?=，
x=4时，第5次输出的结果为1
42 2
?=，
x=2时，第6次输出的结果为1
21 2
?=，
x=1时，第7次输出的结果为1+3=4，……，
由此发现，从第4次输出的结果开始，每三次结果开始循环一次，
∵(2019﹣3)÷3=672，
∴第2019次输出的结果与第6次输出的结果相同，
∴第2019次输出的结果为1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了程序框图和与实数运算相关的规律题；根据题意，求出一部分输出结果，从而发现结果的循环规律是解题的关键．
三、解答题
21．（1）20cm ；（2）不能剪出长宽之比为5：4，且面积为2360cm 的大长方形，理由详见解析
【分析】
（1）根据已知得到大正方形的面积为4002cm ，求出算术平方根即为大正方形的边长； （2）设长方形纸片的长为5xcm ，宽为4xcm ，根据面积列得54360x x ?=，求出
x =520x =>，由此判断不能裁出符合条件的大正方形.
【详解】
（1）∵用两个面积为2200cm 的小正方形拼成一个大的正方形，
∴大正方形的面积为4002cm ，
20cm =
故答案为：20cm ；
（2）设长方形纸片的长为5xcm ，宽为4xcm ，
54360x x ?=，
解得：x =
520x =>，
答：不能剪出长宽之比为5：4，且面积为2360cm 的大长方形.
【点睛】
此题考查利用算术平方根解决实际问题，利用平方根解方程，正确理解题意是解题的关键.
22．（1）48；（2）28
【分析】
（1）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．
（2）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．
【详解】
解：（1）第一步：10=100=，11059210100000000<<，
10100∴<，
∴能确定110592的立方根是个两位数．
第二步：110592的个位数是2，38512=，
∴能确定110592的立方根的个位数是8．
第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，
，则45<<，可得4050<，
由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；
（2）第一步：10=100=，1000219521000000<<，
∴<，
10100
∴能确定21952的立方根是个两位数．
=，
第二步：21952的个位数是2，38512
∴能确定21952的立方根的个位数是8．
第三步：如果划去21952后面的三位952得到数21，
<，可得2030，
23
由此能确定21952的立方根的十位数是2，因此21952的立方根是28．
=，
28
故答案为：28．
【点睛】
本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．
23．(1)3；(2)2，3，4(3)3
【分析】
（1的大小，再根据新定义可得结果；
（2）根据定义可知12，可得满足题意的m的整数值；
（3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为2.
【详解】
解：（1）根据新定义可得，，故答案为3；
（2）∵{m}=2，根据新定义可得，1，可得m的整数值为2,3,4，故答案为2,3,4；（3）∵{100}=10，{10}=4，{4}=2，∴对100进行连续求根整数，3次后结果为2；故答案为3.
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查了对新定义的理解能力，准确理解新定义是解题的关键.
24．(1)3；(2)－24；(3)成立．
【解析】
【分析】
（1）按照给定的运算程序，一步一步计算即可；
（2）先按新定义运算，先计算（-2）⊕6、再将所得结果-19与3计算规定运算可得；（3）成立，按新定义分别运算即可说明理由．
【详解】
(1)5⊕4＝5×4－2×5－2×4＋1
＝20－10－8＋1
＝2＋1
＝3.
(2)原式＝[－2×6－2×(－2)－2×6＋1]⊕3
＝(－12＋4－12＋1)⊕3
＝－19⊕3
＝－19×3－2×(－19)－2×3＋1
＝－24.
(3)成立．
∵a ⊕b ＝ab －2a －2b ＋1，b ⊕a ＝ab －2b －2a ＋1，
∴a ⊕b ＝b ⊕a ，
∴定义的新运算“⊕”交换律还成立．
【点睛】
此题是定义新运算题型．直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．
25．（1）9；（2）3-；（3）-3；（4）1
【分析】
（1）分别根据绝对值的代数意义、有理数的乘方以及算术平方根运算法则进行计算即可； （2）先去绝对值，再合并即可；
（3）先分别根据算术平方根以及立方根的意义进行化简，再进行回头运算即可得解； （4）先分别根据算术平方根以及立方根的意义进行化简，再进行回头运算即可得解．
【详解】
（1）2|2|(3)-+-=2+9-2
=9；
（2）|2||1|+-
=21
=3-
（3 =13+522
- =-3；
（4
= =524433
--+ =1．
【点睛】
此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
26．23>-
【分析】
根据例题得到2(3)5--=-5.
【详解】
解：2(3)5--=- ∵
<，
∴45<
<， ∴2(3)50-=->，
∴
23>-.
【点睛】
此题考查实数的大小比较方法，两个实数可以利用做差法比较大小.