函数关系的建立教案
函数关系的建立
例1、 要建造一个高为3米，容积为48立方米的无盖的长方体储水池，已知池底的造价为
每平方米1500元，池壁的造价为每平方米1000元，试将该储水池的总造价y 表示成池底一边长x 的函数。
例2、 某产品在制造过程中，次品率p 依赖于日产量x （件），已知
*1(0100)()1011(100)x p x N x x ?<≤?=?-??>?
若该厂每产出一件正品，可盈利A 元（A>0），但每生产出一件次品，就要亏损3
A 元。试将该厂的日盈利额T （元）（T>0）表示成日产量x （件）的函数，并指出该函数的定义域。 例3、如图所示，设矩形ABCD （AB>CD ）周长为2，把△ABC 沿对角线翻折0
180到
△'AB C 位置，'AB 与CD 相交于点P ，若设AB=x ，试将△ADP 的面积S 表示成x 的函数
A D
C
例４、在企业间对口扶贫活动中，企业甲将经营状态良好的某种消费品专家卖店无偿转赠给小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费3600元的开支，在企业甲提供的资料中有一下三种部分内容：
（ⅰ）这种消费品的进价每件14元
（ⅱ）该店月销售量Q （百件）与销售单价P(元)的关系如图3-7
（ⅲ）每月另外还需其他开支2000元
（1） 写出销售量Q （百件）与销售单价P （元）的函数解析式；企业乙的月利润W （元）
与商品销售单价P （元）的函数解析式。
（2） 为使该店至少能维持职工生活，商品的单价应确定在什么范围内？
（注：图在导引82页图3-7）
例5、已知高为H 、体积为0V 的立体水瓶，向瓶中注水，注满为止。若注水量V 与水面高度h 的函数关系如图3-8所示，则水瓶的形状是图3-9中的（）
例6、心理学家发现，小学生的注意力集中程度依赖于老师讲解问题的时间，讲解开始时，学生的注意力集中，中间有一段时间注意力一般，随后注意力开始分散，用f(x)表示学生注意力集中程度的指数，x 表示老师讲解的时间（单位为：分）。若注意力集中程度的指数的
模拟函数20.1(13)59.9(010)()59(1016)3107(1630)x x f x x x x ?--+<≤?=<≤??-+<≤?
（1） 开讲后5分钟时与开讲后20分钟时，学生的注意力程度的指数哪一时刻更高一些？
（2） 如果解决某个数学应用题至少需要注意力指数为55，且解决该问题的时间需要10
分钟，那么老师能否在30分钟的一节课内完成？
练习二
1、 有一个盛水的容器，从上方均匀注水如器，最后把容器注满，在注水过程中的水面高度
如图所示，试问与图相应的容器的形状的剖面图是
A
B C D
图3-9
图3-8
2、 在某种材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由电脑记录后显示的图像如图所
示：
① 前5分钟温度增加的速度越来越快；
② 前5分钟温度增加的速度越来越慢；
③ 5分钟以后温度保持匀速增加；
④ 5分钟以后温度保持不变。
以上四种说法正确的是
（A ）①与③； （B ）②与④； （C ）②与③ （D ）③与④。
3、已知f （x ）是二次函数，其图像过原点，且f （1）=1，f （-1）=5，写出f （x ）的表达式。
4、根据图中的函数图像，用解析式将y 表示成x 的函数，并求出函数的值域。
（图在导引86页第4题）
B C D
5、一个等腰三角形的周长为20，底边长为y ，腰长为x ，用解析式将y 表示成x 的函数。
6、一块长方形形金属薄片，它的长是26厘米，宽是14厘米，在它的四个角上都有剪去一个边长是x 厘米的小正方形，然后折成一个容积为V 立方厘米的无盖长方体盒子（如图，途图中单位：厘米）。试写出将V 表示成x 的函数解析式。
（图在导引86页第6题）
7、把一块边长为50cm 的正三角形ABC 的木板，截成一块矩形木板，使矩形的一条边GH 在正三角形的边BC 上，其边的两个端点E 、F 分别在正三角形的另外两边AB 、AC 上（如图），设EF 为x 厘米，矩形面积为S 平
方厘米。写出S=f （x ）的函数解析式。 （图在导引86页第7题）
8、正三角形ABC 的边长为１０cm ，动点P 从点A 处出发，沿着AB 、BC 到点C 处。设点P 所经过的路程为x ，△APC 的面积为y ，求y 关于x 的函数的解析式。
G H
9、火车驶出A 站5千米后，以60千米/时的速度行驶了50分钟，用解析式将这段时间内火车与A 站的距离s （千米）表示成时间t （时）的函数。
10、△ABC 是边长为１的正三角形，AD 为BC 边上的高，动点P 有顶点A 出发，按逆时针方向在△ABC 边界上移动一周，设点P 所移动的路程为x ，点P 到AD 的距离PQ ＝y （如图），用解析式将y 表示成x 的函数。（图在导引8７页第１０
题）
１１、如图，四边形ABCD 是平行四边形，AB=1，AD=2，∠BAD=0
60，动
直线l 垂直于AB 所在直线，l 从点A 起向右平行移动，分别交平行四边形于不同的两点P 、Q ，设直线l 与点A 的距离为x ，写出用x 表示△APQ 的面积S 的函数解析式S （x ）。 （图在导引8７页第１1题）
12、轮船每小时使用的燃料费P 与轮船的速度v 的立方成正比（即P=3kv ，k 是常数），已知某轮船的最大船速度是20海里/时，且当速度为10海里/时时，它的燃料费是每小时30元。轮船在行驶时还需其他费用，其他费用不论船速如何都是每小时300元。已知甲乙两地相距100海里，写出轮船从甲地行驶到乙地的总费用y 用船速v 表示的函数解析式（总费用
是燃料费与其它费用只和）
函数的运算
例1、 已知函数(
)1f x x =+，2()g x x =，求()()f x g x +。 例2、 已知函数2()2f x x =，1()g x x =
，设G （x ）=2x ，则函数G （x ）与f(x)g(x)
是不是同一个函数？为什么？
练习三
1、
一是函数()f x =()g x =，设G （x ）=f （x ）+g （x ），则函数G （x ）的定义域是
（A ）[1,+∞）； （B ）（-∞，0）∪（0，+∞）;
(C) (-∞，-1] (D)[-1,0) ∪（0，+∞）。
P
2、已知函数()
f x =
()g x =，设()()()F x f x g x =?，则函数F （x ）的解析式和定义域是
（A ）()F x =，(1,)x ∈+∞；
（B ）()F x =，(,0)(0,)x ∈-∞+∞；
（C ）()F x x
=，[1,)x ∈-+∞；
（D ）()F x x =
，[1,0)(0,)x ∈-+∞。
3、设函数()f x =1()1
g x x =-，求f （x ）+g （x ）。
4、 设函数()f x =21()23g x x x =
--，求f （x ）g （x ）。 5、设函数f （x ）=x ，1()g x x
=，求f （x ）+g （x ），f （x ）g （x ）。 5、已知函数1()21f x x x =+-，21()11
g x x x =+--，求F （x ）= f （x ）+g （x ）的解析式、定义域和值域。
7、已知2()
f x =，()2
g x x =+，做出F （x ）= f （x ）g （x ）的图像。
应用等量关系建立函数关系式
二、应用等量关系建立函数关系式 典型例题： 例1. （2012宁夏区10分）某超市销售一种新鲜“酸奶”，此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出.这种“酸奶”的保质期不超过一天，对当天未售出的“酸奶”必须全部做销毁处理. （1）该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售.若设售出酸奶的瓶数为x（瓶），销售酸奶的利润为y（元），写出这一天销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式。为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少应售出多少瓶？ （2）小明在社会调查活动中，了解到近10天当中，该超市每天购进酸奶20瓶的销售情况统计如下： 每天售出瓶数17 18 19 20 频数 1 2 2 5 根据上表，求该超市这10天每天销售酸奶的利润的平均数； （3）小明根据（2）中，10天酸奶的销售情况统计，计算得出在近10天当中，其实每天购进19瓶总获利要比每天购进20瓶总获利还多.你认为小明的说法有道理吗？试通过计算说明. 例2. （2012新疆区12分）库尔勒某乡A，B两村盛产香梨，A村有香梨200吨，B村有香梨300吨，现将这些香梨运到C，D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A 村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元．设从A村运往C仓库的香梨为x吨，A，B两村运香梨往两仓库的运输费用分别为y A元，y B 元． （1）请填写下表，并求出y A，y B与x之间的函数关系式； C D 总计 A x吨200吨 B 300吨 总计240吨260吨500吨 （2）当x为何值时， A村的运费较少？ （3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值．
第一章-集合与函数概念教案典型例题
集合与函数概念 知识点1：集合的含义 1》元素定义：我们把研究对象称为元素；集合定义：把一些元素组成的总体叫做集合2》集合表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3》集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 典例分析 … 题型1：判断是否形成集合 例1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流； （3）非负奇数；（4）方程x2+1=0的解； （5）某校2011级新生；（6）血压很高的人； （7）著名的数学家；（8）平面直角坐标系内所有第三象限的点 … 能组成集合的是___________________。 例2：考察下列对象能形成一个集合的是____________________。 ①身材高大的人②所有的一元二次方程 ③直角坐标平面上纵横坐标相等的点④细长的矩形的全体 ⑤比2大的几个数⑥2的近似值的全体 ⑦所有的小正数⑧所有的数学难题 : 知识点2：集合元素的特征以及集合与元素之间的关系 1》集合的元素特征： ①确定性：给定一个集合，一个元素在不在这个集合中就确定了。 ②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. ， 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}
2》元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ①若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A a ∈A ； ②若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ?A 。 注意：常见数集 ①非负整数集（或自然数集），记作N ； ②正整数集，记作N * 或N +； ③整数集，记作Z ； ④有理数集，记作Q ； ⑤实数集，记作R ； ^ 典例分析 题型1：集合中元素的互异性的考察 例1：由实数-a, a, a , a 2 , - 5 a 5 为元素组成的集合中,最多有_______个元素，分别为__________。 例2：设a,b,c 分别为非零实数，则c c b b a a y ++= 所有的值构成的集合中元素分别为______________。 # 例3：含有三个实数的集合可表示为{1,,a b a }，也可表示为{0,,2 b a a +}，则=+20142013b a _________。 例4：集合{2,1,12 --x x }中的x 不能取得值有_______个。 例5：由4,2,2 a a -组成1个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ） A 、1 B 、-2 C 、6 D 、2 ￥ 例6：以实数a ２ ，2-a.,4为元素组成一个集合A ，A 中含有2个元素，则的a 值为 . 题型2：集合与元素之间关系的考察 例1：用“∈”或“ ?”符号填空： （1）8 N ； （2）0 N ； （3）-3 Z ； （4； （5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A 。 … 例2：给出下面四个关系: 3∈R, 0.7?Q, 0∈{0}, 0∈N,其中正确的个数是:( )
集合与函数概念单元测试题_有答案
高一数学集合与函数测试题 一、 选择题（每题5分，共60分） 1、下列各组对象：○12008年北京奥运会上所有的比赛项目；○2《高中数学》必修1中的所有难题；○3所有质数；○4平面上到点(1,1)的距离等于5的点的全体；○5在数轴上与原点O 非常近的点。其中能构成集合的有（ ） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组 2、下列集合中与集合{21,}x x k k N +=+∈不相等的是（ ） A ．{23,}x x k k N =+∈ B ．{41,}x x k k N +=±∈ C ．{21,}x x k k N =+∈ D ．{23,3,}x x k k k Z =-≥∈ 3、设221()1x f x x -=+，则(2)1()2 f f 等于（ ） A ．1 B ．1- C ．35 D ．35- 4、已知集合2{40}A x x =-=，集合{1}B x ax ==，若B A ?，则实数a 的值是（ ） A ．0 B ．12± C ．0或12± D ．0或12 5、已知集合{(,)2}A x y x y =+=，{(,)4}B x y x y =-=，则A B =I （ ） A ．{3,1}x y ==- B ．(3,1)- C ．{3,1}- D ．{(3,1)}- 6、下列各组函数)()(x g x f 与的图象相同的是（ ） （A ）2)()(,)(x x g x x f == （B ）22)1()(,)(+==x x g x x f （C ）0)(,1)(x x g x f == （D ）???-==x x x g x x f )(|,|)( )0()0(<≥x x 7、是定义在上的增函数,则不等式的解集
函数关系建立教案
数 学 教 案 天山中学 马谦 课题：函数关系的建立（第一课时） 一．教学目标 过程与方法：通过对实际问题的分析与解决，领会分析变量和建立函数关系的思考方法，体验函数模型建立的一般过程． 知识与能力：能够在解决简单的实际问题时建立两个变量间的函数关系式，并学会如何确定函数的定义域．初步形成把实际问题转化成数学问题的建模能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，加深对事物运动变化和相互联系的认识，初步学会用函数的观点去观察和分析客观事物． 二【教学重点】 建立实际问题中两个变量间的函数关系． 三【教学难点】 把实际问题转化成数学问题，建立函数关系并确定它的定义域． 四、教学流程设计 五、教学过程设 计 （一）、提出问题 引入新课 1．问题1.用一根长为l 的铁丝,制成如图所 示的框架,问如何设计,使得框架的面积S 最大. 2.分析: 分析:设矩形框架的宽为x ,那么长为2 4x l - 面积=长?宽, 所以,24x l x S -?=
∴ x l x S 222- -=, 又,024>-x l 且0>x , ∴4 0l x << ∴x l x S 222--= (4 0l x <<) 我们今天就先学习如何建立函数关系. 3.小结 建立函数关系解题的步骤: (1)仔细审题,设出适当的自变量 (2)找出等量关系,列出函数关系式 (3)根据问题的要求,作适当的变形 (4)根据实际要求,写出函数定义域 [说明] 理解函数的概念,目的是进一步通过建立函数关系解决实际问题,从一个简单的实际问题1的提出,能引起学生的思考,学生能体会到要用数学方法解决这个实际问题时,首先要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式表示出来.说明建立函数关系的重要性,对于函数的最值问题在以后的函数性质中再解决. （二）、尝试方法 体验过程 问题2 如图，有一个圆柱形的无盖纸杯，它的表面积是100cm 2（杯子的厚度忽略不计），设底面的半径为x (cm ) （1）写出杯子的高度h (cm )关于x (cm )的函数关系式； （2）写出杯子的容积V (cm 3)关于x (cm )的函数关系式。 解：根据题意， （1）表面积等于底面积与侧面积之和，则 h x x ?+=ππ21002 化简整理得 x x h ππ21002-= 另一方面，根据实际意义，必须x ＞0且1002 几何图形中函数解析式的求法 函数是初中数学的重要容，也是初中数学和高中数学有相关联系的细节，在历年的中考试题中都占有重要的份量，而求函数的解析式则成为中考的热点。求函数的解析式的方法是多种多样的，但是学生往往把思维固定在用“待定系数法”去求函数的解析式。而使用待定系数法去求函数的解析式的大前提是必须根据题目的条件，选用恰当函数（如正、反比例函数，一次、二次函数）的表达式。如果题目中能根据直接条件或间接条件给出函数的类型，当然是选用待定系数法求函数的解析式。 但我们发现，在几何图形中求函数解析式却成为初中数学考试的常见题、压轴题。同时我们也发现，在几何图形中求函数解析式往往是无法确定所求函数的类型，因此用待定系数法进行解题是行不通的。我们知道，函数的解析式也是等式，要建立函数解析式，关键是运用已知条件在几何图形中找出等量关系，列出以变量有关的等式。下面以几个例子来探求在几何图形中建立函数解析式的常见类型和解题途径。 一、 用图形的面积公式确立等量关系 例1、如图1，正方形ABCD 的边长为2，有一点P 在BC 上运动，设PB=x ，梯形APCD 的面积为y （1）求y 与x 的函数关系式； （2）如果S △ABP =S 体型APCD 请确定P 的位置。 分析：本题所给的变量y 是梯形的面积，因此可根据梯形面积公式 B C A D P 图1 A D C B E F G N 图2 S=2 1（上底+下底）×高 ，分别找出上底、下底、高问题可获解决。因为上底CP=x -2，下底AD=2，高CD=2，于是由梯形面积公式建立两个变量之间的等量关系，2)22(21?+-=x y ，整理得：22 2 +-=x y 。（2）略 例2、如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，AD=a ，BC=2a ，CD=2，四边形EFCG 是矩形，点E 、G 分别在腰AB 、CD 上，点F 在BC 上。设 EF=x ，矩形EFCG 的面积为y 。（2002年中考题） （1）求y 与x 的函数关系式； （2）当矩形EFCG 的面积等于梯形ABCD 的面积的一半时，求x 的值； （3）当∠ABC=30°时，矩形EFCG 是否能成正方形，若能求其边长，若不能试说明理由。 分析：本题所给的变量y 值是矩形的面积，因此根据矩形面积公式S=长×宽，若能算出长FC 与宽EF ，或者用变量x 、y 表示FC 和EF ，则问题可获解决。其中宽EF=x ，问题归结为求出长FC ，从而两个变量x 、 y 之间的关系通过矩形面积公式建立了。 解：（1）过点A 作AN ⊥BC 于N ，因为在矩形EFCG 中，EF ⊥BC ， ∴EF ∥AN ∴ AN EF BN BF = 教师姓名学生姓名填写时间年级高一学科数学上课时间 阶段基础（√）提高（）强化（）课时计划第（）次课共（）次课 教学目标1、通过复习熟练掌握集合概念及其运算，以及集合的几种表示方法 2、通过复习熟练掌握函数的概念以及函数的性质，进一步体会运动变化、数形结合、代数转化以及集合与对应的数学思想方法 教学重难点教学重点：集合的概念与表示、集合的运算、函数的概念以及函数的性质教学难点：集合的运算、函数的概念以及性质的具体运用 教 学 过 程 课后作业：教学反思： 知识点一：集合的性质与运算 例1、已知集合{}2 1,1,3A x x =--,求实数x 应满足的条件. 例2、设{} 022=+-=q px x x A ，{} 05)2(62 =++++=q x p x x B ，若? ?????=21B A ， 则=B A （ ） （A ）??????-4,31 ,21 （B ）??????-4,21 （C ）??????31,21 (D)? ?????21 例3、如图U 是全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ） A 、 ()M P S B 、 ()M P S C 、()u M P C S D 、 ()u M P C S 例4、设集合{}21<≤-=x x M ，{} 0≤-=k x x N ，若M N M = ，则k 的取值范围（ ） （A ）(1,2)- （B ）[2,)+∞ （C ）(2,)+∞ (D)]2,1[- 例5、设{ }{} I a A a a =-=-+241222 ，，，，，若{}1I C A =-，则a =__________。 知识点二：判断两函数是否为同一个函数 例6、试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）2)(x x f =，33)(x x g =； （2）x x x f =)(，?? ?<-≥=; 01 , 01 )(x x x g （3）1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *）； （4）x x f =)(1+x ，x x x g += 2)(； （5）12)(2--=x x x f ，12)(2--=t t t g 新课标数学必修1第一章集合与函数概念测试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。 1．用描述法表示一元二次方程的全体，应是 （ ） A ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ｝ B ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ C ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ｝ D ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ 2．图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3．设集合P=｛立方后等于自身的数｝，那么集合P 的真子集个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 4．设P=｛质数｝，Q=｛偶数｝，则P ∩Q 等于 （ ） A ． B ．2 C ．｛2｝ D ．N 5．设函数x y 111+=的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ） A ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ≠0｝ B ．M=｛x ｜x ＜0且x ≠－1，或x ＞0}，N={y ｜y ＜0，或0＜y ＜1，或y ＞1} C ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ∈R ｝ D ．M=｛x ｜x ＜－1，或－1＜x ＜0，或x ＞0＝，N=｛y ｜y ≠0｝ 6．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50t C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =?????≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150) 5.20(,60t t t t t 7．已知g (x )=1-2x,f [g (x )]=)0(122≠-x x x ,则f (21)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 8．函数y=x x ++-1912是（ ） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。 1．用描述法表示一元二次方程的全体，应是 （ ） A ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ｝ B ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ C ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ｝ D ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ 2．图中阴影部分所表示的集合是（ ） ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3．设集合P=｛立方后等于自身的数｝，那么集合P 的真子集个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 4．设P=｛质数｝，Q=｛偶数｝，则P ∩Q 等于 （ ） A ． B ．2 C ．｛2｝ D ．N 5．设函数x y 111 +=的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ） A ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ≠0｝ B ．M=｛x ｜x ＜0且x ≠－1，或x ＞0}，N={y ｜y ＜0，或0＜y ＜1，或y ＞1} C ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ∈R ｝ D ．M=｛x ｜x ＜－1，或－1＜x ＜0，或x ＞0＝，N=｛y ｜y ≠0｝ 6．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50t C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =? ????≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t 7．已知g (x )=1-2x,f [g (x )]=)0(12 2≠-x x x ,则f (21)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 8．函数y=x x ++-1912是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶数 怎样求一次函数关系式？ 广东 林伟杰 一次函数关系式)0(≠+=k b kx y 中有两个待定系数k 和b ，确定了它们就确定了一个一次函数，故一般需要两个条件才能确定一个一次函数.现结合实例介绍求一次函数关系式的方法，供同学们学习时参考. 一、利用代入坐标法求一次函数关系式 例1 已知一次函数的图象经过（1,5）和（3,9）两点，求此一次函数关系式. 分析：先设函数关系式为b kx y +=，然后代入坐标建立方程组，求出方程组的解后再代回所设关系式即可. 解：设所求函数关系式为b kx y +=，则由题意，得???+=+=,39,5b k b k 故? ??==.3,2b k 故所求的函数关系式是32+=x y . 点评：图象上每一点的横坐标和纵坐标都是此函数中自变量与函数的一对对应值，据此可通过建立二元一次方程组来求一次函数关系式. 二、根据直线间的位置关系求一次函数关系式 例2 某一次函数的图象过点（2,1）且与直线32+-=x y 相交于y 轴上的同一点，求此一次函数的关系式. 分析：因直线32+-=x y 与y 轴的交点是（0,3），故设函数关系式为3+=kx y ，代入点（2,1）可求出k ，进而可得关系式. 解：因直线32+-=x y 交y 轴于点（0,3），故某一次函数的图象也与y 轴相交于点（0,3），故设其关系式为3+=kx y ，代入点（2,1），得321+=k ，故1-=k ，故关系式为3+-=x y . 点评：由已知条件得出图象与y 轴的交点坐标，进而正确设出所求关系式是解本题的关键. 三、根据表格信息求一次函数关系式 例3 商店出售某商品时，在进价的基础上加一定的利润，其数量x 与售价y 的关系如下表所示，请根据表中提供的信息求出y 与x 的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价. 分析：由表可知，当1=x 时， 4.08+=y ；当2=x 时， )4.08(28.016+=+=y ；当3=x 时， )4.08(32.124+=+=y ；当4=x 时，)4.08(46.132+=+=y ；…… 故x x y 4.8)4.08(=+=. 解：由表中信息可求得函数关系式是x x y 4.8)4.08(=+=（正比例函数是一次函数的特例）.当5.2=x 千克时，214.85.2=?=y （元）. 四、根据图象信息求一次函数关系式 例4 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，若超过规定，则要购买 集合（第1课时） 一、知识目标：①内容：初步理解集合的基本概念，常用数集，集合元素的特征 等集合的基础知识。 ②重点：集合的基本概念及集合元素的特征 ③难点：元素与集合的关系 ④注意点：注意元素与集合的关系的理解与判断；注意集合中元 素的基本属性的理解与把握。 二、能力目标：①由判断一组对象是否能组成集合及其对象是否从属已知集合， 培养分析、判断的能力； ②由集合的学习感受数学的简洁美与和谐统一美。 三、教学过程： Ⅰ）情景设置： 军训期间，我们经常会听到教官在高喊：（x）的全体同学集合！听到口令，咱们班的全体同学便会从四面八方聚集到教官的身边，而那些不是咱们班的学生便会自动走开。这样一来教官的一声“集合”（动词）就把“某些指定的对象集在一起”了。数学中的“集合”这一概念并不是教官所用的动词意义下的概念，而是一个名词性质的概念，同学们在教官的集合号令下形成的整体即是数学中的集合的涵义。 Ⅱ）探求与研究： ①一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。 问题：同学们能不能举出一些集合的例子呢？（板书学生们所举出的一些例子） ②为了明确地告诉大家，是哪些“指定的对象”被集在了一起并作为一个 整体来看待，就用大括号{ }将这些指定的对象括起来，以示它作为一个 整体是一个集合，同时为了讨论起来更方便，又常用大写的拉丁字母A、 B、C……来表示不同的集合，如同学们刚才所举的各例就可分别记 为……（板书） 另外，我们将集合中的“每个对象”叫做这个集合的元素，并用小写字 母a、b、c……（或x1、x2、x3……）表示 同学口答课本P5练习中的第1大题 ③分析刚才同学们所举出的集合例子，引出： 对某具体对象a与集合A，如果a是集合A中的元素，就说a属于集合 A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作 a A ④再次分析同学们刚才所举出的一些集合的例子，师生共同讨论得出结论： 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。 然后请同学们分别阅读课本P5和P40上相关的内容。 ⑤在数学里使用最多的集合当然是数集，请同学们阅读课本P4上与数集有 关的内容，并思考：常用的数集有哪些？各用什么专用字母来表示？你 能分别说出各数集中的几个元素吗？（板书N、Z、Q、R、N*（或N+）） 注意：数0是自然数集中的元素。这与同学们脑子里原来的自然数就是 1、2、3、4……的概念有所不同 同学们完成课本P5练习第2大题。 集合与函数概念单元测试 一、选择题 1．集合},{b a 的子集有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2、已知函数x x f -=21)(的定义域为M ，2)(+=x x g 的定义域为N ，则=?N M A.{}2-≥x x B.{}2 10.已知函数212x y x ?+=?-? (0)(0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是（ ） A ．-2 B ．2或52- C ． 2或-2 D ．2或-2或52 - 11.下列四个函数中，在（0，∞）上为增函数的是 （A ）f （x ）＝3－x （B ）f （x ）＝x 2－3x （C ）f （x ）＝－｜x ｜ （D ）f （x ）＝－2 3+x 12、定义在R 上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞]上是减函数，又6)7(=f ，则)(x f A 、在[－7，0]上是增函数，且最大值是6 B 、在[－7，0]上是增函数，且最小值是6 C 、在[－7，0]上是减函数，且最小值是6 D 、在[－7，0]上是减函数，且最大值是6 二、填空题 13.已知集合M={(x ，y )|x ＋y =2}，N={(x ，y )|x －y =4}，那么集合M∩N＝ ． 14.已知f （x ）是偶函数，当x ＜0时，f （x ）＝x （2x －1），则当x ＞0时，f （x ）＝＿＿ 15． 设f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x-1)，则g(x)= ． 16．定义域为2[32,4]a a --上的函数f(x)是奇函数，则a= ． 17．设32()3,()2f x x x g x x =-=-，则(())g f x = ． 三．解答题 18．.已知集合A={-1，a 2+1,a 2-3},B={-4,a-1,a+1},且A∩B={-2}，求a 的值.(13分) 19．已知集合A={} 71<≤x x ，B={x|2 几何量之间的函数关系式的建立与应用 例1,正方形ABCD 的边长为1,在AB 上取一点P ，由P 作对角线AC 、BD 的平行线,方便交BC 、AD 于Q 、R ，令△PQR 的面积为Y ，求Y 取最大值时，点P 的位置。 例2，已知：在Rt △A BC 中，∠C=900，BC= a cm ，AC=b cm ，a>b ，且a 、b 是方程0)4()1(2=++--m x m x 的两根，当AB=5cm ，时，（1）求a 和b 的值；（2）若△A /B /C /与△ABC 完全重合，当△ABC 固定不动，将△A /B /C /沿BC 所在的直线向左以1厘米/秒的速度移动，设移动x 秒后△A /B /C /与△ABC 的重叠部分的面积为y 厘米2，求y 与x 之间的函数关系式；几秒后两个三角形重叠部分的面积等于 8 3 厘米2？ 例3，如图：在⊙O 的内接△ABC 中AB+AC=12，AD ⊥BC 于D ，AD=3，设⊙O 的半径为y,AB 的 长为x ， ① 写出y 与x 的函数关系式； ② 当AB 的长等于多少时，⊙O 的面积最大？并求出⊙O 的最大面积。 例4：如图：矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，线段EF 在对角线，AC 上，EG ⊥AD ，FH ⊥BC ，垂足为分 别G 、H ，且EG+FH=EF ，（1）求线段EF 的长；（2）设EG=x ，△AGE 与△CFH 的面积和为S ，写出x 的函数关系式及自变量x 的取值范围，并求出S 的最小值。 Q P R D C B A O D C B A E G D C B A H F 例5，矩形ABCD 中，BD=10，AD >AB ，设∠ABD=α，∠ADB=β，已知：sin α、sin β是方程01235252=+-x x 的两个根，点E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且EC+CF=4，设EC=x ，△AEF 的面积为y ，求：（1）AB 、AD 的长；（2）求出y 与x 之间的函数关系及自变量x 的取值范围；（3）当EF 在什么位置时，面积y 有最小值，并求出最小值。 例6，已知：抛物线q px x y ++= 2 2 1（0≠q ）与直线x y =交于两点A 、B ，与Y 轴交于点C ，且OA=OB ，BC ∥X 轴，（1）求p 、q 的值；（2）设D 、E 是线段AB 上异于A 、B 的两个动点（点E 在点D 的右上方），DE=2，过D 坐Y 轴的平行线交抛物线于点F ，设点D 的横坐标为t,△EDF 的面积为S ，把S 表示t 的函数，并求自变量t 的取值范围及S 的最大值。 C E F B A β D α A C F B D O E X Y 集合的概念及相关运算教学设计 一、教材分析 1.知识来源：集合的概念选自湖南教育出版社必修一中第一章集合与函数概念的第一小节； 2. 知识背景：作为现代数学基础的的集合论，集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学中一些冗长的文字语言．高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，作为一种数学简单符号来探究。通过本节课的学习，是阶段性的要求，学生将领悟集合的抽象性及其具体性，学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，逐渐发展运用数学语言进行交流的能力。 3.知识外延：集合相关知识的学习对于接下来函数的学习至关重要，高中函数的概念将建立在集合间关系的基础上的。 二、学情分析 1．学生心理特征分析：集合为高一上学期开学后的第一次授课知识，是学生从初中到高中的过渡知识，存在部分同学还沉浸在暑假的懒散中，从而增加了授课的难度。再者，与初中直观、具体、易懂的数学知识相比，集合尤其是无限集合就显得抽象、不易理解，这会给学生产生一定的心理负担，对高中数学知识的学习产生排斥心理。因此本节授课方法就显得十分重要。 2．学生知识结构分析：对于高一的新生来说，能够顺利进入高中知识的学习，基本功还是较扎实的，有良好的学习态度，也有一定的自主学习能力和探究能力。对集合概念的知识接纳和理解打下了良好的 基础，在教学过程中，充分调动学生已掌握的知识，增强学生的学习兴趣。 三、教学目标 (一)知识与技能目标 1．了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，掌握集合的基本运算。能从集合间的运算分析出集合的基本关系，同时对于分类讨论问题，能区分取交还是取并． 2．学会在具体的问题中选择恰当的集合表示方法，理解集合有限和无限的特征，理清“元素和集合关系”和“集合与集合关系”符号的区别，不混淆。 3.学会正确使用集合补集思想，即为“正难则反”的思想。 (二)过程与方法目标 1．通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内容网络化、系统化． 2．在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系，体会集合的本质． 3. 学生通过集合概念的学习，应掌握分类讨论思想、化简思想以及补集思想等。 (三)情感态度与价值观目标 1.在学生自主整理知识结构的过程中，认识到材料整理的必要性，从而形成及时反思的学习习惯，独立获取数学知识的能力。 2.在解决问题的过程中，学生感受到成功的喜悦，树立学好数学的 文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 函数关系的建立 例1、 要建造一个高为3米，容积为48立方米的无盖的长方体储水池，已知池底的造价为 每平方米1500元，池壁的造价为每平方米1000元，试将该储水池的总造价y 表示成池底一边长x 的函数。 例2、 某产品在制造过程中，次品率p 依赖于日产量x （件），已知 若该厂每产出一件正品，可盈利A 元（A>0），但每生产出一件次品，就要亏损3 A 元。试将该厂的日盈利额T （元）（T>0）表示成日产量x （件）的函数，并指出该函数的定义域。 例3、如图所示，设矩形ABCD （AB>CD ）周长为2，把△ABC 沿对角线翻折0 180到 △'AB C 位置，'AB 与CD 相交于点P ，若设AB=x ，试将△ADP 的面积S 表示成x 的函数 例４、在企业间对口扶贫活动中，企业甲将经营状态良好的某种消费品专家卖店无偿转赠给小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费3600元的开支，在企业甲提供的资料中有一下三种部分内容： （ⅰ）这种消费品的进价每件14元 （ⅱ）该店月销售量Q （百件）与销售单价P(元)的关系如图3-7 （ⅲ）每月另外还需其他开支2000元 （1） 写出销售量Q （百件）与销售单价P （元）的函数解析式；企业乙的月利润W （元） 与商品销售单价P （元）的函数解析式。 （2） 为使该店至少能维持职工生活，商品的单价应确定在什么范围内？ （注：图在导引82页图3-7） 例5、已知高为H 、体积为0V 的立体水瓶，向瓶中注水，注满为止。若注水量V 与水面高度h 的函数关系如图3-8所示，则水瓶的形状是图3-9中的（） 主 题 函数的概念与关系式 教学内容 1. 加深理解函数的概念； 2. 掌握求解函数定义域的基本方法. （以提问的形式回顾） 1. 初中阶段我们学过哪些函数？请分别画出他们的图像。 我们学过正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数。也会有学生说，常值函数也是可以的。 2. 对于二次函数2y x =当x 值确定了，y 值是否也唯一确定？，如果y 值确定了（y >0），是否x 值也唯一确定？ 当x 值确定了，y 值就唯一确定。但y 值确定了，x 值并没有唯一确定。 探究一： 一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标.炮弹的射高为845m ，且炮弹距离地面的高度h （单位：m ）随时间t （单位：s ）变化的规律是： 2 1305h t t =- 思考1：这里的变量t 的变化范围是什么？变量h 的变化范围是什么？试用集合表示？ 答：{|026},{|0845}A t t B h h =≤≤=≤≤ 思考2：高度变量h 与时间变量t 之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？ 答：从问题的实际意义可知，对于数集A 中的任意一个时间t ，按照对应关系h ，在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应.所以它们的对应关系是函数。其中t 是自变量。 探究二： 近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题. 下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况. 思考1：根据曲线分析，时间t 的变化范围是什么？臭氧层空洞面积S 的变化范围是什么？试用集合表示？ 答：{|19792001},{|026}A t t B S S =≤≤=≤≤ 思考2：时间变量t 与臭氧层空洞面积S 之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？ 答：对于数集A 中的任意一个时间t ，按照图中曲线，在数集B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S 和它对应.而数集B 中的某些值却有多个t 和它对应，并不唯一确定。自变量是t . 探究三： 思考1:从集合与对应的观点分析，上述两个实例中变量之间的关系都可以怎样描述？ 答：对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都有唯一确定的y 和它对应，记作 :f A B →. 思考2:上述两个实例中变量之间的关系都是函数，那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定义？ 答：设,A B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 ()()y f x x A =∈。其中，x 叫做自变量，与x 值相对应的y 值叫做函数值. 思考3:在一个函数中，自变量x 和函数值y 的变化范围都是集合，这两个集合分别叫什么名称？ 20 25 5 10 15 30 图1 26 25 t S O 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 第一章 集 合 1 、1、1集合的含义 【探索新知】 在小学、初中我们就接触过“集合”一词。 例子： （1）自然数集合、正整数集合、实数集合等。 （2）不等式0722>--x x 解的集合（简称解集）。 （3）方程0232=+-x x 解的集合。 （4）到角两边距离相等的点的集合。 （5）二次函数2x y = 图像上点的集合。 （6）锐角三角形的集合 （7）二元一次方程12=+y x 解的集合。 （8）某班所有桌子的集合。 现在，我们要进一步明确集合的概念。 问题1、从字面上看，怎样解释“集合”一词？ 2、如果上面例子中的数、点、图形、数对和物体等称为“研究对象”，那么集合又是什么呢？ 1、集合、元素的概念 再看例子 （9）质数的集合。 （10）反比例函数x y 1=图像上所有点。 （11）2x 、2 y xy +、22y - （12）所有周长为20厘米的三角形。 问题3、从集合中元素个数看，上面例子（1）（2）（4）（5）（6）（7）（9）（10）（12）与例子（3）（8）（11）有什么不同？ 2、有限集和无限集 指出：集合论是德国数学家Cantor （1845～1918）在十九世纪创立的，集合知识是现代数学的基本语言，为进一步研究数学提供了极大的便利。 集合、元素的记法 问题4、（1）集合、元素各用什么样的字母表示？ （2）N 、)(+*N N 、Z 、Q 、R 等各表示什么集合？ 元素与集合的关系 阅读教材填空: 如果a 是集合A 的元素 ， 就记作_________，读作“____________”； 如果a 不是集合A 的元素，就记作__ ____，读作“______ _____”. 用∈或?填空： 1、6______N ， 23-______Q ， 31_______Z ，14.3_______Q π_______Q ， 2、设不等式012>-x 的解集为A ，则 5_______A , 3-_______A 3、012=+-y x 的解集为B ，则)4,1(-_______B , )3,1(_______B , 2-_______B 问题5、元素a 与集合A 有几种可能的关系？ 集合的性质 ① 确定性： 例子1、下列整体是集合吗？ ①个子高的人的全体。②某本数学资料中难题的全体。③中国境内的海拔高的山峰的全体。 2、集合A 中的元素由∈Z,b ∈Z)组成，判断下列元素与集合A 的关系？ （1）0 （2 （3 ②互异性： 例子、集合M 中的元素为1，x ，x 2-x ，求x 的范围？ 第一章 集合与函数单元测试卷（巅峰版） 一、选择题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．设{ } 2 1M x x ==，则下列关系正确的是（ ） A ．1M ? B ．{}1,1M -∈ C ．{}1M -? D ．M φ∈ 【答案】C 【解析】 由题得{}1,1M =-， A. 元素“1”和集合M 的关系只能用∈?， 连接，不能用??，连接，所以该选项错误； B.{}1,1-和集合M 只能用??， 连接，不能用∈?，连接，所以该选项错误； C.{}1M -?正确； D. M φ∈，显然错误. 故选：C 2．（2019·唐山一中高一期中）已知集合A={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则?B A=（） A ．[3，+∞） B ．（3，+∞） C ．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 【答案】A 【解析】因为2 {|230}{|(1)(3)0}(1,3)A x x x x x x =--<=+-<=-，{ } 1 2 1(1,)x B x +==-+∞，所以 [3,)B C A =+∞；故选A. 3．（2019·苍南县树人中学高一期中）若对任意的实数x ∈R ，不等式2230x mx m ++-≥恒成立，则实数 m 的取值范围是 A ．[2,6]? B ．[6,2]-- C ．(2,6) D ．(6,2)-- 【答案】A 【解析】对任意实数x R ∈，不等式2230x mx m ++-≥恒成立，则224238120m m m m --=-+≤（）， 解得26m ≤≤，即实数m 的取值范围是[] 26， ，故选A. 4．（5分）已知集合2{|2530}A x x x =++<，集合{|20}B x x a =+>，若A B ?，则a 的取值范围是( ) A ．(3,)+∞ B ．[3，)+∞ C ．[1，)+∞ D ．(1,)+∞ 【分析】先分别求出集合A ，B ，由A B ?，能求出a 的取值范围． 【解答】解：Q 集合23 {|2530}{|1}2A x x x x x =++<=-<<-， 集合{|20}{|}2 a B x x a x x =+>=>-， A B ?， 3 22a ∴--…，解得3a … ． a ∴的取值范围是[3，)+∞． 故选：B ． 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集、子集、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 5．已知函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣6，1]，则函数g （x ）()212 f x x +=+的定义域是（ ） A ．（﹣∞．﹣2）∪（﹣2，3] B ．[﹣11，3] C ．[7 2- ，﹣2] D ．[7 2 - ，﹣2）∪（﹣2，0] 【答案】D 【解析】 由题可知，对应的x 应满足[]216,120 x x ?+∈-?+≠?，即(]7,22,02?? - --???? U 故选：D 6．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，()2 4f x x x =+，则()25f x +>的解集为（ ） A ．()(),73,-∞-+∞U B ．()(),33,-∞-+∞U C ．()(),71,-∞--+∞U D ．()(),53,-∞-+∞U 【答案】A 【解析】几何图形中函数解析式的求法(学法指导)
集合与函数概念复习教案一对一教案
集合与函数概念单元测试题(含答案)
集合与函数概念单元测试题(含答案)
怎样求一次函数关系式
人教版高中数学必修1第一章集合与函数概念-《1.1集合》教案
集合与函数概念单元测试
高二数学 几何量之间的函数关系式的建立与应
集合的概念教学设计
函数关系的建立教案(供参考)
函数的概念与关系式
人教版高中数学必修一第一章集合与函数概念教案
第一章 集合与函数概念单元测试卷(巅峰版)解析版-假期利器之暑假初升高数学衔接(人教A版必修一)