第9讲：变倍问题.

第8讲变倍问题

专题简介

1、所谓“变倍问题”，是指两个数量之间的倍数关系，随着一个或者两个数量的增加或者减少而发生改变的一类应用题。

解答“变倍问题”一般要用到这样一个规律：甲数是乙数的n 倍，如果乙数增加或者减少ｍ,那么甲数就要增加或者减少mn，才能使甲数仍是乙数的n倍。

2、变倍问题牢固树立抓“不变量”的思想，变倍问题中的不变量，一般有三类，如下：

①“甲是乙的2倍，甲是丙的3倍”——不变量是甲

②“甲是乙的3倍，甲给乙2，甲变成乙的2倍”——不变量是甲、乙之和（给来给去和不变）

③“甲是乙的3倍，甲、乙都减少2，甲变成乙的4倍”——不变量是甲、乙之差（同增同减差不变）

3、解题方法：图像法、假设法

例题精讲

一、图像法

例1、有甲、乙二人，今年甲的年龄是乙的5倍。22年后，甲的年龄比乙的年龄的2倍少16岁。今年甲、乙二人各多少岁？

分析：根据题意画出如右的线段图：

如果乙今年的年龄是一倍量，那么乙在22年后的年龄就是一倍量多22岁，甲22年后的年龄就是5倍量多22岁。甲的年龄比乙的年龄的2倍少16岁，我们画出乙的2倍：

同样，再去掉两个人的相同部分：

这时，甲剩下3倍量，乙剩下6岁，由此可得，一倍量为6÷3=2岁。所以，乙今年的年龄为2岁，甲今年的年龄就是2×5=10岁。

【练习一】

1、7年前张老师的年龄是王英的21倍，11年后张老师的年龄是王英的3倍，问今年张老师和王英各多少岁？

分析：用画线段的方法来解答比较直观。

先画出7年前的情况：

7年前到11年后，一共经过了7＋11＝18（年），这18年中王英增长了18岁，张老师的年龄也增长了18岁。在上图的基础上添加画出11年后的情况：

11年后张老师的年龄是王英的3倍，即王英的3倍长应该和张老师的一样长。因此，我们将代表王英年龄的线段再画出2个一样的，并使得它和代表张老师年龄的线段对齐。

然后将两人相同部分同时去掉，

这时我们可以看到，王英还剩下2个18岁长的线段，张老师还剩下21－3=18倍线段。他们两个的剩下部分相等，说明18倍量就等于2个18岁，即36岁。

所以，一倍量为18×2÷18＝2（岁）。那么，2×21＝42（岁），2＋7＝9（岁），42＋7＝49（岁）。

2、已知小白兔储藏的胡萝卜数量是小黑兔储藏数量的3倍。小白兔吃了13个胡萝卜，小黑兔吃了3个胡萝卜后，小白兔与小黑兔所剩的胡萝卜的个数相同。求小白兔和小黑兔原来储藏胡萝卜多少个？

分析：用线段图表示题目里的已知条件和所求问题。

从图上可以看出，小白兔吃了13胡萝卜，小黑兔吃了3个胡萝卜后，小黑兔与小白兔所剩胡萝卜的个数一样多，也就是说原来小白兔比小黑兔多13-3=10（个）胡萝卜，正好是小黑兔储藏胡萝卜的（3-1）倍，把10个胡萝卜平均分成2份，每份就是小黑兔储藏胡萝卜的个数，然后可以求出小白兔储藏胡萝卜的个数。

解：（13-3）÷（3-1）+3=8（个）??????小黑兔，8×3=24（个）??????小白兔

二、假设法

例2、师生二人，今年老师的年龄是学生的4倍。5年后，老师的年龄是学生的3倍。今年师生二人各多少岁？

分析一：今年老师的年龄是学生的4倍。5年后，学生的年龄增加5岁,这时如果老师的年龄增加5×4岁，那么老师的年龄仍将是学生的4倍。而实际上，老师的年龄只增加5岁，比假设少增加（5×4-5）岁，也就少了学生5年后年龄的（4-3）倍。因此学生5年后的年龄是（5×4-5）÷（4-3）=15（岁），那么学生今年是15-5=10（岁），老师今年是10×4=40（岁）。

注：上面的解题是依照题目中条件出现的先后顺序按照由前向后发展的思路展开的，我们称之为“正顺序顺向思维”。若用“反顺序逆向思维”(按照由后向前还原的思路展开)解答变倍问题则会显得更简便。

分析二：5年后，老师的年龄是学生的3倍。在此基础上，如果学生再减去5岁，老师再减去5×3岁，那么学生的年龄等于原来年龄，老师的年龄比原来减少（5×3-5）岁，此时老师的年龄仍是学生的3倍。而实际上，老师的年龄是学生的4倍。故知：（5×3-5）岁是学生今年年龄的（4-3）倍。因此学生今年是（5×3-5）÷（4-3）=10（岁），那么老师今年是10×4=40（岁）。

此题还可以用“抓不变量”的方法来解。

分析三：因为今年与5年后，师生二人的年龄差不变，所以可以把这个年龄差转化为“标准量”。而今年学生的年龄是这个年龄差的1/（4-1），5年后学生的年龄是这个年龄差的1/（3-1）。故知：5岁是这个年龄差的（1/（3-1）-1/（4-1））。因此这个年龄差是5÷〔1/（3-1）-1/（4-1）〕=30（岁）。那么学生今年是30×1/（4-1）=10（岁），而老师今年是10×4=40（岁）。

【练习1】

1、苹果的个数是梨子的3倍，如果苹果加上6个，梨子也加上6个，此时苹果个数是梨子的2倍，问:原来苹果、梨子各多少个？

2、在植树劳动中，光明中学植树的棵数是光明小学的3倍，如果中学增加450棵，小学增加400棵，则中学是小学的2倍。求中、小学原来各植树多少棵？

例3.某工厂，甲车间人数是乙车间人数的3倍。根据工作需要，现在从乙车间调出8人到甲车间去，此时甲车间人数是乙车间人数的5倍。两个车间原来各有多少人？

“正顺序顺向思维”解一：甲车间人数是乙车间人数的3倍。从乙车间调出8人，此时如果从甲车间调出8×3人，那么甲车间人数仍将是乙车间人数的3倍。而事实上，甲车间不但没有调出8×3人，反而调入了8人，比假设多（8×3+8）人，也就多了乙车间调出8人后人数的（5-3）倍。因此乙车间调出8人后有（8×3+8）÷（5-3）=16（人）。那么乙车间原有16+8=24（人），甲车间原有24×3=72（人）。

“反顺序逆向思维”解二：调动8人后，甲车间人数是乙车间人数的5倍。在此基础上，如果乙车间调入8人，甲车间调入8×5人，那么乙车间人数等于原来人数，甲车间人数比原来人数多（8×5+8）人，此时甲车间人数仍是乙车间人数的5。而事实上，甲车间人数是乙车间人数的3倍。故知：（8×5+8）人是乙车间原来人数的（5-3）倍。因此乙车间原来有（8×5+8）÷（5-3）=24（人），那么甲车间原来有24×3=72（人）。

“抓不变量”解三：因为调动前后，两个车间的人数和不变，所以可以把这个人数和转化为“标准量”。而乙车间的人数是这个人数和的1/（3+1），调出8人后，乙车间的人数是这个人数和的1/（5+1）。故知：8人就是这个人数和的（1/（3+1）-1/（5+1））。因此两个车间一共有8÷（1/（3+1）-1/（5+1））=96（人）。那么乙车间原来有96×1/（3+1）=24（人），而甲车间原来有24×3=72（人）。

注：像这样，例1可以找出不变的年龄差，例2可以找出不变的人数和。而更多的“变倍问题”则不能找出不变量，只能假设倍数不变，用“正顺序顺向思维”或者“反顺序逆向思维”解答。

【练习3】

.1、两堆煤，第一堆的重量是第二堆重量的5倍。第一堆用去36吨，第二堆用去4吨，剩下的重量，第一堆是第二堆的3倍。两堆煤原来各有多少吨？

“正顺序顺向思维”解一：第一堆重量是第二堆的5倍，第二堆用去4吨，如果第一堆用去4×5吨，那么第一堆剩下的重量仍是第二堆剩下重量的5倍。而事实上，第一堆比假设多用去（36-4×5）吨，也就少剩下第二堆剩下重量的（5-3）倍。因此第二对剩下的重量是（36-4×5）÷（5-3）=8（吨）。那么第二堆原来有8+4=12（吨），第一堆原来有12×5=60（吨）。

“反顺序逆向思维”解二：第二堆原来有（36-4×3）÷（5-3）=12（吨），第一堆原来有12×5=60（吨）。

注：当然，对于复杂的或者变式的变倍问题，有的只能用“正顺序顺向思维”解答，而有的就只能用“反顺序逆向思维”解答，这需要具体问题具体分析。

2、丁晓原有书的本数是王阳的5倍，若两人同时各借出5本给其他同学，则丁晓书的本数是王阳的10倍，两人原来各有书多少本？

3、两堆煤，第一堆是第二堆的2倍，第一堆用去8吨，第二堆用去11吨，第一堆剩下的重量是第二堆的4倍。求第二堆煤原来是多少吨？

例4、王明平时积蓄下来的零花钱比陈刚的3倍多6.40元，若两个人各买了一本4.40元的故事书后，王明的钱就是陈刚的8倍，陈刚多少元？

分析：假设仍然保持王明的钱比陈刚的3倍多6.40元，则王明要相应地花去4.40×3 ＝13.20元，但王明只花去了4.40元，比13.20元少13.20－4.40＝8.80元，那么王明买书后的钱比陈刚买书后的钱的3倍多6.40+8.80＝15.20元，而题中已告诉：买书后王明的钱是陈刚的8倍，所以，15.20元就对应着陈刚花钱后剩下钱的8－3＝5倍。原来有零花钱:[6.40+（4.40×3－4.40]÷（8－3）+4.40＝7.44（元）【练习二】

1、甲书架上的书比乙书架上的3倍多50本，若甲、乙两个书架上各增加150本，则甲书架上的书是乙书架上的2倍，甲、乙两个书架原来各有多少本书？

2、上学年，马村中学的学生比牛庄小学的学生的2倍多54人，本学年马村中学增加了20人，牛庄小学减少了8人，则马村中学的学生比牛庄小学的学生的4倍少26人，上学年马村中学和牛庄小学各有学生多少人？

3、箱子里有红、白两种玻璃球，红球比白球的3倍多2粒，每次从箱子里取出7粒白球和15粒红球，若干次后，箱子里剩下3粒白球和53粒红球，那么，箱子里白球原有多少粒？

【奥数天天练】

【星期一】

1、甲数是乙数的4倍。如果甲数增大20，乙数增大70，则甲数是乙数的2倍。问：甲、乙两数各是多少？

【星期二】

2、今年爸爸的年龄是小光年龄的5倍，6年后，爸爸的年龄是小光年龄的3倍，问今年爸爸、小光的年龄各多少岁

【星期三】

3、两个工程队，甲队的人数是乙队人数的3倍，因工作需要，从乙队调出9人进入甲队，这时，甲队的人数是乙队人数的6倍，问两个工程队原来各有多少人？

【星期四】

4、学生和老师去春游，已知男生和女生一样多，男生人数是男老师的5倍，女生人数是女老师的4倍，且男老师比女老师少10人，请问：去春游的学生一共有多少人？

【星期五】