圆的切线证明和计算与反比例函数专题
切线证明与计算；反比例函数解答题
1.如图，在△ABC 中，BA=BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，BC
的延长线与⊙O 的切线AF 交于点F ． （1）求证：∠ABC=2∠C AF ；
（2）若
AC=CE ：EB=1：4，求CE ，AF 的长．
2.如图，在△ABC 中，∠AB C=90°,以AB 为直径的⊙O 与边AC 交于点D ，过点D 的直线交BC 边于点E ，∠BDE=∠A ．
（1）证明:DE 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径R=5，tanA= ，求线段CD 的长.
3．如图，在⊙O 中，点P 在直径AB 的延长线上，PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，连接CD 交AB 于 点E ．如果⊙O
的半径等于1
tan 2
CPO ∠=
，求 弦CD 的长．
4．如图，PB 切O 于点B ，联结PO 并延长交O 于点E ，过点B 作BA ⊥PE 交O 于 点A ，联结AP ，AE ．
（1）求证：PA 是O 的切线；
（2）如果OD ＝3，tan ∠AEP ＝1
2
，求O 的半径．
1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ax b
=+的图象与
反比例函数k
y x
=的图象交于A(-1，4)，B(2，m)两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直接写出不等式ax b +＜k
x
的解集．
A
4
3
2.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数2y x =与反比
例函数
k
y x
=
的图象交于A ，B 两点，A 点的横坐标为2，AC ⊥x 轴于点C ，连接BC.
（1）求反比例函数的解析式； （2）若点P 是反比例函数k
y x
=
图象上的一点，且满足△OPC 与△ABC 的面
积相等，请直接写出点P 的坐标．
3．如图，正比例函数1
2
y x =-的图象与反比例函数k y x =的图
象分别交
于M ，N 两点，已知点M （-2，m ）.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点P 为y 轴上的一点，当∠MPN 为直角时，直接 写出点P 的
坐标．
4.已知：如图，一次函数2+=x y 的图象与反比例函数k
y x
=
的图象交
于A 、B 两点，且点A 的坐标为（1，m ）．
（1）求反比例函数k
y x
=
的表达式； （2）点C （n ，1）在反比例函数k
y x
=的图象上，求△AOC 的
面积； （3）在x 轴上找出点P ，使△ABP 是以AB 为斜边的直角三角形，请直接
写出所有符合条件的点P 的坐标．
xOy
备用图
圆切线的有关证明和计算
圆切线的有关证明和计算 已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠= ，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠． （1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长． 解：（1） （2） 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经过 B,M 两点的⊙O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径. （1）求证：AE 与⊙O 相切； （2）当BC=4,cosC= 1 3 时，求⊙O 的半径. （１）通过平行找垂直。如果以下几种题型 如图，已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 经过BC 的中点D ，DE ⊥AC 于E . (1)求证:DE 是⊙O 的切线； (2)若2 1 cos = C , 6DE =, 求⊙O 的直径. 已知：如图，⊙O 为ΔABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，作射线BF 使得BA 平分 ∠CBF ，过点A 作A D ⊥BF 于D （１）求证：DA 为⊙O 的切线 （２）若BD=1,⊙O 的半径为2 5 ，求tan ∠BAD F A D B O C (2)通过计算角的度数找垂直 如果以下题型 D C O A B E
10.已知，A 是⊙O 上一点，半径的延长线与过点A 的直线交于B 点，OC=BC,AC= 2 1 OB 。 （１）求证：AB 是⊙O 的切线 （２）若∠ACD=４５°,OC=2,求弦CD 的长 D O C A B 已知如图，点D 是⊙O 的直径延长线上一点，点B 在⊙O 上，且OA=AB=AD (1)求证：BD 是⊙O 的切线 (2)若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，且BE=８,tan ∠BFA= 2 5 ,求⊙O 的半径 B F E D A O C 已知：如图，在⊿ABC 中，D 是AB 边上一点，⊙O 过 A,B,C 三点，∠DOC=2∠ACD=90° A (1)求证：直线AC 是⊙O 的切线； D (2)如果∠ACB=75°,⊙O 的半径为２,求BD 的长 B C O (3)根据角与角的关系推导 已知：如图，AB 是O 的直径，BC 切O 于B ，AC 交O 于P ，D 为BC 边的中点，连结DP ． (1) DP 是O 的切线； (2) 若3 cos 5 A ， O 的半径为5， 求DP 的长. 如图，D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点 B 在⊙O 上， 且AB ＝AD ＝AO ． （1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）若E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ， O P C D B A
九年级数学：圆的切线的证明——拔高题
九年级数学：圆的切线的证明——拔高题 圆的切线证明拔高题训练 1.如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作 ，垂足为，连接． 求证：直线与相切； 若，，求的长． 2.如图，已知，，以直角边为直径作，交斜边于点，连接 ． 若，，求边的长； 取的中点，连接，试证明与相切． 3.如图，在中，，以为直径的分别交，于点，， 于点，交的延长线于点． 1 / 25
求证：直线是的切线； 若，，求的长． 4.如图，的边为的直径，与圆交于点，为的中点，过作于． 求证：； 求证：为的切线； 若，，求的长． 5.在中，直角边为直径的半圆，与斜边交于，点是边的中点，连接 ， ① 与半圆相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明情况． ②若、的长是方程的根，求直角边的长．
九年级数学：圆的切线的证明——拔高题 6.如图，是的直径，． 求证：是的切线； 若点是的中点，连接交于点，当，时，求的值． 7.如图，已知是的直径，点在上，过点的直线与的延长线交于点， ，． 求证：是的切线； 求证：； 3 / 25
点是的中点，交于点，若，求的值． 8.已知，如图，直线交于，两点，是直径，平分交于，过作 于． 求证：是的切线； 若，，求的半径． 9.如图，是的外接圆，，弦，，， 交的延长线于点． 求证：； 求的长； 求证：是的切线．
九年级数学：圆的切线的证明——拔高题 10.如图，是的直径，垂直于弦于点，且交于点，是延长线上一点，若． 求证：是的一条切线； 若，，求的长． 11.如图，以为直径的半圆交于点，且点为的中点，于点，交半 圆于点，的延长线交于点． 求证：为半圆的切线； 若，，求的长． 12.如图，是的直径，点是上的一点，． 5 / 25
29-3与切线有关的计算与证明
与切线有关的计算与证明 1.若正四边形的内切圆半径为r ，外接圆半径为R ，边长为a ，则=a R r :: ( ) A:22:2:1 B.2:2:1 C.4:2:1 D.2:2:1 2.正三角形的边长、边心距。外接圆半径之比为 （ ） A.32:2:1 B.2:1:32 C.1:32:2 D.1:2:32 3.如图所示，三个半径为3的圆两两外切，且ABC ?的每一边都与其中的两个圆相切，那 么ABC ?的周长是 ( ) A.3612+ B.31212+ C.3618+ D.31218+ 4.如图所示，点D C B A 、、、在同一个圆上，BC AD 、延长线相交于点DC AB Q 、，延长线相交于点P ,若?=∠50A ,?=∠35P ,则______=∠Q . 5.如图所示，已知⊙O 与⊙O 内切，半径B O A O 21、分别切⊙O 于点D C 、，若两圆半径分别为9和3，则______2=∠D CO . 6.已知⊙1O 与⊙2O 交于B A 、两点，⊙1O 的半径2=R ，⊙2O 的半径2=r ，2=AB ， 则_________21=O O . 7.如图所示，PB PA 、与⊙O 分别切于B A 、两点， 50=∠AOP ,则=∠PAB ， =∠OPB ,如果,22=OC 28=CP ，则=AO .
8.（10·道里一模）如图，ABC ?中，AB =AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于D ，直线 DE 交AC 于E ；DE 与AC 具有怎样的位置关系时才能保证DE 与⊙O 相切？请你证 明你的结论； 9.(09道里一模）如图，已知AB 是半圆⊙O 的直径，过O 作弦AC 的垂线交半⊙O 于D ， 交切线 AE 于E ，连接BD 、CD . 求证：BDC ∠=E ∠. 10.如图，在 Rt ABC ?中，C ∠= ?90，以BC 为直径 OE DE E AC D AB O 、连结的中点取于点交⊙作,, （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果的长。，求，的半径是⊙AB ED O cm 2cm 2 3 =
圆的切线证明及有关计算
圆切线的证明及有关计算（一） 一、课标要求 了解切线的概念：探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线。会过圆上一点画圆的切线。 二、教学目标 1．归纳直线与圆相切的性质和判定方法以及切线长定理，并能运用这些知识进行计算和证明；2．在计算与证明中培养学生的分析问题、解决问题以及综合运用知识的能力。 三、教学重点 运用切线的性质和判定方法进行计算与证明。 四、教学难点 灵活运用所学知识解决有关切线问题。 五、【基础知识回顾】 （一）.切线的定义： （二）.切线性质： 圆的切线______于过切点的半径. 提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常连接圆心和切点，即可得垂直关系 （三）.切线判定： (1) 和圆有唯一公共点的直线是圆的切线.（定义） (2) 经过半径的外端且______这条半径的直线是圆的切线.（判定定理） (3) 如果圆心到一条直线的距离等于______，那么这条直线是圆的切线. 提醒：1、在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明（连半径，证垂直）. 2、当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切（作垂直，证半径）. （四）.切线长 （1）切线长定义： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的，叫做这点到圆的切线长. （2）切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的相等，这一点和圆心的连线两条切线的夹角 六．【典型例题解析】 考点一：与切线性质有关的计算 例1、（九上P122 1(4)）如图，P A、PB切⊙O于A、B两点，且
∠P=70°，则∠C=_______. 分析：连接OA、OB，则OA⊥PA，OB⊥PB, 易得四边形 APBO的内角∠AOB的度数，从而可得∠C。 （变式）如图，P A、PB切⊙O于A、B两点，点C在⊙O上， 且∠ACB=50°，则∠P=_______. 例2、如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，O为BC 的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分 别为D，E，则⊙O的半径为（） A．8B．6 C．5 D．4 分析：连接OD、OE，则OD⊥BA，OE⊥AC,根据切线长定理 得AD=AE，易得正方形ADOE;若设OD=x，根据勾股定理可得OD2+BD2=BO2从而得到方程，通过解方程既得⊙O的半径。 【备考指导】解决与切线有关的求角度或线段问题的方法：当已知切线时，常作辅助线连接切点与圆心或寻找直径所对的圆周角，构造直角三角形，然后利用勾股定理或相关的三角函数知识计算线段长度；而在求角度时，往往与圆周角、圆心角有关，求解过程中有时需要作出合适的辅助线，构造与所求角有关的圆心角或直角三角形进行求解。 考点二：与切线判定有关的证明 例3.已知：如图, AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D, 且DE⊥AC于点E. (1)求证: DE是⊙O的切线； (2) 若∠C＝30°,CD＝10 cm, 求⊙O的直径． 分析：(1)若所证直线与圆的交点字母标出,则连接这条半径,证明这 条半径________所证直线； (2)利用等腰三角形和直角三角形知识可求． 【备考指导】证明直线是圆的切线的方法：①可以利用定义判定， 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②若已知直线与圆有公 共点，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连圆心，证垂直；③若未知直线与圆的交点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径.可简述为：无切点、作垂直、证相等. 七、中考链接 （一）基础达标训练 1．（13.河池）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点， 则PA=．
中考九年级证明圆的切线例题方法
切线证明法 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒⌒ ∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF与⊙O相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF与⊙O相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD，
∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE是⊙O的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切. 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE. ∵AD是∠BAC的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ∴∠1+∠PAD=900 即OA⊥PA. ∴PA与⊙O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.
有关切线的几种常见的证明方法
有关切线的几种常见的证明方法与计算 一、与等腰三角形、平形线的性质有关 1.已知：如图7，在△ABC 中，∠BAC =120°，AB =AC ，BC =43，以A 为圆心，2为半径作⊙A ，试问：直线BC 与⊙A 的关系如何并证明你的结论. A B C D O 2．如图，点D 在O ⊙的直径AB 的延长线上，点C 在O ⊙上，AC CD =，30D ∠=°， 求证：CD 是O ⊙的切线； 3．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为 直径的⊙O 交BC 于点D AC 于点E ． 求证：DE 是⊙O O B
4．已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E点，直线EF⊥AC于F．求证：EF与⊙O相切． 5. 已知：如图，AB为O⊙的直径，AB AC BC =，交O⊙于 点D，AC交O⊙于点45 ，°． E BAC ∠= （1）求EBC =． ∠的度数；（2）求证：BD CD 6．已知：如图，PA切⊙O于A点，PO∥AC，BC是⊙O的直径．请问：直线PB是否与⊙
O 相切说明你的理由． 二、与等弧、垂径定理有关 7.如图，AB 是⊙O 的的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD ⊥（1）求证：点E 是 ⌒ BD 的中点；（2）求证：CD 是⊙O 的切线； 8.（2010年浙江杭州）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 为圆上两点，且弧⌒ CB ＝ ⌒ CD 弧 CD ，CF ⊥AB 于点F ，CE ⊥AD 的延长线于点E ．求 证：DE ＝BF ； A O F E D
初中数学九年级《圆的切线证明及计算》公开课教学设计
圆的切线证明及计算（教案） 一、教学目标： 1、复习直线和圆的位置关系，以d和r的关系强化学生对切线判定定理的理解。 2、使学生把握好切线判定和切线性质的基本要素，理解切线问题中常用的辅助线———过 切点的半径。 3、通过对切线长定理的推导分析，提高学生对图形知识的系统化认识，在实际解题中提高 学生对两条切线的边、角关系的理解与应用。 4、强化基础知识的同时，通过中考切线问题考试热点的讲解，提高学生对切线证明及切线 计算问题的理解;对考试中常见的动点问题，提出动点问题静态化的思考。 5、 二、教学重点：整固切线的有关定理；理解切线问题中常用的辅助线 三、教学难点：切线的证明思想，对动点问题的分析思考方法 四、教学过程： 1.回顾知识要点： 通过演示回顾直线和圆的位置关系，用距离d和半径r的关系引导学生对切线判定定理、和切线性质定理进行理解。把握好判定中的两个要素，理解切线问题中一般辅助线的作法。 学生对知识要点表格的完成达到对知识要点的巩固，并在d=r ?直线l与⊙O相切的条件下扼要说明切线的判定定理和切线的性质定理，使学生记住关键字词，理解解题中的一般方法。 2.基础练习： 通过对简单题型的练习，认识切线定理的一般应用方法，在同一图形变换不同的问法，分别从边和角的角度进行理解。进一步巩固切线问题中辅助线的作法。 例1．如图，直线AB与⊙O相切于点A，若∠OBA = 36°， 则∠AOB=（） 例2．如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2， 若∠OBA = 30°，则OB的长为（） A ．B．4 C ．D．2 d＞r ?直线l与⊙O相离 d 倒线段。 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，连接BC ，AC ，作OD ∥BC 与过点A 的切线交于点D ，连接DC 并延长交AB 的延长线于点E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若 =，求cos ∠ABC 的值． 倒角，圆心角与圆周角 已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，OH AC ⊥于H ，30B ∠=0 ，过A 点的直线与OC 的延长 线交于点D ，0 30CAD ∠= ，AD = （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若E 为⊙O 上一动点，连接AE 交直线OD 于点P ，问：是否存在点P ,使得P A+PH 的值最小，若存在求P A+PH 的最小值，若不存在，说明理由 . 一、圆的基本知识： 怎样证切线？垂径定理 如图，AB 为⊙O 直径，C 、D 为⊙O 上不同于A 、B 的两点，∠ABD=2∠BAC ，连接CD .过点C 作CE ⊥DB ，垂足为E ，直线AB 与CE 相交于F 点. （1）求证：CF 为⊙O 的切线； （2）当BF =5,3 sin 5F =时，求BD 的长. 3 2 A 同弧所对圆周角 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，过点B 作⊙O 的切线与AD 的延长线交于F ． （1）求证：ABC F ∠=∠ （2）若sinC=3 5 ，DF=6，求⊙O 的半径． . 圆内接四边形 如图，已知BC 为⊙O 的直径， EC 是⊙O 的切线，C 是切点，EP 交⊙O 于点A ，D ，交 CB 延长线于点P . 连接CD ，CA ，AB . （1）求证：∠ECD =∠EAC ； （2）若PB =OB=2，CD =3，求P A 的长. 直径对直角 如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 互相垂直，垂足为点E ．⊙O 的切线BF 与弦AC 的延长线相交于点 F ，且AC=8，tan ∠BDC=． （1）求⊙O 的半径长； （2）求线段CF 长． 圆心是中点 如图，线段BC 切⊙O 于点C ，以AC 为直径，连接AB 交⊙O 于点D ，点E 是BC 的中点， 交AB 于点D ，连结OB 、DE 交于点F ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若4 AC =，BC =求EF FD 的值． B 专题提升(十二)与圆的切线有关的计算与证明 类型之一与切线的性质有关的计算或证明 【经典母题】 如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P ＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为__1__． 图Z12－1 经典母题答图 【解析】如答图，连结OC. ∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO＝90°， 在Rt△OCP中，∵OC＝1，∠P＝30°， ∴OP＝2OC＝2， ∴PB＝OP－OB＝2－1＝1. 【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直． 【中考变形】 [2017·天津]已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D. (1)如图Z12－2①，求∠T和∠CDB的大小； (2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小． 图Z12－2 解：(1)如答图①，连结AC， ∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°， ∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°， 由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°； 中考变形答图①中考变形答图② (2)如答图②，连结AD， 在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°， ∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°， ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°， ∵∠ADC＝∠ABC＝50°， ∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°. 【中考预测】 [2017·宿迁]如图Z12－3，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P. 圆证明切线的练习题 1. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点 于D，DE⊥AC，E是垂足. 求证：DE是⊙O的切线；如果AB=5,tan∠B=的长. 2．如图，△ABC中，AB=AE，以AB为直径作⊙O交BE 于C，过C作CD⊥AE于D， 1C ,求CE B DC的延长线与AB的延长线交于点P . 求证：PD是⊙O的切线；若AE=5，BE=6，求DC的长. 3.在Rt△ABC 中，∠C=90 ? ， BC=9， CA=12，∠ABC的平分线 BD交AC于点D， DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆， 交BC于点F 求证:AC是⊙O的切线; 联结EF，求 4.已知：如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BC于点E，EF⊥AC于F交AB的延长线于G. 求证：FG是⊙O的切线；求AD的长. 证明： 1 A EF 的值. AC 5．如图，点A、B、F在?O上，?AFB?30?，OB的延长线交直线AD于点D，过点 B作BC?AD于C，?CBD?60?，连接AB. 求证：AD是?O 的切线； 若AB?6，求阴影部分的面积. 6．已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD平分∠FAE，ED⊥AF交AF 的延长线于点C．判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； A 若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径AB的长． 7．如图，以等腰?ABC中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作DE?AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线； 8.如图，已知R t△ABC，∠ABC＝90°，以直角边 AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD． 圆的切线证明与计算专题训练 1.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于E，B为切点的切线交OD 延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 2.如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 3.如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DM⊥AC于M. 求证：DM与⊙O相切. 4.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=30O，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线. 5.如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于点E. 求证：AC是⊙D的切线. 6.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是弧BC的中点，DP⊥AC，垂足为点P. 求证：PD是⊙O的切线. 7.已经⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连接CO，若AD//OC交⊙O于D. 求证：CD是⊙O的切线. 8.如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90O，弦BD=BA，AB=12，BC=5,BE⊥DC交DC的延长线与点E. 求证：BE是⊙O的切线. 9.如图，在△ABC中，∠C=90O，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点 D. （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若BD=5，求AC的长. 10.如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA，CB于点E，F，点G是AD的中点. （1）求证：GE是⊙O的切线； （2）若OC=5，CE=6，求AE的长. 11.如图，在Rt△ABC中，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径作圆. （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求证：AB+EB=AC. 12.如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于D，作DE⊥BC于E. （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，∠A=30O，AB=8，求DG的长. 与圆的切线有关的计算与证明(1) 类型之一与切线的性质有关的计算或证明 【经典母题】 如图Z12- 1,0 O的切线PC交直径AB的延长线于点P, C为切点，若/ P =30°,0 O的半径为1,贝U PB的长为1 . 图Z12- 1 经典母题答图 【解析】如答图，连结0C. ??PC 为O O 的切线，.?./PC0 = 90 在RtSCP 中，??OC= 1,/P = 30°, ??0P= 20C= 2, ??PB= OP- 0B= 2- 1= 1. 【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；⑵已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直. 【中考变形】 [2017天津]已知AB是O 0的直径，AT是O 0的切线，/ ABT= 50°, BT交O0于点C, E是AB上一点，延长CE交O 0于点D. (1) 如图Z12-2①，求/ T和/CDB的大小； (2) 如图②，当BE= BC时，求/ CD0的大小. 解：⑴如答图①，连结AC , ??AT 是。O 的切线，AB 是。O 的直径, ??AT 丄 AB ,即/ TAB = 90°, ? 50°,?d 90°-/ ABT = 40 由AB 是O O 的直径，得/ ACB = 90° ? Q AB = 90°』ABC = 40°,/-CDB =/CAB = 40°; ⑵如答图②，连结AD , 在厶 BCE 中，BE = BC ,/ EBC = 50 ? / BCE =/BEC = 65°, ?/ BAD = /BCD = 65 ? OA = OD ，?/ ODA =/ OAD = 65 ? / ADC =/ ABC = 50°, ? / CDO =/ ODA -/ADC = 65°- 50°= 15 【中考预测】 [2017宿迁]如图Z12-3, AB 与。O 相切于点B , BC 为。O 的弦，OC 丄OA , OA 与BC 相交于点 P. 图 Z12- 2 中考变形答图① 中考变形答图② 证明圆的切线专题 证明一条直线是圆的切线,主要有两个思路： 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径： 2,是利用切线的判判定定理,证明这条直线经过一条半径的外端,并且和这条半径垂直. 1不常用,一般常用2. 1. 如图，在Rt ABC ?中， 90C ?∠=，点D 是AC 的中点，且90A CDB ?∠+∠=,过点,A D 作O ，使圆心O 在AB 上，O 与AB 交于点E ． （1）求证：直线BD 与O 相切； （2）若:4:5,6AD AE BC ==,求O 的直径． 2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90o，O 、D 分别为AB 、BC 上的点，经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ，且D 为EF 的中点。 （1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切 （2）（4分）当，∠CAD=30o时，求AD 的长。 3. 如图，已知CD 是ΘO 的直径，AC ⊥CD ，垂足为C ，弦DE ∥OA ，直线AE 、CD 相交于点B ． (1)求证：直线AB 是OO 的切线； (2)如果AC =1，BE =2，求tan ∠OAC 的值． 4. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果BC =8，AB =5，求CE 的长。 5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ACB 的平分线交AB 于点O ，以O 为圆心的⊙O 与AC 相切于点D ． （1）求证：⊙O 与BC 相切； （2）当AC=3，BC=6时，求⊙O 的半径 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 交AM ，BN 于点D ，C ，DO 平分∠A DC ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AD=4，BC=9，求⊙O 的半径R ． 7.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是?AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ． （1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证： AP AC 3=； （2）如图②，若2524sin = ∠BPC ，求PAB ∠tan 的值． 圆的有关切线证明和计算 D 1如图，已知：△ ABC内接于O 0,点D在0C的延长线上, (1)求证：AD是O 0的切线； (2)若AC = 6,求AD的长。 A 2、如图，以△ ABC的直角边AB为直径的半圆O 0与斜边AC交于点D, E是BC边的中点，连接DE。 (1)求证：DE与O 0相切; (2)若AD、AB的长是方程x2—10x+ 24= 0的一个根，求直角边BC的 长。 3、如图，Rt△ ABC中，/ B = 90度，C是AB上的一点，以0为圆心，0B为半径的圆与AB交于点E,交AC于点D，其中DE // 0C (1)求证：AC为O 0的切线; (2) 若AD = 23，且AB 径、CD的长。 4、如图，AB是O 0的直径，延长线于点D， 交AB的延长线于点C。 (1)求证：CD是O 0的切线； 10 20 (2)若CB = — , CE=—，求AE 的长。 3 3 5、已知，如图，AB是O O的直径，O O过AC的中点D，过D作DE丄BC交BC于点E。 (1) 求证：DE是O O的切线； (2) 如果CD = 4, CE= 3,求O O的半径。 C 6、如图，等腰△ ABC中，AC = BC = 10, AB = 12,以BC为直径作O AB 于点D，交AC于点G, DF丄AC ,垂足为F,交CB的延长线于点 (1)求证：直线EF是O O的切线； (2)求DF、DE的长。 C 7、已知如图，直角梯形ABCD中，AD // BC, AD丄AB，且满 足AD + BC = CD，以AB为直径作O 0。 (1)求证：CD是O 0的切线； (2)若AD = 2, BC = 6,求O 0 的半径。 C与AE切于点E,过 8、如图, Rt△ ABC中，/ ACB = 90° CD丄AB于D,以CD为半径作O 点 B 作BM // AE。 (1)求证：BM是O C的切线； (2)作DF丄BC 于F,若AB = 16,/ DBM = 60° 求EF 的长。 B 9、如图，直角梯形ABCD中，/ A =/ B = 90° AD // B C , E为AB上一点，DE平分/ ADC , CE 平 分/ BCD。 (1)以AB为直径的圆与边CD有怎么样的关系？ (2)该题材中以CD为直径的圆与AB的位置关系如何，请证明你的猜想。 A E 中考复习专题--------圆的切线的判定与性质 知识考点： 1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。 2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。 精典例题： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切. 例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.求证：DC是⊙O的切线 例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP. 求证：PC是⊙O的切线. 例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F. 求证：CE与△CFG的外接圆相切. 二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA 是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径” 例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点. 求证：AC与⊙D相切. 例8 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900. 求证：CD是⊙O的切线. [习题练习] 例1如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD． 例2已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC?交于点E，求证：△DEC 中考数学与圆的切线相关的证明与计算 圆的切线：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 一、圆的切线的判定及相关计算 1.如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O，与BC 交于点D，点E 是弧BD 的中点， 连接AE 交BC 于点F，∠ACB＝2∠BAE . 求证：AC 是⊙O 的切线． 例题1图 【分析】连接AD，利用等弧所对圆周角相等及∠ACB＝2∠BAE 可得到∠BAD ＝∠BCA， 再结合直径所对圆周角为直角即可得证． 证明：如解图，连接AD. 例题1解图 ∵点E 是弧BD 的中点， ∴弧BE ＝弧DE， ∴∠1＝∠2 . ∵∠BAD＝2∠1, ∠ACB＝2∠1， ∴∠ACB＝∠BAD. ∵ AB为⊙O 直径， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∴∠DAC＋∠C＝90°. ∵∠C＝∠BAD， ∴∠DAC＋∠BAD＝90°. ∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC. 又∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ AC 是⊙O 的切线． 证明切线的常用方法： 1．直线与圆有交点，“连半径，证垂直”． (1) 图中有90°角时，证垂直的方法如下： ① 利用等角代换： 通过互余的两个角之间的等量代换得证； ② 利用平行线性质证明垂直： 如果有与要证的切线垂直的直线，则证明半径与这条直线平行即可； ③ 利用三角形全等或相似： 通过证明切线和其他两边围成的三角形与含90°的三角形全等或相似得证． (2)图中无90°角时： 利用等腰三角形的性质，通过证明半径为所在等腰三角形底边的中线或角平分线， 再根据“ 三线合一” 的性质得证． 2．直线与圆无交点，“作垂线，证相等”． 2.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 在⊙O 上，且弧AD＝弧CD , 过点D 作CB 的垂线，与CB 的延长线相交于点E，并与AB 的延长线相交于点F . (1) 求证：DF 是⊙O 的切线； (2) 若⊙O 的半径R＝5，AC＝8，求DF 的长． 例题2图 【解析】 (1) 证明：如解图，连接DO 并延长，与AC 相交于点P. 例题2解图 中国最大的教育门户网站 E 度网https://www.wendangku.net/doc/8b17683387.html, 圆的切线的证明 一、“见切点，连半径”――证明半径与直线垂直 例1．A B 是O 的直径，AB AC ⊥，B C 交⊙O 于P Q ，是A C 的中点．求证：QP 是⊙O 的切线． 分析：本例中，要证明“QP 是⊙O 的切线”，因为P 在⊙O 上，如果结论成立，则点P 肯定是切点，所以只要连接O P ，证明OP PQ ⊥即可． 证明：连接O P ，P A ， A B 是⊙O 的直径，90APB ∠=?∴． 在R t A P C △中，Q 是A C 的中点， PQ AQ =∴，QAP QPA ∠=∠∴． 又O P O A =，OAP QPA ∠=∠∴，OAQ QPO ∠=∠∴． A B A C ⊥ ，OP PQ ⊥∴．QP ∴是⊙O 的切线． 二、“过圆心，作垂线”――证明垂线段等于半径 例2．直角梯形A B C D 中，以腰C D 为直径的⊙1O 恰与另一腰A B 相切，求证：以腰A B 为直径的⊙2O 也与腰C D 相切． 分析：要证明以腰A B 为直径的⊙2O 与腰C D 相切，因为⊙2O 的半径是A B 的一半， 由切线的定义可知，C D 如果与⊙2O 相切，则2O 到C D 的距离应等于半径 12 A B ，所以过2 O 作2O E C D ⊥，证明212 O E A B = 即可． 证明：过1O 作12O O AB ⊥，则22O A O B =， 作21DF O O ⊥于F ，作2O E C D ⊥于E ， A B 与⊙1O 相切，121O O O D =∴． 211211Rt Rt O O E DO F O O E DO F ∠=∠ ，∴△≌△， 2O E DF =∴． A B C Q P O A B C D E F 1O 2O 九年级数学证明圆的 切线专题 证明一条直线是圆的切线；主要有两个思路： 1是证这条直线到圆心的距离等于这个圆的半径： 2；是利用切线的判判定定理；证明这条直线经过一条半径的外端；并且和这条半径垂直. 1不常用；一般常用2. 1. 如图；在Rt ABC ?中； 90C ?∠=；点D 是AC 的中点；且90A CDB ?∠+∠=；过点,A D 作O ；使圆心O 在AB 上；O 与AB 交于点E ． （1）求证：直线BD 与O 相切； （2）若:4:5,6AD AE BC ==；求O 的直径． 2.如图；在Rt △ABC 中；∠C=90o；O 、D 分别为AB 、BC 上的点；经过A 、D 两点的⊙O 分别交AB 、AC 于点E 、F ；且D 为EF 的中点。 （1）（4分）求证：BC 与⊙O 相切 （2）（4分）当；∠CAD=30o时；求AD 的长。 3. 如图；已知CD 是ΘO 的直径；AC ⊥CD ；垂足为C ；弦DE ∥OA ；直线AE 、CD 相交于点B ． (1)求证：直线AB 是OO 的切线； (2)如果AC =1；BE =2；求tan ∠OAC 的值． 4.如图；在△ABC中；AB=AC；以AB为直径作⊙O；交BC于点D；过点D作DE⊥AC；垂足为E。（1）求证：DE是⊙O的切线； （2）如果BC=8；AB=5；求CE的长。 5.如图；在△ABC中；∠C=90°；∠ACB的平分线交AB于点O；以O为圆心的⊙O与AC相切于点D． （1）求证：⊙O与BC相切； （2）当AC=3；BC=6时；求⊙O的半径 6.如图；AB是⊙O的直径；AM；BN分别切⊙O于点A；B；CD交AM；BN于点D；C；DO平分∠A DC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AD=4；BC=9；求⊙O的半径R． 与圆的切线有关的计算与证明 类型之一与切线的性质有关的计算或证明 【经典母题】 如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P ＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为__1__． 图Z12－1 经典母题答图 【解析】如答图，连结OC. ∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO＝90°， 在Rt△OCP中，∵OC＝1，∠P＝30°， ∴OP＝2OC＝2， ∴PB＝OP－OB＝2－1＝1. 【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直． 【中考变形】 [2017·天津]已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D. (1)如图Z12－2①，求∠T和∠CDB的大小； (2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小． 图Z12－2 解：(1)如答图①，连结AC， ∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°， ∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°， 由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°； 中考变形答图①中考变形答图② (2)如答图②，连结AD， 在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°， ∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°， ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°， ∵∠ADC＝∠ABC＝50°， ∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°. 【中考预测】 [2017·宿迁]如图Z12－3，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P. (1)求证：AP＝AB； (2)若OB＝4，AB＝3，求线段BP的长． 圆的切线证明及计算 一、知识回顾 1、切线证明的两种主要类型： （1）已知直线经过圆上某一点，辅助性的作法是连接圆心和这一点，判定方法是：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线。 （2）未知直线是否经过圆上的某一点，辅助线的作法是过圆心作直线的垂线段，判定方法是：到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。 2、圆的有关计算：经常用到垂径定理、勾股定理等。 二、例题讲解： 例1：如图1，在Rt△ABC中，C90 ∠=,BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE EB ⊥. （１）求证：AC是△BDE的外接圆的切线； （２）若2 AD，求EC的长. 6 =AE 2= ,6 注：（1）角平分线、平行于角平分线一边的直线、等腰三角形中，任意两个作为条件都可以推导出第三个。 （2）直角三角形中的特殊边角关系的应用。 例2：如图2，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径画圆。 求证：（1）AC是⊙D的切线； （2）AB+EB=AC。 证明：（1）过点D作DF⊥AC于F. ∵AB为⊙D的切线, AD平分∠BAC, ∴BD=DF . ∴AC为⊙D的切线 . （2）在△BDE和△DCF中, ∵BD=DF, DE=DC, ∴△BDE≌△DCF（HL）, ∴EB=FC . 又AB=AF, ∴AB+EB=AF+FC, 即AB+EB=AC . 三、课堂练习： 1、如图3，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，在∠ACD的外部作∠ACE=∠ACD，CE的反向延长线交AB的延长线于点P．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）若PC=4，PA=8，求sinP的值． 2、如图4，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交 BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB 长为半径作⊙D,AB＝5,EB＝3. 求证:⑴AC是⊙O的切线； ⑵求线段AC的长. 3、如图5，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接 圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E 作EF∥AC交BA的延长线于F． （1）求证：EF是⊙O切线； （2）若AB = 15，EF = 10，求AE的长． 4、已知：如图6，∠ACB=60°，CE为∠ACB的角平分线，O为射线CE上的一点， ⊙O切AC于点D． （1）求证：BC与⊙O相切； （2）若⊙O的半径为6，P为⊙O上一点，且使得 ∠DPC=90°，求DP的长． 5、（2009年元月调考试题）如图7，在边长为4的正方形ABCD 中，以AD为直径作⊙O，以C为圆心，CD长为半径作⊙C， 两圆交于正方形内一点E，连CE并延长交AB于F.切线证明及计算
【通用版】2018届中考数学专题提升(12)与圆的切线有关的计算与证明(含答案)
圆证明切线的练习题
圆的切线计算与证明题
与圆的切线有关的计算与证明(2)
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